1 L'omotetia. 2 Il teorema del rapporto dei perimetri e delle aree di due triangoli simili

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1 1 L'omotetia Per definire un'omotetia bisogna disegnare una generica figura nel piano (nel nostro caso utilizzeremo un triangolo), un punto (il centro dell'omotetia) e un numero (il rapporto k dell'omotetia). Per eseguire tale trasformazione si deve: ± disegnare un triangolo ABC mediante il comando Poligono; ± segnare un punto O con lo strumento Nuovo Punto; ± attivare lo strumento Dilata l'oggetto da un punto, dato un fattore; ± cliccare in sequenza sul triangolo e sul punto O. A video compare una finestra all'interno della quale bisogna inserire il rapporto di omotetia (nel nostro caso inseriamo il numero 2); il triangolo ottenuto eá A 0 B 0 C 0 ; ± agire sulle ProprietaÁ per colorare i due triangoli; ± per facilitare la lettura conviene tracciare le semirette uscenti da O passanti per i vertici del triangolo A 0 B 0 C 0. Per verificare che il rapporto tra i lati omologhi coincide con il valore numerico assegnato a k si deve: ± selezionare lo strumento Distanza o lunghezza; ± cliccare sul vertice A e sul vertice B del triangolo ABC; ± cliccare sui vertici corrispondenti A 0 e B 0 del secondo triangolo A 0 B 0 C 0 ; ± ripetere la stessa operazione sugli altri due lati dei triangoli; ± verificare che il rapporto fra i lati omologhi eá 2. Per ottenere un'omotetia diretta bisogna assegnare al valore del rapporto k un numero positivo; per ottenere un'omotetia inversa il numero da attribuire al rapporto k deve essere negativo. 2 Il teorema del rapporto dei perimetri e delle aree di due triangoli simili In questa esercitazione si vuole verificare che il rapporto fra i perimetri di due figure che si corrispondono in un'omotetia coincide con il valore k, mentre il rapporto fra le aree coincide con il valore k 2. Per eseguire questa verifica si deve: ± riprendere la figura dell'esercitazione precedente e cancellare i valori numerici, relativi alle misure dei lati; ± selezionare il comando Distanza o lunghezza; ± cliccare sul triangolo ABC; ± attivare il comando Area e cliccare sul triangolo ABC; ± ripetere le ultime due operazioni per il triangolo A 0 B 0 C 0 ; ± verificare che: 2p 0 A 0 B 0 C 0 2p ABC ˆ k ˆ 2; Area A 0 B 0 C 0 Area ABC ˆ k 2 ˆ 2 2 ˆ 4.

2 2 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA 3 Il centro dell'omotetia In questa esercitazione vogliamo applicare una procedura che ci permetta di determinare il centro di una omotetia, date due figure omotetiche. Per eseguire la costruzione si deve: ± costruire un triangolo ABC secondo le ben note procedure; ± selezionare lo strumento Retta parallela e mandare le tre parallele ai tre lati del triangolo cliccando nell'ordine su un lato del triangolo e in un punto generico del piano; ± trovare i punti di intersezione delle tre rette mediante lo strumento Intersezione di due oggetti; ± indicare tali punti con D, E e F; ± con lo strumento Poligono costruire il triangolo DEF; ± tracciare mediante lo strumento Retta per due punti le rette che congiungono a due a due i vertici AD e BE dei triangoli; ± determinare il punto di intersezione delle due rette e chiamare tale punto O; ± agire sulle ProprietaÁ per colorare i due triangoli. Per verificare che O eá il centro dell'omotetia si deve disegnare la retta passante per i punti O e C, e con il comando Relazione tra due oggetti, verificare che il punto F appartiene alla retta OC. Poiche GeoGebra conferma con un messaggio che il punto giace sull'oggetto, abbiamo la certezza che i due triangoli si corrispondono in un'omotetia di centro O. Se desideri calcolare il rapporto di omotetia, devi determinare la misura di due segmenti omologhi e calcolare il valore di tale rapporto. 4 Le figure simili In questa esercitazione vogliamo verificare che operando un'omotetia con una qualunque trasformazione isometrica eá possibile ottenere due figure simili. Considerando come casi particolari un'omotetia inversa e una rotazione, per eseguire la costruzione si deve: ± costruire un triangolo ABC; ± individuare un generico punto O nel piano; ± eseguire un'omotetia di centro O e di rapporto k mediante lo strumento Dilata l'oggetto da un punto, dato un fattore (nel nostro caso abbiamo inserito il valore 2in modo da ottenere un'omotetia inversa); ± indicare un punto O 0 come centro di rotazione; ± eseguire la rotazione del triangolo A 0 B 0 C 0 attorno al centro O 0 mediante il comando Ruota intorno ad un punto di un angolo (nel nostro caso abbiamo eseguito una rotazione di 45 ). Per verificare che i triangoli ABC e A 00 B 00 C 00 sono simili si devono confrontare gli angoli corrispondenti e verificarne la loro congruenza oppure misurare la lunghezza dei lati e verificare che il rapporto fra lati corrispondenti eá costante (ricorda che tale regola eá valida solo nel caso dei triangoli). Per dimostrare la congruenza degli angoli si deve: ± selezionare lo strumento Angolo e misurare l'ampiezza degli angoli interni dei triangoli ABC e A 00 B 00 C 00. Verifica da solo che il rapporto dei lati omologhi eá costante. Per facilitare la lettura della figura abbiamo unito con dei segmenti i vertici che si corrispondono nell'omotetia e con degli archi di circonferenza i vertici che si corrispondono nella rotazione. Abbiamo inoltre colorato gli angoli dei triangoli con il comando Colore. Se mediante lo strumento Muovi si modifica la posizione degli oggetti della figura, le ampiezze degli angoli corrispondenti rimangono fra loro congruenti.

