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3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA Dipartimnto di Inggnria Civil Ambintal David Rapicavoli L USO DELLE FUNZIONI GENERALIZZATE PER LA FORMULAZIONE DI ELEMENTI FINITI DI TRAVI NON OMOGENE ED INELASTICHE Tsi di dottorato in Inggnria struttural gotcnica Suprvisor: Prof. Ing. Ivo Caliò Coordinator dl Dottorato: Prof. Ing. G. Olivto Gruppo di Tsi Prof. Ing. Salvator Caddmi Dott. Ing. Francsco Cannizzaro Dott. Ing. Bartolomo Pantò Anno Accadmico 11-1

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5 INDICE Introduzion... 5 Capitolo APPROCCI DI MODELLAZIONE DELLA TRAVE INELASTICA Prmssa Introduzion Elmnti finiti a plasticità concntrata Elmnti finiti a plasticità diffusa Elmnti finiti a plasticità diffusa: formulazion gnral Richiami gnrali sulla risoluzion dll struttur Dfinizion dl modllo L lmnto finito trav a plasticità diffusa nlla formulazion DB Ipotsi cinmatica Matric di rigidzza Matric di rigidzza dlla szion Forz nodali rattiv (rsisting forcs) Dtrminazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat Dtrmination) Dtrminazion dllo stato dlla szion L lmnto finito trav a plasticità diffusa nlla formulazion FB Rlazioni fondamntali... 41

6 Indic Dtrminazion dllo stato dll lmnto scondo Spacon t al. (1996) Dtrminazion dllo stato dll lmnto snza itrazioni Bibliografia Capitolo MODELLI DI TRAVE CON DISCONTINUITÀ MULTIPLE55.1 Prmssa La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità nlla rigidzza flssional di tipo Havisid Esmpio numrico La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità nlla rigidzza flssional di tipo Dlta di Dirac Trav smplicmnt appoggiata con singola discontinuità nll rotazioni La trav di Eulro Brnoulli con discontinuità multipl Soluzion dlla trav di Eulro-Brnoulli con discontinuità multipl ngli spostamnti assiali Bibliografia... 8 Capitolo LA TRAVE DI TIMOSHENKO CON DISCONTINUITÀ MULTIPLE Introduzion Il modllo trav in prsnza di discontinuità Soluzion in forma chiusa dlla trav con discontinuità Funzioni di forma Matric di rigidzza Matric di massa cornt Analisi statica linar di un tlaio piano Bibliografia... 13

7 Indic 3 Capitolo UN NUOVO ELEMENTO FINITO TRAVE A PLASTICITÀ DIFFUSA (GDB) Prmssa Forz spostamnti nodali Ipotsi cinmatich L funzioni di forma gnralizzat adottat nlla discrtizzazion La dfinizion dlla trav non omogna quivalnt Campo di dformazion Campo di tnsion Matric di rigidzza Forz nodali rattiv Dtrminazion dllo stato dll lmnto Capitolo APPLICAZIONI NUMERICHE Prmssa Trav a mnsola ADINA modlli DB SismoStruct modlli DB FB OpnSs modllo FB Elmnto finito GDB Curv di capacità Tlaio piano (lgam costitutivo EPP) ADINA modlli DB SismoStruct modlli DB FB OpnSs modllo FB Elmnto finito proposto GDB Analisi limit Curv di capacità Tlaio piano (lgam costitutivo incrudnt)

8 4 Indic Elmnto finito proposto GDB SismoStruct modlli DB FB Curv di capacità Bibliografia Appndic Appndic A: L algoritmo di Nwton-Raphson Appndic B: Soluzion in forma chiusa dlla matric di rigidzza Appndic C: Soluzion in forma chiusa dlla matric di massa cornt176

9 Introduzion Nll ambito dgli lmnti finiti trav sist un norm lttratura sia in ambito linar ch in prsnza di nonlinarità gomtrich /o costitutiv. Nonostant gli normi progrssi ottnuti vi sono ancora molti ambiti suscttibili di ultriori sviluppi ch possono dtrminar ultriori miglioramnti sia in trmini di accuratzza dlla soluzion, soprattutto in ambito nonlinar, ch in trmini di facilità di implmntazion di costi computazionali. Tra gli argomnti di maggior intrss vi sono: - studi orintati alla modllazioni di sistmi intlaiati di travi con discontinuità ch possono ssr rapprsntativ dlla prsnza di danni concntrati /o diffusi. L analisi dl problma dirtto costituisc il primo passo vrso una più agvol formulazion di problmi invrsi pr l indntificazion dll intnsità dlla posizion dl danno. - ricrch rivolt alla dfinizion al confronto di modlli di trav inlastica pr l analisi dlla risposta non linar, statica dinamica, di struttur intlaiat. Qust sono l tmatich di ricrca in cui si collocano gli studi riportati nlla prsnt tsi. In particolar, si propon l uso di funzioni di forma gnralizzat pr la formulazion di lmnti finiti trav sia in ambito linar ch nonlinar. In particolar tali funzioni, qualch volta dfinit arricchit, possono ssr utilizzat sia pr la modllazion di sistmi di travi non-omogn /o in prsnza di danni concntrati o distribuiti ch nl più gnral ambito dll travi inlastich pr l quali si propon un approccio agli spostamnti, a plasticità diffusa, cornt con funzioni di forma discontinu variabili in rlazion alla risposta dll lmnto. L du formulazioni, apparntmnt disgiunt, sono in raltà strttamn-

10 6 Introduzion t lgat ssndo l lmnto rlativo alla trav inlastica basato sui risultati ottnuti in ambito linar pr la trav con discontinuità. Entramb l formulazioni prndono spunto dalla dtrminazion dlla soluzion flssional satta splicita di una trav di Timoshnko con discontinuità concntrat diffus, ch prsnta l norm vantaggio di dipndr, nl piano, soltanto da quattro costanti d intgrazion, com pr la trav omogna, indipndntmnt dal numro dalla natura dll discontinuità prsnti. Tal circostanza consnt una facil dtrminazion dll funzioni di forma ch risultranno gnralizzat, nlla natura algbrica, contntndo al loro intrno una part continua d una discontinua ch tin conto di tutt l discontinuità prsnti nll lmnto trav. E important ribadir ch pr modllar la natura discontinua dll lmnto non è ncssario aggiungr gradi di librtà in corrispondnza dll discontinuità siano ss concntrat o distribuit. La tsi è organizzata in 6 capitoli i cui contnuti sono riassunti nl sguito: Il capitolo 1 riporta una panoramica dgli approcci di modllazion agli lmnti finiti pr la trav inlastica. L attnzion è principalmnt rivolta agli approcci a plasticità diffusa. Il capitolo considra lo stato dll art rlativo alla dfinizion di lmnti finiti di travi in prsnza di discontinuità in ambito lastico linar attualmnt limitato alla sola trav di Eulro. Il capitolo 3 è rlativo alla formulazion in rgim lastico linar di un nuovo lmnto finito rlativo alla trav di Timoshnko in prsnza di discontinuità concntrat diffus. Tal lmnto è funzion di soli gradi di librtà nodali qualunqu sia il numro la natura dll discontinuità. Oltr alla matric di rigidzza è stata dtrminata la matric di massa cornt con l funzioni di forma discontinu sono stati ffttuati alcuni confronti con risultati di ltturatura ottnuti con divrsi approcci.

11 Introduzion 7 Il capitolo 4 si rivolg all travi inlastich a plasticità diffusa, considra la formulazion di un nuovo lmnto finito di trav inlastica con approccio agli spostamnti basato sull uso di funzioni di forma gnralizzat variabili nl passo. La procdura proposta prmtt di aggiornar la distribuzion dll discontinuità flssionali di ciascun lmnto finito, in manira cornt con la rigidzza flssional dll szioni di controllo adottat nll'intgrazion numrica alla Gauss-Lobatto. Tal procdura prmtt di coglir all'intrno di ciascun lmnto finito distribuzioni non linari nll curvatur causat dalla formazion dalla diffusion dll dformazioni plastich. Ciò è possibil oprando con un solo lmnto finito grazi alla capacità dll lmnto di coglir l variazioni di discontinutà all suo intrno tradurl in un aggiornamnto dll funzioni di forma ch dipndono dai soli gradi di librtà nodali dll lmnto. Il capitolo 5 riporta una validazion numrica dll lmnto inlastico proposto attravrso il confronto con i risultati ottnuti da altr formulazioni a plasticità diffusa implmntat ni softwar OpnSs, Sismo- Struct ADINA. Alla fin dl capitolo vngono illustrati i vantaggi gli svantaggi dlla formulazion proposta risptto agli altri approcci sistnti. I risultati rlativi all lmnto finito proposto sono stati ottnuti attravrso un codic di calcolo agli lmnti finiti, attualmnt implmntato in ambint MATLAB, con cui è possibil sguir analisi statich linari non linari di struttur intlaiat. E in corso d implmntazion la part di codic ncssaria pr l scuzion di analisi dinamich.

12 8 Introduzion [Qusta pagina è volontariamnt lasciata in bianco]

13 Introduzion 9

14 Capitolo 1 APPROCCI DI MODELLAZIONE DELLA TRAVE INELASTICA 1.1 Prmssa In qusto capitolo si riporta una brv panoramica di principali approcci di modllazion agli lmnti finiti proposti da divrsi autori pr la valutazion dlla risposta non linar di struttur intlaiat. Esist ormai una vastissima lttratura su tal argomnto, quanto nl sguito riportato vuol costituir soltanto un inquadramnto gnral orintato alla formulazion di bas di divrsi approcci attualmnt utilizzati sia in ambito accadmico ch profssional. 1. Introduzion Sgundo un ordin cronologico dapprima si accnnrà ai modlli a plasticità concntrata, ancora largamnt utilizzati nlla pratica profssional d implmntati in numrosi softwar strutturali. Succssivamnt vrranno illustrati gli approcci a plasticità diffusa, agli spostamnti agli sforzi, con particolar rifrimnto all formulazioni utilizzat ni softwar più diffusi in ambito accadmico profssional. In conclusion si riportranno alcun considrazioni sui prgi diftti di ciascuna formulazion sugli ambiti ritnuti suscttibili di ultriori sviluppi. La trattazion è limitata all ambito di piccoli spostamnti.

15 Approcci di modllazion dlla trav inlastica Elmnti finiti a plasticità concntrata I modlli di trav a plasticità concntrata sono stati inizialmnt proposti pr lo studio dlla risposta inlastica di pilastri snlli (Clough & Jonston 1966, Gibrson 1967). Nll divrs formulazioni propost si i- potizza ch il comportamnto inlastico dlla trav sia quivalnt a qullo di un lmnto lastico monodimnsional all cui strmità sono prsnti du moll rotazionali rigido-plastich il cui lgam istrtico è prstabilito: in fas lastica il comportamnto dll moll è rigido al fin di ripristinar la congrunza ngli spostamnti snza ch si dtrminino spostamnti /o rotazioni plastich nll moll stss; in fas plastica la rigidzza dll moll assum un valor finito risulta funzion dl lgam inlastico attribuito alla szion dlla trav ch si intnd modllar. In gnral tali modlli ammttono ch l dformazioni inlastich possano svilupparsi solamnt in corrispondnza dll strmità dlla trav: tali zon sono not anch com plastic hing rgion, ossia zon dov potnzialmnt possono svilupparsi crnir plastich. L motivazioni ch hanno spinto la ricrca scintifica di qugli anni vrso qusti tipi di modlli sono dovut al prsupposto ch i momnti flttnti, sotto la combinazion dll azioni sismich di carichi di srcizio, sono maggiori in corrispondnza dll szioni di strmità dgli - lmnti. Sbbn tal ipotsi sia gnralmnt riscontrabil ni pilastri, non è smpr vrificata nll travi, in particolar in qull di piani più alti dll dificio, dov l crnir plastich possono formarsi in zon diffrnti da qull di strmità dlla trav. Inoltr, poiché si assum ch il comportamnto inlastico dlla trav vin compltamnt condnsato nll moll non linari di strmità, non è possibil riprodurr tutti qui fnomni associati alla diffusion dl dannggiamnto nll vicinanz dll szioni di strmità dlla trav pr fftto dllo sviluppo di dformazioni plastich. Un'altra limitazion sull uso di modlli a plasticità concntrata è dovuta al fatto ch è possibil assumr un unico prstabilito tipo di lgam istrtico ch dscriv il comportamnto sotto carico ciclico dll moll non linari: la sclta di valori numrici da assgnar ai paramtri ch

16 1 Capitolo 1 carattrizzano il lgam istrtico richid una considrvol sprinza, in gnr, vin fatta su formul di origini smi-mpirich. Il principal vantaggio è il loro limitato onr computazional richisto nll scuzion dll analisi la possibilità di tnr in conto divrs carattristich, tra cui è possibil citar la dgradazion dlla rigidzza sia a flssion ch a taglio, dl pinching pr fftto di carichi ciclici, fixd nd rotations pr simular il fnomno dllo sfilamnto dll armatur (bar pull-out). Inoltr qusti modlli sono in grado di sguir un prstabilito lgam momnto-curvatura (ch richid comunqu una ultrior analisi a livllo szional da sguir), mntr l itrazion tra il momnto flttnt lo sforzo normal è solo approssimativamnt rapprsntata. In lttratura è possibil rprir ampi dscrizioni di qust formulazioni com, ad smpio, in Carr (7) Filippou & Fnvs (4). Il modllo proposto da Clough and Johnston (1967), dtto anch paralll-componnt-lmnt, è stato suggrito pr lo studio di struttur intlaiat carattrizzat da travi avnti un lgam costitutivo momntorotazion bilinar: il modllo è composto da du sub-lmnti disposti in paralllo carattrizzati, il primo, da un lgam lastico prfttamnt plastico pr rapprsntar la fas di snrvamnto d, il scondo, da un lgam indfinitamnt lastico pr rapprsntar la fas di incrudimnto. Nl paralll-componnt-lmnt la matric di rigidzza è data dalla somma dll rigidzz possdut dai suoi componnti.. Figura 1 Il modllo a plasticità concntrata paralll componnt (Clough & Johnston 1967) Il modllo proposto da Gibrson (1967), noto anch sotto il nom di oncomponnt-lmnt, è composto da sub-lmnti disposti in sri consi-

17 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 13 st in un lmnto lastico monodimnsional all cui strmità sono prsnti du moll rotazionali non linari. Lo schma di qusto modllo è riportato in Figura. Figura Il modllo a plasticità concntrata on componnt lmnt (Gibrson, 1967) Il lgam inlastico momnto-rotazion di ciascuna molla è calcolato i- potizzando ch il punto di inflssion dlla trav coincida smpr con la mzzria. Uno di principali vantaggi dl modllo di Gibrson è ch la risposta di ciascuna molla è indipndnt da qulla dgli altri lmnti dlla trav. Suko & Adams (1971) propongono un modllo analogo a qullo di Gibrson, in cui il punto di inflssion non coincid con la mzzria dlla trav ma si localizza nl punto in cui si manifsta inizialmnt nlla fas di carico lastica. La posizion dl punto di inflssion si assum fissa nl corso dll analisi non linar. I modlli di Gibrson (1967) di Suko & Adams (1971) non sono utilizzabili laddov si dtrmina una divrsa posizion dl punto di inflssion durant la storia di carico. S infatti, in una strmità dlla trav, si sviluppa una crnira plastica, avvin una ridistribuzion di carichi ch, in gnr, dtrmina una divrsa distribuzion dll curvatur, quindi, una divrsa posizion dl punto di inflssion. Al contmpo si dtrmina, ni prssi dlla szion critica dov si è formata la crnira plastica, un notvol incrmnto dll dformazioni plastich. Prtanto l ipotsi ch prvd un punto di inflssion fisso appar contraddittoria. Takizawa (1976) ha stso il modllo di Clough and Johnston (1967) introducndo il multi-componnt-lmnt, ossia un lmnto finito trav

18 14 Capitolo 1 composto da più sub-lmnti disposti in paralllo carattrizzati da distinti lgami costitutivi, adatto pr potr dscrivr la risposta di travi carattrizzat da un lgam momnto-rotazion di tipo multilinar. Un lnco stso di modlli a plasticità concntrata è riportato in Zris (1986) Taucr (1991). Tra gli altri è possibil ricordar i modlli a plasticità concntrata ch includono il dgrado di rigidzza flssional a taglio sotto carichi ciclici (Clough and Bnuska 1966, Takda t al. 197, Brancaloni t al. 1983), il dgrado pr pinching (Banon t al. 1981, Brancaloni t al. 1983, D Ambrisi and Filippou 1999), rotazioni rigid nll intrfacc di nodi trav-colonna pr modllar il fnomno dllo sfilamnto dll armatur (bar pull-out) (Otani 1974, Filippou and Issa 1988, D Ambrisi and Filippou 1999). In qusti modlli in gnr vin trascurata l intrazion momnto-sforzo normal. Il modllo proposto da Ozdmir (1981) è basato su lgami istrtici con lggi costitutiv continu pr la dfinizion dl comportamnto non linar dll moll di strmità. Un stsa trattazion di lgami costitutivi utilizzabili in qusti modlli è fornita da Iwan (1978). Il modllo di Lai t al. (1984), proposto pr lo studio di travi prismatich in c.a. a szion rttangolar, prmtt di valutar la risposta inlastica dll szioni di strmità attravrso un approccio a fibr. È composto da un lmnto lastico tipo trav all cui strmità sono prsnti du lmnti di intrfaccia inlastici, avnti lunghzza nulla, posti rispttivamnt all strmità di un lmnto lastico. Ciascun lmnto di intrfaccia è composto al suo intrno da quattro moll non linari, post in corrispondnza di quattro angoli dll lmnto da una molla cntral ragnt solo a comprssion. L armatur longitudinali sono modllat tramit l moll d angolo mntr la molla cntral modlla il comportamnto dlla szion in calcstruzzo. Lo sviluppo dgli lmnti finiti a plasticità concntrata ha raggiunto il suo apic in trmini di popolarità diffusion, almno qui in Italia, ngli anni appna succssivi all introduzion dlla nuova norma sismica (OPCM. 374/3). Tuttavia tal filon di ricrca oggi appar molto ridimnsionato di front ai progrssi compiuti dagli lmnti finiti a non linarità diffusa.

19 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 15 Figura 3 Il modllo a plasticità concntrata con crnir a fibr (Lai t al, 1984) 1.. Elmnti finiti a plasticità diffusa Gli lmnti finiti trav a plasticità diffusa sono stati sviluppati tra gli anni 7-8 (J. T. Odn, 1969, 197; P. V. Marcal, 1967; H. D. Hibbitt P. V. Marcal and J. R. Ric, 197; P. K. Larsn, 1971; J. F. McNamara, 197 ; K.J. Bath and H. Ozdmir, 1976; K.J. Bath and E. L. Wilson, 1976; Bath & Bolourchi, 1979 ) dscrivono in manira più accurata il comportamnto inlastico dll travi. In qusti lmnti l dformazioni plastich possono diffondrsi all intrno dll lmnto. Il comportamnto non linar vin introdotto mdiant lgami costitutivi non linari a livllo di szion ch possono ssr sprssi in trmini di carattristich dlla sollcitazion ( N, M, V ) dformazioni gnralizzat (,, ) in accordo alla toria classica dlla plasticità, ovvro drivati splicitamnt scondo una modllazion a fibr dlla szion. In qust ultimo caso vin assgnata a ciascuna fibra un lgam costitutivo monoassial non linar sprsso in gnr in trmini di tnsioni dformazioni ( ). L approccio adottato in qusti lmnti prvd la valutazion dlla risposta tramit intgrazion numrica. Ciò implica la suddivision dll lmnto in un numro finito di conci. Pr ciascun concio si dfinisc una szion di controllo, ch si assum ssr rapprsntativa dl comportamnto inlastico dll altr szioni dl concio. La lunghzza di

20 16 Capitolo 1 conci la posizion dll rispttiv szioni di controllo dipndono sclusivamnt dal mtodo di intgrazion numrica adottato. Figura 4 - Elmnto finito a plasticità diffusa con szioni di controllo modllat a fibr Un important vantaggio di qusti tipi di modlli è dovuto al fatto ch l zon potnzialmnt plasticizzabili non sono più confinat all sol szioni di strmità dlla trav poiché tutt l szioni di controllo possono avr scursioni in campo plastico. Inoltr nl caso in cui l szioni di controllo siano modllat scondo l approccio a fibr non è ncssario ricorrr a tcnich di calibrazion di paramtri ch rgolano il lgam costitutivo istrrtico momnto-curvatura dll szioni di controllo, prtanto, non è ncssario ricorrr a formul mpirich di dubbia validità. L approccio di modllazion a fibr prsnta numrosi vantaggi ch possono ssr riassunti nl sguito: nssun obbligo di svolgr, pr gli lmnti, un analisi propdutica momnto-curvatura; nssun bisogno di introdurr alcun tipo di comportamnto istrtico associato agli lmnti (dal momnto ch tal comportamnto è implicitamnt dfinito dai lgami costitutivi di matriali associati all fibr; modllazion dirtta dll intrazion tra lo sforzo normal d i momnti flttnti (sia in trmini di rsistnza ch di rigidzza), rapprsntazion dirtta dl carico biassial; intrazion tra l rsistnz flssionali nll dirzioni ortogonali.

