Spazi di Sobolev e. formulazione variazionale dei. problemi ai limiti

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1 Spazi di Sobolev e formulazione variazionale dei problemi ai limiti Corso di Analisi Funzionale 11 e 13 gennaio 21 Stefania Maria Buccellato Ultima Edizione 21 dicembre 211 Dipartimento di Matematica e Informatica Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Via Archirafi, Palermo (Italy)

2 MOTIVAZIONE Gli spazi di Sobolev sono particolari spazi di Banach ed in alcuni casi spazi di Hilbert; rivestono un ruolo particolarmente importante nello studio dei problemi ai limiti qualora si considera di essi una formulazione variazionale. Gli spazi di Sobolev divengono, in tal caso, ambienti naturali in cui cercare le soluzioni del problema variazionale e, quindi, le soluzioni deboli del problema iniziale. Per meglio comprendere quanto detto consideriamo i seguenti esempi: 1

3 ESEMPIO 1 - Condizione al limite di Dirichlet Sia un aperto limitato di R n, Γ la frontiera di ed f : R assegnata. Consideriamo il seguente problema con condizione al limite di Dirichlet: Problema: Determinare una funzione u : R tale che { u + u = f, in ; u =, in Γ. (1) una soluzione classica del problema è una funzione u C 2 () che verifica l equazione precedente con le condizioni ai limiti. Una tale soluzione deve, pertanto, avere un certo grado di regolarità; la soluzione classica, inoltre, può non essere adeguata quando si vogliono descrivere fenomeni la cui soluzione (anche fisica) esiste ma, ad esempio, è rappresentabile da una funzione continua ma non derivabile (si veda esempio 2); si vuole determinare una formulazione del problema alternativa a quella della soluzione classica che consenta di ridurre l ordine di derivazione richiesto sulla soluzione incognita u. 2

4 ESEMPIO 2 Sia l intervallo (, 1). Vogliamo determinare una funzione u : [, 1] R tale che { u (x) = f(x), < x < 1; u() =, u(1) =. Questo problema governa, ad esempio, la configurazione di equilibrio di un filo elastico con tensione pari ad uno, fissato agli estremi, in regime di piccoli spostamenti e soggetto ad una forza trasversale di intensità f (carico); la funzione u descrive lo spostamento verticale; la formulazione del problema non è adeguata se si considera ad esempio il caso in cui la forza f sia un carico concentrato in uno o più punti. La configurazione fisica esiste ed è rappresentata da una funzione continua, ma non derivabile (si vedano i grafici in figura). 3

5 PASSAGGIO ALLA FORMULAZIONE DEBOLE Consideriamo il problema (1) (condizione al limite di Dirichlet) nel caso monodimensionale: determinare una funzione u : [, 1] R tale che { u (x) + u(x) = f(x), < x < 1; u() =, u(1) =. Per il momento, senza preoccuparci del fatto che le operazioni siano lecite, operiamo i seguenti passaggi formali: moltiplichiamo l equazione per un funzione test v (per ora arbitraria) ed integriamo nell intervallo (, 1), 1 1 u v + uv = fv u vdx + uvdx = 1 fvdx. Applichiamo la formula di integrazione per parti al primo integrale, con lo scopo di eliminare la derivata seconda. Si ha 1 u vdx = 1 u v dx [u v] 1. Al fine di annullare il termine al bordo, imponiamo che la funzione test sia nulla agli estremi dell intervallo. Il problema assume la seguente formulazione debole: 1 1 u v dx + uvdx = 1 fvdx. 4

6 Resta ora da precisare la richiesta minima su u, u, v, v affinchè le operazioni svolte abbiano significato e gli integrali siano ben definiti. Considerando anche le condizioni al bordo richieste per la funzione test e la soluzione si comprende che: u, v X := {w L 2 (, 1), w L 2 (, 1), w() = w(1) = }. Lo spazio funzionale X è un particolare spazio di Sobolev che indicheremo con H 1. Vedremo, inoltre, che la derivata u della funzione che compare in X è da intendersi in un senso più generale del senso usuale: le funzioni di H 1 non sono necessariamente derivabili in senso classico (H 1(, 1) C1 (, 1)). Ad esempio funzioni continue a tratti con raccordo a spigolo che si annullano sul bordo, appartengono ad H 1 ma non a C1. 5

