TELECOMUNICAZIONI (TLC) CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE

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1 TELECOMUNICAZIONI (TLC) Tele (lontano) Comunicare (inviare informazioni) Comunicare a distanza CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE La Teoria (matematica) dell informazione è stata sviluppata da Claude Shannon (e altri) verso il 1940 ed è applicabile alle comunicazioni numeriche. Vediamo alcune definizioni: Informazione = è ciò che elimina incertezza Messaggio = supporto dell informazione. Ad es. questa pagina è un (lungo) messaggio in cui vi sono informazioni su argomenti che dovrete studiare. Anche una fotografia o un filmato o un brano audio sono messaggi, in quanto in essi si trova informazione!! E gli esempi possono continuare. Viene trasmessa tanta più informazione quanto più l'utilizzatore è "sorpreso" dal messaggio che è stato trasmesso. Dunque, la trasmissione dell'informazione implica un certo grado di incertezza da parte di chi riceve; chi trasmette invece non ha incertezze, se no, che cosa trasmetterebbe? L informazione contenuta in un messaggio è dunque tanto maggiore quanto più piccola è la probabilità dell evento descritto in quel messaggio. Ad es. se il messaggio è: Il 22 Agosto ci sarà il sole la quantità di informazione contenuta è piccola perché è molto probabile che il 22 di Agosto splenda il sole!!! Invece il messaggio: Una bomba termonucleare ha prosciugato l Oceano Pacifico contiene molta informazione perché la probabilità che questo capiti è estremamente piccola PER FORTUNA!!! Dunque la quantità di Informazione si può misurare- L unità di misura più usata è il bit (ma vi è anche il nat e l hartley che NON useremo però). BIT = Quantità di Informazione contenuta nel verificarsi di un evento tra 2 possibili ed ugualmente probabili. Attenzione: il bit di informazione è un altra cosa rispetto al bit usato in elettronica digitale, anche se c è un legame tra i due. In particolare il bit di informazione è in genere un numero reale (con la virgola cioè) mentre il bit digitale è un numero intero. 1

2 Ad es. il messaggio: ho lanciato una moneta ed è uscito Testa contiene 1 bit di informazione (gli eventi sono 2: o esce Testa o Croce.. e suppongo la moneta NON truccata! (Se invece è truccata, la quantità di informazione è più piccola o più grande di 1 bit??) P= probabilità che si verifichi l evento di cui vogliamo misurare la quantità di informazione. E un numero compreso SEMPRE tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo) Una definizione di probabilità è la seguente: (-> Approfondire in Matematica) P n casi _ in _ cui _ si _ verifica _ l _ evento n casi _ tot _ che _ possono _ avvenire P = 0; evento impossibile P = 1; evento certo Non è l unica e nemmeno la migliore; nella pratica infatti NON sappiamo quanti sono i casi finché non abbiamo fatto degli esperimenti e determinato la frequenza statistica (vedi dopo) ma per quel poco che facciamo ci va più che bene. Definizione di Quantità di informazione I 1 log 2 log P I 2 P P = 0; evento impossibile I = P = 1; evento certo I = 0 log 2 X = logaritmo in base 2 di X. Poiché sulla calcolatrice NON c è il tasto log 2 ma c è quello di log 10 (spesso indicato con Log) allora: log 2 X = 3,32 log 10 X (circa) Il perché chiederlo al prof. di matematica!!! Esempi: Calcolare la quantità di informazione del messaggio: lancio una monete ed esce T EVENTO = lancio di una moneta Esce T? P = 1/2 = 0.5 = 50% I = lg 2 (1/0,5) = lg 2 2 = 3,32 log 10 2 = 1 bit T = testa C = croce Calcolare la quantità di informazione del messaggio: lancio due monete ed esce TT. Conviene (quando si può) disegnare l insieme di tutti i casi possibili, chiamato in statistica Universo. Quindi contare i casi favorevoli (1, cioè TT) e quelli totali, che sono 4 UNIVERSO 1 Moneta I = log 2 (1/0,25) = lg 2 4 = 3,32 log 10 4 = 2 bit 2 Moneta TT TC CT CC Provare a calcolare I per lancio 2 monete ed esce T C o C T Provare a calcolare I per lancio n monete ed escono tutti T per n = 3, 4, 5 2