21 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 17 I primi modlli a plasticità diffusa rano molto smplici poco fficaci, non considravano l intrazion tra il momnto lo sforzo normal (Otani 1974, Solimani t al. 1979, Myr t al. 1983) tuttavia bn prsto si volsro. Il modllo proposto da Otani (1974) è composto da du lmnti a mnsola, disposti in sri, connssi rigidamnt tra loro in corrispondnza dl punto di invrsion dlla curvatura (cfr. Figura 5). Tal punto si assum fisso durant la storia di carico. Nll szioni di strmità sono prsnti du moll inlastich l cui rotazioni dipndono dalla distribuzion dll curvatur nll lmnto. Figura 5 Modllo di Otani (1974): A) distribuzion dl momnto, B) distribuzion dlla curvatura, C) moll rotazionali inlastich quivalnti, I.P. punto di invrsion dlla curvatura. Tratto da Taucr t al (1991) Il modllo proposto da Solimani t al. (1979) è composto da un lmnto finito trav lastico i cui conci di strmità sono plasticizzabili. Ciascun concio di strmità ha una lunghzza variabil dipndnt dal livllo di sollcitazion. Il modllo di trav proposto da Myr t al. (1983) è simil a qullo di Solimani t al. (1979) si distingu pr la procdura di calcolo adottata nlla valutazion dlla rigidzza dll zon inlastich nll fasi di carico ciclico nl lgam istrtico momntocurvatura ch vin adottato scondo il modllo di Takda (197) pr la carattrizzazion dlla rigidzza flssional dll'lmnto. Qusto modllo è stato succssivamnt stso da Roufail Myr (1987), pr

22 18 Capitolo 1 includr gli fftti dllo sforzo normal dllo sforzo taglio sulla risposta flssional dll'lmnto tramit l introduzion di rgol mpirich. La risposta assial dll'lmnto risulta comunqu indipndnt da qulla flssional. Figura 6 Modllo di Roufail Myr (1987) Darvall and Mndis (1985) proposro un modllo simil a qullo di Roufail Myr (1987) in cui il lgam momnto curvatura adottato è trilinar. Figura 7 Lgam costitutivo trilinar (Darvall and Mndis, 1985) Il modllo di Takayanagi and Schnobrich (1979), noto anch sotto il nom di multipl spring modl, è stato proposto inizialmnt pr lo studio dlla risposta sismica di struttur intlaiat accoppiat a parti di taglio. In qusto modllo la trav vin suddivisa in numro finito di conci. Ciascun concio vin modllato mdiant una molla rotazional non linar ubicata nlla mzzria dl concio stsso (cfr. Figura 8). L moll non linari sono carattrizzat da una suprfici di snrvamnto tridimnsional (N-My-Mz) attravrso cui è possibil valutar

23 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 19 l intrazion tra lo sforzo normal i momnti flttnti nll du dirzioni. Figura 8 Multipl spring modl (Takayanagi and Schnobrich, 1979) I primi lmnti a plasticità diffusa vnivano risolti con la classica procdura in trmini di rigidzza in cui si assum ch il campo dgli spostamnti sia ottnuto mdiant l uso di funzioni di forma, quali ad - smpio l funzioni di Hrmit (Hllsland & Scordlis, 1981; Mari & Scordlis, 1984). In qusti lmnti la matric di rigidzza l forz nodali (rsisting forcs), sono ottnut mdiant intgrazion numrica attravrso l applicazion dl principio di lavori virtuali (PLV), imponndo l quilibrio in forma dbol. I principali vantaggi drivanti dall uso dgli lmnti finiti formulati in trmini di spostamnto possono ssr riassunti ni sgunti punti: possibilità di dscrivr la diffusion dlla plasticizzazion nll lmnto; la plasticizzazion non è vincolata alla dfinizion di szioni critich;

24 Capitolo 1 strma smplicità di implmntazion nll ambito dll algoritmo di Nwton Raphson; il campo dgli spostamnti dll lmnto finito è smpr noto tramit l uso di funzioni di forma ngli spostamnti. Tuttavia tali lmnti prsntano divrsi svantaggi: la costrizion cinmatica associata all uso dll funzioni di forma con curvatura linar introduc notvoli rrori pr ottnr risultati accurati occorr discrtizzar la trav in più lmnti; nl caso di softning non è possibil dtrminar una soluzion in quanto la rigidzza flssional dlla trav non può assumr valori ngativi; l quilibrio tra l forz nodali l tnsioni intrn è imposto in forma dbol; l approccio di intgrazion dtrmina una dipndnza di risultati dal numro di szioni di Gauss. La maggior limitazion dll'approccio in trmini di spostamnti è dovuta all ipotsi cinmatica basata sull uso di funzioni di forma cubich, ch dtrminano una distribuzion dll curvatur linar lungo l'lmnto. Qusta ipotsi porta a risultati soddisfacnti solo nl caso in cui la risposta dll'lmnto sia linar o quasi linar. Tuttavia, quando l - scursioni in campo plastico divngono significativ, la distribuzion dll curvatur divnta altamnt non linar, spcialmnt in struttur soggtt a carichi ciclici, poiché l funzioni di forma utilizzat non si a- dattano allo stato inlastico in cui si trova l lmnto prtanto non sono in grado di riprodurr l ffttiva distribuzion dll dformazioni (Nunhofr & Filippou, 1997). Pr suprar tali problmi si ricorr in gnr ad una opportuna discrtizzazion dlla trav in una msh di - lmnti finiti. Tuttavia l utilizzo di qusti lmnti finiti può dtrminar problmi di convrgnza stabilità numrica. Alcuni autori proposro ni primi anni '8 divrs stratgi di soluzion altrnativ mdiant l'introduzion di funzioni di forma variabili (Mahasurvachai, 198; Zris & Mahin, 1988). Tuttavia tali approcci non riscossro succsso proprio prché non riuscirono a dar una chiara

25 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 1 stabil procdura pr la loro implmntazion in un programma gnral agli lmnti finiti (Zris & Mahin, 1988), o non convinsro prché utilizzavano solo parzialmnt qusta stratgia (Mngotto & Pinto, 1977). Una soluzion dfinitiva dcisiva a tali problmi vnn fornita da Ciampi & Carlsimo (1986). Gli autori proposro una original procdura itrativa pr la valutazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat Dtrmination) capac di soddisfar, al contmpo, l condizioni di quilibrio, indfinit d al contorno, con l rlazioni costitutiv di szion, tramit l uso di funzioni di forma nll forz, imponndo la congrunza dl campo dgli spostamnti tramit l applicazion dl principio di lavori virtuali in forma dbol. Tal procdura, nota anch com formulazion in trmini di forz (FB - forc basd), ha aprto la strada ad un important filon di ricrca, in sguito sviluppata da numrosi ricrcatori ch l hanno rsa smpr più chiara d fficac (Taucr t al., 1991, Spacon t al., 1996; Ptrangli & Ciampi, 1997). La procdura proposta da Nunhofr & Filippou (1997) non richid itrazioni intrn alla fas di valutazion dllo stato dll lmnto, sbbn si ammtta il soddisfacimnto dll quazioni indfinit di quilibrio soltanto al raggiungimnto dlla convrgnza dlla soluzion. Ngli ultimi anni divrsi ricrcatori hanno crcato di ampliar l potnzialità dll lmnto finito formulato in tmini di forz, al fin di potr considrar anch l influnza di altri fattori nlla risposta inlastica dlla trav, quali il taglio, lo sfilamnto dll armatur dll travi in c.a.. Un lnco stso di modlli FB ch considrano l influnza dl taglio nlla risposta è riportato in Crsa t al (8). Tra gli altri è possibil ricordar: i modlli ch utilizzano schmi di tirant punton (Guds t al., 1994, 1997; Martinlli, 1998; Ranzo & Ptrangli, 1998); i modlli ch utilizzano lgami di fibra di tipo microplan (Ptrangli t al., 1999); i modlli ch utilizzano i lgami di fibra MCTF o smard crack (Vcchio & Collins, 1998; Grgori t al., 7; Crsa t al., 9)

26 Capitolo 1 i modlli ch utilizzano l approccio proposto da Vcchio & Collins (1988) noto com Dual Sction Mthod (Tortolini, 11) 1.3 Elmnti finiti a plasticità diffusa: formulazion gnral In qusto paragrafo vngono analizzati alcuni tradizionali modlli di - lmnti finiti trav a plasticità diffusa. Al fin di rndr chiara la simbologia adottata vngono inizialmnt richiamat l quazioni fondamntali pr la risoluzion dll struttur scondo il noto approccio dl Dirct Stiffnss Mthod. Succssivamnt vngono analizzati gli lmnti finiti formulati in trmini di spostamnti (DB) di forz (FB) vidnziandon vantaggi limiti Richiami gnrali sulla risoluzion dll struttur La risoluzion dll struttur scondo il Dirct Stiffnss Mthod prvd la dfinizion dll sgunti quazioni: quazion di congrunza; quazion di quilibrio; quazion costitutiva. L quazion di congrunza mtt in rlazion il vttor dgli spostamnti di gradi di librtà dlla struttura, U, con il vttor dgli spostamnti di gradi di librtà dll lmnto finito, q, q L L U (1.1) R, ssndo Lla matric di connttività d LR la matric di rotazion ch opra la trasformazion dll coordinat dal sistma di rifrimnto global (risptto a cui sono dfinit l componnti dl vttor U) a qullo local dll lmnto finito (risptto a cui sono dfinit l componnti dl vttor q). L quazion di quilibrio può ssr ottnuta applicando il principio di lavori virtuali. Siano P Û rispttivamnt i vttori dll forz dgli spostamnti virtuali nodali dlla struttura, Q q ˆ rispttivamn-

27 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 3 t i vttori dll forz dgli spostamnti virtuali nodali dll lmnto finito, applicando il principio di lavori virtuali si ottin: N ˆ t t U P qˆ Q (1.) 1 Sostitundo l q. (1.1) nll q. (1.) si ottin t t N t t R, 1 Uˆ P Uˆ L L Q, U ˆ (1.3) Ciò implica in dfinitiva ch N P L L Q (1.4) 1 t t R, L q. (1.4) rapprsnta la condizion di quilibrio tra il vttor dll forz applicat alla struttura, P, l forz nodali di singoli lmnti finiti, Q. Con rifrimnto ai mtodi di analisi non linar basat sull algoritmo di Nwton- Raphson è possibil distingur du livlli principali di analisi ch coinvolgono la struttura; l lmnto finito. Nl caso di analisi non linari a controllo di forz si dfinisc in gnr una storia di carico in trmini incrmntali, ad ogni itrazion dll algoritmo di Nwton-Raphson, si vrifica a livllo struttural il soddisfacimnto dll quazion di quilibrio (1.4). In tal quazion appaiono l forz nodali dgli lmnti finiti, Q, ch in gnral non sono immdiatamnt not pr un fissato campo di spostamnti imposti. Tali forz nodali possono ssr ottnut tramit l quazion costitutiva dll lmnto finito ch mtt in rlazion i vttori dll forz Q dgli spostamnti nodali q dll lmnto finito Q f ( q ) (1.5) L oprator f (...), noto in lttratura com Elmnt Stat Dtrmination, prmtt la dtrminazion dll forz nodali, Q, pr un fissato campo di spostamnti q imposto all lmnto finito. Com vdrmo ni succssivi paragrafi, dipnd dalla particolar formulazion

28 4 Capitolo 1 dll lmnto finito stsso. Nl caso lastico linar l q. (1.5) può ssr scritta nlla sgunt forma Q K q (1.6) ssndo K la matric di rigidzza dll lmnto finito Dfinizion dl modllo Si considri una trav i cui nodi di strmità I J risultano individuati risptto ad un sistma di rifrimnto global OXYZ. Tal asta risulta orintata nllo spazio scondo il sistma di rifrimnto local dll lmnto oxyz ortogonal lvogiro con origin o I. Pr dfinir l orintamnto dgli assi dl sistma di rifrimnto local si dfinisca un sistma di rifrimnto ausiliario oxyz in modo ch l ass x risulti disposto com il vttor J - I, l ass y sia tal ch l ass z sia tal ch z x y. L ass x dl sistma di rifrimnto local oxyz risulta coincidnt con l ass x mntr gli assi y z risultano individuati in funzion dll angolo di rotazion. Z z X O Figura 9 Individuazion dll lmnto finito tipo trav nllo spazio risptto al sistma di rifrimnto global OXYZ d a qullo local dll lmnto oxyz Si dfiniscono Q q rispttivamnt i vttori dll forz dgli spostamnti nodali dll lmnto finito trav, sprssi nl sistma di rifrimnto local dll lmnto (cfr. figura 1) Y Q Q1, Q, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q1, Q11, Q (1.7) 1 q q1, q, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q1, q11, q1 (1.8) La risposta torsional risulta govrnata da un lgam lastico linar d è disaccoppiata da qulla flssional non vrrà considrata nl prosiguo dlla trattazion. y 3 o I 1 x x' T T x y z J z ' Z y y y '

29 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 5 Figura 1 Forz spostamnti nodali dll lmnto finito trav Nlla trav a plasticità diffusa si assum ch sia soddisfatta l ipotsi di consrvazion dll szioni pian, pr cui il campo dll dformazioni longitudinali risulta x x x F ( x, y, z) χ P G (1.9) Nlla rlazion (1.9): ( x, y, z ) è la dformazion longitudinal nl punto P di coor- x dinat x, y, z P ; ( ) (,,) x x è la dformazion longitudinal nl punto G di x coordinat x,, G ; x è il vrsor nlla dirzion x dl sistma di rifrimnto local dlla szion; χ ( x ) è il vttor dll curvatur nlla szion di ascissa x : F χ ( ), ( ), ( ) T F x y x z x

30 6 Capitolo 1 z G χ F y P Figura 11 Szion trasvrsal dlla trav Tnuto conto dll dfinizioni introdott, l q. (1.9) si scriv ( x, y, z) z y x x x y z x ovvro x( x, y, z) yz z y 1 z y y α( y, z) d ( x) (1.1) z Nlla q. (1.1) il campo dll dformazioni ( x, y, z ) è dscritto dal prodotto scalar tra il vttor α ( yz, ) d il vttor dll dformazioni gnralizzat d ( x), ralizzando in tal modo una sparazion dll variabili da qull dipndnti dall asciss ( yz, ) a qull dipndnti dalla posizion x dlla szion. Con rifrimnto all dformazioni trasvrsali principali (, ) qust sono ovunqu trascurat mntr gli scorimnti angolari risultano nulli nl caso di trav indformabil a taglio scondo il modllo di Eulro-Brnoulli, ovvro non nulli scondo il modllo di Timoshnko. x y z

31 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 7 Nll ipotsi in cui la trav sia indformabil a taglio il tnsor di dformazion divnta x E (1.11) Inoltr si assum ch il campo dll tnsioni sia monodimnsional pr cui ( x, y, z) E( x, y, z) ( x, y, z) (1.1) x x Pr un fissato campo di tnsioni l carattristich dlla sollcitazion D ( x) N( x), M y( x), M z( x), in corrispondnza dlla szion x, sono ottnut tramit la sgunt quazion N( x) 1 D T ( x) M y( x) z x( x, y, z) d α ( y, z) x( x, y, z) d (1.13) M z( x) y dov è l ara dlla szion trasvrsal dlla trav. Procdndo ad una modllazion a fibr dlla szion trasvrsal dlla trav l quazion (1.13) fornisc il mtodo di calcolo dl vttor dll carattristich dlla sollcitazion agnti nlla szion N( x) Nfib T D( x) M y ( x) α ( yifib, zifib) x( x, yifib, zifib) A (1.14) ifib ifib1 Mz ( x)

32 8 Capitolo L lmnto finito trav a plasticità diffusa nlla formulazion DB In qusto paragrafo si intnd analizzar in dttaglio gli lmnti finiti a plasticità diffusa nlla formulazion agli spostamnti. In particolar vngono discuss l ipotsi di bas l procdur ch vngono adottat pr il calcolo dlla matric di rigidzza dll forz nodali rattiv (rsisting forcs) tramit la procdura nota in lttratura com Elmnt Stat Dtrmination Ipotsi cinmatica Il campo dgli spostamnti u ( x) di un punto situato lungo la lina d ass dll lmnto finito dipnd dagli spostamnti nodali q d è ottnuto tramit funzioni di forma. Sia u( x) u (,,), (,,), (,,) t x x uy x uz x dov u ( x,,) N ( x) q N ( x) q x x1 1 x 7 u ( x,,) N ( x) q N ( x) q N ( x) q N ( x) q y y1 y 6 y3 8 y4 1 uz ( x,,) N z1( x) q3 N z( x) q5 N z3( x) q9 N z4( x) q11 (1.15) ssndo Nxi ( x), N y ( x), Nz ( x ) l funzioni di forma q i gli spostamnti nodali dll lmnto. L q.(1.15) può scrivrsi nlla sgunt forma compatta u( x) N( x) q (1.16) dov N x1( x) N x( x) N( x) N y1( x) N y( x) N y3( x) N y4( x) N z1( x) N z( x) N z3( x) N z4( x) (1.17) L dformazioni gnralizzat d ( x) ( x), ( ), ( ) T y x z x sono ottnut drivando il campo dgli spostamnti d( x) Bˆ u ( x) (1.18) dov

33 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 9 x ˆ B x (1.19) x Sostitundo l q. (1.16) nll q. (1.18) si ottin d( x) Bˆ N( x) q B( x) q (1.) ssndo B( x) Bˆ N ( x). Bisogna rilvar ch nll approccio classico agli spostamnti l funzioni di forma N ( x), quindi la matric B ( x), sono indipndnti dallo stato di dannggiamnto dll lmnto. Nl caso in cui la trav risulti dannggiata localmnt o in manira diffusa la risposta in trmini di spostamnti si discosta da qulla ottnibil Tal asptto sarà oggtto di studio di succssivi capitoli Matric di rigidzza La rlazion ch lga l forz nodali Q agli spostamnti nodali dll'lmnto finito si ottin applicando il principio di lavori virtuali (PLV). Ipotizzando ch la trav sia soggtta a solo a forz spostamnti nodali risulti scarica lungo la sua lunghzza il PLV fornisc t t tr( TE) dv Q q dv Q q (1.1) V x x V sostitundo l q. (1.1) nll q. (1.1) si ottin t x E xdv Q q (1.) V sostitundo l q. (1.1) nll q. (1.) d t ( x) α t ( y, z) E α ( y, z) d ( x) dv Q t q (1.3) V L'intgral di volum contnuto nll q. (1.3) può ssr ancora scritto com un intgral di ara stso all ara dlla szion trasvrsal ( x) q

34 3 Capitolo 1 pr un intgral di lina stso sulla lunghzza L dlla lmnto finito trav L t t t d ( x) α ( y, z) E α( y, z) dd( x) dx Qq (1.4) ( x) k( x) L intgral stso all ara dlla szion trasvrsal ( x) è noto in lttratura com matric di rigidzza dlla szion x vin usualmnt indicato con il simbolo k ( x). Nl succssivo paragrafo vrrà dato un significato fisico matmatico a qusto intgral. Sostitundo l q.(1.) nll q. (1.4) si ottin L t t t ( x) ( x) ( x) dx q B k B q Q q q (1.5) portando tutti i trmini al primo mmbro si ottin L t t t q B ( x) k( x) B( x) dx Q q q (1.6) poiché l q. (1.6) dv ssr soddisfatta q dv accadr ch L t t t ( x) ( x) ( x) dx q B k B Q (1.7) quindi t t t q K Q Q K q (1.8) ssndo K la matric di rigidzza dll lmnto finito trav. Stant la sua simmtria risulta L t K B ( x) k( x) B ( x) dx (1.9) Nll ambito dll procdur numrich non linari l intgral prsnt nll q. (1.9) vin risolto numricamnt tramit un mtodo di intgrazion qual, ad smpio, qullo di Gauss-Lobatto. In tal caso l q. (1.9) si scriv N r L t K wr B ( xr ) k( xr ) B ( xr ) (1.3) r1

35 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 31 r ssndo x, w l asciss d i rlativi psi dfiniti dal mtodo di intgrazion numrica adottato. r Figura 1 Diagramma di flusso pr l assmblaggio dlla matric di rigidzza dll lmnto finito DB Matric di rigidzza dlla szion La matric di rigidzza dlla szion costituisc un important tassllo nlla dtrminazion dlla risposta dll lmnto finito trav a plasticità diffusa. Nl prsnt paragrafo si intnd chiarir mglio il ruolo di qusta matric fornndo al contmpo un significato fisico matmatico. Si considri un incrmnto infinitsimo dl vttor dll dformazioni gnralizzat dd ( x). Tal incrmnto dtrmina un incrmnto infinitsimo dlla dformazion longitudinal d x d (,, ) (, ) ( ) x x y z α y z dd x (1.31) A tal incrmnto infinitsimo corrispond un incrmnto infinitsimo dlla tnsion longitudinal d ( x, y, z) E( x, y, z) d ( x, y, z) (1.3) x x

36 3 Capitolo 1 dov con E si indica la drivata dl lgam costitutivo monodimnsional x x valutato nl punto di coordinat ( x, y, z) x E( x, y, z) x P( x, y, z) (1.33) Ricordando l q. (1.13) scritta in trmini incrmntali si ha dd( x) α T ( y, z) d ( x, y, z) d (1.34) x Sostitundo l q. (1.31) l q. (1.3) nll q. (1.34) è possibil ottnr la rlazion ch sussist tra l incrmnto infinitsimo dll carattristich dlla sollcitazion qullo associato all dformazioni dd( x) α T ( y, z) E( x, y, z) α( y, z) ddd ( x) ovvro dd( x) k( x) dd ( x) (1.35) Nlla q.(1.35) si è indicato con il simbolo k ( x) la matric di rigidzza dlla szion già ottnuta prcdntmnt nll q. (1.4) T k( x) α ( y, z) E( x, y, z) α ( y, z) d (1.36) ( x) Tal matric di rigidzza assum il significato matmatico di drivata dl vttor dll carattristich dlla sollcitazion, D ( x), risptto al vttor dll dformazioni gnralizzat, d ( x) N N N y z D M y M y M y k( x) (1.37) d y z Mz Mz Mz y z

37 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 33 La matric di rigidzza dlla szion può ancora scrivrsi splicitando l q. (1.36) E( x, y, z) da E( x, y, z) zda E( x, y, z) yda A( x) A( x) A( x) k( x) E( x, y, z) zda E( x, y, z) z da E( x, y, z) yzda(1.38) A( x) A( x) A( x) E( x, y, z) yda E( x, y, z) yzda E( x, y, z) y da A( x) A( x) A( x) Nl caso in cui la szion sia composta da matrial omogno d il sistma di rifrimnto local dll lmnto finito sia principal di inrzia, l q. (1.38) si riduc nlla sgunt rlazion Ax ( ) k( x) E J y ( x) EJ ( x) (1.39) Jz ( x) dov J(x) è la matric di inrzia dlla szion. Procdndo ad una modllazion a fibr dlla szion trasvrsal dlla trav è possibil calcolar la matric di rigidzza dlla szion tramit l q. (1.36) in funzion dll rigidzz assunt dall singol fibr n( x) T k( x) α ( y, z ) E α ( y, z ) A (1.4) dov ifib1 ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib E è la drivata dl lgam costitutivo x x dlla i-sima fibra contnuta nlla szion. Dall q. (1.4) si ottin n( x) n( x) n( x) Eifib Aifib Eifib Aifib zifib Eifib Aifib yifib ifib1 ifib1 ifib1 n( x) n( x) n( x) k( x) Eifib Aifib zifib Eifib Aifib zifib Eifib Aifib yifib zifib ifib1 ifib1 ifib1 n( x) n( x) n( x) Eifib Aifib yifib Eifib Aifib yifib zifib Eifib Aifib y ifib ifib1 ifib1 ifib1 (1.41)

38 34 Capitolo 1 L q. (1.35) può ancora ssr scritta in trmini finiti D( x) k( x) d ( x) (1.4) Con rifrimnto all procdur di analisi struttural la dtrminazion dlla matric di rigidzza dll lmnto finito trav K avvin tramit intgrazion numrica dll q. (1.9). Nl caso in cui si adotti il mtodo di intgrazion alla Gauss l q. (1.9) divnta L N r t t ( x) ( x) ( x) dx ( xr ) ( xr ) ( xr ) wr r1 L K B k B B k B (1.43) ssndo w r i psi di Gauss. Affinchè sia possibil calcolar la matric di rigidzza dll lmnto finito tramit l q. (1.43) è ncssario dtrminar l matrici di rigidzza dll szioni k ( ) in corrispondnza dll szioni x r di controllo (o di Gauss): solo in corrispondnza di qust szioni è ncssario, dunqu, valutar lo stato di sollcitazion di dformazion in cui si trovano l fibr dlla szion. x r La valutazion di qust ultim avvin in manira dirtta tramit l q.(1.1) q.(1.). Dal lgam costitutivo dll fibr è possibil ricavar l incrmnto di tnsion x valutar la corrispondnt rigidzza tangnt E ifib dlla fibra stssa. L carattristich dlla sollcitazion D( x r ) sono allora immdiatamnt dtrminat attravrso l q. (1.13) scritta in trmini incrmntali T D( x) α ( y, z) ( x, y, z) d (1.44) x Forz nodali rattiv (rsisting forcs) Nota la distribuzion dll carattristich dlla sollcitazion lungo l lmnto, D ( ), il vttor dll forz nodali dll'lmnto (lmnt rsisting forcs), virtuali x r Q, può ssr calcolato applicando il principio di lavori

39 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 35 L T T qq d ( x) D ( x) dx (1.45) Sostitundo l q. (1.) nlla q. (1.45) si ottin T T T qq q B ( x) D ( x) dx (1.46) L Portando tutti i trmini al primo mmbro si ha L T T q Q ( x) ( x) dx B D q (1.47) Tal rlazion dv ssr soddisfatta pr un arbitrario campo di spostamnti q pr cui dovrà ssr L T Q B ( x) D ( x) dx (1.48) Con rifrimnto all procdur di analisi struttural la dtrminazion dlla matric di rigidzza dll lmnto finito trav Q avvin tramit intgrazion numrica dll q. (1.48). Nl caso in cui si adotti il mtodo di intgrazion alla Gauss l q. (1.48) divnta L N r T T L Q B ( x) D( x) dx B ( xr ) D ( xr ) wr (1.49) ssndo r1 w r i psi di Gauss Dtrminazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat Dtrmination) Con il trmin dtrminazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat dtrmination) si intnd la soluzion dl problma dlla ricrca dll forz nodali dll lmnto pr spostamnti nodali imposti. Simbolicamnt ciò si può sprimr com Q f ( q ) (1.5) in cui Q q sono rispttivamnt l incrmnto dll forz dgli spostamnti nodali dll lmnto. Tal problmatica non si pon in r-