3 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA 3 5 Il teorema della parallela al lato di un triangolo In questa esercitazione vogliamo verificare il teorema secondo cui la parallela ad un lato di un triangolo individua un nuovo triangolo simile a quello dato e divide i lati intersecati in segmenti direttamente proporzionali. Iniziamo costruendo un triangolo generico e tracciando la parallela ad una lato. Per fare questo si deve: ± disegnare un triangolo ABC mediante il comando Poligono; ± prendere sul lato AC un punto D qualunque; ± con il comando Retta parallela tracciare la parallela al lato AB passante per il punto D; ± determinare il punto di intersezione della parallela con il lato BC; ± tracciare il segmento DE mediante il comando Segmento tra due punti; ± nascondere, mediante lo strumento Mostra/Nascondi oggetto, gli oggetti inutili ai fini della nostra esercitazione. Per dimostrare che i triangoli ABC e DCE sono simili si deve: ± misurare l'ampiezza degli angoli dei due triangoli con lo strumento Angolo. Come possiamo notare gli angoli A b e CDE d sono congruenti (poicheâ corrispondenti rispetto alle parallele AB e DE tagliate dalla trasversale AC); gli angoli bb e DEC d sono congruenti (poicheâ corrispondenti rispetto alle parallele AB e DE tagliate dalla trasversale BC); l'angolo C b eá comune ai due triangoli. Di conseguenza i due triangoli ABC e DEC sono simili per il primo criterio di similitudine. Per verificare il teorema si deve: ± calcolare la misura dei lati dei triangoli ABC e DEC mediante il comando Distanza o lunghezza; ± determinare i rapporti tra i segmenti AD : DC e BE : EC. L'uguaglianza dei rapporti eá garanzia della proporzionalitaá fra i segmenti. 6 Il primo teorema di Euclide In questa esercitazione vogliamo verificare il primo teorema di Euclide secondo cui il quadrato costruito su uno dei cateti eá equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. Per eseguire la verifica del teorema si deve: ± costruire un triangolo rettangolo ABC secondo le note modalitaá giaá ampiamente descritte e tracciare l'altezza CH relativa all'ipotenusa AB; ± costruire il quadrato di lato AC; ± tracciare mediante il comando Retta parallela le rette per A e per B parallele al segmento CH; ± attivare lo strumento Circonferenza di dato centro e cliccare sul vertice A e sul punto H; ± determinare l'intersezione D fra la circonferenza e la retta per A; ± mandare mediante il comando Retta parallela la parallela all'ipotenusa AB dal punto D; ± costruire il rettangolo ADLB avente per dimensioni AH (proiezione del cateto AC sull'ipotenusa) e AB (lunghezza dell'ipotenusa); Per verificare il primo teorema di Euclide utilizzando il cateto BC basta ripetere la stessa procedura costruendo il quadrato su BC e il rettangolo di altezza BH.