3 ESERCIZI da fare a casa 1) Lancio 1 dado, qual è I che esca il numero 4? 2) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia 7 ( maggiore o uguale a 7) 3) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia 6 (minore o uguale a 6) 4) Lancio una moneta truccata per cui la probabilità che esca T è doppia di quella che esca C. Qual è I nel caso esca T? E che esca C? Suggerimento: P T, P C = probabilità che esca T o C è l evento certo, la cui probabilità = 1, quindi P T + P C = 1; P T = 2P C dunque 3P C = 1 e quindi P C = 1/3 e P T = 1 - P C = 2/3 5) Lancio 2 dadi, qual è l I che esca un numero 8? ( maggiore o uguale a 8) 1 dado UNIVERSO 2 dado P n casi _ Favorevoli n casi _ Possibili Continuare ora da soli. Per il momento ci fermiamo qui visto che NON siamo ingegneri e NON progettiamo Torneremo alla Teoria quando vedremo la codifica ed entreremo più nei dettagli delle Trasmissioni Digitali. 3

4 CENNI DI TEORIA SEI SEGNALI Nelle telecomunicazioni l Informazione, contenuta nel messaggio, deve poi essere trasportata a distanza. Questo lo si fa tramite un segnale. Segnale = grandezza fisica (tensione, corrente, onda elettromagnetica, ma anche impulso luminoso o pressione acustica ecc.) nelle cui variazioni rispetto al tempo è impressa l informazione. Il messaggio deve quindi essere convertito in un segnale per trasportare a distanza l informazione. Possiamo dunque dire che un segnale trasporta l informazione Attenzione: affinché una grandezza sia un segnale deve variare al variare del tempo (perché l informazione prevede una variazione), ma una grandezza che varia NON è detto che sia un segnale!! Ad Es. La tensione fornita dall ENEL è sinusoidale e quindi varia MA NON E un segnale ( potrebbe però esserlo in due casi.. Quali sono?) Il segnale che giunge all'utilizzatore è di fatto sconosciuto finché non viene completamente ricevuto; se così non fosse, non ci sarebbe bisogno del sistema di comunicazione, e non si avrebbe scambio di informazione! Poiché ci interessiamo di comunicazioni elettriche il segnale: Una tensione Per noi è Una corrente Una Intensità di Campo (onda elettromagnetica /luce) Segnali determinati e indeterminati (o probabilistici o stocastici) Vediamo di seguito due grandezze fisiche che variano. Sulle ascisse (variabile indipendente) mettiamo il tempo, sulle ordinate (variabile dipendente) mettiamo le ampiezze (tensione, corrente, ecc.). Un tale grafico in elettronica si chiama forma d onda (spesso abbreviato con onda ma NON è un onda!) o fdo e lo strumento che lo visualizza e consente di misurare è l Oscilloscopio. Il primo ha un andamento casuale E imprevedibile e dunque chi riceve NON può conoscerlo prima di averlo ricevuto. Dunque può davvero trasportare informazione. Tali segnali li chiamiamo Segnali indeterminati, o probabilistici, o stocastici. Li possiamo conoscere solo a livello statistico (-> Approfondire in Matematica). Due tra le molte grandezze statistiche sono il valore medio μ e la deviazione standard σ (che in elettronica chiamiamo valore efficace) 4