40 36 Capitolo 1 gim lastico-linar, in quanto l rlazioni tra il campo di forz d il campo dgli spostamnti sono linari d invrtibili. Con rifrimnto agli lmnti finiti DB, la squnza dll oprazioni contnut nll q. (1.5) è riassumibil ni sgunti punti: 1) Pr un incrmnto finito di spostamnti nodali q si impon a ciascuna szion xr di controllo un campo di dformazioni gnralizzat congrunt d ( ) tramit l q. (1.): d( x ) B( x ) q r r ) L carattristich dlla sollcitazion D( ) dal campo di dformazioni imposto d( x r ) x r x r ch scaturiscono sono ottnut mdiant l analisi szional (Sction Stat Dtrmination, cfr ) Tal procdura si può sprimr simbolicamnt com D( x ) g d ( x ) r r 3) Noti gli incrmnti dll carattristich dlla sollcitazion D( ) nll szioni di controllo è possibil calcolar x r l incrmnto dll forz nodali rattiv (rsisting forcs) tramit l q. (1.49) N r T L Q B ( xr ) D ( xr ) wr r Dtrminazion dllo stato dlla szion Con il trmin analisi szional o dtrminazion dllo stato dlla szion (Sction Stat Dtrmination), si intnd il problma rlativo alla dtrminazion dll carattristich dlla sollcitazion ch scaturiscono pr un fissato campo di dformazioni gnralizzat imposto alla szion. Simbolicamnt ciò si può sprimr com D( x ) g d ( x ) (1.51) r r La soluzion di qusto tipo di problma può ssr ottnuta mdiant la toria classica dlla plasticità basata sull uso di lgami costitutivi non linari a livllo di szion ch possono ssr sprssi in trmini di carattristich dlla sollcitazion ( N, M, V ) dformazioni gnralizzat

41 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 37 (,, ), ovvro mdiant una modllazion a fibr dlla szion. In qust ultimo caso la procdura usualmnt adottata consist nlla valutazion dl campo di tnsioni ch si instaura in ciascuna fibra dlla szion. A tal fin si calcola, pr ciascuna fibra dlla szion, l incrmnto dlla dformazion tramit l q.(1.31) qui riportata pr smplicità x ( x, y, z ) α( y, z ) d( x ) x r ifib ifib ifib ifib r (1.5) ssndo ( y, z ) l coordinat ch individuano la posizion dlla fibra ifib ifib nlla szion di ascissa x r. Noto l incrmnto di dformazion si calcola E tramit l q.(1.3) l incrmnto dlla tnsion lastica E dlla x x x E E fibra d il suo valor total. Quindi si vrifica la condi- E zion di ammissibilità plastica dlla tnsion lastica, x, tramit la E lgg di flusso plastico ( ) assgnata alla fibra. Nl caso in cui la x vrifica non sia soddisfatta si procd alla corrzion plastica dlla tnsion d al calcolo dlla dformazion plastica in accordo alla toria classica dlla plasticità, vicvrsa la tnsion lastica si assum ammissibil non si hanno incrmnti di dformazion plastica. In ntrambi i casi tal oprazion fornisc lo stato tnsional ffttivo ovvro il suo incrmnto x nonché la rlativa rigidzza tangnt ifib x x E dlla fibra. r Noto il campo di tnsion in ciascuna fibra dlla szion di controllo in x è possibil calcolar l incrmnto dll carattristich dlla sollcitazion D ( ) tramit l q. (1.14) sprssa in trmini incrmntali x r Nfib t r α ifib ifib x r ifib ifib ifib ifib1 D( x ) ( y, z ) ( x, y, z ) A x Nl sgunt grafico si riporta il diagramma di flusso dll Elmnt Stat Dtrmination rlativo all lmnto finito formulato in trmini di spostamnti.

42 38 Capitolo 1 Figura 13 Diagramma di flusso dll Elmnt Stat Dtrmination dll lmnto finito DB

43 Approcci di modllazion dlla trav inlastica L lmnto finito trav a plasticità diffusa nlla formulazion FB Gli lmnti finiti trav formulati in trmini di forz (FB), sono basati sull uso di funzioni intrpolanti dll carattristich dlla sollcitazion, dtt anch funzioni di forma nll forz. Pr travi ad ass rttilino è possibil dscrivr la risposta dlla trav mdiant la cosiddtta formulazion co-rotazional ch prmtt la riduzion di gradi di librtà flssionali dll lmnto finito all sol componnti rotazionali, scludndo qulli traslazionali ch possono ssr associati a puri atti di moto rigido. In tal snso è possibil indicar con Q q rispttivamnt i vttori dll forz dgli spostamnti nodali dll lmnto finito con modi di corpo rigido, Q Q1, Q, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q1, Q11, Q (1.53) 1 q q1, q, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q1, q11, q1 (1.54) con Q q rispttivamnt i vttori dll forz dgli spostamnti nodali dll lmnto finito snza modi di corpo rigido T Q Q, Q, Q, Q, Q (1.55) T q q, q, q, q, q (1.56) Nlla formulazion co-rotazional tali quantità vttoriali sono mss in rlazion tramit l sgunti quazioni q L q (1.57) RBM Q L Q (1.58) T RBM ssndo L RBM L la matric di trasformazion RBM 1/ L 1 1/ L 1/ L 1/ L 1 1/ L 1 1/ L 1/ L 1/ L T T

44 4 Capitolo 1 Figura 14 - Forz spostamnti nodali dll lmnto finito con modi di corpo rigido Z O X Y Q1, q1 Q4, q4 Q, q J Q5, q5 Q3, q3 I Figura 15 Forz spostamnti nodali dll lmnto finito snza modi di corpo rigido Sotto qust ipotsi è possibil individuar di polinomi ch dscrivono la distribuzion dll carattristich dlla sollcitazion in modo ch siano contmporanamnt soddisfatt sia l quazioni indfinit di - quilibrio ch l quazioni di quilibrio al contorno (Zris and Mahin 1988, 1991). Nll ipotsi ch la trav sia soggtta a sol forz nodali l carattristich dlla sollcitazion sono sprss tramit la sgunt rlazion vttorial

45 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 41 N( x) D( x) M y( x) b( x) Q (1.59) Mz ( x) ssndo b ( x) 1 x b ( x) 1, (1.6) L 1 la matric ch contin l funzioni intrpolanti. Tali funzioni, not anch com intgrali di quilibrio, sono ottnut dirttamnt dall bn x z not quazioni indfinit di quilibrio N V M px, pz, V m (1.61) x x x dov ( p, p, m ) sono i carichi distribuiti applicati alla trav (rispttivamnt carichi assiali, flssionali momnti distribuiti), ( N, V, M ) rispttivamnt lo sforzo normal, lo sforzo di taglio il momnto flttnt. Tali quazioni sono soddisfatt sia in campo lastico ch in qullo inlastico, indipndntmnt dal particolar lgam costitutivo o dalla variabilità dlla szion dlla trav Rlazioni fondamntali La rlazion di congrunza tra il campo dgli spostamnti nodali q dll dformazioni gnralizzat d è ottnuta in forma dbol applicando il principio di lavori virtuali t t qq d ( x) D ( x) dx (1.6) L Sostitundo l q.(1.59) nll q.(1.6) si ottin L t t ( x) ( x) dx q Q d b Q Q Tal rlazion dv ssr soddisfatta pr ogni campo di forz quilibrato. Prtanto risulta t q b ( x) d ( x) dx (1.63) L

46 4 Capitolo 1 L q.(1.63) costituisc la condizion di congrunza tra il campo di dformazioni intrn d ( x) gli spostamnti nodali q. Nlla trav a plasticità diffusa FB si assum ch sia smpr possibil sprimr l carattristich dlla sollcitazion in funzion dll dformazioni gnralizzat tramit la cosiddtta analisi szional (Sction Stat Dtrmination, dscritta al nll ambito dll lmnto finito trav DB), ch simbolicamnt si può sprimr com D( x) g d ( x) (1.64) Nl caso in cui la szion vnga modllata a fibr tal analisi consist nl dtrminar il campo di tnsioni nlla fibr scaturnti pr un fissato campo di dformazioni imposto. L carattristich dlla sollcitazion sono quindi ottnut pr intgrazion numrica tramit l q. (1.14). La rlazion invrsa non si può sprimr in trmini spliciti ma solo in forma incrmntal d( x) f( x) D ( x) (1.65) dov f ( x) è la matric di flssibilità dlla szion. Qust ultima si ottin invrtndo la matric di rigidzza dlla szion k ( x) già dscritta al f( x) k ( x) (1.66) Con rifrimnto all procdur di analisi non linar basat sul Dirct Stiffnss Mthod è ncssario sprimr la rlazion tra l forz gli spostamnti nodali dll lmnto finito FB. Tal rlazion si ottin mdiant l applicazion dl principio di lavori virtuali t t qq d ( x) D ( x) dx (1.67) L Sostitundo l q. (1.59) (1.65) nll q.(1.6) si ottin L t t t ( x) ( x) ( x) dx q Q Q b f b Q Q Tal rlazion dv ssr soddisfatta pr ogni campo di forz quilibrato. Prtanto risulta t q b ( x) f( x) b( x) dx Q L ovvro q F Q (1.68)

47 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 43 dov con F si indica la matric di flssibilità dll lmnto t F b ( x) f( x) b ( x) dx (1.69) L Nll ambito dll procdur non linari l intgral nll q. (1.69) vin risolto mdiant mtodi di intgrazion numrica N r L t F wr b ( xr ) f ( xr ) b ( xr ) (1.7) r1 dov x, w sono l asciss i psi dl mtodo di intgrazion numrica r r adottato. Con rifrimnto all lmnto finito FB dotato di gradi di librtà di corpo rigido, q. (1.54) è possibil ottnr, in dfinitiva, la matric di rigidzza K tramit l quazioni (1.57), (1.58) (1.68) Q L F L q K q (1.71) 1 RBM RBM Dtrminazion dllo stato dll lmnto scondo Spacon t al. (1996) In qusto paragrafo vin sintticamnt prsntata la procdura risolutiva proposta da Spacon t al. (1996) in una vst parzialmnt rivisitata nlla simbologia adottata. Qusta procdura, basata sull algoritmo di Nwton Raphson a controllo di spostamnti, fornisc l forz rsistnti dll lmnto in corrispondnza di un campo di spostamnti nodali imposti, in manira tal ch siano smpr soddisfatt l condizioni di quilibrio di congrunza. Com già prmsso, non ssndo qusto l argomnto princip dlla ricrca sviluppata, la trattazion sarà improntata sull opratività più ch sugli asptti torici. 1) Pr un fissato incrmnto di spostamnti nodali qi si calcola l incrmnto dll forz nodali di primo tntativo la matric di flssibilità inizial dll lmnto invrsa, qust ultima calcolata tramit l q. (1.7) i 1 i Q tramit i F ovvro la sua Q F q (1.7) si assgna 1 1 Qi Qi Qi 1 (1.73) Nll sprssioni si è indicato con i l indic di itrazion a livllo struttural con l indic di itrazion di lmnto.

48 44 Capitolo 1 ) Not l forz nodali Q i, pr ciascuna szion xr di controllo si impon una distribuzion di carattristich dlla sollcitazion tramit l funzioni di forma nll forz D ( x ) b( x ) Q (1.74) r r i dov nl trmin D ( ) si è omsso il pdic i pr smplicità x r x r 3) Nll approccio in trmini di forz l dformazioni gnralizzat d ( ) non possono ssr calcolat dirttamnt dall caratt- ristich dlla sollcitazion D ( ) prché l rlazioni costitutiv sono in gnr fornit in trmini di dformazion non di forz. Pr suprar qusto ostacolo si calcola una soluzion di tntativo dll dformazioni gnralizzat d ( ) ottnuta tramit la matric di flssibilità tangnt dlla szion f ( ) d f D d (1.75) dov 1 ( x ) ( ) ( ) r xr x r U ( xr ) x r U r d 1 ( x ) è un vttor inizialmnt nullo. Quindi si valutano gli incrmnti dll carattristich dlla sollcitazion tramit l analisi szional (Sction Stat Dtrmination) ch scaturiscono dal campo di dformazioni gnralizzat imposto (cfr ). Simbolicamnt ciò si traduc nlla rlazion D ( xr) g d ( xr) (1.76) 4) L carattristich dlla sollcitazion così calcolat non risultano in gnral in quilibrio con l forz nodali x r i x r Q tramit l funzioni di forma nll forz (ssndo stat ottnut mdiant una soluzion di tntativo), pr cui si dtrmina un rsiduo local dll carattristich dlla sollcitazion D ( x ) b( x ) Q D ( x ) (1.77) U r r U r x r 5) Succssivamnt, riassmblata la matric di flssibilità tangnt dlla szion, f ( ), si calcola il rsiduo dll dformazioni g- nralizzat, d ( x ), associato al rsiduo dll carattristich U r dlla sollcitazion, D ( x ), tramit la rlazion U r d ( x ) f ( x ) D ( x ) (1.78) U r r U r

49 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 45 U r Tal rsiduo d ( x ) sta a significar ch il campo di dforma- zioni d ( ) assunto lungo l lmnto non è satto, ma ncssi- x r ta di una corrzion. Pr corrggr il campo di dformazioni, si intraprnd una procdura itrativa. 6) Si calcola il vttor dgli spostamnti nodali rsidui q U ch risulti congrunt con l dformazioni rsidu d ( x ) tramit l q.(1.63) L q b ( ) d ( ) b ( ) d ( ) (1.79) N L r t t U x U x dx wr xr U xr r1 Si riassmbla la matric di flssibilità tangnt dll lmnto si aggiorna il vttor dll forz nodali dll lmnto 1 Q Q F q (1.8) 1 i i U 7) Nl caso in cui il rsiduo, valutato intgralmnt sull lmnto in trmini nrgtici, ccd la tollranza ritnuta accttabil si applica all lmnto finito un nuovo campo di forz nodali 1 Q F q (1.81) 1 i U si ript la procdura dscritta al punto () pr =+1. Ni sgunti grafici si riporta una dscrizion visiva dll Elmnt Stat Dtrmination com suggrita da Spacon t al. (1996). U r

50 46 Capitolo 1 Figura 16 Elmnt Stat Dtrmination dll lmnto finito FB tratto da Spacon t al (1996)

51 Approcci di modllazion dlla trav inlastica Dtrminazion dllo stato dll lmnto snza itrazioni In qusto paragrafo vin sintticamnt prsntata la procdura risolutiva proposta da Nunhofr & Filippou (1997) in una vst parzialmnt rivisitata nlla simbologia adottata. La procdura numrica proposta da Nunhofr & Filippou (1997), com dtto al 1.., non richid itrazioni intrn alla fas di valutazion dllo stato dll lmnto, sbbn si ammtta il soddisfacimnto dll quazioni indfinit di quilibrio soltanto al raggiungimnto dlla convrgnza dlla soluzion. Com già prmsso ngli altri paragrafi, non ssndo qusto l argomnto princip dlla ricrca sviluppata, la trattazion sarà improntata sull opratività più ch sugli asptti torici. 1) Pr un fissato incrmnto di spostamnti nodali qi imposto all lmnto finito nll itrazion i-sima dll algoritmo di Nwton-Raphson a livllo struttural, si calcola l incrmnto dll forz nodali Q tramit la matric di flssibilità tangnt i dll lmnto F i1, ovvro la sua invrsa, valutata nll itrazion prcdnt (i-1) 1 1 Q F q (1.8) i i i ) Not l forz nodali Q i si impon all lmnto una distribuzion di carattristich dlla sollcitazion tramit l funzioni di forma nll forz D ( x ) b( x ) Q D U ( x ) (1.83) i r r i i1 r a cui corrispond un campo di dformazioni gnralizzat d ( x ) f ( x ) D ( x ) (1.84) i r i1 r i r i r U dov D ( ) 1 x è un vttor inizialmnt nullo ch contin l carattristich dlla sollcitazion non bilanciat nll itrazion prcdnt (i-1). Quindi si valutano gli incrmnti dll carattristich dlla sollcitazion tramit l analisi szional (Sction Stat Dtrmination) ch scaturiscono dal campo di dformazioni gnralizzat imposto (cfr ) D ( x ) g d ( x ) (1.85) i r i r dov di( xr ) di 1( xr ) d i( xr )

52 48 Capitolo 1 i 3) Succssivamnt, riassmblata la matric di flssibilità tangnt dlla szion, f ( x ), si calcola l dformazioni gnralizzat r- U sidu, d ( x ), tramit la rlazion i r r d ( x ) f ( x )[ D ( x ) D ( x ) D ( x )] (1.86) U i r i r i1 r i r i r U 4) Tal dformazioni rsidu d ( x ) stanno a significar ch il i campo di dformazioni d ( x ) assunto lungo l lmnto non è i r satto, ma ncssita di una corrzion. Pr corrggr il campo di dformazioni, si calcola il vttor dgli spostamnti nodali rsidui q ch risulti congrunt con l dformazioni rsidu U i U d ( x ) tramit l q.(1.63) ottnuta mdiant il PLV i r L q b ( ) d ( ) b ( ) d ( ) (1.87) N L r U t U t U i x i x dx wr xr i xr r1 5) Qusti spostamnti rsidui vngono trasformati in forz nodali rsidu in manira tal ch l forz nodali rsistnti risultino 1 U Q Q Q F q (1.88) i i1 i i i dov F i è la matric di flssibilità tangnt ottnuta tramit l q.(1.7). L carattristich dlla sollcitazion D ( x ), impost i all lmnto mdiant l q. (1.85), non risultano in gnral in quilibrio con l forz nodali Q tramit l funzioni di forma nll forz, pr cui si dtrmina in ciascuna szion di controllo un rsiduo local dll carattristich dlla sollcitazion U D ( x ) b( x ) Q D ( x ) (1.89) i r r i i r tal rsiduo indica ch il campo dll carattristich dlla sollcitazion non è satto dovrà ssr corrtto nll itrazion succssiva tramit l q.(1.83). La procdura così dfinita consnt all lmnto finito di ottnr il soddisfacimnto dll condizioni di congrunza sbbn l condizioni indfinit di quilibrio risultano soddisfatt soltanto quando si raggiung la convrgnza dlla soluzion a livllo struttural. In tal caso il rsiduo U nll carattristich dlla sollcitazioni, D ( x ), tnd a zro. r i r i r

53 Approcci di modllazion dlla trav inlastica 49 Figura 17 Dtrminazion dl rsiduo nll carattristich dlla sollcitazion nll dformazioni gnralizzat. Tratto da Nunhofr & Filippou (1997). In figura i U d. i 1.4 Bibliografia 1. Banon, H., Biggs, J. and Irvin, M., "Sismic Damag in Rinforcd Concrt Frams" Journal of Structural Enginring, ASCE, 17(ST9), pp K.J. Bath and S. Bolourchi Larg Displacmnt Analysis Of Thr-Dimnsional Bam Structurs, Intrnational Journal For Numrical Mthods In Enginring, Vol. 14, K.J. Bath and H. Ozdmir, Elastic-Plastic Larg Dformation Static and Dynamic Analysis, Computrs & Structurs, Vol. 6, pp K. J. Bath and E. L. Wilson, Numrical mthods in finit lmnt analysis,, Prntic-Hall, Englwood Cliffs, N. J., Brancaloni, F., Ciampi, V. and Di Antonio, R., "Rat-Typ Modls for Non Linar Hystrtic Structural Bhavior." EURO- MECH Colloquium, Palrmo, Italy. 6. Carr, A.J., 7. "Ruaumoko Manual", Dpartmnt of Civil Enginring, Univrsity of Cantrbury,Nw Zaland. 7. Crsa, P., Ptrini, L., Pinho, R., 8. A fibr flxur-shar modl for cyclic nonlinar bhaviour of RC structural lmnts, Rsarch Rport ROSE-8/7, IUSS Prss, Pavia, Italy

54 5 Capitolo 1 8. Ciampi, V. and Carlsimo, L., "A Nonlinar Bam lmnt for Sismic Analysis of Structurs." 8 th Europan Confrnc on Earthquak Enginring, Lisbon. 9. Clough, R. and Bnuska, L., "Nonlinar Earthquak Bhavior of Tall Buildings." Journal of Mchanical Enginring, ASCE, 93(EM 3), pp Clough, R. and Johnston, S., "Effct of Stiffnss Dgradation on Earthquak Ductility Rquirmnts." Transactions of Japan Earthquak Enginring Symposium, Tokyo, pp D'Ambrisi, A. and Filippou, F. C., 1999, "Modling of Shar Bhavior in RC Mmbrs", Journal of Structural Enginring, ASCE, 15(1). 1.Darvall, L.P. and Mndis, P., "Elastic-Plastic-Softning Analysis of Plan Frams." Journal of Structural Enginring, ASCE, 11(ST4), pp Filippou, F.C., Popov, E.P. and Brtro, V.V., "Effcts of Bond Dtrioration on Hystrtic Bhavior of Rinforcd Concrt Joints." EERC Rport 83-19, Earthquak Enginring. Rsarch Cntr, Brkly. 14.Filippou, F.C., and Issa, A., "Nonlinar Analysis of Rinforcd Concrt Frams undr Cyclic Load Rvrsals." EERC Rport 88-1, Earthquak Enginring. Rsarch Cntr, Brkly. 15.Filippou, F.C., Spacon, E., "FEDEAS: Nonlinar Analysis for Structural Evaluation", Procdings, 11th World Confrnc in Earthquak Enginring, Acapulco, Mxico, Jun Filippou, F.C., "Nonlinar Static and Dynamic Analysis for Evaluation of Structurs", Procdings, 3rd Europan Confrnc on Structural Dynamics Eurodyn'96, Flornc, Italy, Jun Filippou, F.C., "FEDEAS: Nonlinar Static Dynamic Analysis from Rsarch to Practic", Procdings, ASCE Structurs Congrss, Chicago, April 1996.

55 Approcci di modllazion dlla trav inlastica Gibrson, M., "Th Rspons of Nonlinar Multi-Story Structurs Subctd to Earthquak Excitations." Earthquak Enginring Rsarch Laboratory, Pasadna. 19.Guds, J. Pinto, A.V., A Numrical Modls for Shar Dominats Bridgs Pirs, Procdings of th Scond Italy-Japan Workshop on Sismic Dsign and Rtrofit of Bridgs, Rom, Italy..Guds, J., Pgon, P. Pinto, A.V., A Fibr-Timoshnko Bam Elmnt in CASTEM, Spcial publication Nr Applid Mchanics Unit, Safty Tchnology Institut, Commission of Europan Communitis, Joint Rsarch Cntr, Ispra Establishmnt, Italy 1.Hllsland, J. and Scordlis, A., "Analysis of RC Bridg Columns Undr Imposd Dformations." IABSE Colloquium, Dlft, Nthrlands, pp H. D. Hibbitt, P. V. Marcal and J. R. Ric, 197 Finit lmnt formulation for problms of larg strain and larg displacmnts, Int. J. Solids Struct. 6, Iwan, W., "Application of Nonlinar Analysis Tchniqus." in, Iwan W. d., Applid Mchanics in Earthquak Enginring, ASME, AMD, 8, Nw York, pp Lai, S., Will, G. and Otani, S., "Modl for Inlastic Biaxial Bnding of Concrt Mmbrs." Journal of Structural Enginring, ASCE, 11(ST11), pp P. K. Larsn, 1971 Larg displacmnt analysis of shlls of rvolution, including crp, plasticity and viscolasticity, SESM Rport No. 71-, Dpt. of Civ. Engng, Univ. of California, Brkly. 6.Martinlli, L., Modllazion di Pil da Pont in C.A. a travata soggtti ad ccitazion sismica, Phd. thsis, Dipartimnto di Inggnria Struttural, Politcnico di Milano, Milano, Italy 7.J. F. McNamara, 197. Incrmntal stiffnss mthod for finit lmnt analysis of th nonlinar dynamic problm, Ph.D. Thsis, Dpt. of Civ. Engng, Brown Univrsity.