7 RIASSUMENDO Il problema: determinare una funzione u : [, 1] R tale che { u (x) + u(x) = f(x), < x < 1; u() =, u(1) =. (2) ha la seguente formulazione debole: determinare u H 1 (, 1) tale che 1 u v dx + 1 uvdx = 1 fvdx v H 1 (, 1). (3) Una soluzione classica di (2) è una funzione u C 2 [, 1] verificante (2). Una soluzione debole di (2) è una funzione u H 1 (, 1) verificante (3). Il seguente programma descrive, a grandi linee, il metodo variazionale nella teoria delle equazioni alle derivate parziali: a. Si precisa la nozione di soluzione debole e lo spazio di Sobolev in cui si opera. b. Si stabiliscono risultati di esistenza e unicità della soluzione debole (ad esempio attraverso il teorema di Lax-Milgram). c. Si provano risultati di regolarità per la soluzione debole. d. Ritorno alla soluzione classica. 6

8 PASSAGGIO ALLA FORMULAZIONE VARIAZIONALE Osserviamo infine come il problema debole risulta equivalente ad un problema variazionale grazie al seguente risultato: Proposizione: Il problema di cercare u H 1 (, 1) tale che J(u) = min v H 1 (,1) J(v), J(v) := ((v ) 2 + v 2 )dx 1 fvdx, (4) è equivalente al problema (3) nel senso che u è soluzione di (4) se e solo se u è soluzione di (3). Dimostrazione Si supponga che u sia soluzione di (4). Posto v = u + δw, con δ R, si ha che la funzione ψ(δ) := J(u + δw) è quadratica in δ con il minimo raggiunto per δ =. Pertanto J(u + δw) δ D altra parte J(u + δw) := 1 2 = ψ (δ) 1 δ= := J(u + δw) δ J(u + δw) J(u) = lim δ δ δ= =, (((u + δw) ) 2 + (u + δw) 2 )dx (u 2 + 2δu w + δ 2 w 2 )dx (fu + fδw)dx w H 1 (, 1). 1 f(u + δw)dx (u 2 + 2δuw + δ 2 w 2 )dx 7

9 = J(u) Di conseguenza 1 1 (2δu w + δ 2 w 2 )dx fδwdx. (2δuw + δ 2 w 2 )dx J(u + δw) J(u) δ = (2u w + δw 2 )dx fwdx 1 (2uw + δw 2 )dx e, passando al limite per δ ed imponendo che esso si annulli, si ha che u soddisfa il problema debole. Viceversa, se u è soluzione del problema debole, posto v = δw, si ha in particolare che e quindi J(u + δw) = 1 2 = J(u)+ 1 Si ha quindi ( u δw dx+ u δw dx + 1 uδwdx = 1 fδwdx (((u + δw) ) 2 + (u + δw) 2 )dx 1 uδwdx 1 fδwdx J(u) J(u + δw) w H 1 (, 1), 1 f(u + δw)dx δ 2 (w 2 +w 2 )dx. δ 2 (w 2 + w 2 )dx w H 1 (, 1), δ R ) ovvero u è soluzione anche del problema variazionale. 8

10 LO SPAZIO DI SOBOLEV W 1,p (I) Sia I = (a, b) un intervallo limitato o non e sia p R, 1 p. Lo spazio di Sobolev W 1,p (I) è definito da W 1,p (I) := { } u L p (I) : g L p (I) t.c. uϕ dx = gϕdx, ϕ C 1 (I). I I Poniamo u = g e diciamo che u è la derivata in senso generalizzato di u e H 1 (I) := W 1,2 (I). OSSERVAZIONE E evidente che, se u C 1 (I) L p (I) e se u L p (I) (u è la derivata usuale di u), allora u W 1,p (I). Inoltre la derivata in senso usuale di u coincide con la derivata in senso generalizzato. In particolare, se I è limitato C 1 (I) W 1,p (I) 1 p. 9