5 Ampiezze Ampiezze tempo μ = Valore Medio (AV) = 0,660 σ = Valore Efficace (RMS) = 6,888 Il secondo, qui sotto, ha invece un andamento molto regolare.. troppo regolare! Ed infatti è generato dalla formula 10*sen(2*π*0,1 + 1). Ma se c è una formula chi riceve lo può costruire quando vuole, e dunque è inutile trasmetterlo, pertanto NON è un segnale, anche se lo chiameremo segnale deterministico. Per questi NON serve la statistica! tempo Valore Medio (AV) = 0,0 Valore Efficace (RMS) = 7,071 Periodo T = 10 Frequenza = 0,1 Vediamo che il grafico si ripete ogni 10 s. Il tempo di ripetizione si chiama Periodo T [s]. Dunque è un segnale Periodico. In TLC siamo però più interessati alla frequenza f: frequenza = 1/periodo ; f = 1/ T misurata in [hertz] o [Hz] 5

6 In generale la frequenza ci dice quante cose (nel nostro caso i periodi ) avvengono in 1 secondo. Un altra grandezza utile quando si hanno segnali periodici sinusoidali (sen, cos) è la pulsazione ω = 2 * π * f = 2 * π / T misurata in [radianti / secondi] = [rad/s] Gli ingegneri delle Telecomunicazioni hanno le conoscenze matematiche per trattare i segnali indeterministici, noi NO! Dunque nello studio useremo solo quelli deterministici che sono l ombra di quelli veri. Ma meglio un ombra che niente!!! Come sono stati ottenuti i due grafici qui sopra? Tramite il foglio di calcolo segnali.xls che trovate nel sito. 1) Per il segnale deterministico ho usato la formula 10*sen(2*π*0,1*t + 1) che è quella generale che esprime un segnale sinusoidale: A*sen(ω*t + φo). Per confronto si ricava: A = ampiezza o valore massimo o valore di picco = 10 [volt o ampere o ] ω = 2*π*f = pulsazione. Da cui ricaviamo che ω =0,628 rad/s; f =0,1 Hz; T =10 s φo = fase iniziale = 1 rad (nella formula gli angoli devono essere in radianti) Per chi non lo sapesse in un angolo giro (360 ) ci stanno 2π radianti, per cui 1 rad = 57 (circa). Per passare da gradi a rad e viceversa si usano le formulette: rad = (π/180) * gradi e gradi = (180/π) * radianti (rifare a casa questi calcoli e verificare se tornano -> Poi Approfondire in Matematica). Le sinusoidi sono importantissime in elettronica e in TLC perché hanno delle proprietà uniche e che scopriremo nel prosieguo del corso dunque vanno comprese e studiate bene!!! 2) Per il segnale indeterministico ho usato la formula -20*CASUALE() +10 che genera un numero casuale tra -10 e 10. In generale casuale() da un numero tra 0 e 1. Per far generare numeri casuali tra min e max si deve usare la formula - (max min) * casuale() + max. Attenzione che benché si usi una formula, il segnale è indeterministico, in quanto ogni volta la formula da un numero diverso e (quasi) imprevedibile. Il valore medio μ = 0,660 dovrebbe essere = 0. Infatti se i numeri sono a caso tanti ce ne sono di positivi quanti di negativi e la media dovrebbe essere = 0. (Perché NON lo è?). Provare a effettuare molte ripetizioni (premere il tasto F9) e vedere come cambiano il grafico, μ e σ Un ultima osservazione: Nel calcolo del valore efficace per la sinusoide si usa la formuletta (che vedremo meglio più avanti): valore efficace = A / 2 = 10/ 2= 7,071. Ma è possibile, con buona approssimazione, usare anche la statistica, in questo caso la deviazione standard σ 6

