Ottimizza la somma. Supponete di avere in input un vettore di n interi positivi distinti V [1... n] e un valore W. Scrivere un algoritmo che:

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Aldo Ruggeri
7 anni fa
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1 Ottimizza la somma Supponete di avere in input un vettore di n interi positivi distinti V [1... n] e un valore W. Scrivere un algoritmo che: 1 restituisca il massimo valore X = n i=1 x[i]v [i] tale che X W e ogni x[i] è un intero non negativo; 2 stampi il vettore x. Ad esempio, per V [ ] = {18, 3, 21, 9, 12, 24} e W = 17, una possibile soluzione ottima è X[ ] = {0, 2, 0, 1, 0, 0} da cui deriva X = 15. Discutere correttezza e complessità. Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

2 Hateville Hateville è un villaggio particolare, composto da n case, numerate da 1 a n lungo una singola strada. Ad Hateville ognuno odia i propri vicini della porta accanto, da entrambi i lati; quindi il vicino i odia i vicini i 1 e i + 1 (se esistenti). Hateville vuole organizzare una sagra e ha lanciato una raccolta fondi che è vostro compito organizzare. Ogni abitante i è in grado di donare una quantità D[i], ma non intende partecipare ad una raccolta fondi a cui partecipano uno o entrambi i propri vicini. Il vostro compito è il seguente: calcolare la quantità massima di fondi che può essere raccolta stampare gli indici delle case che dovranno donare Illustrare il funzionamento e discutere la complessità degli algoritmi proposti. Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

3 Mosse su scacchiera Supponete di avere una scacchiera n n e un pedone che dovete muovere dall estremità inferiore a quella superiore. Un pedone si può muovere (1) una casella in alto, oppure (2) una casella in diagonale alto-destra, oppure (3) una casella in diagonale alto-sinistra. Non può tornare indietro. Quando una cella (x, y) viene visitata, guadagnate un valore reale p(x, y). Calcolare un percorso da una qualunque casella dell estremità inferiore ad una qualunque casella dell estremità superiore, massimizzando il profitto Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

4 I Promessi Sposi "Quel ramo del lago di Como, che volge a mezzogiorno, tra due catene non interrotte di monti, tutto a seni e a golfi, a seconda dello sporgere e del rientrare di quelli, vien, quasi a un tratto, a ristringersi, e a prender corso e figura di fiume, tra un promontorio a destra, e un ampia costiera dall altra parte; e il ponte, che ivi congiunge le due rive, par che renda ancor più sensibile all occhio questa trasformazione, e segni il punto in cui il lago cessa, e l Adda rincomincia, per ripigliar poi nome di lago dove le rive, allontanandosi di nuovo, lascian l acqua distendersi e rallentarsi in nuovi golfi e in nuovi seni." Quante volte questo testo contiene la sottosequenza "lucia"? Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

5 I Promessi Sposi "Quel ramo del lago di Como, che volge a mezzogiorno, tra due catene non interrotte di monti, tutto a seni e a golfi, a seconda dello sporgere e del rientrare di quelli, vien, quasi a un tratto, a ristringersi, e a prender corso e figura di fiume, tra un promontorio a destra, e un ampia costiera dall altra parte; e il ponte, che ivi congiunge le due rive, par che renda ancor più sensibile all occhio questa trasformazione, e segni il punto in cui il lago cessa, e l Adda rincomincia, per ripigliar poi nome di lago dove le rive, allontanandosi di nuovo, lascian l acqua distendersi e rallentarsi in nuovi golfi e in nuovi seni." Quante volte questo testo contiene la sottosequenza "lucia"? Alcune considerazioni: Due sottosequenze sono diverse (e quindi vanno contate separatamente) se esiste almeno una differenza negli insiemi di caratteri utilizzati. Esempio: "did you go" contiene due volte la sottosequenza "dog"... Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

6 Spoiler alert! Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

7 Ottimizza la somma i 0 w < 0 X[i, w] = 0 i = 0 w = 0 max{x[i 1, w], X[i, w V [i]] + V [i]} altrimenti Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

8 Ottimizza la somma integer sum(integer[ ] V, integer i, integer w, integer[ ][ ] X) if w < 0 then return if i = 0 or w = 0 then return 0 if X[i, w] = then X[i, w] max{sum(x, i 1, w), sum(x, i, w V [i]) + V [i]} return X[i, w] Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

9 Hateville 0 i = 0 M[i] = D[1] i = 1 max{m[i 1], M[i 2] + D[i]} i > 2 Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

10 Hateville integer fundraising(integer[ ] D, integer n) integer[ ] M new integer[1... n] M[0] 0 M[1] D[1] for i 2 to n do M[i] max(d[i 1], D[i 2] + D[i]) integer i n while i > 2 do if M[i] = M[i 2] + D[i] then print i i i 2 else i i 1 % Calcola il vettore M % Stampa gli indici selezionati if i > 0 then print i return M[n] % Ritorna la quantità massima raccoglibile Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

11 Mosse su scacchiera search-path(integer[ ][ ] p, integer n) { Calcola la tabella g } for x 1 to n do g[x, n] p[x, n] for y n 1 downto 1 do for x 1 to n do g[x, y] foreach d { 1, 0, +1} do integer x x + d if x >= 1 and x n then integer t g[x, y + 1] + p[x, y] if t > g[x, y] then g[x, y] t m[x, y] d Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

12 I Promessi Sposi Input: Testo T [1... n], pattern P [1... m] Sia D[i, j] il numero di occorrenze del prefisso j-esimo del pattern P (j) come sottosequenza del prefisso i-esimo del testo T (i). 0 i = 0 j > 0 1 j = 0 D[i, j] = D[i 1, j] + D[i 1, j 1] i > 0 j > 0 T [i] = P [j] D[i 1, j] altrimenti Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

13 I Promessi Sposi Utilizziamo un vettore D[0... m] invece che una matrice, in quanto il valore si ottiene a partire dalla sola riga precedente. lucia(item[ ] T, Item[ ] P, integer n, integer m) integer[ ] D new integer[0... n] integer[ ] D new integer[0... n] D[0] 1 for j 1 to m do D[j] 0 for i 1 to n do for j 0 to m do D [j] D[j] for j 1 to m do if T [i] = T [j] then D[j] D [j] + D [j 1] else D[j] D [j] return D[m] Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

14 5 Maggio e Promessi Sposi Forwarded Message Subject: Sottosequenza Promessi sposi Date: Fri, 11 Dec :25: To: Alberto Montresor <alberto.montresor@unitn.it> Il 5 maggio nei promessi sposi senza considerare spazi, punteggiatura e numeri, ma considerando gli accenti ci sta: Allego lo script in python che ha generato il risultato (con testo completo dei promessi sposi e del 5 maggio). Ovviamente ha tempi assurdi per svariati motivi. Alberto Montresor (UniTN) 19 novembre / 13

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Supersequenza comune minimale Una stringa P è una supersequenza di una stringa T se T è una sottosequenza di P. Scrivere un algoritmo che restituisce la lunghezza della supersequenza comune minimale di