11 NORMA E PROPRIETA DI W 1,p (I) Lo spazio W 1,p è munito della norma u W 1,p := u L p + u L p o talvolta della norma equivalente ( u p L + u p p L ) 1 p p. Lo spazio H 1 è munito del prodotto scalare con norma associata < u, v > H 1=< u, v > L 2 + < u, v > L 2 u H 1 = ( u 2 L 2 + u 2 L 2 ) 1 2. Proposizione a. Lo spazio W 1,p (I) è uno spazio di Banach per 1 p b. Lo spazio H 1 (I) è uno spazio di Hilbert c. Lo spazio W 1,p (I) è riflessivo per 1 < p < d. Lo spazio W 1,p (I) è separabile per 1 p <. 1

12 Dimostrazione a. Sia (u n ) una successione di Cauchy in W 1,p (I); allora u n u in L p, u n g in L p. Si ha e, al limite, u n ϕ dx = u nϕdx ϕ C 1 (I) I I uϕ dx = gϕdx ϕ C 1 (I). I I Pertanto u W 1,p (I), u = g e u n u W 1,p (I). b. Segue da a. con p = 2. c. Per 1 < p < lo spazio prodotto L p (I) L p (I) è riflessivo. L operatore T : W 1,p (I) L p (I) L p (I) u (u, u ) è un isometria (applicazione lineare che conserva la norma) e T (W 1,p (I)), in quanto sottospazio chiuso di uno spazio riflessivo è riflessivo e, di conseguenza, W 1,p (I) è riflessivo. d. Per 1 p < lo spazio prodotto L p (I) L p (I) è separabile; dunque T (W 1,p (I)) è separabile e, di conseguenza, W 1,p (I) è separabile. 11

13 PROPRIETA DI W 1,p (I) Le funzioni di W 1,p (I) sono grosso modo delle primitive di funzioni di L p. Più precisamente si ha il Teorema Sia u W 1,p (I); allora esiste una funzione ũ C(I) tale che u = ũ q.o. su I y ũ(y) ũ(x) = u (t)dt x, y I. x OSSERVAZIONE Il teorema ha una notevole importanza in quanto asserisce che ogni funzione di W 1,p (I) ammette uno ed un solo rappresentante continuo. Proposizione Siano u, v W 1,p (I) con 1 p. Allora (Derivazione d un prodotto) uv W 1,p (I) e (uv) = u v +uv. (Formula di integrazione per parti) y y u(x)v(x) x uv dx x, y I. x u vdx = u(y)v(y) (Derivazione d un prodotto di composizione) se G C 1 (R) e G() = si ha G u W 1,p (I) e (G u) = (G u)u. 12

14 GLI SPAZI DI SOBOLEV W m,p (I) Sia m un intero, m 2 e p R, 1 p. ricorrenza lo spazio Definiamo per W m,p (I) := {u W m 1,p (I) : u W m 1,p (I)}. Poniamo H m (I) := W m,2 (I). OSSERVAZIONE Dalla definizione segue che u W m,p (I) se e solo se esistono m funzioni g 1, g 2,..., g m L p (I) tali che ud j ϕdx = ( 1) j g j ϕdx, ϕ C (I), j = 1, 2,..., m I I dove D j ϕ indica la derivata di ordine j di ϕ. Ne segue che per ogni u W m,p (I) si possono considerare le derivate successive u = Du = g 1, (u ) = D 2 u = g 2,..., (u m 1 ) = D m u = g m. Lo spazio W m,p (I) è munito della norma u W m,p := u L p + m j=1 D j u L p. Lo spazio H m è munito del prodotto scalare < u, v > H m:=< u, v > L 2 + m j=1 < D j u, D j v > L 2. Si dimostra che la norma. W m,p è equivalente alla norma u = u L p + D m u L p grazie al fatto che, se 1 j m 1, allora ϵ >, C (dipendente da ϵ e da I ) tale che D j u L p ϵ D m u L p + C u L p, u W m,p Si prova inoltre che è possibile estendere agli spazi W m,p le proprietà di W 1,p. 13