7 = DEV.ST(C3:C50) = 7,265, con un errore del solo 2% nell esempio. Stessa cosa sul valore medio statistico μ = MEDIA(C3:C54) che ci da -0,02 e che in teoria dev essere = 0. Bene a sapersi, magari per qualche esercizio?, ESERCIZI da fare a casa 1) Dato un angolo di 60, 45, 30 10, 1 calcolare l equivalente in rad 2) Dato un angolo di π, (2/3)*π, (1/2)*π, (1/3)*π radianti, calcolare l equivalente in gradi 3) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 5, Periodo T=2 e fase iniziale -2 rad. Si vogliono visualizzare N 3 periodi con 10 valori a periodo. Calcolare la frequenza f. Scrivere l espressione matematica e Valutare il valor medio ed efficace 4) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 10, frequenza f=3 e fase iniziale 30. Si vogliono visualizzare N 2 periodi con 20 valori a periodo. Calcolare il periodo T. Scrivere l espressione matematica e Valutare il valor medio ed efficace 5) Dato 15*sen(t + 12) Indicare quanto valgono A; f; T; ω; φo (in gradi e rad) 6) Realizzare un foglio di calcolo di un segnale indeterministico (usare 60 valori). Effettuare il grafico e provare la simulazione per un valore minimo del valor medio statistico μ. Quanto vale in corrispondenza il valor efficace statistico σ? Segnali Analogici (Continui in matem) e Numerici (Discreti in matem) NELLE AMPIEZZE Un segnale è Analogico se può assumere infiniti valori tutti significativi. Le ampiezze fanno cioè parte dei numeri reali R. Se anche uno solo di quei valori cambia, cambia pure l informazione trasportata. In altre parole se la forma cambia, cambia anche l informazione, e poiché è virtualmente impossibile mantenere la stessa fdo nella trasmissione, si capisce che vi sarà sempre qualche modifica non voluta di informazione. Un Segnale è Numerico (o Digitale o Quantizzato) se i valori significativi che assume in opportuni istanti è un numero finito (2; 3; 4; 5;.). Le ampiezze sono in corrispondenza coi numeri naturali N. L informazione si trova solo in quei valori, e quindi segnali diversi, ma coincidenti in quei particolari valori, sono equivalenti per quanto riguarda l informazione trasportata. In altre parole la forma del segnale NON ha importanza, purché assuma i valori giusti in certi particolari istanti di tempo (istanti di osservazione o di lettura). Quindi è possibile trasmettere l informazione senza alterazioni (almeno in teoria). Per motivi tecnologici è bene che il passaggio da un livello all altro avvenga quasi istantaneamente, e quindi la fdo risulti squadrata, proprio come si trova nei libri, anche se nella realtà le cose sono un po diverse. 7

8 Ampiezze Nell Es. che segue (foglio: Segnali.xls) i valori significativi sono 0; 2; 4; 6 (4 livelli) e gli istanti di osservazione sono 2; 5; 8; 11; 14 ecc. In tali istanti il valore dei due segnali è lo stesso e quindi, pur avendo fdo diverse, questi sono equivalenti. 7 Segnali Numerici Equivalenti tempo Riconoscere molti livelli è una operazione difficile da parte del RX, quindi molto spesso i livelli sono solo due: H (ampiezza maggiore) ed L (ampiezza minore). Se il numero di valori è 2 il segnale è detto Binario. Vediamo un esempio di un segnale Binario ideale e reale Poiché il RX legge i valori al centro di ciascun bit, questi sono equivalenti. H Segnale Binario Ideale L Segnale Binario Reale Istanti di lettura Segnali Analogici Discreti nei TEMPI (Campionati) Prendete un segnale Analogico e supponete di essere al buio. Ogni tanto si accende un flash, come nelle discoteche quando viene attivata la luce stroboscopica. Cosa vedete? Vedete dei 8

9 pezzi (si dice dei campioni ) del segnale. Abbiamo reso il tempo discreto, ossia il tempo varia ora a scatti Vediamo un esempio: In color rosso il segnale analogico, in nero il segnale campionato (discreto nei tempi). L operazione di campionamento è l importantissima prima operazione da fare quando si vuole convertire un segnale analogico in uno digitale secondo quanto stabilisce il: Teorema del Campionamento o Teorema di Shannon sul campionamento e la vedremo in seguito. Da notare che il segnale campionato è ancora Analogico. Segnali Analogici Discreti nei TEMPI e nelle Ampiezze (Campionati e Quantizzati) Dopo il campionamento segue la quantizzazione, che rende il segnale numerico.. E alla base della moderna Telefonia e di tutte le applicazioni delle comunicazioni moderne.. Compresa la TV digitale, CD musicali, gli MP3 ecc Avremo modo di sviluppare l argomento in seguito. Vale l esempio sotto (file segnale.xls) Segnale Discreto nei Tempi e nelle Ampiezze 8 6 Ampiezza Tempo SEGNALI MATEMATICI (sono Segnali che si NON si trovano nella Realtà) 9