56 5 Capitolo 1 8.Mahasuvrachai, M., 198. "Inlastic Analysis of Piping and Tubular Structurs." EERC Rport 8-7, Earthquak Enginring Rsarch Cntr, Univrsity of California, Brkly. 9.Mandr, J.B., Pristly, M.J.N. and Park, R., "Thortical Strss-Strain Modl for Confind Concrt." Journal of Structural Enginring, ASCE, 114(ST8), pp Mari, A. and Scordlis, A., "Nonlinar Gomtric Matrial and Tim Dpndnt Analysis of Thr Dimnsional Rinforcd and Prstrssd Concrt Frams." SESM Rport 8-1, Dpartmnt of Civil Enginring, Univrsity of California, Brkly. 31.P. V. Marcal, 1967, Th ffct of initial displacmnts on problms of larg dflction and stability, Tch. Rport ARPA E54, Brown Univrsity, Division of Enginring. 3.Mngotto M., and Pinto, P.E., "Mthod of Analysis for Cyclically Loadd Rinforcd Concrt Plan Frams Including Changs in Gomtry and Non-Elastic Bhavior of Elmnts undr Combind Normal Forc and Bnding", Procdings, IABSE Symposium on Rsistanc and Ultimat Dformability of Structurs Actd on by Wll Dfind Rpatd Loads", Lisbon, pp Mngotto, M. and Pinto, P.E., "Slndr RC Comprssd Mmbrs in Biaxial Bnding." Journal of Structural Enginring, ASCE, 13(ST3), pp Myr, C., Roufail, M.S. and Arzoumanidis, S.G., "Analysis of Damagd Concrt Frams for Cyclic Loads." Earthquak Enginring and Structural Dynamics, Vol. 11, pp Nunhofr, A., Filippou, F.C, "Evaluation of Nonlinar Fram Finit Elmnt Modls", Journal of Structural Enginring, Amrican Socity of Civil Enginrs, Vol. 13, No. 7, July 1997, pp Otani, S., "Inlastic Analysis of R/C Fram Structurs." Journal of th Structural Division, ASCE, 1(ST7).

57 Approcci di modllazion dlla trav inlastica Ozdmir, H., "Nonlinar Transint Dynamic Analysis of Yilding Structurs." Ph. D. Thsis, Dpartmnt of Civil Enginring, Univrsity of California, Brkly. 38.Ranzo, G. Ptrangli, M., A Fibr Bam Elmnt with Sction Shar Modlling for Sismic Analysis of R/C Structurs, Journal of Earthquak Enginring, Roufail, M.S.L. and Myr, C., "Analytical Modling of Hystrtic Bhavior of R/C Frams." Journal of Structural Enginring, ASCE, 113 (ST3), pp Solimani, D., Popov, E.P. and Brtro, V.V. (1979). "Nonlinar Bam Modl for R/C Fram Analysis." 7 th ASCE Confrnc on Elctronic Computation, St. Louis. 41.Spacon, E., Filippou, F.C., Taucr, F., "Fibr Bam-Column Modl for Nonlinar Analysis of R/C Frams: I. Formulation", Intrnational Journal of Earthquak Enginring and Structural Dynamics, Vol. 5, No. 7, July 1996, pp Spacon, E., Filippou, F.C., Taucr, F., "Fibr Bam-Column Modl for Nonlinar Analysis of R/C Frams: II. Applications", Intrnational Journal of Earthquak Enginring and Structural Dynamics, Vol. 5, No. 7, July 1996, pp Spacon, E., Filippou, F.C., "Flxibility-Basd Fram Modls for Nonlinar Dynamic Analysis", Procdings, 11th World Confrnc in Earthquak Enginring, Acapulco, Mxico, Jun Spacon, E., Ciampi, V., Filippou, F.C., "Mixd Formulation of Nonlinar Bam Finit Elmnt", Computrs and Structurs, Vol. 58, No. 1, Jan. 1996, pp Suko, M., Adams, P. F., 197l. Dynamic analysis of mu1tibay multistory frams, ASCE Journal of th Structural Division, 97(ST1), pp Takizawa, H., "Nots on Som Basic Problms in Inlastic Analysis of Planar RC Structurs.", Trans. Of Arch. Inst. of Japan, 4, Part I in Fb. 1976, pp. 51-6, Part II in March 1976, pp

58 54 Capitolo 1 47.Takizawa, H. and Aoyama, H., "Biaxial Effcts in Modling Earthquak Rspons of RC Structurs." Earthquak Enginring and Structural Dynamics, 4, pp Takda, T., Sozn, M.A. and Nilsn, N., 197. "Rinforcd Concrt Rspons to Simulatd Earthquaks." Journal of Structural Enginring, ASCE, 96(ST1), pp Taucr, F.F., Spacon, E., Filippou, F.C., A fibr bam-column lmnt for sismic rspons analysis of rinforcd concrt structurs Rport No. UCB/EERC-91/17 Earthquak Enginring Rsarch Cntr Collg of Enginring Univrsity of California, Brkly. 5.Zris, C.A., "Thr Dimnsional Nonlinar Rspons of Rinforcd Concrt Buildings." Ph. D. Thsis, Univrsity of California, Dpartmnt of Civil Enginring, Brkly. 51.Zris, C.A. and Mahin, S.A "Analysis of Rinforcd Concrt Bam-Columns undr Uniaxial Excitation." Journal of Structural Enginring, ASCE, 114(ST4), pp Zris, C.A. and Mahin, S.A., "Bhavior of Rinforcd Concrt Structurs Subctd to Biaxial Excitation." Journal of Structural Enginring, ASCE, 117(ST9), pp Zinkiwicz, O.C. and Taylor, R.L., Th Finit Elmnt Mthod. Volum 1. Basic Formulation and Linar Problms. Fourth Edition. McGraw Hill, London.

59 Capitolo MODELLI DI TRAVE CON DISCONTINUITÀ MULTIPLE.1 Prmssa In qusto capitolo vngono riportat alcun originali modllazioni dlla trav di Eulro-Brnoulli in prsnza di discontinuità multipl, ch consntono di ottnr la soluzion dll quazion govrnant oprando in un unico dominio di intgrazion. Tali modllazioni srvono ad analizzar travi con discontinuità concntrat dovut a danni, rigidzz, forz, cdimnti anlastici, attravrso l uso di funzioni tratt dalla toria dll distribuzioni, not in lttratura com funzioni gnralizzat. Il vantaggio di tal approccio è ch la risoluzion dll quazion dlla trav di Eulro-Brnoulli non richid alcuna condizion di continuità in corrispondnza di tali discontinuità. Inoltr è possibil corrlar i paramtri ch dfiniscono la discontinuità con qulli rlativi all intnsità dl danno attravrso modlli di danno vrificati su basi sprimntali. Tali soluzioni, sppur difficili da ricavar a causa dll pculiarità dll oprazioni tra l funzioni adottat, gttano l basi pr uno studio più vasto riguardant l analisi di travi dformabili a taglio dotat di discontinuità multipl, ch vrrà affrontato nl capitolo succssivo.

60 56 Capitolo. La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità Il primo studio condotto sull travi con discontinuità è dovuto a Biondi Caddmi (5) i quali proposro un intrssant mtodo di intrgrazion dll quazion diffrnzial in rgim statico dlla trav di Eulro-Brnoulli soggtta ad una arbitraria distribuzion di carico, la cui rigidzza flssional è discontinua in corrispondnza di una szion di ascissa x. La discontinuità nlla rigidzza flssional vin introdotta attravrso l uso di funzioni gnralizzat, quali la funzion gradino di Havisid o la funzion Dlta di Dirac. L quazion diffrnzial dlla trav di Eulro Brnoulli è sprimibil com E x I x u ( x) q( x) (.1) dov E x è il modulo di Young, I x è il momnto di inrzia dlla szion trasvrsal, uxè ( ) lo spostamnto in dirzion trasvrsal, qxil ( ) carico distribuito. La rigidzza flssional dlla trav E x I x vin dfinita dagli autori com somma di du trmini, il primo costant EI d il scondo ch dipnd dalla funzion gnralizzata considrata: E x I x EI 1 Dx x (.) dov: EI la rigidzza flssional costant di rifrimnto, D x x la funzion gnralizzata adottata, x la posizion dlla discontinuità, l intnsità dlla discontinuità. I ricrcatori citati hanno analizzato du tipi di funzioni gnralizzat, la funzion gradino di Havisid U( x x ) la funzion Dlta di Dirac ( x x ), ottnndo pr ciascuna di ss la soluzion in forma chiusa dll quazion diffrnzial (.1). Nl caso in cui si considri la funzion gradino di Havisid l q. (.) divnta E x I x EI 1 Ux x (.3) L q. (.3) fornisc una distribuzion dlla rigidzza flssional dlla trav E(x)I(x) costant a tratti in cui è prsnt una brusca variazion

61 Modlli di trav con discontinuità multipl 57 dlla rigidzza flssional attribuibil ad una brusca variazion dlla szion trasvrsal o ad una brusca riduzion dl modulo di Young. La discontinuità causata dalla funzion di Havisid dtrmina una variazion dlla rigidzza flssional ch si mantin costant pari a EI pr x > x. Figura 18 Trav smplicmnt appoggiata con brusca variazion dlla rigidzza flssional Il scondo tipo di funzion gnralizzata ch Biondi Caddmi (5) analizzarono, fu la funzion Dlta di Dirac: δ D x x x x, (.4) dov δx x è la distribuzion Dlta di Dirac cntrata nll ascissa x. Sostitndo l q. (.4) nll q.(.), si ottin 1 δ E x I x EI x x, (.5) dov con si è indicata il paramtro di intnsità dlla discontinuità. La (.5) dfinisc un modllo di trav la cui rigidzza flssional è ovunqu costant pari ad EI ad cczion dll ascissa x, in cui la funzion dlta di Dirac dtrmina una discontinuità. Biondi Caddmi (5) dimostrarono ch tal discontinuità dtrmina un salto nlla risposta in trmini di rotazioni com qulli causati dalla prsnza di crnir intrn irrigidit da moll rotazionali di rigidzza k (Figura 19). In particola-

62 58 Capitolo r gli autori hanno dimostrato ch sussist la sgunt rlazion tra il paramtro di discontinuità la rigidzza dlla molla k 1 A k EI (.6) ssndo A una costant adottata pr la dfinizion dl prodotto tra du distribuzioni Dlta di Dirac. Figura 19 Trav smplicmnt appoggiata con crnira intrna in cui è prsnt una molla rotazional di rigidzza k..1 La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità nlla rigidzza flssional di tipo Havisid La soluzion in forma chiusa dll quazion diffrnzial dlla trav di Eulro Brnoulli (.1) la cui rigidzza flssional è dfinita dall q. (.3) si sprim com u( x) c1 c x c3 x x x Ux x c4 x x 3x x x U x x q ( x) E I q ( x) q ( x ) q ( x )( x x ) 1 E I U x L rotazioni sono ottnut drivando il campo dgli spostamnti x (.7)

63 Modlli di trav con discontinuità multipl 59 ( x) u( x) c c3 x x x U x x 1 3c4 x x x U x x q x q x q x E I ( ) ( ) ( ) U x x. 1 EI (.8) L curvatur si ottngono drivando la distribuzion dll rotazioni q ( x) ( x) u( x) c3 6c4x 1 Ux x (.9) EI 1 La risposta in trmini di momnto flttnt si può ottnr moltiplicando la curvatura, q.(.9), pr la rigidzza flssional dlla trav, q.(.3) q ( x) M ( x) E( x) I( x) ( x) EI c3 6c4x. (.1) EI Drivando l q. (.1) è possibil ottnr la risposta dlla trav in trmini di sforzo di taglio 1 q ( x) V ( x) M ( x) E( x) I( x) ( x) EI 6c4 (.11) EI Nll q. (.7)-(.11) ( c1, c, c3, c 4) sono l costanti di intgrazion. La risposta dlla trav risulta continua ngli spostamnti nll rotazioni, cfr. q.(.7)-(.8), discontinua nll curvatur q. (.9) com mostrato anch dal sgunt smpio numrico. Pr tal ragion la discontinuità nlla rigidzza flssional causata dalla funzion di Havisid vin anch dtta discontinuità nll curvatur Esmpio numrico Si considri la trav in Figura 18 ( 1m, I=6.6667mm 4, E=6MPa), soggtta ad un carico uniformmnt distribuito q 1kNm -1, la cui rigidzza flssional è ridotta dl 1% pr x x 3m. Tal variazion dlla rigidzza vin modllata tramit una discontinuità nlla rigidzza flssional di tipo Havisid (.9, x 3 m), ch

64 6 Capitolo riduc la rigidzza flssional dl 1% pr x x 3m. L q.(.7) fornisc la risposta dlla trav in trmini di spostamnti a mno dll costanti di intgrazion. Qust possono ssr dtrminat imponndo l sgunti condizioni al contorno u(), M(), u( ), M( ) dopo smplici passaggi algbrici si ottin c1, 3 1 q qx 3x 8 x 6 c, 1 4EI 1 EI 4 c3, q c4, 1EI Sostitundo l costanti nll q.(.7)-(.11) si ottin 3 1 q qx 3x 8 x 6 u( x) x 1 4EI 1 EI 4 q 1EI 1 3 U x x x x x x x qx qx qx 4 qx ( x x ) U x x 4E I 1 4E I 3 1 q qx 3x 8 x 6 ( x) 1 4EI 1 EI 4 q 4EI 1 U x x x x x qx qx qx U x x, x 6E I 1 6E I x (.1) (.13) (.14) q x qx EI EI 1 ( x) 1 U x x, x (.15)

65 [kn] [knm] [m -1 ] [m] [rad] Modlli di trav con discontinuità multipl 61 q x qx M ( x), x q V ( x) qx, x -. u(x).3 (x) x[m] x [m] (x) x [m] M(x) x [m] 5 V(x) x [m] Figura. Risposta dlla trav in trmini di spostamnto, rotazion, curvatura, momnto taglio

66 6 Capitolo Dai grafici si vinc ch la risposta in trmini di spostamnti, rotazioni, momnto taglio risulta continua mntr la risposta in trmini di curvatur risulta discontinua a causa dlla variazion dlla rigidzza flssional in x x... La trav di Eulro Brnoulli con una discontinuità nlla rigidzza flssional di tipo Dlta di Dirac La soluzion in forma chiusa dll quazion diffrnzial dlla trav di Eulro Brnoulli (.1) la cui rigidzza flssional è dfinita dall q. (.5) si sprim com u( x) c1 cx c3 x x x U x x 1 A c x 6 x x x U x x 1 A q ( x) q ( x) x x U x x. E I 1 A E I (.16) La risposta in trmini di rotazioni si ottin com drivata dl campo dgli spostamnti ( x) u( x) c c3 x U x x 1 A 3c4 x x U x x 1 A 3 q ( x) q ( x) U x x, E I 1 A E I La curvatura si ottin drivando il campo dll rotazioni. q ( x) ( x) u( x) c3 6c4x 1 δx x EI 1 A (.17) (.18) L sprssion dl momnto flttnt dl taglio formalmnt coincidono con l quazioni (.1) (.11) rispttivamnt. Infatti, pr travi staticamnt dtrminat, M(x) V(x) non dipndranno dalla sprssion adottata dlla rigidzza flssional. Vicvrsa, pr travi statica-

67 Modlli di trav con discontinuità multipl 63 mnt indtrminat, la rigidzza flssional adottata influnzrà anch l sprssioni dll costanti di intgrazion c 3 c 4. L q.(.17), ch dfinisc il campo di rotazioni dlla trav, prsnta x nll ascissa x, ch può ssr valutato splicitamnt un salto com sgu: q x c 6c x A EI Il salto nll rotazioni x ( x ), (.19) è stato originato dall avr introdotto la funzion Dlta di Dirac nlla dfinizion dlla rigidzza flssional dlla trav, q. (.5). Pr tal motivo la discontinuità nlla rigidzza flssional causata dalla funzion Dlta di Dirac vin anch dtta discontinuità nll rotazioni. Confrontando l q. (.19) con l sprssion dl momnto data nll q. (.1), valutata smpr in x, si ossrva ch: M( x ) x. (.) 1 A E I L q. (.) è quivalnt al caso di una trav con crnira intrna posta in x, dotata di una molla rotazional di rigidzza k, com mostrata in Figura 1, fornita da: k 1 A EI. (.1) Prtanto la rigidzza rotazional k può assumr valori comprsi tra zro (assnza di molla rotazional), d infinito (ossia trav continua in x, snza crnir intrn); ciò implica ch può assumr valori comprsi tra zro d 1/A.

68 64 Capitolo È facil ossrvar ch assgnato il valor dlla rigidzza flssional k, il corrispondnt valor di intnsità dlla discontinuità è fornito dalla sgunt quazion: 1, k A EI (.) Figura 1. Uno schma di trav quivalnt al modllo di trav con discontinuità nll rotazioni. Poiché la rigidzza k dlla molla flssional si misura dimnsionalmnt com prodotto di una forza pr una lunghzza, mntr il prodotto EI si misura dimnsionalmnt com prodotto di una forza pr una lunghzza al quadrato, il sgunt rapporto dovrà avr la dimnsion dll invrso di una lunghzza: 1 A 1 L. (.3) Ciò implica ch dovrà ssr sprsso in trmini di una lunghzza, mntr il paramtro A in trmini dll invrso di una lunghzza: 1 L A L,, (.4) in tal modo risulta vrificata dimnsionalmnt l quazion (.1).

69 Modlli di trav con discontinuità multipl 65 Si introduc il conctto di lunghzza carattristica *, ossia qulla lunghzza il cui invrso moltiplicato pr la rigidzza flssional EI, consnt di ottnr la rigidzza dlla molla quivalnt: EI k (.5) ovvro:, * EI (.6) *. k Confrontando l quazioni (.1) (.5) si può ossrvar ch la lunghzza carattristica * è ugual al sgunt rapporto: *. (.7) 1 A Da ciò si vinc ch l assnza di discontinuità ( ) comporta * =, mntr l annullamnto dlla rigidzza ( k ) dlla molla flssional quivalnt nl punto di discontinuità x comporta un valor dlla lunghzza carattristica tndnt all infinito, *. In dfinitiva la lunghzza carattristica * può assumr valori non ngativi: *. (.8) Sostitundo l q.(.7) nlla risposta dlla trav in trmini di spostamnto dfinita dall q.(.16), si ottin: u( x) c c x c x x x U x x * 1 3 c x 6 x x x U x x 3 * 4 4 q ( x) q ( x) * EI EI x x x x U. (.9) Sostitundo l q.(.7) nlla risposta dlla trav in trmini di rotazion dfinita dall q.(.17), si ottin:

70 66 Capitolo * ( x) c c 3 x U x x 3c x x U x x * 4 3 q ( x) q ( x) * x E I E I U x. (.3) Sostitundo l q.(.7) nlla risposta dlla trav in trmini di curvatura dfinita dall q.(.18), si ottin: q ( x) * ( x) u( x) c3 6c4x 1 δx x EI. (.31) In tal modo è possibil liminar la dipndnza dal costant A di Bagarllo....1 Trav smplicmnt appoggiata con singola discontinuità nll rotazioni Si considri la trav in Figura ( 1m, I=6.6667mm 4, E=6MPa), soggtta ad un carico uniformmnt distribuito q 1kNm -1, in cui è prsnt in x 3m una crnira intrna con molla di rigidzza k 1kNm. Figura Trav smplicmnt appoggiata con crnira intrna in cui è prsnt una molla rotazional di rigidzza k Tal vincolo intrno vin modllato tramit una discontinuità nll rotazioni. la lunghzza carattristica * dlla discontinuità, pr l q.(.5) risulta:

71 Modlli di trav con discontinuità multipl knm m EI m. (.3) 1 1kNm * k L q.(.7) fornisc la risposta dlla trav in trmini di spostamnti a mno dll costanti di intgrazion. Qust possono ssr dtrminat introducndo l sgunti condizioni al contorno u(), M(), u( ), M( ) dopo smplici passaggi algbrici si ottin c1, 3 * q q x c x, 4EI EI c3, q c4, 1EI (.33) Sostitundo l q. (.33) nll q.(.9), si ottin la risposta in trmini di spostamnto q q x q 3 * u( x) x x 4EI EI 3 * x 6 x x x U x x 1EI q 4 qx * x x x U x x. 4E I E I (.34)

72 [m -1 ] [m] [rad] 68 Capitolo Analogamnt sostitundo l q. (.33) nll q.(.3), si ottin la risposta in trmini di rotazion: q q x 4E I E I 3 * ( x) q * x xu x x 4EI q 3 qx * x U x x. 6E I E I x (.35) Infin sostitundo l q. (.33) nll q. (.31) si ottin la risposta in trmini di curvatura: q * ( x) x x 1 δ x x. EI (.36) -.1 u(x).1 (x) x[m] x [m] x (x) Figura 3. Risposta dlla trav smplicmnt appoggiata con discontinuità nll rotazioni posta in q 1kNm -1. x 3 m soggtta ad un carico uniformmnt distribuito x [m]

73 Modlli di trav con discontinuità multipl 69.3 La trav di Eulro Brnoulli con discontinuità multipl Il modllo di trav di Eulro Brnoulli con discontinuità multipl è stato proposto da Biondi Caddmi (7). Qusto modllo consnt la trattazion di travi rali, ralizzat con matriali avnti diffrnti moduli di Young, con szioni trasvrsali distint dotat di crnir intrn lungo il loro sviluppo. In qusto modllo la rigidzza flssional è dfinita com: n m E x I x EI 1 i U x x, i δ x x,, (.37) dov i paramtri i, i 1,,..., n, i1 1, 1,,... m, rapprsntano l intnsità dll discontinuità di tipo Havisid di tipo Dlta di Dirac x, i, x, l rlativ posizioni. Nl lavoro di Biondi Caddmi (7) si dimostra ch l discontinuità di tipo Havisid dtrminano variazioni nlla rigidzza flssional ch causano discontinuità nlla risposta in trmini di curvatur, mntr l discontinuità di tipo Dlta di Dirac dtrminano brusch variazioni dlla rigidzza flssional quivalnti a crnir intrn dotat di moll rotazionali Figura 4. Trav con discontinuità nll curvatur, ovvro con discontinuità nlla dfinizion dl momnto di inrzia I(x) dl modulo di Young E(x).