15 LO SPAZIO DI SOBOLEV W 1,p (I) Sia 1 p <. Indichiamo con W 1,p (I) la chiusura di C1 (I) in W 1,p (I). Poniamo H 1 1,2 (I) := W (I). Lo spazio W 1,p (I) munito della norma indotta da W 1,p (I) è uno spazio di Banach separabile; esso è inoltre riflessivo per 1 < p <. Lo spazio H 1 (I) è uno spazio di Hilbert separabile. Teorema Sia u W 1,p (I), allora u W 1,p (I) se e solo se u = sulla frontiera di I. Disuguaglianza di Poincaré: Sia I un aperto limitato di R. Allora esiste una costante C dipendente solo da I tale che, u L p C u L p u W 1,p (I). OSSERVAZIONE L importanza del risultato è che nel sottospazio W 1,p (I) (che il dominio naturale per studiare equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo omogenee) la norma del gradiente di u è equivalente, ai fini della topologia indotta e quindi delle convergenze alla norma usuale, poiché si ha u L p u L p + u L p (C + 1) u L p u W 1,p (I), e quindi nello spazio di Hilbert H 1 (I), il prodotto scalare < u, v >=< u, v > L 2:= u v dx è equivalente all usuale. 14 I

16 DEFINIZIONI E TEOREMA DI LAX-MILGRAM Sia H uno spazio di Hilbert e a(u, v) : H H R una forma bilineare. Diciamo che a(u, v) è continua se esiste una costante C tale che a(u, v) C u H v H u, v H; a(u, v) è coercitiva se esiste una costante α > tale che a(v, v) α v 2 H v H. Teorema di Lax-Milgram Sia H uno spazio di Hilbert e a(u, v) : H H R una forma bilineare, continua e coercitiva. Allora, per ogni L H esiste un unica u H tale che a(u, v) =< L, v > H v H. Inoltre, se la forma bilineare è simmetrica, u è caratterizzata dalla proprietà 1 2 a(u, u) < L, u > H= min{ 1 v H 2 a(v, v) < L, v > H}. OSSERVAZIONE E interessante notare il legame con il problema di minimizzazione che ha spesso un interpretazione in meccanica o in fisica (principio di minima azione, minimizzazione di un energia,...). Si osserva che il problema di minimizzazione si presenta se si considera J (u) =, J(v) := 1 2 a(v, v) < L, v > H. 15

17 SOLUZIONE DEL PROBLEMA DEBOLE Determinare u H 1 (, 1) tale che 1 u v dx + 1 uvdx = 1 fvdx v H 1 (, 1), (5) Ogni soluzione classica è una soluzione debole. Segue facilmente grazie alla formula di integrazione per parti. Esistenza ed unicità di una soluzione debole. Per ogni f L 2, esiste u H 1 mediante min v H 1 (,1) { 1 2 unica soluzione di (5). Inoltre u si ottiene 1 ((v ) 2 + v 2 )dx Inoltre, se f C(I), allora u C 2 (I). 1 } fvdx. Dimostrazione. Applichiamo il teorema di Lax-Milgram nello spazio di Hilbert H = H 1 con a(u, v) = 1 Si ha infatti u v dx + 1 uvdx =< u, v > H 1, L : v a(u, v) u L 2 v L 2 + u L 2 v L 2 C u H 1 v H 1, fvdx. a(u, u) = u 2 H 1, L(v) f L 2 v L 2 f L 2 v H 1. 16