10 -6-4,7-4,2-3,7-3,2-2,7-2,2-1,7-1,2-0,7-0,2 0,3 0,8 1,3 1,8 2,3 2,8 3,3 3,8 4,3 4,8 Sono inventati di sana pianta dai fisici matematici. Benché non esistano, sono molto utili nelle operazioni matematiche (tanto per cambiare ). Il più folle di tutti è la delta (δ)di Dirac. Non è nemmeno una funzione, bensì una distribuzione!! Vediamo la figura: A m p i e z z a Delta di Dirac: δ(t) Tutti gli impulsi hanno AREA = 1 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 tempo Prendiamo un impulso rettangolare y 1 (t) che si estende (ha supporto ) da t=-5 a t=5 ed ha ampiezza di 1/10. La sua area = base x altezza = (5 (-5)) x 1/10 = 10 x 1/10 = 1. Ora riduciamo il suo supporto da 4 a 4 (8 in totale) ma aumentiamo la sua ampiezza a 1/8. Otteniamo y 2 (t). La sua area vale 8 x 1/ 8 = 1. Procediamo così con y 3 ; y 4 ; ecc. fino a che il supporto tende a 0 Per avere Area = 1 la sua ampiezza deve tendere a. Abbiamo ottenuto la δ; ossia un impulso che dura nulla, che ha ampiezza ma AREA=1. Se chiamo Δt la base e y(t) = 1 / Δt la funzione si ha: Il bello è che si trova lo stesso risultato anche se al posto degli impulsi si usano funzioni diverse, purché mantengano la stessa area quando il supporto diminuisce! Un tale segnale non ha senso fisico, ma ha alcune proprietà divertenti: f(t) δ(t) = f(0) δ(t) δ(t) dt = 1 f(t) δ(t) dt = f(0) Poiché NON si può tracciare il suo grafico, la si rappresenta con una con a fianco il valore dell area. Ad Es. 10 significa una δ con area 10 La troveremo quando si studierà il campionamento. Per approfondimenti vedi ad es: Altri segnali sono il gradino U (t) e l impulso rettangolare di durata T ed altri 10

11 Gradino U(t) e Impulso 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Gradino Impulso 0, tempo Il gradino (conosciuto anche come funzione di Heaviside, dal nome di chi l ha introdotto) è sempre nullo fino a t=0 e poi vale sempre 1. Cioè: In t=0 vi è una discontinuità (un salto cioè), in quanto un segnale reale NON può essere contemporaneamente a 0 e ad 1. La natura NON fa tratti verticali e nemmeno spigoli come a volte si vede nei libri: per questo è un segnale matematico!! A volte invece si definisce U(t=0) = ½ che il valore a cui tende la serie di Fourier L impulso poi è la differenza tra il gradino e un altro gradino ritardato di un tempo T. Valgono anche per lui le considerazioni fatte per U(t). Segnali che si trovano nella Realtà: FINALMENTE!!! Segnale Audio Analogico: ad es. all uscita da un microfono, da una radiolina, dalle cuffiette di un lettore MP3 ecc.. Segnale Video Analogico: ad es. all uscita di una videocamera di qualche anno fa (ora forniscono un segnale numerico in formato, ad es. MP4, WebM, FLV, 3GP, H264 ecc.) Segnale Dati: ad es. all uscita di una macchina numerica (calcolatore, Bancomat ecc.) Segnale Video Analogico (fdo) 11