74 7 Capitolo Figura 5. Trav con discontinuità nll rotazioni (a), corrispondnt ad una trav con crnir intr moll rotazionali di rigidzza k post ni punti di discontinuità x, (b)., Sostitundo l q. (.37) nll q. diffrnzial (.1) ch govrna il problma statico dlla trav di Eulro-Brnoulli, si ottin: EI 1 U x x, δ x x, u ( x) q( x). i1 1 n m i i (.38) L q. diffrnzial (.38) intgrata du volt fornisc: b b x q ( x) 1 U ( ) ( )δ. i1 EI 1 n m 1 i x x, i u x u x x x, (.39) Pr risolvr l q. (.39) risptto ad u ( x), si moltiplicano ntrambi i mmbri dll q. (.39) pr δx x, k poiché il prodotto di du distribuzioni Dlta di Dirac scondo Bagarllo (1995, ) è sprimibil com:

75 Modlli di trav con discontinuità multipl 71 Aδ x x, k δx x δx xk, k si ottin: n b1b x q ( x) 1 i U x x, i u ( x)δx x, k δx x, k i1 EI Portando ku ( x) Aδ x x, k u( x) Aδ x x. k, k (.4) (.41) al primo mmbro è possibil splicitar il sgunt prodotto: 1 b b x q ( x) u( x)δ x x δ x x. (.4) 1, k n, k EI 1 k i Ux x, i i1 L q. (.4) può ssr scritta nlla sgunt forma: q ( x) u( x)δx x, c3 6c4x EI dov c n 1 ii i1 U x, x, i δ x x,, 1 A i1 1i A1i 1 A b 1 3, c4 EI 6EI b 1, i i1 1 k 1 k (.43) (.44) La sgunt sprssion splicita dlla curvatura pr il modllo di trav considrato è ottnuta sostitundo l q. (.43) nll q. (.39): q ( x) ( x) u( x) c3 6c4x EI (.45) n m 1 iii1 U x x, i 1 δ x x,, i1 1 1 A dov sono dfiniti com sgu U x x, 1,,..., m. (.46) n i i i1,, i i1 i i 1 1 A1 A

76 7 Capitolo Un intgrazion dll q. (.45) fornisc l sprssion dlla risposta in trmini di rotazion pr il modllo di trav analizzato: ( x) u( x) c 3 x n m c3 x i x x, i Ux x, i Ux x, i1 1 n m 3c4 x i x x, i U x x, i x, Ux x, i n q x q x, i i i1 EI q U x x, i E I q x m, 1 EI U xx, (.47) dov sono stat fatt l sgunti posizioni: i iii 1. (.48) 1 n 1 i Ux, x, i 1 A (.49) i1 Un ultrior intgrazion dll q. (.47) fornisc l sprssion dlla risposta in trmini di spostamnto pr il modllo di trav analizzato: u( x) c c x 1 n m c3 x i x x, i Ux x, i x x, Ux x, i1 1 n c4 x i x 3x, i x x, i Ux x, i i1 m (.5) 6 x, x x, U x x, 1 4 x 1 EI, i, i, i q x q x q x x x q n i U x x, i EI i1 EI m q x, x x, U x x.,

77 Modlli di trav con discontinuità multipl 73 Nll q. (.5) compaiono l quattro costanti di intgrazion c1, c, c 3 c 4 ch possono ssr dtrminat fissando opportun condizioni al contorno. Si può ossrvar inoltr ch l soluzioni finora trovat, mostrano dll funzioni di risposta continu in trmini di spostamnto rotazion, mntr risulta discontinua in x solo la lgg di variazion dlla curvatura. Infin è possibil ottnr l sprssion dl momnto flttnt moltiplicando la curvatura [q.] pr la rigidzza flssional [q. (.3)]: q ( x) M ( x) E( x) I( x) ( x) EI c3 6c4x. (.51) EI La lgg di variazion dllo sforzo di taglio si può dtrminar com: 1 q ( x) V ( x) M ( x) E( x) I( x) ( x) EI 6c4. (.5) EI L quazioni (.51) (.5) forniscono l lggi di variazion dl momnto flttnt dllo sforzo di taglio com funzioni continu, a mno di discontinuità prsnti nll funzioni q x q x, dovut ad 1 vntuali carichi strnamnt applicati. Inoltr si può ossrvar ch l intnsità dlla discontinuità nll curvatur non appar splicitamnt nll quazioni (.51) (.5), ma la sua influnza è contnuta nll costanti c 3 c 4, ovvro nll condizioni al contorno. Prtanto, sulla bas dlla procdura di intgrazion ch Biondi Caddmi (5) proposro, è stato possibil trasfrir l influnza dll discontinuità dalla rigidzza flssional dlla trav all condizioni al contorno. Pr travi staticamnt dtrminat, M(x) V(x) non dipndranno dalla sprssion dlla rigidzza flssional adottata, di consgunza l costanti c 3 c 4 risultranno indipndnti dall discontinuità prsnti. Vicvrsa, pr travi staticamnt indtrminat, la rigidzza flssional adottata influnzrà anch l sprssioni dll costanti di intgrazion c 3 c 4. L q.(.47), ch dfinisc il campo di rotazioni dlla trav, prsnta m nll asciss x,, ch possono ssr valutat - discontinuità x, splicitamnt com sgu:

78 74 Capitolo q ( x, ) x, c3 6c4 x, EI, 1,,..., m. (.53) L discontinuità nll rotazioni fornit dall q.(.53) possono ssr mss in rlazion all sprssion dl momnto flttnt, fornita nll q. (.51), valutata ni punti x, mdiant la sgunt rlazion: M( x, ) x,, 1,,..., m. (.54) EI L q. (.54) è quivalnt al caso di una trav con salti nlla rigidzza flssional E( x) I( x ) posti in x,i, i 1,,..., n, con crnir intrn post in x, 1,,..., m, ciascuna dotata di una molla rotazional di rigidzza, k,, com mostrata in Figura 6, sprimibil com sgu: EI 1,,..., m. (.55) k,, Analogamnt al caso dlla trav con singola discontinuità nll rotazioni è possibil dfinir anch pr qusto modllo una lunghzza carattristica rlativa alla -sima discontinuità nll rotazioni, com: 1,,..., m. (.56) *,, L quazioni (.47) (.5) forniscono l sprssioni in forma chiusa dlla risposta in trmini di rotazion spostamnto, pr i du tipi di discontinuità considrata, in cui l quattro costanti di intgrazion c, c, c, c dvono ssr comunqu valutat in bas a dtrminat condizioni al contorno. Nl succssivo capitolo si analizzrà una soluzion splicita più gnral, indipndnt da particolari condizioni al contorno, pr lo studio di travi dformabili flssionalmnt alla Eulro-Brnoulli.

79 Modlli di trav con discontinuità multipl 75 Figura 6. Schma di trav quivalnt al modllo proposto con discontinuità flssionali multipl..5 Soluzion dlla trav di Eulro-Brnoulli con discontinuità multipl ngli spostamnti assiali Gli spostamnti assiali dlla trav di Eulro-Brnoulli dotata di rigidzza assial E( x) A( x ) variabil risptto all ascissa x, sono individuati dalla risoluzion dlla sgunt quazion diffrnzial dl scondo ordin, scondo il modllo rapprsntato in Figura 7: E( x) A( x) u( x) q ( x), (.57) x x dov u ( x), q ( x ) sono rispttivamnt lo spostamnto assial il carico x assial. x Figura 7. Modllo pr lo studio dlla trav con multipl discontinuità ngli spostamnti assiali

80 76 Capitolo La rigidzza assial dlla trav è dfinita com sgu: n E( x) A( x) EA 1 i x x, i. (.58) i1 Nll q.(.58) sono stati introdott n funzioni gnralizzat Dlta di Dirac ciascuna moltiplicata pr la corrispondnt intnsità. Sostitundo l q. (.58) nll q.(.57) d intgrando si ottin: 1 a q x u x u x x x (.59) n 1 x x ( ) i x( ), i, EA i1 dov a 1 è una costant di intgrazion. Poiché l q. (.59) scritta in qusta forma non può ssr risolta splicitamnt risptto ad u ( x), si moltiplicano ambo i mmbri pr x x,k : i x 1 a q x u ( x) x x x x x 1 x, k EA n i1,, u ( x) x x x x. i x i k (.6) Ricordando l rgol ch dfinisc il prodotto di du distribuzioni dlta di Dirac (cfr. Biondi Caddmi, 5) si può ancora scrivr: 1 a q x u ( x) x x x x A u ( x) x x. (.61) 1 x x, i i x, i EA Dopo smplici passaggi si ottin la sgunt quazion: 1 1 a q x u ( x) x x x x. 1 x x, i, i 1i A EA (.6)

81 Modlli di trav con discontinuità multipl 77 Sostitundo l q. (.6) nll q. (.59), dopo smplici passaggi, si ottin la risposta in trmini di dformazion assial: 1 a q x (.63) n 1 x i ( x) ux( x) 1 x x, i. EA i1 1i A Un ultrior intgrazion fornisc l sprssion dllo spostamnto assial: n a 1 i ux( x) a x Ux x, i EA i1 1i A x 1 x n qx q x i, i U x x, i, E A 1 A E A i1 i (.64) dov a1, a sono l costanti di intgrazion da individuar in bas all condizioni al contorno. Nll sprssion (.64) è possibil notar la discontinuità dlla risposta ux( x ) in corrispondnza dll ascissa x,i. Lo sforzo normal T( x ), è sprimibil com: 1 1 T( x) E( x) A( x) ( x) a q ( x). (.65) x Lo spostamnto assial prvisto dall q.(.64), prsnta di salti ux( x, i) in corrispondnza dll asciss x,i, sprimibili com: 1 a1 qx x, i i ux( x, i), i 1,,..., n, (.66) 1 A EA i confrontando l q. (.66) con l sprssion (.65) dllo sforzo normal, si dduc ch: Tx, i i ux( x, i), i 1,,..., n. (.67) 1 A EA i L q. (.67) è quivalnt al caso di una trav con un vincolo assial cdvol intrno posto in x,i, dotato di una molla traslazional ch lavora

82 78 Capitolo nlla dirzion assial dlla trav, avnt rigidzza k xi, com mostrato in Figura 8. Tal rigidzza k xi, è sprimibil com: 1i A kxi, E A, i 1,,..., n. (.68) i Prtanto la rigidzza traslazional k può assumr valori comprsi tra zro (assnza di molla traslazional), d infinito (ossia trav snza discontinuità in x ); ciò implica ch può assumr valori comprsi tra zro d 1/A. È facil ossrvar ch assgnato il valor dlla rigidzza traslazional k, il corrispondnt valor di intnsità dlla discontinuità i è fornito xi, dalla sgunt quazion: 1 i, k x i A EA (.69) pr un valor dl paramtro A sclto tra qulli proposti da Bagarllo (1995). Figura 8. Una trav quivalnt al modllo con discontinuità assiali Esaminando l q. (.68) si ossrva ch dimnsionalmnt la rigidzza dlla molla traslazional si misura com prodotto di una forza pr l invrso di una lunghzza, mntr il prodotto EA si misura dimnsionalmnt com una forza. Si dduc quindi ch il sgunt rapporto dovrà avr la dimnsion dll invrso di una lunghzza: 1i A 1 L, (.7) i k x

83 Modlli di trav con discontinuità multipl 79 Ciò implica ch i dovrà ssr sprsso in trmini di una lunghzza, mntr il paramtro A in trmini dll invrso di una lunghzza, analogamnt al caso flssional di discontinuità nll rotazioni: 1 i L, A L, (.71) in tal modo risulta vrificata dimnsionalmnt l quazion (.7). Si introduc il conctto di lunghzza carattristica * xi,, ossia qulla lunghzza il cui invrso moltiplicato pr la rigidzza assial EA, consnt di ottnr la rigidzza dlla molla quivalnt: EA k (.7) xi, * xi, ovvro: * EA xi, k L (.73) xi, Ricordando l q.(.68) si può ossrvar ch la lunghzza carattristica è ugual al sgunt rapporto: * xi, * xi, i 1 A i (.74) * Da ciò si vinc ch l assnza di discontinuità ( i ) comporta =, xi, mntr l annullamnto dlla rigidzza ( kxi, ) dlla molla assial - quivalnt ni punti di discontinuità x,i comporta un valor dlla lunghzza carattristica tndnt all infinito, lunghzza carattristica * xi, * xi,. In dfinitiva la può assumr valori non ngativi: * xi,. (.75) Sostitundo l q. (.74) nll q. (.64), si ottin la risposta dlla trav in trmini di spostamnto: n a1 * ux( x) a x x, i Ux x, i EA i1 (.76) n * qx x xi, 1 q x x, i U x x, i. E A E A i1 La risposta in trmini di dformazion assial si ottin calcolando la drivata prima dll q. (.76):

84 8 Capitolo 1 n a1 qx x * ( x) ux ( x) 1 x, ix x, i. EA (.77) i1.6 Bibliografia 1. Bagarllo, F., Multiplication of distribution in on dimnsion: possibl approachs and applications to d-function and its drivativs. Journal of Mathmatical Analysis and Applications 196, Bagarllo, F.,. Multiplication of distribution in on dimnsion and a first application to quantum fild thory. Journal of Mathmatical Analysis and Applications 66, Billlo, C., 1. Thortical and xprimntal invstigation on damagd travs undr moving systms. PhD. Thsis, Univrsità dgli Studi di Palrmo, Palrmo, Italy. 4. Biondi B., Caddmi S., 5. Closd form solutions of Eulr- Brnoulli travs with singularitis. Intrnational Journal of Solids and Structurs 4, Biondi B., Caddmi S., 7. Eulr Brnoulli bams with multipl singularitis in th flxural stiffnss, Europan Journal of Mchanics A/Solids 6 (7) Brmrmann, H.J., Durand III, L.J., On analytic continuation, multiplication, and Fourir transformations of Schwartz distributions. Journal of Mathmatical Physics, Christids, S., Barr, A.D.S., On-dimnsional thory of crackd Brnoulli-Eulr travs. Int. J. Mch. Scincs, 6(11/1), Colombau, J.F., Nw Gnralizd Functions and Multiplication of Distribution. North-Holland, Amstrdam. 9. Falson, G.,. Th us of gnralisd functions in th discontinuous trav bnding diffrntial quations. Intrnational Journal of Enginring Education 18 (3),

85 Modlli di trav con discontinuità multipl 81 1.Frund, L.B., Hrmann, G., Dynamic fractur of a bam or plat in plan bnding. Journal of Applid Mchanics 76, Gounaris, G., Dimarogonas, A.D.,1988. A finit lmnt of a crackd prismatic bam for structural analysis. Computrs and Structurs 8, Gulfand, I.M., Chilov, G.E., 197. Ls Distributions. Dunod, Paris. 13.Hoskins, R.F., Gnralisd Functions. Ellis Horwood Limitd, Chichstr, England. 14.Kanwal, R.P., Gnralisd Functions Thory and Applications. Acadmic Prss, Nw York. 15.Lighthill, M.J., An Introduction to Fourir Analysis and Gnralisd Functions. Cambridg Univrsity Prss, London. 16.Ostachowicz, W.M., Krawczuk, C., Analysis of th ffct of cracks on th natural frquncis of a cantilvr bam. J. Sound Vibr., 15(), Paiptis, S.A., Dimarogonas, A.D., Analytical Mthods in Rotor Dynamics. Elsvir Applid Scinc, London. 18.Rizos, P.F., Aspragathos, N., Dimarogonas, A.D., 199. Idntification of crack location and magnitud in a cantilvr bam from th vibration mods. Journal of Sound and Vibration 138(3), Sinha, J.K., Friswll, M.I., Edwards, S.,. Simplifid modls for th location of cracks in bam structurs using masurd vibration data. J. Sound Vibr., 51(1), Th MathWorks, Inc., Matlab usr manual. 1.Timoshnko, S.P., Thory of lasticity. McGraw-Hill, Nw York..Yavari, A., Sarkani, S., 1. On applications of gnralisd functions to th analysis of Eulr Brnoulli bam-columns with ump discontinuitis. Intrnational Journal of Mchanical Scincs 43,

86 8 Capitolo 3.Yavari, A., Sarkani, S., Moyr, E.T.,. On applications of gnralisd functions to bam bnding problms. Intrnational Journal of Solids and Structurs 37, Yavari, A., Sarkani, S., Rddy, J.N., 1a. On nonuniform Eulr Brnoulli and Timoshnko travs with ump discontinuitis: application of distribution thory. Intrnational Journal of Solids and Structurs 38, Yavari, A., Sarkani, S., Rddy, J.N., 1b. Gnralizd solutions of bam with ump discontinuitis on lastic foundations. Archiv of Applid Mchanics 71 (9), Zmanian, A.H., Distribution Thory and Transform Analysis. McGraw-Hill, Nw York.

87 Capitolo 3 LA TRAVE DI TIMOSHENKO CON DISCONTINUITÀ MULTIPLE 3.1 Introduzion L analisi di travi in prsnza di discontinuità lungo la campata sono ampiamnt studiat in lttratura in quanto è un problma di intrss comun in diffrnti sttori dll'inggnria. I tipi di discontinuità ch sono stati studiati riguardano, pr smpio, variazioni brusch dlla szion o dl modulo di Young, prsnza di vincoli intrni prsnza di cracks. Nl caso di struttur intlaiat compost da vari lmnti trav con un gran numro di discontinuità pr risolvr sia problmi dirtti di analisi ch problmi invrsi di idntificazion sono richist procdur comptitiv. L'analisi di travi in prsnza di divrsi tipi di discontinuità solitamnt è condotta, sia in statica ch in contsti dinamici, mdiant classich procdur basat sull intgrazion dll quazioni diffrnziali ch govrnano il problma tra discontinuità. In lttratura sono stat propost procdur altrnativ basat sul mtodo dlla trav ausiliaria pr la formulazion dll quazioni govrnanti pr un dominio di intgrazion unico lungo l intra campata dlla trav (Yavari t al., 1). Altri approcci, basati sul mtodo dlla cosidtta matric di trasfrimnto, prmttono di trattar divrsi tipi di discontinuità fornndo una soluzion ricorsiva convnint nl snso ch la soluzion ad una gnrica szion trasvrsal dipnd dalla risposta alla discontinuità immdia-

88 84 Capitolo 3 tamnt prcdnt la szion corrnt. Qusti ultimi approcci comportano una valutazion squnzial dlla soluzion (Khim & Lin 1, Li ; Ruotolo & Surac 4; Binici 5; Wang Qiao 7). A conoscnza dll'autor in lttratura non è stato ddicato molto sforzo al caso di struttur intlaiat in prsnza di più discontinuità. In particolar, è auspicabil una formulazion pr l lmnto trav in grado di incorporar, mdiant sprssioni splicit in forma chiusa, un numro arbitrario di discontinuità diffrnti. Rcntmnt, facndo uso di funzioni gnralizzat (distribuzioni) è stato trattato mdiant la matric di rigidzza dinamica il caso di struttur intlaiat in prsnza di cracks (Caddmi & Caliò 1). Nll'ambito dlla toria dll distribuzioni, è stata formulata una procdura d intgrazion pr la trav di Eulro-Brnoulli l trav di Timoshnko con discontinuità di tipo divrso (Biondi & Caddmi 7). Soluzioni splicit in forma chiusa, dipndnti da sol quattro costanti d intgrazion, sono stat fornit solo pr il campo statico, l discontinuità richidvano il soddisfacimnto di tutt l condizioni di continuità. In qusto lavoro, sono sfruttat l suddtt soluzioni in forma chiusa pr formular un lmnto trav da adottar pr la discrtizzazion agli - lmnti finiti di struttur intlaiat con discontinuità multipl. Nll'lmnto trav proposto possono ssr inclusi divrsi tipi di discontinuità in numro arbitrario snza aumntar lo sforzo computazional. Tuttavia, in qusto lavoro particolar attnzion è ddicata al caso di lmnto trav con un numro arbitrario di cracks; qust'ultimo vin opportunamnt modllato mdiant distribuzioni dlta di Dirac. In accordo al modllo prsntato, sono formulat l funzioni di forma pr il caso statico l sprssion splicita dlla matric di rigidzza dll'lmnto spazial dlla trav dannggiata. Assmblando, con procdur classich, l matrici di rigidzza dgli lmnti, la matric di rigidzza global dlla struttura è ottnuta snza alcun incrmnto di gradi di librtà dovuti alla prsnza dll discontinuità. Considrando l funzioni di forma propost, vin valutata la matric di massa cornt dll'lmnto trav vin svolta l'analisi dinamica dl-

89 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 85 l struttur intlaiat in prsnza di cracks in numro posizioni arbitrari. Vngono prsntati discussi analisi di struttur intlaiat in prsnza di danni concntrati. Particolar attnzion è stata ddicata alla valutazion dll'influnza di cracks sui paramtri dlla risposta dinamica. La carattrizzazion dlla risposta dinamica dll lmnto dannggiato mdiant il modllo di lmnto finito proposto porta ad una maggior consapvolzza vrso la soluzion di problmi invrsi di idntificazion di danni. 3. Il modllo trav in prsnza di discontinuità In qusta szion vin prsntato un modllo di trav di Timoshnko con singolarità multipl vin mostrata la capacità dl modllo nl dscrivr l discontinuità nll funzioni di risposta. Il modllo considrato è una gnralizzazion al contsto dinamico alla trav di Timoshnko di quanto rcntmnto proposto in (Biondi & Caddmi 7). L quazioni ch govrnano il problma statico dlla trav di Timoshnko soggtta a carichi trasvrsali qx ( ) momnti distribuiti mx, ( ) tnndo conto dlla variabilità spazial dlla rigidzza flssional E( x) I( x ) di qulla a taglio G( x) A( x ), possono ssr scritt com sgu: I I I E( x) I( x) ( x) G( x) A( x) v ( x) ( x) m( x) (3.1) I I G( x) A( x) v ( x) ( x) q( x) (3.) dov vx, ( ) ( x) sono l funzioni di spostamnto rotazion, rispttivamnt. L quazioni (3.1) (3.) possono ssr adottat pr l analisi di travi in prsnza di discontinuità lungo l ass. Adottando opportun distribuzioni possono ottnrsi singolarità di divrso tipo nll funzioni di risposta, sia nll sprssioni dlla rigidzza flssional ch in qull a taglio, com sgu:

90 86 Capitolo 3 n n E( x) I( x) EI 1 ( 1) U( x x ) 1 ( ) i x xi 1 i1 (3.3) n n G( x) A( x) G A 1 ( 1) U( x x ) 1 ( ) k x x k 1 k1 (3.4) dov U è la funzion di Havisid (gradino unitario) è la distribuzion nota com funzion dlta di Dirac. I modlli prsntati nll q. (3.3) (3.4) possono ssr adottati pr il caso di singolarità n, n, n di i k divrso tipo contmporanamnt prsnti l ungo l lmnto nll posizioni x, x, x. In paricolar, i trmini contnnti la funzion di Havisid rapprsntano brusch variazioni di szion o dl matrial ch producono discontinuità nll curvatur,, ngli scorrimnti angolari,, mntr la prsnza di funzioni dlta Dirac, sia nlla rigidzza flssional ch in qulla a taglio, rapprsntano discontinuità rotazionali i nll dformazioni trasvrsali k. I paramtri, i, k rapprsntano, rispttivamnt, l intnsità dlla variazion di rigidzza flssional a taglio, govrnano l corrispondnti discontinuità dlla risposta. Pr smplicità, considrando l coordinat adimnsionalizzat xl, indicando con l apic la drivata risptto a, l quazioni diffrnziali ch govrnano il problma dlla trav di Timoshnko (3.1) (3.), in accordo all singolarità introdott attravrso l (3.3) (3.4), assumono la sgunt forma: n n I 1 ( 1) U ( ) 1 ( ) ( ) i i 1 i1 n br H ( ) 1 k ( ) u ( ) ( ) m( ) k I k 1 I n n br 1 U k u q k 1 k1 I (3.5) I 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.6)

91 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 87 L quazioni (3.5) (3.6), sprss in trmini dlla funzion normalizzata u( ), tngono in conto di carichi strni attravrso il pa- v( ) L q( ) 3 ramtro di carico trasvrsal normalizzato q( ) L il paramntro dl carico da momnto normalizzato m( ) L. Inoltr, nll EI m( ) EI q. (3.5) (3.6) sono introdotti i paramtri adimnsionali dll singolari- i k tà i, k, L L G taglio br, con b E, L L A r L. I La prsnza di discontinuità nll curvatur angolari, il paramtro dlla rigidzza a ngli scorrimnti dtrmina la modifica local dlla rigidzza flssional a taglio dl concio di trav comprso tra l asciss x d x 1. È possibil infatti dimostrar ch sussitono la sgunti rlazioni ( E I E I ) / E I (3.7) ( G A G A ) / G A (3.8) ssndo EI GA rispttivamnt la rigidzza flssional a taglio dl concio di trav comprso tra l asciss x d x 1. Dall q. (3.7) è possibil ossrvar inoltr ch s la rigidzza flssional dl concio risulta pari a E I EI, s invc accad ch 1 allora la stssa rigidzza si annulla EI. Analogamnt s la rigidzza a taglio dl concio risulta pari a GA GA, vicvrsa s accad ch 1 allora la stssa rigidzza si annulla GA. L discontinuità rotazionali i nll dformazioni trasvrsali k, invc, sono quivalnti a vincoli intrni dformabili di rigidzza k,i k vk, rispttivamnt nll rotazioni ngli spostamnti, localizzati nll asciss x, x. E possibil dimostrar l sgunti rlazioni i k