4 4 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA ± cliccare sul tasto destro del mouse, attivare il comando ProprietaÁ e colorare il quadrato e il rettangolo; ± selezionare il comando Area per determinare le aree del quadrato costruito sul cateto AC e del rettangolo ADLB. Per rendere piuá chiara la comprensione della costruzione si possono infine nascondere gli oggetti inutili mediante lo strumento Mostra/Nascondi oggetto. L'uguaglianza dei due valori numerici certifica la correttezza del primo teorema di Euclide. 7 Il secondo teorema di Euclide In questa esercitazione vogliamo verificare il secondo teorema di Euclide secondo cui il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa eá equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Per eseguire la procedura si deve: ± costruire con le modalitaá giaá ampiamente descritte un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB ed altezza ad essa relativa CH; ± costruire il quadrato CHIJ avente il lato lungo quanto l'altezza CH del triangolo rettangolo; ± tracciare mediante il comando Retta perpendicolare la retta perpendicolare all'ipotenusa passante per A; ± attivare lo strumento Circonferenza di dato centro, cliccare sul punto H e con apertura HB, riportare la lunghezza di HB sulla retta per H; ± chiamare G il punto di intersezione fra la circonferenza e la retta; ± mandare mediante il comando Retta parallela la parallela all'ipotenusa AB dal punto G; ± individuare l'intersezione di tale retta con la perpendicolare per A e chiamare tale punto F; ± costruire il rettangolo AHGF avente per dimensioni AH (proiezione del cateto AC sull'ipotenusa) e HG (proiezione del cateto BC sull'ipotenusa); ± cliccare sul tasto destro del mouse, attivare il comando ProprietaÁ e colorare il quadrato ed il rettangolo; ± selezionare il comando Area per determinare l'area del quadrato e del rettangolo. L'uguaglianza dei due valori numerici certifica la correttezza del secondo teorema di Euclide.

5 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA 5 Esercizi 1 Dato un triangolo ABC costruisci il suo corrispondente in una omotetia di centro O e rapporto k ˆ 1,25. 2 Dato un quadrato ABCD, considera il punto medio M di una sua diagonale come centro di omotetia e costruisci il quadrato omotetico secondo il rapporto k ˆ 0,9. 3 Dato un triangolo equilatero ABC, considera il vertice A come centro di un'omotetia e costruisci i triangoli omotetici secondo i seguenti rapporti: k ˆ 1, k ˆ 1,5 e k ˆ 0,4. 4 Disegna un rettangolo ABCD e applica ad esso un'omotetia con centro nel vertice A di rapporto k ˆ 1. Applica ora, sempre al rettangolo ABCD, una simmetria centrale di centro A. Che cosa noti a proposito dei rettangoli ottenuti? 5 Applica un'omotetia di rapporto k ˆ 1 e centro O ad un triangolo ABC. Che cosa ottieni? 6 Applica un'omotetia di centro O e rapporto k ˆ 0,8 ad un triangolo ABC. Al triangolo A 0 B 0 C 0, ottenuto dalla prima trasformazione, applica una seconda omotetia di centro O e rapporto k ˆ 1,25. Che cosa noti? 7 Verifica che congiungendo i punti medi di un triangolo equilatero si ottiene un triangolo simile a quello dato. 8 Verifica che applicando un'omotetia e una traslazione ad un triangolo ottieni un triangolo simile al triangolo di partenza. 9 Verifica che due triangoli che hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti, sono simili. 10 Verifica che due triangoli rettangoli che hanno un angolo acuto congruente sono simili. 11 Verifica che due parallelogrammi che hanno due lati consecutivi proporzionali e due angoli corrispondenti congruenti sono simili. 12 Verifica che la parallela ad un lato di un triangolo, condotta per il punto medio di un lato, divide il terzo lato in due segmenti congruenti. 13 Verifica che il rapporto delle aree di due poligoni simili eá uguale al quadrato del rapporto dei perimetri. 14 Dati due triangoli simili ABC e A 0 B 0 C 0 verifica che le bisettrici di due angoli corrispondenti suddividono i due triangoli in coppie di triangoli simili.