12 Segnale Audio Analogico (fdo) della parola Prova ripetuta, registrato con Audacity Costellazione (sopra) e Spettro di Ampiezza (sotto) di un segnale Video Digitale da Satellite (o DVB- S) modulato 8PSK Vedremo in seguito che cosa sono questi concetti Oggigiorno però si va verso l integrazione dei dati con i servizi o ISD (Integrated Service and Data), in cui il segnale dati trasporta anche servizi Audio, Radio, Telefonici e TV. Vantaggi del Segnale (e quindi dei sistemi) Digitali Binari possibilità di usare circuiteria digitale a basso costo; possibilità di cifratura dei messaggi per preservare privatezza o segretezza; possibilità di trasmettere segnali con grande dinamica (rapporto tra il valore massimo e minimo del segnale stesso) 12

13 unificazione del formato di dati, voce e video che vengono trasmessi attraverso un unico sistema di trasmissione comune. Ad es. si può telefonare via Internet tramite Skype e non solo (tecnologia VoIP = Voice over IP) assenza dell'effetto di accumulo del rumore in comunicazioni su lunghe distanze con ripetitori intermedi; immunità ai disturbi nella rilevazione dei dati trasmessi; possibilità di diminuire gli errori di trasmissione dovuti ai disturbi con l'uso di opportune codifiche. D'altro canto, le comunicazioni digitali hanno anche i seguenti svantaggi: in generale, maggiore richiesta di banda (vediamo dopo cosa significa); necessità della sincronizzazione dei segnali (per arrivare giusti negli istanti di lettura). Naturalmente, i vantaggi sono così importanti da più che controbilanciare gli svantaggi, e ciò giustifica la massiccia adozione delle tecniche digitali nella trasmissione dell'informazione cui si è assistito negli ultimi anni. TRASFORMATA DI FOURIER Supponiamo di guardare l edificio della nostra scuola dalla porta principale: vedremo le bandiere, una porta e il nome dell Istituto. Ora spostiamoci verso l ingresso delle auto; vedremo un cancello metallico ed un cortile. Vediamo immagini diverse, ma sappiamo che la scuola è sempre la stessa. Abbiamo solo cambiato prospettiva. Perché lo facciamo? Perché a seconda della prospettiva si vedono meglio certi dettagli, si scoprono cose che altrimenti resterebbero sconosciute, perché ci fa comodo Lo stesso lo possiamo fare con i segnali. Li possiamo vedere nel dominio del tempo, ma cambiando prospettiva (i matematici direbbero.. cambiando base o dominio) li possiamo vedere nel dominio della frequenza. Il segnale invece NON cambia!!! Ricordare che il dominio è la variabile indipendente; quella che si mette sull asse orizzontale!!! Per fare questo cambiamento usiamo una operazione matematica chiamata trasformazione integrale che da come risultato la trasformata. Di trasformazioni ve ne sono parecchie: di Laplace, di Hilbert, Z, Coseno, Fourier ecc. Ognuna ha particolari vantaggi e svantaggi, ma per le TLC quella che va meglio è quella di Fourier. Di fatto è una estensione del Teorema di Fourier, valida sia per segnali periodici che NON periodici, dove il teorema NON ci è più utile. Ora sparo un po di matematica. Non fatevi spaventare da queste formule : NON le useremo, ma vedremo solo alcuni (pochi) risultati trovati da altri. Il segno che compare si chiama integrale e lo studierete (si spera fervidamente!!!) nel 2 Quadrimestre in matematica (Numeri reali e complessi ripassateli con l insegnante di Matematica!!!!) 13