92 88 Capitolo 3, i 1 i A EI i vk, 1 k A G A k k k (3.9) (3.1) ssndo k,i k vk, rispttivamnt l rigidzz dll moll rotazionali traslazionali quivalnti all discontinuità i k d A un paramtro dovuto a Bagarllo (1995, ) ch dfinisc il prodotto di du distribuzioni dlta di Dirac. k,1 k v,1 k,1 k v,1 E I G A E I, G A E I, G A 1 1, 1 1 Figura 9 Trav quivalnt al modllo proposto L quazioni diffrnziali (3.5) (3.6), govrnanti la trav di Timoshnko con singolarità, sono stat rcntmnt risolt nlla forma chiusa prsntata nlla szion succssiva con l obbittivo di mostrar ch ss possono ssr impigat con succsso in accurat analisi dinamich di lmnti dannggiati. 3.3 Soluzion in forma chiusa dlla trav con discontinuità Facndo uso dlla procdura d intgrazion rcntmnt proposta in Caddmi t al. (1), l Eq. (3.5) (3.6) portano all sgunti sprssioni dlla drivata dlla rotazion ( ) drivata dlla I dformazion I normalizzata u ( ) : 1 I ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) n 1 n q m b1 b i i i1 1 U 1 (3.11)

93 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 89 1 n 1 q ( ) b1 n b r b r k1 1 U k k 1 I u ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (3.1) dov bb 1, sono costanti d intgrazion l apic [ ] indica la primitiva di ordin. Inoltr nll Eq. (3.11) (3.1) sono stati introdotti i paramtri adimnsionali i k i, dov A è una costant 1 k A 1 A i dfinita dal prodotto di du dlta di Dirac (Biondi & Caddmi 7). Qusti ultimi paramtri moltiplicano l dlta di Dirac ch compaiono I nll drivat dlla rotazion ( ) dlla dformazion normalizzata I u ( ) ciò mostra ch il modllo adottato implica salti sia nlla rotazion ( ) ch nlla dformazion u( ). In particolar k rapprsntano l flssibilità, normalizzat risptto L EI k i L GA, dll moll intrn rotazionali traslazionali all posizioni x, i 1,..., n, k x, k 1,..., n, ch quivalgono all singolarità nll rigidzz flssionali a taglio introdott nl modllo adottato attravrso l quazioni (3.3), (3.4). L Eq. (3.11), (3.1) possono ssr riscritt com sgu: i n n * 1 I ( ) 1 U( ) q ( ) m ( ) b1 b 1 ( ) i (3.13) i 1 i1 n 1 n * q ( ) b1 u ( ) 1 U( ) I 1 ( ) ( ) k k 1 br br (3.14) k1 dov sono stati dfiniti i sgunti paramtri aggiuntivi: * 1 * 1, (3.15) (a,b) L intgrazion dll q. (3.13), pr via dll rgol d intgrazion dll distribuzioni da smplici passaggi algbrici, porta alla sgunt sprssion splicita dlla funzion rotazion ( ):

94 9 Capitolo 3 ( ) c d ( ) c d ( ) c d ( ) d ( ) (3.16) dov l costanti d intgrazion sono ridfinit com c 3 b /, c 4 b 1 /6, è introdotta la costant aggiuntiva c l funzioni d ( ),,...,5, sono dfinit com sgu: d ( ) 1 ; n n * * 3( ) ( ) ( ) i i 1 i1 d U U n n * * 4( ) 3 3 ( ) 6 ( ) i i i 1 i1 d U U n [3] [] * [] [1] 5( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i1 n * [3] [] [3] [] q m ( q m U 1 d q m q m U ) ( ) ( ) ( ) 5 ; (3.17) ; Sostitundo la funzion rotazion, data dalla (3.16), all intrno dll q.(3.14), dopo l applicazion dll not rgol d intgrazion di distribuzioni, si prvin alla sgunt sprssion splicita dlla funzion spostamnto ux: ( ) u( ) c f ( ) c f ( ) c f ( ) c f ( ) f ( ) (3.18) dov: f ( ) 1 ; f ( ) 1 n n * * 3 i i i 1 i1 f ( ) ( ) U ( ) ( ) U ( ) 4 n n 3 * 3 3 * i i i i 1 i1 f ( ) ( 3 ) U ( ) 6 ( ) U( ) 5 * n n * k 6 6 ( ) U ( ) 6 U ( ) k br br br 1 k 1 n [4] [3] * [4] [3] [4] [3] 1 f ( ) q ( ) m ( ) q ( ) m ( ) q ( ) m ( ) U( ) n * [] [1] q ( ) ( ) ( ) ( ) i m i i U i i i1 [] n * n * q ( ) [] [] k [1] q ( ) q ( ) U ( ) q ( br br k 1 k 1 br n * 3 q ( ) m ( ) ( ) U ( ) 1 5 ) U ( ) k (3.19)

95 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 91 Nll q. (3.17) (3.19) sono stati introdotti i sgunti paramtri: n * * i, 1 ( ) 1 i i U i i 1 1 (3.) i, n * * k, 1 ( ) 1 k k U k (3.1) k 1 1 k, Nll q. (3.) (3.1) vin tnuto conto dll dfinizioni introdott nll q (3.15) mntr i, k, indicano i valori di paramtri nl sgmnto di trav dov la i-sima discontinuità rotazional i la k- sima discontinuità traslazional agiscono. Analogamnt ai paramtri i k k *, i paramtri i * k rapprsntano l flssibilità, dll moll intrn rotazionali traslazionali, normalizzat risptto all prtinnti flssibilità flssionali 1 a taglio L i, EI 1 i, L k, 1. GA 1 k, L q. (3.18), dov l costanti d intgrazion c 1,c,c 3,c 4 sono dtrminabili imponndo opportun condizioni al contorno, rapprsnta la soluzion splicita dlla stppd Timoshnko trav in prsnza di discontinuità in rotazioni spostamnti trasvrsali. Qust ultima tipoligia di discontinuitàpuò ssr pnsata com indotta dalla prsnza di vincoli intrni dotati di moll rotazionali traslazionali con flssibilità, rispttivamnt. La soluzion pr il caso dlla trav di Eulro-Brnoulli può ssr facilmnt ricavata assumndo ch il paramtro di taglio lungo l ass dlla * * trav sia br ; imponndo ch si ottin il caso dlla trav omogna. L sprssion dl momnto flttnt M ( ) vin valutata a partir da qulla adimnsional M ( ) tramit la rlazion E( ) I( ) M( ) M( ) (3.) L * i * k

96 9 Capitolo 3 L sprssion dlla M ( ) può ssr ottnuta moltiplicando la rigidzza n flssional dlla trav E( ) I( ) EI 1 ( 1) U( ) pr la 1 funzion ( x) ( x) ch dfinisc la curvatura dlla trav 1 M ( ) EI c3 6 c4 q ( ) m ( ) (3.3) Analogamnt, l sprssion dllo sforzo di taglio V ( ) dimnsional vin valutata a partir da qulla adimnsional V ( ) tramit la rlazion E( ) I( ) V( ) V( ) (3.4) L l sprssion dlla V ( ) può ssr ottnuto dall quazion indfinita I di quilibrio M ( ) V( ) m( ) tramit l quazion (3.3) 1 V( ) EI 6 c4 q ( ) (3.5)

97 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl Funzioni di forma La soluzion gnral in forma chiusa dlla trav di Timoshnko in prsnza di discontinuità multipl fornit dall q. (3.16) (3.18), rispttivamnt in trmini di rotazion dformazion, sono qui utilizzat pr formular un nuovo lmnto finito trav pr l'analisi di tlai con discontinuità. Tal lmnto finito non richid l'introduzion di ultriori nodi in corrispondnza dll szioni in cui si vrificano l discontinuità. Prcisamnt, l sprssioni splicit dlla dflssion funzioni di rotazion dlla trav Timoshnko con singolarità vngono riscritti qui pr comodità, in assnza di carichi strni, com sgu: ( ) c d ( ) c d ( ) c d ( ) (3.6) u( ) c f ( ) c f ( ) c f ( ) c f ( ) (3.7) in cui sono stati omssi i trmini d5( ) d f5( ) prché dipndnti dai carichi strni u 1 1 u Figura 3 Elmnto finito trav Pr una trav doppiamnt incastrata soggtta a spostamnti imposti al contorno, l costanti di intgrazion ch appaiono nll q. (3.6) (3.7) sono valutati imponndo l sgunti condizioni al contorno: u() u1; () 1; (3.8) u(1) u; (1) dov u,, u, sono rispttivamnt gli spostamnti l rotazioni 1 1 di nodi di strmità adimnsionalizzati. Attravrso smplici passaggi è possibil ricavar l costanti di intgrazion crcat

98 94 Capitolo 3 c1 u1 c 1 d4(1) d4(1) f4(1) d4(1) f4(1) (3.9) c3 u1 1 u d3(1) d3(1) f3(1) d3(1) f3(1) c ˆ ˆ ˆ ˆ 4 u1 1 u L quazioni (3.6) (3.7) possono ssr riscritt nlla sgunt forma u( ) N ( ) u N ( ) N ( ) u N ( ) (3.3) u1 1 u 1 u3 u4 ( ) N ( ) u N ( ) N ( ) u N ( ) (3.31) ssndo Nu ( ) N ( ) l funzioni di forma rispttivamnt ngli spostamnti nll rotazioni dlla trav di Timoshnko con discontinuità N ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) N N N u k 1 4 u( ) n k k u3( ) n k k 1 ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) n f ( ) 4 4 f ( ) n f ( ) n f ( ) n4 f4( ) nk f k ( ) u k 1 k k k k (3.3) ( ) n n3 3 n4 4 nk k k N d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) 4 ( ) n n3 3 n4 4 nk k k N d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) n n3 3 n4 4 nk k k N d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) n n3 3 n4 4 nk k k N d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) (3.33) r dov d ( ), f ( ) sono fornit nll q.(3.17) (3.19), n sono indicat i nll q. (3.34) i k

99 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 95 u d4(1) 1 d3(1) n1 1 ; n ; n3 ; n4 ; f(1) d4(1) f4(1) d(1) f3(1) d(1) f(1) d3(1) n1 ; n 1 ; n3 ; n4 ; (3.34) d4(1) 3 d3(1) n1 ; n ; n3 ; n4 ; f4(1) 4 f3(1) n1 ; n ; n3 ; n4 ; L q. (3.3) (3.31) possono ssr scritt ancora in forma compatta T T u( ) Nu ( ) u ( ) N ( ) u (3.35) ssndo N ( ), N ( ) i vttori ch collzionano rispttivamnt l funzioni di forma ngli spostamnti nll rotazioni d u un vttor ch collziona gli spostamnti nodali, dfiniti com sgu N 1 1( ) u ( ) N u1 u() L N ( ) ( ) u N 1 () Nu ( ) ; N ( ) ; u N 3( ) N 3( ) u u u(1) L N 4( ) N 4( ) u (1) L sprssion dlla curvatura può ssr ottnut tramit drivazion dll q. (3.31) ( ) ( ) ( ) N ( ) u N ( ) N ( ) u N ( ) (3.36) dov ( ) sono l funzioni di forma in trmini di curvatur N N N N N ( ) nd( ) n d( ) ( ) n d( ) n d( ) ( ) n d( ) n d( ) ( ) n d( ) n d( ) (3.37) Nll q. (3.37) l funzioni d3( ), d4 ( ) sono l drivat dll funzioni d ( ), d ( ) indicat nll q. (3.17) 3 4

100 96 Capitolo 3 d d n * 3 ( ) U( ) 1 n * 4 ( ) 3 6 U( ) 1 (3.38) L q. (3.36) può ssr scritta nlla sgunt forma compatta T ( ) N ( ) u (3.39) ssndo N ( ) N 1( ), N ( ), N 3( ), N 4( ) t il vttor ch collziona l funzioni di forma nll curvatur 3.5 Matric di rigidzza Gli sforzi nodali intrni, quali lo sforzo di taglio il momnto flttnt, possono ssr collzionati nl vttor T S V1 M1 V M V () M() V(1) M (1) mssi in rlazion al vttor dgli spostamnti nodali uattravrso la sgunt - sprssion S K u b dov b K è la matric 4 x 4 di rigidzza dll lmnto finito trav con discontinuità multipl dfinita, in bas all q. (3.33), com sgu T [( E( ) I( ) N ( ) ) ] T [ E( ) I( ) N( ) ] Kb T [( E( ) I( ) N( ) ) ] 1 T [ E( ) I( ) N( ) ] 1 (3.4) L sprssion splicita dlla matric di rigidzza è riportata nll appndic B. 3.6 Matric di massa cornt Al fin di ffttuar un analisi dinamica di una struttura intlaiata la distribuzion dll forz d inrzia lungo l lmnto con discontinuità proposto può ssr ricavata attravrso la costruzion dlla matric di massa cornt. In particolar, la matric di massa cornt

101 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 97 dll lmnto finito proposto con l funzioni di forma fornit dall q. (3.3) può ssr valutata com sgu: 1 T Mb N ( ) ( ) ( ) u m N u d (3.41) dov m( ) è la massa pr unità di lunghzza dll lmnto. L q. (3.41) può ssr sfruttata pr formular un sprssion splicita dlla matric di massa dlla trav con discontinuità com riportato nll Appndic C pr il caso di massa uniformmnt distribuita. L forz d inrzia contnut nl vttor S possono ssr rlazionat al vttor dll aclrzioni nodali u com sgu: S M u (3.4) I dov b b M è la matric di massa consistnt 4 4 dll lmnto trav con discontinuità l cui componnti sono valutat in accordo all q. (3.41) L forz d inrzia contnut nl vttor S possono ssr rlazionat al vttor dll aclrzioni nodali u com sgu: I I La formulazion proposta dfinisc un lmnto finito di tipo trav D con discontinuità multipl. Tuttavia, la matric di rigidzza global K la matric di massa pr un lmnto finito con 1 DOF. M possono ssr facilmnt sts al caso 3D b b

102 98 Capitolo Analisi statica linar di un tlaio piano In qusto paragrafo si vuol dimostrar l fficacia dll lmnto finito proposto attravrso l analisi statica linar dl tlaio piano rapprsntato in Figura 31 soggtto ai sgunti carichi: F.75kN, q 1.5kNm. -1 Il 8 tlaio è composto da du ritti in acciaio ( E.6 1 kn / m ) di lunghzza h=3,m avnti szion trasvrsal rttangolar 13 cm 4 4 ( I c.7 1 m ) d un travrso in acciaio di lunghzza L=5,m con 5 4 szion trasvrsal rttangolar 1 cm ( I b m ) rapprsntato in Figura 3, prsnta divrs discontinuità intrn. Al fin di modllar il comportamnto mccanico dl travrso si introducono l sgunti discontinuità: m 1.5m 1 kn / m x.5 m ; ; x ; k ; β 3.5 m 1 kn / m 4.5 m 1 Prtanto la rigidzza flssional dl travrso EI ( x ) è funzion dll singolarità scondo il modllo proposto al 3.5. b Figura 31. Modllo di calcolo dl tlaio piano

103 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 99 (1 ) EIb 1 k k 1 (1 ) EIb 3 (1 ) EIb Figura 3. Schma di trav adottato pr il modllo agli lmnti finiti Nll sgunti figur sono riportati i grafici dlla risposta dl tlaio modllato mdiant lmnti finiti con discontinuità multipl. I risultati sono stati confrontati con qulli ottnuti mdiant il noto codic di calcolo SAP. Figura 33. E.F. proposto: dformata dl tlaio in Figura 31. Il travrso subisc uno spostamnto flssional massimo in x=.5m pari a.3986 mm, mntr l implacato trasla orizzontalmnt di.818 mm nl punto di applicazion dlla forza F.

104 1 Capitolo 3 Figura 34. E.F. proposto: diagramma dl momnto flttnt dl tlaio in Figura 31. I valori dl momnto flttnt sono sprssi in knm. Figura 35. E.F. proposto: diagramma dllo sforzo di taglio dl tlaio in Figura 31. I valori dllo sforzo di taglio V sono sprssi in kn.

105 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl 11 Figura 36. SAP: dformata dl tlaio in Figura 31. Il travrso subisc uno spostamnto flssional massimo in x=.5m pari a.398 mm, mntr l implacato trasla o- rizzontalmnt di.818 mm nl punto di applicazion dlla forza F. Figura 37. SAP: diagramma dl momnto flttnt dl tlaio in Figura 31

106 1 Capitolo 3 Figura 38. SAP: diagramma dllo sforzo di taglio dl tlaio in Figura 31 Dal confronto dlla risposta local dl tlaio si dduc ch il modllo basato su lmnti finiti con discontinuità fornisc i mdsimi risultati ottnibili mdiant il modllo gnrato dal codic di calcolo SAP basato su lmnti finiti standard. In qust ultimo modllo è stato ncssario discrtizzar il travrso in cinqu lmnti finiti, pr cui il numro di gradi di librtà dl sistma risolvnt risulta pari a 18. D altra part, il modllo basato su lmnti finiti con discontinuità multipl non ncssita alcuna discrtizzazion, pr cui il numro di gradi di librtà dl sistma risolvnt si riduc a 6. Si sottolina l vidnt riduzion dll onr computazional ch apporta l lmnto finito proposto.

107 La trav di Timoshnko con discontinuità multipl Bibliografia 1. Yavari, A., Sarkani, S., Moyr, E.T.,. On applications of gnralisd functions to bam bnding problms, Intrnational Journal of Solids and Structurs, 37, Yavari, A., Sarkani, S., Rddy, J.N., 1. On nonuniform Eulr- Brnoulli and Timoshnko travs with ump discontinuitis: application of distribution thory, Intrnational Journal of Solids and Structurs 38: Khim, N.T., Lin, T.V., 1. A simplifid mthod for natural frquncy analysis of a multipl crackd bam, Journal of Sound and Vibrati8on, 45, Ruotolo, R., Surac, C., 4. Natural frquncis of a bar with multipl cracks, Journal of Sound and Vibration 7: Li, Q.S.. Fr vibration analysis of non-uniform travs with an arbitrary numbr of cracks and concntratd masss, Journal of Sound and Vibration, 5, Binici, B. 5. Vibration of travs with multipl opn cracks subctd to axial forc. Journal of Sound and Vibration, 87, Wang, J., Qiao, P., 7. Vibration of travs with arbitrary discontinuitis and boundary conditions, Journal of Sound and Vibration, 38, Biondi, B., Caddmi, S. 7. Eulr-Brnoulli travs with multipl singularitis in th flxural stiffnss, Europan Journal of Mchanics A/Solids, 6, Billlo, C. 1. Thortical and xprimntal invstigation on damagd travs undr moving systms. Ph.D. Thsis, Univrsity of Palrmo, Italy. 1. Caddmi, S. & Caliò, C. 1. Th influnc of concntratd cracks on framd structurs by mans th dynamic stiffnss mthod. Fifth Europan Workshop on Structural Halth Monitoring, Sorrnto, Napls, Italy.

108 14 Capitolo Caddmi, S., Caliò, I., Cannizzaro, F, 1. Closd-form solutions for stppd Timoshnko travs with intrnal singularitis and along-axis xtrnal supports. Archiv of Applid Mchanics doi:1.17/s (1). 1. Dimarogonas, A.D., Vibration of crackd structurs: a stat of th art rviw. Enginring Fractur Mchanics 55, Ostachowicz, W.M., Krawczuk, C., Analysis of th ffct of cracks on th natural frquncis of a cantilvr bam. Journal of Sound and Vibration 15(), Rizos, P.F., Aspragathos, N., Dimarogonas, A.D., 199. Idntification of crack location and magnitud in a cantilvr bam from th vibration mods. Journal of Sound and Vibration 138(3), Billlo, C., 1. Thortical and xprimntal invstigation on damagd travs undr moving systms. PhD. Thsis, Univrsità dgli Studi di Palrmo, Palrmo, Italy.

109 Capitolo 4 UN NUOVO ELEMENTO FINITO TRAVE A PLA- STICITÀ DIFFUSA (GDB) 4.1 Prmssa Nl prsnt capitolo si propon un nuovo lmnto finito trav a plasticità diffusa, formulato in trmini di spostamnti, basato sulla soluzion statica dlla trav di Timoshnko con discontinuità. Tal lmnto, indicato succssivamnt con la sigla GDB, acronimo associato alla fras Gnralisd Displacmnt Basd bam lmnt, si distingu dagli lmnti finiti DB tradizionali pr la possibilità di modificar la rigidzza dll lmnto attravrso l uso di funzioni di forma arricchit dalla prsnza di funzioni gnralizzat il cui contributo si considra rgolato da variabili intrn. Nll ambito dlla procdur numrica di analisi non linar, basata sull algoritmo di Nwton Raphson, la modifica dll funzioni di forma dll lmnto finito vin govrnata dallo stato dll lmnto dtrminato a partir dalla risposta ottnuta nll szioni di controllo il cui numro la cui posizion dipndono dal particolar mtodo di intgrazion alla Gauss considrato. Tal procdura mira ad una valutazion più accurata dllo stato dll'lmnto (Elmnt Stat Dtrmination). In qusta prima vst la procdura proposta non tin conto dlla dformabilità a taglio dll lmnto finito. Tal limitazion non prclud comunqu la possibilità, anch attravrso succssivi studi, di un ultrior stnsion dlla procdura numrica al caso in cui l lmnto finito a plasticità diffusa sia anch dformabil a taglio.

110 16 Capitolo 4 L lmnto finito proposto, a diffrnza dgli lmnti finiti DB tradizionali, non richid una discrtizzazion dlla trav in sub-lmnti pr coglir l variazioni di curvatura, pr cui a parità di accuratzza il numro di gradi di librtà richisti risptto agli approcci DB classici risulta di gran lunga infrior. Risptto agli approcci FB l lmnto possid il vantaggio di rstituir il campo dgli spostamnti intrno all lmnto di non ncssitar di ultriori itrazioni nlla fas di stat lmnt dtrmination. Inoltr la dipndnza dll funzioni di forma dai carichi dirttamnt applicati sull lmnto nè consnt una facil implmntazion anch in prsnza di carichi concntrati o parzialmnt distribuiti in campata snza la ncssità di modifich dll lmnto bas (com pr gli approcci FB) o di ultriori discrtizzazioni. 4. Forz spostamnti nodali Si considri una trav i cui nodi di strmità I J risultano individuati risptto ad un sistma di rifrimnto global OXYZ. Tal asta risulta orintata nllo spazio scondo il sistma di rifrimnto local dll lmnto oxyz ortogonal lvogiro con origin o I. X O Z Y y z 3 o I Z y l ass z sia tal ch z x y. L ass x dl sistma di ri 1 x x' Figura 39 Individuazion dll lmnto finito trav nllo spazio risptto al sistma di rifrimnto global OXYZ d a qullo local dll lmnto oxyz Pr dfinir l orintamnto dgli assi dl sistma di rifrimnto local si dfinisca un sistma di rifrimnto ausiliario oxyz in modo ch l ass x risulti disposto com il vttor I - J, l ass y sia tal ch z J z ' x y y y '

111 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 17 frimnto local oxyz risulta coincidnt con l ass x mntr gli assi y z risultano individuati in funzion dll angolo di rotazion. Si dfiniscono Q q rispttivamnt i vttori dll forz dgli spostamnti nodali dll lmnto finito trav, sprssi nl sistma di rifrimnto local dll lmnto (cfr. figura 1) Q Q1, Q, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q1, Q11, Q (4.1) 1 q q1, q, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q1, q11, q (4.) 1 Nlla prsnt trattazion la risposta torsional si assum govrnata da un lgam lastico linar si considra disaccoppiata da qulla flssional, prtanto non vrrà considrata nl prosiguo dlla trattazion. T T Figura 4 Forz spostamnti nodali dll lmnto finito trav 4.3 Ipotsi cinmatich L approccio adottato introduc un ipotsi sul campo dgli spostamnti dlla lina d ass dlla trav ch si assum possano ssr sprssi mdiant una combinazion linar di funzioni di forma gnralizzat variabili in funzion dllo stato dll lmnto.