18 Regolarità. Osserviamo che, se f L 2 e u H 1, da 1 1 u v dx = (f u)vdx v C 1 u ammette derivata in senso generalizzato in L 2 (f u L 2 ); pertanto u H 1 e u H 2. Se inoltre f C(I), la soluzione debole u C 2 (I). Infatti, in tal caso f u C(I) (si pensi al rappresentante continuo) pertanto (u ) C(I) da cui u C 1 (I) e u C 2 (I). Ritorno alla soluzione classica. Poichè u C 2 ([, 1]) integrando per parti 1 ( u + u f)vdx = v C 1 (, 1) ([u v] 1 = ); ma C1 (, 1) è denso in L2 (, 1) (si ricordi che se R n è un aperto, C () è denso in L p () per ogni 1 p < ) per cui u + u = f q.o. o, meglio u + u = f ovunque poichè u C 2. 17

19 PROBLEMI AI LIMITI Il metodo descritto si applica ad una varietà di problemi. In ogni problema è fondamentale precisare bene lo spazio funzionale in cui si lavora. Condizione di Dirichlet non omogenea. { u + u = f, (, 1) = I; u() = α, u(1) = β. con α, β R dati e f funzione assegnata. (6) Proposizione: Per ogni f L 2 e α, β R, esiste u H 2 unica soluzione di (6). Inoltre u si ottiene mediante { 1 1 min ((v ) 2 + v 2 )dx v H 1,v()=α,v(1)=β 2 Inoltre, se f C(I), allora u C 2 (I). Idea dimostrazione. 1 } fvdx. Fissiamo una funzione u regolare tale che u () = α, u (1) = β ed effettuiamo il cambiamento di funzione incognita ũ = u u ; allora ũ verifica { ũ + ũ = f + u u, (, 1) = I; ũ() =, ũ(1) = e così si ottiene il problema precedente. Condizione di Neumann omogenea. { u + u = f, (, 1) = I; u () = u (1) =. con f funzione assegnata. (7) Proposizione. Per ogni f L 2, esiste u H 2 unica soluzione di (7). Inoltre u si ottiene mediante min v H 1 { ((v ) 2 + v 2 )dx 1 } fvdx. 18

20 Inoltre, se f C(I), allora u C 2 (I). Idea dimostrazione. Se u è soluzione classica si ha u v dx + uvdx = fvdx v H 1 (, 1). In tal caso conviene lavorare nello spazio H 1 (u() e u(1) sono a priori incognite). In modo analogo al problema di Dirichlet, applicando il teorema di Lax-Milgran si prova l esistenza ed unicità della soluzione u H 1. Si ricava quindi che u H 2 e successivamente che 1 ( u + u f)vdx + u (1)v(1) u ()v() = v H 1 (, 1). (8) Scelta v H 1(I) in (8) si ha u + u = f q.o. e sostituendo nella (8) u (1)v(1) u ()v() = v H 1 (, 1) e, per l arbitrarietà di v() e v(1) si deduce che u () = u (1) =. Condizioni ai limiti miste. { u + u = f, (, 1) = I; u() =, u (1) =. (9) con f funzione assegnata. Idea dimostrazione. E conveniente lavorare nello spazio di Hilbert { } H = v H 1 (I) : v() =. 19

21 LO SPAZIO DI SOBOLEV W 1,p () Sia R n un insieme aperto e p R, 1 p. Lo spazio di Sobolev W 1,p () è definito da W 1,p () := {u L p () : g 1, g 2,..., g n L p () t.c. u ϕ x i d = g i ϕd, ϕ C 1 (), i = 1,..., n}. Si pone ( u u := g i, u :=,..., u ) := grad u x i x 1 x n H 1 () := W 1,2 (). Se u C 1 () L p () e u x i L p () i = 1,..., n, allora u W 1,p () e le derivate parziali nel senso usuale coincidono con le derivate parziali nel senso generalizzato. è limitato, allora C 1 () W 1,p (). In particolare, se Viceversa si prova che, se u W 1,p () C() e se u x i C() i = 1,..., n, allora u C 1 () e le derivate parziali nel senso generalizzato coincidono con le derivate parziali nel senso usuale. Lo spazio W 1,p () è munito della norma o della norma equivalente u W 1,p := u L p + ( u p L p + n i=1 n i=1 u x i L p u x i p L p ) 1 p. 2

