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1 Indice Prefazione ix 1 Numeri 1 1 Insiemi e logica Concetti di base sugli insiemi Un po di logica elementare 9 2 Sommatorie e coefficienti binomiali Il simbolo di sommatoria Fattoriale di n Coefficienti binomiali e formula di Newton 16 3 Campi ordinati 18 4 Numeri reali. Estremo superiore e assioma di continuità Inadeguatezza dell insieme dei razionali per misurare le lunghezze Estremo superiore e assioma di continuità Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare Intervalli 24 5 Radicali, potenze, logaritmi Radici n-esime aritmetiche Potenze a esponente reale Logaritmi Approssimazioni 28 6 Insiemi infiniti 28 7 Il principio di induzione 32 8 Numeri complessi Definizione di C e struttura di campo Coniugato e modulo Forma trigonometrica Radici n-esime 43 2 Funzioni di una variabile 49 1 Il concetto di funzione 49 2 Funzioni reali di variabile reale Generalità Funzioni limitate Funzioni simmetriche Funzioni monotone 55

2 iv Indice c Funzioni periodiche 55 3 Funzioni elementari Funzioni potenza Funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni trigonometriche Fenomeni vibratori Funzioni parte intera e mantissa Funzioni iperboliche Operazioni sui grafici Funzioni definite a tratti 74 4 Funzioni composte e inverse Funzioni composte Funzioni invertibili; funzioni inverse Le funzioni trigonometriche inverse Le funzioni iperboliche inverse 82 3 Limiti e continuità 87 1 Successioni Definizione di successione. Definizione di limite Successioni monotone Il calcolo dei limiti Il numero e Confronti e stime asintotiche Limiti di funzioni, continuità, asintoti Il calcolo dei limiti Proprietà fondamentali di limiti e continuità Limiti notevoli Confronti e stime asintotiche Stime asintotiche e grafici Proprietà globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo Funzioni continue su un intervallo Funzioni monotone su un intervallo Continuità e invertibilità Calcolo di erenziale per funzioni di una variabile Introduzione al calcolo di erenziale Derivata di una funzione Derivata e retta tangente Altre interpretazioni della derivata Derivate di funzioni elementari Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale Regole di calcolo delle derivate Algebra delle derivate Derivata di una funzione composta Derivata di funzione inversa Il teorema del valor medio e le sue conseguenze Punti stazionari. Massimi e minimi locali 171

3 c Indice v 4.2 Teorema del valor medio. Test di monotonia Soluzione di alcuni problemi di massimo e minimo Il teorema di de l Hospital Limite della derivata e derivabilità Derivata seconda Significato geometrico della derivata seconda Derivata seconda, concavità e convessità Studio del grafico di una funzione Calcolo di erenziale e approssimazioni Di erenziale e approssimazione lineare. Il simbolo di o piccolo Limiti notevoli e sviluppi Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Lagrange Risoluzione approssimata di equazioni: il metodo di Newton Serie Serie numeriche Definizione e primi esempi Serie a termini non negativi Serie a termini di segno variabile Serie di Taylor. Esponenziale complesso Serie di Taylor delle trascendenti elementari Serie nel campo complesso. Esponenziale complesso Calcolo integrale per funzioni di una variabile Introduzione al calcolo integrale L integrale come limite di somme La definizione di integrale Classi di funzioni integrabili Proprietà dell integrale Il teorema fondamentale del calcolo integrale Calcolo di integrali indefiniti e definiti Integrali immediati, per scomposizione, per sostituzione Integrazione delle funzioni razionali Integrazione per parti Integrazione delle funzioni trigonometriche Integrazione delle funzioni irrazionali Integrazione di funzioni discontinue Alcune applicazioni fisiche e geometriche Calcolo numerico approssimato di un integrale Integrali generalizzati Integrazione di funzioni non limitate Criteri di integrabilità al finito Integrazione su intervalli illimitati Criteri di integrabilità all infinito Funzioni integrali Convoluzione e sistemi fisici lineari 310

4 vi Indice c Teorema di Bolzano-Weierstrass, continuità uniforme e integrabilità delle funzioni continue Alcuni risultati fondamentali per le successioni di numeri reali Continuità uniforme Integrabilità delle funzioni continue Modelli dinamici discreti Introduzione alla modellistica Modello di Malthus Modello logistico Modello dell acceleratore Generalità sulle equazioni alle di erenze Equazioni lineari del prim ordine a coefficienti costanti Equazioni autonome non lineari Orbite, diagrammi a gradino e punti fissi o d equilibrio Punti fissi e stabilità Stabilità per linearizzazione Orbite periodiche e stabilità Esistenza di orbite periodiche Comportamento caotico Equazione logistica discreta Equazioni lineari a coefficienti costanti del second ordine Equazioni omogenee I numeri di Fibonacci Equazioni non omogenee Stabilità Elementi di geometria e algebra lineare Vettori nel piano e nello spazio Operazioni fondamentali sui vettori Prodotto scalare e vettoriale Geometria analitica lineare nello spazio Spazi vettoriali Vettori n-dimensionali: lo spazio R n. Spazi vettoriali astratti Prodotto scalare in R n Spazi vettoriali con prodotto scalare Il concetto di linearità Matrici e trasformazioni lineari L algebra delle matrici Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari Determinante Caratteristica di una matrice Matrice inversa Sistemi lineari Generalità. Metodo di Cramer Immagine e nucleo di una trasformazione lineare da Rn a Rm Sistemi generali. Teorema di Rouché-Capelli 437

5 c Indice vii 5.4 Metodo di eliminazione di Gauss Autovettori ed autovalori. Diagonalizzazione Matrici diagonalizzabili Autovalori ed autovettori di una matrice Condizioni di diagonalizzabilità Coniche e quadriche Le coniche Le coniche dal punto di vista della geometria elementare e le loro equazioni canoniche L equazione generale delle coniche. Riduzione a forma canonica Coniche ed eccentricità Le superfici quadriche Rototraslazioni nello spazio e invarianti di una quadrica Riduzione a forma canonica delle quadriche: quadriche a centro Riduzione a forma canonica delle quadriche: quadriche non a centro Riconoscimento di una quadrica mediante gli invarianti Esempi di applicazioni di coniche e quadriche 504 A Formule utili Costanti matematiche Funzioni trigonometriche Funzioni iperboliche Derivate elementari Regole di derivazione Sviluppi di Mac Laurin delle principali funzioni Tabella di primitive 513 B Grafici 515 Indice analitico 523

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