112 18 Capitolo L funzioni di forma gnralizzat adottat nlla discrtizzazion E bn noto ch il principal limit dll approccio agli spostamnti classico, basato sull funzioni di forma dlla trav lastica d omogna, risid nll incapacità di coglir, nl singolo lmnto, l variazioni di curvatura associat all dformazioni plastich nll lmnto di consgunza l inadguatzza dlla rapprsntazion dl campo dgli spostamnti. L ida alla bas dlla prsnt formulazion consist nl proporr un approccio agli spostamnti in cui l funzioni di forma, alla bas dlla discrtizzazion, risultino dipndnti dall variazioni locali di rigidzza dlla trav. In particolar nlla prsnt formulazion si propon di associar al monitoraggio dllo stato dll lmnto nl passo la dfinizion di una trav non omogna, con variabilità a tratti, la cui rigidzza possa ritnrsi rapprsntativa dllo stato corrnt dll lmnto. Tal approccio divin comptitivo s associato all soluzioni in forma chiusa, riportat nl capitolo prcdnt rlativa alla trav con variabilità a tratti. Tali soluzioni sono rlativ all funzioni di forma di un lmnto trav con variabilità brusca nlla rigidzza possggono l norm vantaggio di dipndr sclusivamnt dai gradi di librtà nodali dll lmnto, com pr la trav omogna. L discontinuità sono rgolat dll variabili intrn ch idntificano l variazioni di rigidzza flssional dll lmnto rgolando i contributi di trmini gnralizzati dll funzioni La dfinizion dlla trav non omogna quivalnt Divrsi possono ssr gli approcci di dfinizion dlla trav nonomogna quivalnt, nlla prsnt formulazion si è considrato un approccio dipndnt dal mtodo di intgrazion adottato. Il livllo di conoscnza dllo stato inlastico dll lmnto dipnd dalla sua discrtizzazion d in particolar da: - mtodo di intgrazion di lina numro di szioni di controllo; - discrtizzazion dlla szion in fibr; - lgam costitutivo dll fibr.

113 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 19 I mtodi di intgrazion numrica gnralmnt adottati prvdono la suddivision dlla trav in un numro finito di conci l introduzion di szioni di controllo pr ciascun concio. Ciascuna szion di controllo si può allora ritnr rapprsntativa dlla risposta dll proprità mccanich dll altr szioni ch ricadono all intrno dl concio di appartnnza. Si può allora assumr ch, nl gnrico passo dll analisi, la trav inlastica ai fini dlla rigidzza possa considrarsi quivalnt ad una trav con rigidzza, variabil a tratti, individuata dallo stato dll szion di controllo. In figura Figura 41 vin qualitativamnt rapprsntata una trav non omogna rapprsntativa dl gnrico stato dll lmnto, in accordo ad una procdura di intgrazion di Gauss in cui l Nr szioni di controllo risultano rapprsntativ di conci di lunghzza w L r. Figura 41 Rapprsntazion qualitativa dlla trav non omogna quivalnt. In particolar con rifrimnto al mtodo di intgrazion di Gauss, dtti w (r=1,,,nr) rispttivamnt i psi l posizioni dll szioni di r r controllo risptto al sistma di rifrimnto intrinsco, la trav può allora L considrarsi suddivisa in conci di lunghzza pari a w r risptto al sistma di rifrimnto natural. Pr ciascun concio si introduc quindi L una szion di controllo posta in xr (1 r) ch, com dtto poc anzi, si assum ssr rapprsntativa dll altr szioni dl concio. Ciò im-

114 11 Capitolo 4 plica ch ciascun concio di trav può considrarsi a rigidzza szional costant. Pr tal ragion si introducono discontinuità nll curvatur in numro pari a qullo dll szioni di controllo, posizionat in corrispondnza dll asciss 1 L x w 1,,..., r Nr (4.3) r1 L asciss x possono ssr raccolt in un vttor x ch individua l posizioni dll variazioni di rigidzza nlla trav quivalnt, risptto all origin posizionata al primo strmo. L L L x, w1, ( w1 w ),..., ( w1 w... wn 1) r (4.4) Ciascuna discontinuità è individuata dal paramtro associato alla rigidzza flssional dlla szion di controllo EI in funzion di un valor di rifrimnto EI gnralmnt assunto pari alla rigidzza inizial dlla trav omogna. ( E I E I ) / E I (4.5) I paramtri ch individuano l intnsità dll discontinuità possono ssr raccolt in un unico vttor β,,..., Nr (4.6) 1 1 In tal modo ciascun piano di inflssion dlla trav sarà carattrizzato nl passo da una coppia di vttori x, β ch carattrizza la distribuzion dll discontinuità. L discontinuità così introdott modllano la trav a conci, ciascuno di quali ha una rigidzza szional costant pari

115 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 111 a qulla dlla szion di controllo ad sso associata. Inizialmnt si assum ch ciascun concio abbia rigidzza EI pari a qulla inizial EI pr cui, il ch comporta assnza di discontinuità. Prtanto alla bas dlla formulazion dll lmnto finito Gnralisd Displacmnt Basd vi è l ipotsi ch il campo dgli spostamnti dlla lina d ass dlla trav si possa sprimr attravrso l funzioni di forma associat alla trav nonomogna quivalnt d in particolar: u ( x,,) N ( ) q N ( ) q x x1 1 x 7 u ( x,,) N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q y y1 z y z 6 y3 z 8 y4 z 1 u ( x,,) N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q z z1 y 3 z y 5 z3 y 9 z4 y 11 (4.7) in cui N ( ) sono l funzioni di forma assiali ngli spostamnti, pr l x quali si trascurano gli fftti associati all discontinuità. N ( ) 1, N ( ) (4.8) x1 x N (, β ), N (, β ) sono l funzioni di forma flssionali in trmini di y y z z spostamnto. L sprssioni dll funzioni di forma flssionali N ( ) dlla trav con discontinuità sono stat drivat nl capitolo prcdnt [q. (3.3)] valutat rispttivamnt pr l discontinuità nll curvatur di intnsità yr zr, qust ultim associat all rigidzz flssionali EI y d z EI di ciascuna szion di controllo. I vttori β, β collzionano i salti nlla rigidzza flssional zr yr. L q.(4.7) può scrivrsi nlla sgunt forma compatta u( x) N( x, β, β ) q (4.9) y z y z u

116 11 Capitolo 4 dov u ( x) u (,,), (,,), (,,) t x x uy x uz x è il vttor ch raccogli l componnti di spostamnto lungo la lina d ass mntr N( x, β, β ) è la matric ch raccogli l funzioni di forma sopra citat. y z Nx1 Nx N( x, βy, βz ) N y1 N y N y3 N y4 Nz1 Nz Nz3 Nz4 (4.1) 4.4 Campo di dformazion Pr l lmnto finito proposto si assum inoltr ch sia soddisfatta l ipotsi di consrvazion dll szioni pian, pr cui il campo dll dformazioni longitudinali può ssr sprsso nlla forma x( x, y, z) yz z y 1 z y y α( y, z) d ( x) (4.11) z Nlla q. (4.11) il campo dll dformazioni ( x, y, z ) è dscritto dal prodotto scalar tra il vttor α ( yz, ) d il vttor dll dformazioni gnralizzat d ( x), ralizzando in tal modo una sparazion dll variabili da qull dipndnti dall asciss ( yz, ) a qull dipndnti dalla posizion x dlla szion. x

117 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 113 z G χ F y P Figura 4 Szion trasvrsal dlla trav Con rifrimnto all dformazioni trasvrsali principali (, ) qust sono ovunqu trascurat. Nll ipotsi in cui la trav sia indformabil a taglio gli scorimnti angolari risultano nulli d il tnsor di dformazion si scriv x E (4.1) L dformazioni gnralizzat ( x), y( x), z( x) sono mss in rlazion al vttor dgli spostamnti nodali tramit l rlazioni y z ( x) N ( ) q N ( ) q x1 1 x 7 ( x) N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q y y1 y 3 y y 5 y 3 y 9 y 4 y 11 ( x) N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q N (, β ) q z z1 z z z 6 z 3 z 8 z 4 z 1 (4.13) Nll q. (4.13) x/ L è l ascissa adimnsionalizzata risptto alla lunghzza L dll lmnto finito, N ( ) sono l drivat prim dll x

118 114 Capitolo 4 funzioni di forma assiali [q.(4.8)], N (, β ) N (, β ) sono l funzioni di forma flssionali in trmini di curvatura N ( ) dlla trav con discontinuità ottnut al capitolo prcdnt [q. (3.37)] valutat rispttivamnt pr i vttori dll discontinuità nll curvatur di intnsità β β, qust ultim associat all rigidzz flssionali EIy d EIz dll y z szioni di controllo dlla trav. L q.(4.13) possono ssr scritt ancora nlla sgunt forma compatta d( x) B( x, β, β ) q (4.14) y z y y z z ssndo d ( x) ( x), ( ), ( ) T y x z x il vttor dll dformazioni gnralizzat, B( x, β, β ) la matric ch raccogli l funzioni di forma nll y z dformazioni assiali nll curvatur dfinit supriormnt. N x1 N x B( x, yr, zr ) N 1 N 3 4 y N y N y y N 1 N N 3 N z z z z 4 (4.15) 4.6 Campo di tnsion Nlla prsnt formulazion si assum ch il campo dll tnsioni assiali s x (x, y,z) sia indipndnt dall azioni associat alla torsion al taglio di cui si ignora l influnza. Si ha prtanto ( x, y, z) E( x, y, z) ( x, y, z) (4.16) x x Noto il campo di tnsioni nlla dirzion dll ass dlla trav ( x, y, z ) l carattristich dlla sollcitazion, drivanti da tal campo di tnsion, si possono raccoglir nl vttor D ( x) N( x) M ( ) ( ) T y x M z x, si possono sprimr nlla forma compatta: x

119 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 115 N( x) 1 D T ( x) M y( x) z x( x, y, z) d α ( y, z) x( x, y, z) d (4.17) M z( x) y ssndo l ara dlla szion trasvrsal dlla trav. Con rifrimnto ad una discrtizzazion a fibr dlla szion trasvrsal dlla trav l q. (4.17) si traduc nlla sommatoria stsa stsa al numro di fibr considrat N( x) Nfib T D( x) M y ( x) α ( yifib, zifib) x( x, yifib, zifib) A (4.18) ifib ifib1 Mz ( x) 4.7 Matric di rigidzza La rlazion ch lga l forz nodali Q agli spostamnti nodali dll'lmnto finito si ottin applicando il principio di lavori virtuali (PLV). Ipotizzando ch l lmnto finito sia soggtto solo a forz spostamnti nodali il PLV fornisc V T T tr( TE) dv Q q dv Q q (4.19) x x V q sostitundo l q. (4.16) nll q. (4.19) si ottin T x E( x, y, z) xdv Q q (4.) V sostitundo l q. (4.11) nll q. (4.) d T ( x) T ( y, z) E( x, y, z) ( y, z) d ( x) dv Q T q (4.1) V

120 116 Capitolo 4 L'intgral di volum nll q. (4.1) può ssr ancora scritto com un intgral stso all ara dlla szion trasvrsal ( x) pr un intgral stso alla lunghzza L dlla lmnto finito L t T t d ( x) ( y, z) E ( y, z) dd( x) dx Qq k( x) ( x) (4.) L intgral stso all ara dlla szion trasvrsal ( x) è noto in lttratura com matric di rigidzza dlla szion x vin usualmnt indicato con il simbolo k ( x). Sostitundo l q. (4.14) nll q. (4.) si ottin L t t t ( x, y, z ) ( x) ( x, y, z) dx q B β β k B β β q Q q q (4.3) portando tutti i trmini al primo mmbro si ottin L t t t q B ( x, βy, βz ) k( x) B( x, βy, βz) dx Q q q (4.4) poiché l q. (4.4) dv ssr soddisfatta pr un arbitrario campo di spostamnti q si ha L t t t ( x, y, z ) ( x) ( x, y, z ) dx q B β β k B β β Q (4.5) in forma compatta q K Q Q K q (4.6) t t t

121 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 117 ssndo K L t y z y z K B ( x, β, β ) k( x) B( x, β, β ) dx (4.7) la matric di rigidzza dll lmnto finito trav ch dipnd dallo stato corrnt dll lmnto attravrso i vttori β, β. In Figura 43 è riportato, mdiant diagramma di flusso, lo schma di aggiornamnto dlla matric di rigidzza dll lmnto. y z Figura 43 Diagramma di flusso pr l assmblaggio dlla matric di rigidzza 4.8 Forz nodali rattiv dll lmnto finito GDB Il vttor dll forz nodali dll'lmnto (lmnt rsisting forcs), Q, vin dtrminato applicando il principio di lavori virtuali L T T qq d ( x) D ( x) dx (4.8)

122 118 Capitolo 4 Sostitundo l q. (4.14) nlla q. (4.8) si ottin L T T T x y z q Q q B (, β, β ) D ( x) dx (4.9) Portando tutti i trmini al primo mmbro si ha L T T q Q ( x,, ) ( ) y z x dx B β β D q (4.3) Tal rlazion dv ssr soddisfatta pr un arbitrario campo di spostamnti q pr cui dovrà ssr L T x y z Q B (, β, β ) D ( x) dx (4.31) Con rifrimnto all procdur di analisi non linar basat sull algoritmo di Nwton-Raphson la dtrminazion dl vttor dll forz nodali Q avvin tramit intgrazion numrica dll q.(4.31). Nl caso in cui si adotti il mtodo di intgrazion alla Gauss l q. (4.31) divnta L N r T T ( x, y, z ) ( x) dx ( xr, y, z ) ( xr ) wr r1 L Q B β β D B β β D (4.3) ssndo w r i psi di Gauss. Appar vidnt ch a diffrnza dll approccio agli spostamnti standard, i vttor dll forz nodali oltr a dipndr dai valori corrnti dll carattristich dlla sollcitazion nll szioni di controllo risulta anch influnzato dalla variabilità dll funzioni di forma.

123 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) Dtrminazion dllo stato dll lmnto La dtrminazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat Dtrmination) consnt la dtrminazion dll forz nodali dll lmnto Q ch scaturiscono da un campo di spostamnti nodali imposti q. La procdura proposta è molto simil a qulla adottata nll approccio classico agli spostamnti, già sposta nl capitolo 1 (cfr ). L unica diffrnza è associata alla ncssita di aggiornar i vttori β, β ch collzionano i salti nlla rigidzza flssional in accordo alla rigidzza corrnt dll szioni di controllo. Con rifrimnto all lmnto finito trav a plasticità diffusa GDB pr un fissato incrmnto dl vttor dgli spostamnti nodali q, la squnza dll oprazioni, sprss simbolicamnt dall q.error. L'origin rifrimnto non è stata trovata., è riassumibil ni sgunti punti: 1) Pr un incrmnto finito di spostamnti nodali q si impon a ciascuna szion xr di controllo un campo di dformazioni gnralizzat congrunt d ( ) tramit l q. (1.): x r 1 1 ( ) (,, x ) r xr y z d B β β q ) L carattristich dlla sollcitazion D( x r ) ch scaturiscono dal campo di dformazioni imposto d( x r ) sono ottnut mdiant l analisi szional (Sction Stat Dtrmination, cfr ) Tal procdura si può sprimr simbolicamnt com D( x ) g d ( x ) r r 3) Aggiornamnto dll discontinuità. Pr ciascuna szion xr di controllo si sguono l sgunti oprazioni: a) Aggiornamnto dlla discontinuità β y. Sia y 1 yr, yr, l intnsità dlla discontinuità nlla szion r-sima rispttivamnt valutat nll itrazion prcdnt (-1) d in qulla corrnt (); z

124 1 Capitolo 4 sia y r y r 1 ( x ) ( x ) l incrmnto dlla curvatura nlla szion r-sima valutati rispttivamnt nll itrazion prcdnt (-1) d in qulla corrnt (). 1 S s 1 ( x ) ( x ) allora si è in prsnza di yr, y r y r uno scarico da una fas di carico plastico. In tal caso si assgna una intnsità dlla discontinuità nulla alla szion di controllo r- sima:, yr Vicvrsa, s ( x ), si calcola la rigidzza corrispondnt y r EI y, r M y ( xr ) / y ( xr ) pr cui l intnsità dlla discontinuità è fornita dalla q.(4.5): y, r ( EI y EI y, r ) / EI y. S invc y( xr) non si procd all aggiornamnto di, si consrva il suo valor assunto all itrazion prcdnt b) Aggiornamnto dlla discontinuità yr 1 yr, β. Si ript quanto z dtto al punto a) considrando l corrispondnti quantità vttoriali ch riportano il pdic z. 4) Noti gli incrmnti dll carattristich dlla sollcitazion D( ) nll szioni di controllo è possibil calcolar x r l incrmnto dll forz nodali rattiv (rsisting forcs) tramit l q.(4.31) N r T L Q B ( xr, βy, βz ) D ( xr ) wr r1 Il valor cumulato dl vttor dll forz nodali Q è ottnuto, infin, sommando l incrmnto calcolato al valor ottnuto nll itrazion prcdnt 1 Q Q Q

125 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 11 In Figura 44 è riportato il diagramma di flusso rlativo alla procdura a- dottata.

126 1 Capitolo 4 Figura 44 Diagramma di flusso dll Elmnt Stat Dtrmination dll lmnto finito proposto

127 Un nuovo lmnto finito a plasticità diffusa (DB++) 13

128

129 Capitolo 5 APPLICAZIONI NUMERICHE 5.1 Prmssa In qusto capitolo si riportano alcuni smpi applicativi dll lmnto finito proposto GDB. I risultati ottnuti vngono confrontati con qulli ottnuti attravrso lmnti finiti DB FB già implmntati ni softwar ADINA, SismoStruct OpnSs. L prim applicazioni sono rlativ ad una trav a mnsola costituito da matral lastico prfttamnt plastico l cui carattristich sono riportat in tablla 5.1. La trav si assum caricata in corrispondnza dll strmo libro. L applicazioni succssiv sono rlativ ad un smplic tlaio piano costituito dallo stsso matrial lasto-plastico considrato pr la mnsola soggtto ad una distribuzion costant di carichi vrticali azioni orizzontali crscnti fino alla condizion di incipint collasso. Tali applicazioni sono orintat ad ffttuar una prima validazion dl modllo proposto mdiant analisi statich non linari su modlli smplici ma sufficintmnt rapprsntativi.. Lgnda: Tablla 5.1 Paramtri mccanici dl lgam costitutivo E = modulo di Young; E [MPa] [MPa] = tnsion al limit lastico.

130 16 Capitolo 5 5. Trav a mnsola La prima applicazion è rlativa ad una trav a mnsola avnt szion rttangolar 3x5 cm lunghzza L=3.m, soggtta ad un carico applicato all strmo libro fino al raggiungimnto dlla condizion di incipint collasso. Nlla modllazion ch utilizza l lmnto finito proposto GDB, sono stati implmntati du tipi di modlli con diffrnt discrtizzazion: il primo indicato con la sigla M1-GDB prvd la modllazion dll trav con un solo lmnto finito, il scondo indicato con la sigla M-GDB considra una discrtizzazion associata all utilizzo di lmnti finiti. Ciascun lmnto prsnta 7 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion di Gauss-Lobatto. Ciascuna szion, a sua volta, è discrtizzata in 8x34 fibr d il lgam costitutivo associato ad ogni fibra è assunto lastico prfttamnt plastico (E=37439 MPa, = MPa). I risultati numrici sono stati confrontati con qulli ottnuti mdiant modlli basati su lmnti finiti trav tradizionali DB, implmntati ni codici di calcolo commrciali ADINA SismoStruct, nonché attravrso modlli basati su lmnti finiti FB prsnti ni codici di calcolo Opn- Ss SismoStruct. Pr tutti i modlli sono stat condott analisi statich non linari incrmntali facndo crscr monotonicamnt il carico applicato. Ni succssivi sottoparagrafi si riportano i risultati ottnuti ni divrsi approcci. I primi risultati, riportati nl succssivo sottoparagrafo, sono rlativi ad un applicazion in ADINA cornt con un approccio agli spostamnti classico, basato sulla discrtizzazion mdiant i polinomi cubici di Hrmit ADINA modlli DB L analisi numrich condott con il codic ADINA sono stat sgut impigando l lmnto finito nonlinar lasto-plastic bam lmnt in cui vin adottato il mtodo di intgrazion numrica di Nwton-Cots. Sono stati utilizzati tr divrsi livlli di discrtizzazion. Nl modllo

131 Applicazioni numrich 17 A1-DB5 la trav vin modllata con un solo lmnto finito in cui sono prsnti 5 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion dl mtodo di Nwton-Cots. Nl modllo A1-DB7 la trav vin modllata ancora con un solo lmnto finito in cui sono prsnti 7 szioni di controllo. Il modllo A1-DB5 è rlativa ad una discrtizzazion accurata in cui la trav vin discrtizzata in 1 lmnti finiti ciascun lmnto finito prsnta 5 szioni di controllo. Il lgam costitutivo dlla szion è stato assgnato fornndo l coppi di valori ch mttono in rlazion l carattristich dlla sollcitazion con l dformazioni gnralizzat. Tali coppi di valori sono stat ottnut attravrso un analisi momnto-curvatura dlla szion dlla trav pr vari valori di sforzo normal attravrso una discrtizzazion pr fibr cornt con qulla adottata nlla modllazion proposta. Nll sgunti figur si riportano i grafici dlla risposta di divrsi modlli considrati. La risposta è sprssa in trmini di (a) spostamnto, (b) curvatura, (c) curvatura plastica (d) momnto flttnt. (a) (b) (c) (d) Figura 45 ADINA: modllo A1-DB. Risposta dlla trav modllata con un lmnto finito DB 5 szioni di controllo (=.15): (a) spostamnto, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momnto.

132 18 Capitolo 5 (a) (b) (c) (d) Figura 46 ADINA: modllo A1-DB7. Risposta dlla trav modllata con un lmnto finito DB 7 szioni di controllo (=.15): (a) spostamnto, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momnto. L figur sono rlativ ad una discrtizzazion basata sull utilizzo di un solo lmnto finito, vi è assoluta vidnza dll inacuratzza dlla soluzion. Il diagramma dl momnto flttnt è palsmnt rratto d inoltr l lmnto prvd una distribuzion di curvatura plastica pr tutta la lunghzza, contro l vidnza fisica. Dai risultati ottnuti, praltro bn noti nlla lttratura, mrg con assoluta vidnza ch oprando con l approccio Displacmnt Basd classico non è accttabil la discrtizzazion ch prvd l utilizzo di un solo - lmnto. (a) (b) (c) (d) Figura 47 ADINA: modllo A1-DB. Risposta dlla trav modllata con 1 lmnti finiti DB (=.187): (a) spostamnto, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momnto.

133 Applicazioni numrich 19 In figura 47 si riporta la risposta dl modllo ADINA, dnominato A1- DB5, in cui la trav vin discrtizzata con 1 lmnti finiti DB. In qusto caso i risultati hanno raggiunto un grado di accuratzza accttabil ai fini inggnristici, il diagramma dl momnto flttnt risulta prssocchè linar si riscontrano snsibili aumnti nl diagramma dll curvatur in corrispondnza dll szioni in cui si ha la diffusion dlla plasticità. 5.. SismoStruct modlli DB FB L analisi numrich condott con il codic SismoStruct sono stat sgut impigando l lmnto finito Inlastic fram lmnts - infrmdb, formulato in trmini di spostamnti scondo Hllsland and Scordlis (1981) Mari and Scordlis (1984), in cui vin adottato il mtodo di intgrazion numrica di Gauss-Lobatto. Nl modllo SS1-DB5 la trav vin modllata con un solo lmnto finito in cui sono prsnti 5 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion dl mtodo di Gauss-Lobatto. Nl modllo SS1-FB7 la trav vin modllata con un solo lmnto finito Inlastic fram lmnts - infrmfb formulato in trmini di forz scondo Spacon t al. (1996), in cui sono prsnti 7 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion dl mtodo di Gauss-Lobatto. In tutti i modlli ogni szion di controllo vin modllata mdiant discrtizzazion a fibr d il lgam costitutivo dll fibr è lasticoprfttamnt plastico. I paramtri ch carattrizzano qusto lgam costitutivo sono riportati nl 5..