22 Lo spazio H 1 () è munito del prodotto scalare < u, v > H 1:=< u, v > L 2 + la cui norma associata u H 1 := ( u 2 L 2 + è equivalente alla norma di W 1,2 (). n i=1 n i=1 < u x i, v x i > L 2 u x i 2 L 2 ) 1 2 Proposizione a. Lo spazio W 1,p () è uno spazio di Banach per 1 p b. Lo spazio H 1 () è uno spazio di Hilbert c. Lo spazio W 1,p () è riflessivo per 1 < p < d. Lo spazio W 1,p () è separabile per 1 p <. Densità. Sia di classe C 1. Sia u W 1,p () con 1 p <. Allora esiste una successione (u n ) C (Rn ) tale che u n u in W 1,p (). In altre parole, le restrizioni ad di funzioni di C (Rn ) costituiscono un sottospazio denso di W 1,p (). 21

23 GLI SPAZI DI SOBOLEV W m,p () Sia m un intero, m 2 e p R, 1 p. ricorrenza lo spazio W m,p () := {u W m 1,p () : u x i W m 1,p () Si ha pertanto Definiamo per i = 1,..., n}. dove W m,p () = {u L p : α, α m, g α L p () t.c. ud α ϕd = ( 1) α g α ϕd, ϕ C ()} D α = α α n x α, xα n n α = {α 1,..., α n } con α i intero, i = 1,..., n, Poniamo α = α α n. H m () := W m,2 (). Lo spazio W m,p () munito della norma u W m,p := α m D α u L p è uno spazio di Banach. Lo spazio H m () munito del prodotto scalare < u, v > H m:= < D α u, D α v > L 2; è uno spazio di Hilbert. α m 22

24 LO SPAZIO DI SOBOLEV W 1,p () Sia 1 p <. Indichiamo con W 1,p () la chiusura di C1 () in W 1,p (). Poniamo H 1 1,2 () := W (). Lo spazio W 1,p () munito della norma indotta da W 1,p () è uno spazio di Banach separabile; esso è inoltre riflessivo per 1 < p <. Lo spazio H 1 () è munito del prodotto scalare indotto da H 1 (). Teorema Sia di classe C 1 e u W 1,p () C(). Allora sono equivalenti: u = sulla frontiera di. u W 1,p (). Disuguaglianza di Poincaré Sia un aperto limitato di R n. Allora esiste una costante C dipendente solo da e p tale che, u L p C u L p u W 1,p (). In particolare u L p è una norma su W 1,p () equivalente alla norma di W 1,p e l espressione u v è un prodotto scalare che induce la norma u L 2 equivalente alla norma u H 1. 23

25 ESEMPIO 1. Problema di Dirichlet omogeneo Sia un aperto limitato di R n, Γ la frontiera di ed f : R assegnata; cerchiamo una funzione u : R tale che { u + u = f, in ; u =, in Γ ove u := n x 2 i i=1 ( 2 u ) = Laplaciano di u. Una soluzione classica del problema è una funzione u C 2 () che verifica l equazione precedente con le condizioni ai limiti. Una soluzione debole del problema è una funzione u H 1 () verificante u vd + uvd = fvd v H 1 (), (1) 24

26 OSSERVAZIONE Se ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ) il versore normale uscente da, si ottiene la relazione (formula di integrazione per parti per integrali multipli): ( u )vd + x i x i ( u ) v d = x i x i i = 1, 2,..., n Γ ( u ν i )vdγ, x i e che: u = div u := n i=1 Pertanto, si ha la formula di Green: = n i=1 uvd = = n i=1 u v d x i x i u vd Γ ( ( u ). x i x i ( u )vd x i x i Γ n i=1 u x i ν i )vdγ u ν vdγ. 25