14 DEFINIZIONI Chiamiamo, ad es., x(t) il nostro segnale. F[ ] la trasformazione di Fourier e X(f) il segnale trasformato (o trasformata). La definizione è la seguente: Matematicamente la Trasformata di Fourier fa passare da t a f (entrambi numeri reali R). Il segnale x a sua volta passa da reale (R) a X numero complesso (C). E se si vuole tornare indietro, ossia ri-passare da f a t? Basta effettuare la trasformazione inversa, detta anche anti trasformata ed indicata con F -1 [ ] NB: F e F -1 NON sempre si possono calcolare, cioè non sempre esistono. Per quanto ci riguarda però, nei casi pratici, esistono di sicuro Per la vostra felicità!!! Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, che possiamo scrivere come parte reale e parte immaginaria: X = RE[X] + j IM[X], ma anche, e sarà quella usata da noi, come Modulo e Fase (o argomento): X = X arg(x). arg(x) è un angolo, misurato in gradi o radianti. Se arg(x) = 0 allora X = X è un numero reale positivo. Se invece arg(x) = (+/-) 180 allora X = - X è un numero reale negativo. (Se arg(x) = (+/-) 90 che tipo di numero viene fuori per X??) Come per il Teorema di Fourier, si può tracciare il grafico di X rispetto alla frequenza. Tale grafico si chiama Spettro delle Ampiezze; mentre quello di arg(x) si chiama Spettro delle Fasi. Benché utile, lo spettro delle Fasi è poco usato. Invece quello delle Ampiezze è di estrema importanza nelle TLC. Vi è anche un (costosissimo e complicato) strumento per visualizzarlo e misuralo: L ANALIZZATORE DI SPETTRO. La F[ ] di suo da lo spettro bilatero (f positive e negative), mentre col Teorema di Fourier di norma calcoliamo lo spettro unilatero (f solo positive e nulle). Benché le f<0 non abbiano significato fisico, lo spettro bilatero semplifica i calcoli e quindi è molto usato. Come si passa da uno all altro? Tramite una proprietà della F[] che ci dice: se x(t) è un numero reale (come in realtà è), allora: il modulo ha simmetria pari rispetto alla frequenza: X(-f) = X(f). Cioè lo spettro bilatero si ottiene da quello unilatero ribaltandolo a sinistra usando come cerniera l asse a f=0, e dimezzando le ampiezze (in tal modo la potenza NON cambia). 14

15 La fase ha invece a simmetria dispari rispetto a f: arg (X(-f))=-arg(X(f)). Cioè lo spettro bilatero si ottiene da quello unilatero prima ribaltandolo a sinistra usando come cerniera l asse a f=0, e poi ribaltandolo ancora ma usando come cerniera l asse orizzontale. Un esempio val più di mille parole: 10 9 A m p i e z z a Spettro Bilatero Spettro Unilatero frequenza 50 F a s e Spettro Bilatero Spettro Unilatero frequenza Molto spesso lo spettro delle fasi non viene indicato, sia perché l Analizz. Di Spettro NON lo fornisce e sia perché energia e potenza del segnale dipendono solo da quello delle ampiezze 15

16 x(t) Linearità: k1 x1(t) + k2 x2(t) ALCUNE PROPRIETA k1 X1(f) + k2 X2(f) X(f) Pari [ad es. cos(x)] Dispari [ad es. sen(x)] Periodico A Righe / Campionato nel tempo Limitato nel tempo (a supporto limitato) Non limitato nel tempo Variazioni brusche nel tempo Area di x(t) = x(t) dt --> valore AV x(t=0) Puramente Reale Puramente Immaginaria A Righe / Campionato nelle frequenze Periodico Non limitato nella frequenza Limitato in frequenza (a supporto limitato) Componenti ad alta frequenza X(f=0) Area di X(f) = X(f) df 16

17 Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Segnale non elettrico Segnale elettrico TRASMESSO s x (t) Sorgente di informazione Ricevitore (RX) Trasduttore DISTURBI Canale Condizionamento: (filtraggio, Amplific. modulazione) Trasmettitore (TX) Condizionamento: Amplific. Filtraggio, De-modulazione Segnale elettrico RICEVUTO s Y (t) Attuatore Segnale non elettrico Destinatario dell informazione 17