134 13 Capitolo 5 Figura 48 SismoStruct: discrtizzazion in fibr dll szioni di controllo (a) (b) (c) Figura 49 SismoStruct: modllo SS1-DB5 (=.15): risposta in trmini di (a) spostamnti, (b) sforzo di taglio (c) momnto flttnt (a) (b) (c) Figura 5 SismoStruct: modllo SS1-DB5 (=.11): risposta in trmini di (a) spostamnti, (b) sforzo di taglio (c) momnto flttnt

135 Applicazioni numrich 131 (a) (b) (c) Figura 51 SismoStruct: modllo SS1-FB7 (=.1865): risposta in trmini di (a) spostamnti, (b) sforzo di taglio (c) momnto flttnt (a) (b) (c) Figura 5 SismoStruct: modllo SS1-FB7: risposta in trmini di (a) spostamnti, (b) sforzo di taglio (c) momnto flttnt (=.193). Occorr rilvar ch l approccio agli spostamnti oprato in Sismo- Struct con l adozion di un solo lmnto rstituisc un diagramma di momnti linar, a diffrnza dll ADINA, tuttavia i confronti riportati nl sguito tra i divrsi approcci vidnziano l inaccuratzza in trmini di carico ultimo.

136 13 Capitolo OpnSs modllo FB In qusto paragrafo si riportano i risultati dll analisi numrich condott con il codic di calcolo OpnSs in cui è stato impigato l lmnto finito Nonlinar Bam Column Elmnt formulato in trmini di forz in accordo all approccio proposto da Nunhofr and Filippou (1997), ch prsnta il vantaggio di non richidr ultriori itrazioni associat alla fas lmnt stat dtrmination. Ni modlli OS1-FB5 OS1-FB7 la trav vin modllata con un solo lmnto finito in cui sono prsnti rispttivamnt 5 7 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion dl mtodo di Gauss-Lobatto. Ogni szion di controllo vin modllata mdiant discrtizzazion a fibr d il lgam costitutivo dll fibr è lasticoprfttamnt plastico. I paramtri ch carattrizzano qusto lgam costitutivo sono riportati nl 5.. I risultati sono riportati nll figur E intrssant rilvar com in ntramb l discrtizzazioni l lmnto risc a coglir concntrazioni di curvatura in corrispondnza dll zon soggtt a plasticizzazion. 1 y (.76)[ m ] M ( 36.5)[ knm] (a) (b) Figura 53 OpnSs: modllo OS1-FB5 (=.1875): risposta in trmini di (a) curvatura, (b) momnto. y

137 Applicazioni numrich y (.76)[ m ] M ( 36.5)[ knm] (a) 5..4 Elmnto finito GDB Figura 54 OpnSs: modllo OS1-FB7 (=.1875): risposta in trmini di (a) curvatura, (b) momnto flttnt. Nll succssiv figur sono riportati i risultati ottnuti con l approccio proposto GDB. Sono stati implmntati du tipi di modlli con diffrnt discrtizzazion: il primo indicato con la sigla M1-GDB prvd la modllazion dll trav con un solo lmnto finito, il scondo indicato con la sigla M-GDB considra una discrtizzazion associata all utilizzo di lmnti finiti. Ciascun lmnto prsnta 7 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion di Gauss-Lobatto. Ciascuna szion, a sua volta, è discrtizzata in 8x34 fibr d il lgam costitutivo associato ad ogni fibra è assunto lastico prfttamnt plastico (E=37439 MPa, = MPa). La figura 55 riporta i risultati in trmini di (a) spostamnto, (b) momnto flttnt, (c) curvatura. Inoltr la figura 55 (d) riporta l variazioni dl paramtro bta, in condizioni di incipint collasso, indicativ dll variazioni di rigidzza local dll lmnto in corrispondnza di ritnuti conci rapprsntati dall corrispondnti szioni di controllo. E intrssant notar com il mtodo proposto rstituisca una sorta di trav quivalnt al collasso ch puà ritnrsi indicativa di uno stato di dannggiamnto indotto, un ultrior immagin dllo stato dll lmnto è riportata in figura 57 in cui si utilizza una scala di color. In figura 56 si riportano alcuni y (b)

138 134 Capitolo 5 snapshoot rlativi all variazioni dll funzioni di forma durant il procsso di carico. Stp= Z [m] Z [m] Z [m] Z [m] U( X.)[ [m] m] -1 1 M ( X 1 [m] )[ knm] -1 1 y ( X 1 [m])[ m ] 3 1 y y (a) (b) (c) (d) Figura 55 Modllo M1-GDB7 (=.11), in blu l szioni di controllo in cui si sono manifstat plasticizzazioni: (a) spostamnti, (b) momnti flttnti, (c) curvatur, (d) intnsità dlla discontinuità nll curvatur X [m] L figur 58, 59 6 riportano rispttivamnt l tnsioni, l dformazioni totali l dformazioni plastich rlativ all modllazioni con un solo lmnto finito. I risultati rlativi all utilizzo di du lmnti finiti sono riportati nll figur succssiv, si riscontra un piccolo miglioramnto nll accuratzza dlla soluzion. E intrssant ossrvar com l lmnto proposto, con approccio agli spostamnti, risc a coglir con sufficint accuratzza la risposta dl sistma anch attravrso l adozion di un unico lmnto finito.

139 Applicazioni numrich N 1 - Stp =3.15 N - Stp =3 1.4 N 3 - Stp =3 N 4 - Stp = N 1 - Stp =3 5 N - Stp =3 4 N 3 - Stp =3 5 N 4 - Stp = Figura 56 Modllo M1-GDB7, funzioni di forma ai vari stp di carico. Figura 57 Modllo M1-GDB7 (=.11): intnsità dlla discontinuità y

140 136 Capitolo 5 ( 1)[ MPa] x Figura 58 Modllo M1-GDB7 (=.11): tsioni longitudinali ( = MPa) Figura 59 Modllo M1-GDB7 (=.11): dformazioni longitudinali x

141 Applicazioni numrich Figura 6 Modllo M1-GDB7 (=.11): dformazioni plastich 4 4 y 4 pl x Stp= Z [m] Z [m] Z [m] Z [m] U ( X.)[ [m] m] 1 M y ( 1 X [m] )[ knm] y ( 1 X [m] )[ m ] y (a) (b) (c) (d) Figura 61 Modllo M-GDB7 (=.11), in blu l szioni di controllo in cui si sono manifstat plasticizzazioni: (a) spostamnti, (b) momnti flttnti, (c) curvatur, (d) intnsità dlla discontinuità nll curvatur X [m]

142 138 Capitolo 5 Figura 6 Modllo M-GDB7 (=.11): intnsità dll discontinuità y ( 1)[ MPa] x Figura 63 Modllo M-GDB7 (=.11): tnsioni longitudinali ( = MPa) Figura 64 Modllo M-GDB7 (=.11): dformazioni longitudinali

143 Applicazioni numrich 139 Figura 65 Modllo M-GDB7 (=.11): dformazioni plastich pl x 5..5 Curv di capacità Un ultrior confronto tra l divrs modllazioni adottat è riportato, nl prsnt paragrafo, in trmini di curv di capacità. Il valor dl taglio limit, V= kn, ottnuto dalla condizion di quilibrio al collasso, vin inoltr riportato qual ultrior paramtro util alla valutazion dll accuratzza di risultati ottnuti. Dai grafici si vinc ch i risultati numrici ottnuti con l lmnto finito GDB sono confrontabili con qulli ottnibili mdiant lmnti finiti FB. In paricolar è sufficint discrtizzar la trav con du lmnti finiti GDB (cfr. Figura 67, curva M-GDB7), pr ottnr una risposta quasi sovrapponibil a qulla ottnuta mdiant un solo lmnto finito FB (cfr. Figura 67, curva OS1-FB7).

144 14 Capitolo 5 Figura 66 Curv di capacità Figura 67 Dttaglio curv di capacità

145 Applicazioni numrich Tlaio piano (lgam costitutivo EPP) La sconda modllazion è rlativa ad un tlaio piano composto da pilastri travi avnti szion rttangolar 3x5 cm lunghzza L=3.m L=4.m rispttivamnt, soggtta a du carichi concntrati applicat all strmità dll travi di piano, ciascuna di intnsità pari a F=1kN (Figura 68). Il tlaio è stato modllato mdiant l lmnto finito proposto GDB. In particolar sono stati implmntati du tipi di modlli: il primo indicato con la sigla M1-GDB7 prvd la modllazion dll travi di pilastri con un solo lmnto finito, il scondo indicato con la sigla M-GDB7 modlla ciascuna trav ciascun pilastro con lmnti finiti. In ntrambi i modlli ciascun lmnto finito prsnta 7 szioni di controllo localizzat in corrispondnza di punti di intgrazion di Gauss-Lobatto. Ciascuna szion, a sua volta, è discrtizzata in 8x34 fibr d il lgam costitutivo associato ad ogni fibra è lastico prfttamnt plastico (EPP) (E=37439 MPa, = MPa). I risultati numrici vngono confrontati con qulli ottnuti mdiant modlli basati su lmnti finiti trav tradizionali DB, implmntati ni codici di calcolo commrciali ADINA SismoStruct, nonché attravrso modlli basati su lmnti finiti trav FB prsnti ni codici di calcolo OpnSs SismoStruct. I risultati vngono altrsì confrontati con qulli ottnuti tramit l analisi limit. Pr tutti i modlli sono stat condott analisi statich non linari incrmntali facndo crscr monotonicamnt i carichi applicati. Figura 68 Caso di studio tlaio piano

146 14 Capitolo ADINA modlli DB Figura 69 ADINA, modllo A1-DB5 (=.3): risposta in trmini di spostamnti Figura 7 ADINA, modllo A1-DB5 (=.3): risposta in trmini di spostamnti.

147 Applicazioni numrich 143 Figura 71 ADINA: modllo A1-DB5 (=.3). Curvatur. Figura 7 ADINA: modllo A1-DB5 (=.3). Curvatur.

148 144 Capitolo 5 Figura 73 ADINA: modllo A1-DB5 (=.5). Diagramma dl momnto flttnt. Figura 74 ADINA: modllo A1-DB5 (=.3). Diagramma dl momnto flttnt.

149 Applicazioni numrich SismoStruct modlli DB FB Figura 75 SismoStruct, discrtizzazion dlla szion in fibr Figura 76 SismoStruct, modllo SS1-DB5 (=.5539): risposta in trmini di spostamnto

150 146 Capitolo 5 Figura 77 SismoStruct, modllo SS1-DB5 (=.5539): sforzo di taglio Figura 78 SismoStruct, modllo SS1-DB5 (=.5539): momnto flttnt

151 Applicazioni numrich 147 Figura 79 SismoStruct, modllo SS1-DB5 (=.333): risposta in trmini di spostamnto Figura 8 SismoStruct, modllo SS1-DB5 ((=.333): sforzo di taglio Figura 81 SismoStruct, modllo SS1-DB5 ((=.333): momnto flttnt

152 148 Capitolo 5 Figura 8 SismoStruct, modllo SS1-FB7 (=.341): risposta in trmini di spostamnto Figura 83 SismoStruct, modllo SS1-FB7 (=.341): sforzo di taglio Figura 84 SismoStruct, modllo SS1-FB7 (=.341): momnto flttnt

153 Applicazioni numrich OpnSs modllo FB U(,36)[ m] Figura 85 OpnSs: modllo OS1-FB5 (=.3): risposta in trmini di spostamnti. y m 1 (,73)[ ] Figura 86 OpnSs: modllo OS1-FB5 (=.3): risposta in trmini di curvatur

154 15 Capitolo 5 M ( 36.4)[ ] y knm Figura 87 OpnSs: modllo OS1-FB5 (=.3): momnto flttnt Elmnto finito proposto GDB 7 Stp=31 - Spostamnti (x 5) [m] Z [m] X [m] Figura 88 Elmnto finito proposto M1-GDB7 (=.31): risposta in trmini di spostamnti. In blu l szioni plasticizzat.

155 Applicazioni numrich Stp=31 - Curvatur (x 1) [m -1 ] Z [m] X [m] Figura 89 Modllo M1-GDB7 (=.31): risposta in trmini di curvatur. In blu l szioni plasticizzat.

156 15 Capitolo 5 7 Stp=31 - momnto My (x.1) [knm] Z [m] X [m] Figura 9 Modllo M1-GDB7 (=.31): momnto flttnt. In blu l szioni plasticizzat. 7 Stp=3 - Spostamnti (x ) [m] Z [m] X [m] Figura 91 Modllo M-GDB7 (=.3): risposta in trmini di spostamnti. In blu l szioni plasticizzat.

157 Applicazioni numrich Stp=3 - Curvatur (x ) [m -1 ] Z [m] X [m] Figura 9 Modllo M-GDB7 (=.3): risposta in trmini di curvatur. In blu l zon plasticizzat. 7 Stp=3 - momnto My (x.1) [knm] Z [m] X [m] Figura 93 Modllo M-GDB7 (=.3): momnto flttnt. In blu l zon plasticizzat.

158 154 Capitolo 5 Figura 94 Modllo M-GDB7 (=.3): intnsità dll discontinuità 1[ MPa] x Figura 95 Modllo M-GDB7 (=.3): tnsioni nll fibr. Figura 96 Modllo M-GDB7 (=.3): dformazioni nll fibr.

159 Applicazioni numrich 155 Figura 97 Modllo M-GDB7 (=.3): dformazioni plastich nll fibr Analisi limit La valutazion dl carico limit dlla struttura in sam è valutabil attravrso l applicazion dl torma cinmatico dll analisi limit. Dall analisi di grafici ottnuti mdiant l analisi statich non linari si vinc ch l szioni critich sono qull idntificat con un crchio nro in figura 19. F F Figura 98 - Cinmatismo di collasso Poiché il momnto plastico dll szioni dll travi risulta:

160 156 Capitolo 5 bh M p W knm 4 Dall analisi dl cinmatismo in Figura 98 il lavoro virtual intrno risulta L 6M vi p Il lavoro virtual strno è pari a L Fh v Il moltiplicator di collasso associato al cinmatismo in figura si ottin uguagliando il lavoro virtual strno d intrno M p 3 = Fh Il tagliant alla bas associato al moltiplicator risulta V F kn Curv di capacità Nlla figura sgunt si riportano il confronto dll curv di capacità ottnut mdiant i divrsi approcci di modllazion Figura 99 Curv di capacità

161 Applicazioni numrich 157 Figura 1 Dttaglio dll curv di capacità

162 158 Capitolo Tlaio piano (lgam costitutivo incrudnt) Nl prsnt paragrafo si intnd analizzar la risposta dl tlaio piano dscritto al 5.3 in cui si assum pr l fibr un lgam costitutivo lasto-plastico con incrudimnto cinmatico linar il cui modulo di lasticità tangnt risulta pari a Et =.5 E Elmnto finito proposto GDB Z [m] X [m] Figura 11 Modllo M1-GDB7 (=.45): risposta in trmini di spostamnti Z [m] X [m] Figura 1 Modllo M1-GDB7 (=.45): risposta in trmini di curvatura

163 Applicazioni numrich Z [m] X [m] Figura 13 Modllo M1-GDB7 (=.45): momnto flttnt (x1) knm Z [m] X [m] Figura 14 Modllo M1-GDB7 (=.45): intnsità dll discontinuità.

164 16 Capitolo 5 Figura 15 Modllo M1-GDB7 (=.45). Intnsità dll discontinuità 1[ MPa] x Figura 16 Modllo M1-GDB7 (=.45): risposta in trmini di tnsioni

165 Applicazioni numrich 161 Figura 17 Modllo M1-GDB7 (=.45): risposta in trmini di dformazion. Figura 18 Modllo M1-GDB7 (=.45): dformazion plastica cumulata nll fibr

166 16 Capitolo 5 7 Stp=1 - Spostamnti (x 1) [m] Z [m] X [m] Figura 19 Modllo M-GDB7 (=1.): risposta in trmini di spostamnti 7 Stp=1 - Curvatur (x 1) [m -1 ] Z [m] X [m] Figura 11 Modllo M-GDB7 (=1.): risposta in trmini di curvatur

167 Applicazioni numrich Z [m] X [m] Figura 111 Modllo M-GDB7 (=.45): momnto flttnt Figura 11 Modllo M-GDB7 (=1.): intnsità dll discontinuità

168 164 Capitolo 5 Figura 113 Modllo M-GDB7 (=1.): risposta in trmini di tnsioni Figura 114 Modllo M-GDB7 (=1.): risposta in trmini di dformazioni Figura 115 Modllo M-GDB7 (=1.): risposta in trmini di dformazioni plastich

169 Applicazioni numrich SismoStruct modlli DB FB Figura 116 Modllo SS1-DB5 (=1.): risposta in trmini di spostamnti Figura 117 Modllo SS1-DB5 (=1.): risposta in trmini di sforzo di taglio Figura 118 Modllo SS1-DB5 (=1.): risposta in trmini di momnti flttnti

170 166 Capitolo 5 Figura 119 Modllo SS1-FB7 (=1.): risposta in trmini di spostamnti Figura 1 Modllo SS1-FB7 (=1.): risposta in trmini di sforzo di taglio Figura 11 Modllo SS1-FB7 (=1.): risposta in trmini di momnto flttnt

171 Applicazioni numrich Curv di capacità Nlla figura sgunt si riportano il confronto dll curv di capacità ottnut mdiant i divrsi approcci di modllazion

172 168 Capitolo Bibliografia 1. ADINA R & D, Inc., Thory and Modling Guid, Rport ARD 8-7, Fbruary 8.. Bath K.J., 1996, Finit Elmnt Procdurs in Enginring Analysis, nd Edition, Prntic Hall. 3. Nunhofr A., Filippou F.C., 1997, "Evaluation of nonlinar fram finit-lmnt modls," Journal of Structural Enginring, Vol. 13, No. 7, pp OpnSs, Pacific Earthquak Enginring Rsarch Cntr (PEER), sito wb: 5. Sismosoft Srl, SismoStruct. Manual utnt pr la vrsion 6, Spacon E., Ciampi V., Filippou F.C., 1996, "Mixd formulation of nonlinar bam finit lmnt," Computrs & Structurs, Vol. 58, No. 1, pp Th MathWorks, Inc., Matlab usr manual.

173 Appndic Appndic A: L algoritmo di Nwton-Raphson L analisi non linar di struttur inlastich può ssr condotta tramit l algoritmo di Nwton-Raphson. Noto anch com mtodo dll tangnti è uno di mtodi numrici noti in lttratura pr il calcolo approssimato di una soluzion di un'quazion nlla forma f( x). L ipotsi di bas sono: Sia f( x ) continua drivabil nll'intrvallo [ ab, ] L drivat prima sconda di f( x ) siano continu divrs da zro. Sia f ( a) f ( b) : si richid ch la funzion assuma sgni altrni all intrno dll intrvallo; qusto implica ch sistrà almno un punto x tal ch f( x) ; Sia [ ab, ] sufficintmnt piccolo. Qust ultimo rquisito scaturisc dall approssimazion dlla funzion f( x ) ch vin oprata nl mtodo, con lo sviluppo in sri di Taylor: è noto, infatti, ch l rror dllo sviluppo dl polinomio di Taylor è dirttamnt proporzional alla dimnsion dll intrvallo. Dato un punto inizial x dtto punto di innsco, ch appartin all intrvallo [ ab,, ] si costruisc una succssion di valori x1, x,..., x n mdiant una funzion di intrazion gx ( ) tal ch x 1 g( x ). La succssion così costruita, al crscr di n, convrg allo zro dlla funzion, o in altr parol n n

174 17 Appndic lim x n x f( x) n Nl mtodo di Nwton-Raphson il punto di innsco si ottin considrando la tangnt alla curva in uno di du strmi dll intrvallo [ ab, ] y f ( a) f ( a)( x a) (7.1) Ponndo y dall q. (7.1) si ottin f( a) x a f ( a) (7.) La funzion gx ( ) si ottin considrando la tangnt alla curva nl punto di innsco x y f ( x ) f ( x )( x x ) (7.3) Ponndo y si ottin dall q. (7.3) f( x ) x 1 x f ( x ) (7.4) ssndo x 1 la prima radic di tntativo dlla soluzion. Riptndo il procdimnto pr x 1 ottniamo una nuova approssimazion dlla radic f( x1 ) x x 1 f ( x ) (7.5) 1 Procdndo in modo itrativo si ottin la rlazion di ricorrnza f( xn ) x n 1 x n g( xn ) f( x ) n (7.6) ch prmtt di dtrminar succssiv approssimazioni dlla radic dll'quazion y f ( x). Con l ipotsi post, si dimostra ch la succssion dll x n convrg alla radic piuttosto rapidamnt.

175 Appndic 171 Figura 1 Mtodo di Nwton-Raphson La procdura numrica dl mtodo di Nwton Raphson è itrativa. Ad ogni itrazion n sima si valuta una prdizion dlla radic x n tramit l q. (7.6). Tuttavia tal radic potrbb non soddisfar l quazion f( xn ) l rror computazional commsso nlla dtrminazion dlla soluzion, dtto anch rsiduo, è pari a R f ( x n ). L itrazioni si arrstranno quando il rsiduo sarà al di sotto di una crta tollranza fissata. L analisi statica non linar dll struttur basata sull algoritmo di Nwton-Raphson a controllo di forza fornisc lo spostamnto U di gradi di librtà dlla struttura pr un fissato vttor di carico P. La procdura itrativa muov l su moss con l assmblaggio dlla matric di rigidzza dlla struttura K. 1) Si dfinisc R il vttor rsiduo ch inizialmnt vin posto pari al vttor di carico P R P (7.7) ) Si calcola l incrmnto dl vttor dgli spostamnti di gradi di librtà dlla struttura U tramit l quazion 1 U K R (7.8) Lo spostamnto total U è ottnuto sommando il suo incrmnto U U U (7.9)

176 17 Appndic 3) Il campo dgli spostamnti dlla struttura U dv ssr congrunt con gli spostamnti nodali di ciascun lmnto finito. Di consgunza si applica a ciascun lmnto finito un campo di spostamnti nodali q ch soddisfi l quazion di congrunza (1.1). 4) Ogni lmnto finito risulta soggtto ad un campo di spostamnti nodali ch, in gnral, dtrmina un campo di dformazion di tnsion intrno all lmnto. Tali campi vngono dtrminati tramit la procdura nota com dtrminazion dllo stato dll lmnto (Elmnt Stat Dtrmination, cfr. q. (1.5)), attravrso cui è possibil, inoltr, calcolar l forz nodali Q ch risultino in quilibrio con lo stsso campo di tnsioni intrni all lmnto. 5) L forz nodali rattiv (rsisting forcs) Q sono ottnut sommando gli incrmnti Q. così valutati. Tali forz nodali dovranno ssr in quilibrio con il vttor di carichi imposti alla struttura P, ossia dv ssr soddisfatta l quazion di quilibrio (1.4). In tal caso il rsiduo R è un oprator vttorial ch risulta N R P L L Q (7.1) 1 t t R, 6) Vrifica dlla convrgnza. L itrazioni si arrstranno quando il rsiduo sarà al di sotto di una crta tollranza fissata. Vicvrsa si dovrà itrar riptndo la procdura dal punto. In figura 1 è riportato il diagramma di flusso dll analisi non linar basata sull algoritmo di Nwton-Raphson a controllo di forza.

177 Appndic 173 Figura 13 Diagramma di flusso dll algoritmo di Nwton Raphson