27 Ogni soluzione classica è una soluzione debole. Infatti u H 1 () C() e, dunque, u H 1 (). v C 1 () si ha u vd + uvd = D altra parte, se fvd e, per densità, tale uguaglianza è valida anche per v H 1 (). Esistenza ed unicità di una soluzione debole. Per ogni f L 2, esiste u H 1 mediante min v H 1 () { 1 2 unica soluzione di (1). Inoltre u si ottiene (( v) 2 + v 2 )d } fvd. Dimostrazione. Applichiamo il teorema di Lax-Milgram nello spazio di Hilbert H = H 1 con a(u, v) = Si ha infatti u vd+ uvd =< u, v > H 1, L : v a(u, v) u L 2 v L 2 + u L 2 v L 2 C u H 1 v H 1, fvd. a(u, u) = u 2 H 1, L(v) f L 2 v L 2 f L 2 v H 1. 26

28 Regolarità. La questione è più delicata di quella che si presenta nel caso monodimensionale: se f L 2 si ha u = u f L 2 pertanto u H 1 H2 e si ha un primo risultato di regolarità. Ci chiediamo se u è ancora più regolare ossia se appartiene agli spazi C 1, C 2,... In tal caso intervengono i teoremi di iniezione di Sobolev che stabiliscono delle relazioni tra gli spazi di Sobolev e gli spazi classici. E necessario che l ordine k di derivazione in H k cresca (per la differenziabilità), che la dimensione n dello spazio non sia troppo grande (valori di n grandi rendono più difficile la regolarità) e che sia regolare (per le proprietà geometriche). Vale la Proposizione Se è un aperto di R n dotato di una frontiera sufficientemente regolare, allora H k () C m () se k > m + n 2. Ritorno alla soluzione classica. Supponiamo che u C 2 () e che sia di classe C 1, allora u = su Γ. Si ha ( u + u)vd = fvd v C 1 () ed essendo C 1() denso in L2 () (si ricordi che se R n è un aperto, C () è denso in L p () per ogni 1 p < ) per cui u + u = f, ovunque su dato che u C 2 (). 27

29 ESEMPIO 2. Problema di Neumann omogeneo Sia un aperto limitato di R n, Γ la frontiera di ed f : R assegnata; cerchiamo una funzione u : R tale che { u + u = f, in ; u ν = su Γ (11) dove u u indica la derivata normale esterna ad u cioè ν ν = u ν, co ν il vettore unitario della normale esterna a Γ. Una soluzione classica del problema è una funzione u C 2 () che verifica l equazione precedente con le condizioni ai limiti. Una soluzione debole del problema è una funzione u H 1 () verificante u vd + uvd = fvd v H 1 (), (12) Ogni soluzione classica è una soluzione debole. Grazie alla formula di Green si ha uvd = u vd u C 2 (), v C 1 (). Γ u ν vdγ, Pertanto, se u è soluzione classica u H 1 () e u vd + uvd = fvd v C 1 () e, per densità, tale uguaglianza è valida anche per v H 1 (). 28

30 Esistenza ed unicità di una soluzione debole. Per ogni f L 2, esiste u H 1 () unica soluzione di (12). ottiene mediante { 1 min v H 1 () 2 (( v) 2 + v 2 )d } fvd. Inoltre u si Dimostrazione. Applichiamo il teorema di Lax-Milgram nello spazio di Hilbert H = H 1 con a(u, v) = Si ha infatti u vd+ uvd =< u, v > H 1, L : v a(u, v) u L 2 v L 2 + u L 2 v L 2 C u H 1 v H 1 a(u, u) = u 2 H 1, L(v) f L 2 v L 2 f L 2 v H 1. fvd. Regolarità. Se f L 2 si ha u = u f L 2 pertanto u H 1 H2 e si ha un primo risultato di regolarità. Per determinare ulteriori risultati è utile la disuguaglianza: H k () C m () se k > m + n 2. Ritorno alla soluzione classica. Supponiamo che u C 2 () è soluzione debole. Grazie alla formula di Green si ha ( u + u)vd Γ u ν vdγ = fvd v C 1 (); scelta v C 1 () si ottiene u + u = f su e, tornando all uguaglianza con v C 1 () si ha e, di conseguenza, u ν Γ u ν vdγ = = su Γ. v C1 () 29

31 BIBLIOGRAFIA - H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editrice (1986) - A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer (2).