S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II. Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1992

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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno ) Esercizio n 1 del 18/1/1992 Una sottile barretta magnetica di lunghezza l e massa m, è sospesa ad un filo verticale La barretta è magnetizzata in modo che il suo momento magnetico è diretto verso il basso Se si applica un campo di induzione magnetica B in direzione orizzontale, calcolare l angolo θ di cui ruota la barretta rispetto alla verticale Si ha: dove µ è il momento magnetico della barra τ = µ B y M B x La barra ruota attorno all asse z verso la sinistra del foglio sin( θ)µb = mg l 2 sinθ = cos θµb = mg l 2 sinθ Per cui tanθ = 2µB mgl ESFIS92-1

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-2) Esercizio n 2 del 18/1/1992 Su un sottile anello di 10 cm di raggio è distribuita uniformemente una certa quantità di carica L anello ruota con velocità angolare ω = 7540rad/min attorno al proprio asse Trovare la quantità di carica se il modulo del campo di induzione magnetica nel suo centro è Gauss Segue Si ha: B(0) = µ 0 2 Q = 4aπB(0) µ 0 ω I = Q T = Qω 2π Qω 2πa = gauss = Wb/m 2 = π π = C 1200 Per ω = 7540rad/min come nell esercizio, si ha: Q = C ESFIS92-2

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-3) Esercizio n 3 del 18/1/1992 L armatura superiore di un condensatore piano è il piatto di una bilancia La distanza fra le armature del condensatore è d = 5mm e l area della superficie di ciascuna di esse è di 628 cm 2 Quale differenza di potenziale bisogna applicare fra le armature perchè l equilibrio della bilancia venga raggiunto ponendo una massa di 16g sull altro piatto F mg m Come sappiamo, la densitá superficiale di forza che agisce fra le armature di un condensatore é: df ds = 1 σ 2 = 1 E 2 2 ǫ 0 2 ǫ2 0 = 1 ǫ 0 2 ǫ V 2 0 d 2 quindi: da cui: Per l equilibrio deve essere: Ne segue: F = 1 2 ǫ V 2 0 d 2 S 1 2 ǫ V 2 0 d 2 S = mg V 2 = mg2d 2 1 ǫ 0 S = = (V olt) 2 V = 11874V olt ESFIS92-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-4) Esercizio n 4 del 18/1/1992 Le armature di un condensatore piano vuoto hanno una distanza di separazione che varia attorno al valore medio con legge: d = sin(2π 400)t metri Se l area della superficie di ciascuna armatura è A = 001m 2 e se ai capi del condensatore è applicata una differenza di potenziale costante V = 1000 V olt, calcolare il valore massimo della corrente che fluisce dalla batteria Dobbiamo calcolare la corrente di spostamento; In modulo, si ha: J = ǫ 0 E t I = JS E = V 0 d = V 0 c 1 + c 2 sinωt c 1 = 0001 ; c 2 = ; ω = 2π 400 E t = ωc 2V 0 cos ωt (c 1 + c 2 sin ωt) 2 = ωc 2V 0 f(x) Dobbiamo massimizzare la funzione f(x): f(x) = cos x (c 1 + c 2 sinx) 2 = cos x ( c c ) 2 = 2 sin x c 1 cos x c 2 1 (1 + α sinx)2 g(x) = cos x (1 + α sinx) 2 g (x) = sin x(1 + α sin x)2 2(1 + α sinx)α cos 2 x (1 + α sinx) 4 Tale derivata si annulla per { 1 + α sinx = 0 sin x(1 + α sin x) 2α(1 sin 2 x) = 0 cioè 1 + α sinx = 0 (1) sin x α sin 2 x 2α + 2α sin 2 x = 0 (2) ESFIS92-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Dalla (1) sinx = 1 α per α = 10 1 da scartare; dalla (2) segue invece α sin 2 x sinx 2α = 0 = sin 2 x 1 α sinx 2 = 0 sinx = 1 1 α ± α Per α = = 10 1 segue: sin x = { 1019 da scartare 0196 = x = 0197 = cos x = 098 Sostituendo si ha: In definitiva [ ] f(x) = Max [ ] D t Max [ ] 2 = ( 0196) = ǫ 0ωc 2 V S 2265µA ESFIS92-5

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-5) Esercizio n 1 del 1/2/1992 Un elettrone con una energia cinetica di 10Kev ( J), muovendosi orizzontalmente, penetra in una regione dello spazio nella quale esiste un campo elettrico diretto verso il basso il cui modulo è 100V/cm Calcolare il modulo, la direzione e il verso del minimo campo magnetico che permetterebbe all elettrone di continuare a muoversi orizzontalmente y F e e x z Sia v = v 0ˆx E = E 0 ŷ L elettrone è sottoposto ad una forza elettrica F e = ee 0 ŷ Perchè l elettrone continui a muoversi orizzontalmente occorre creare un campo magnetico tale che la forza di Lorentz sia diretta verso il basso, cioè deve risultare: F Lx = 0 ; F Ly = F m ŷ ; F Lz = 0 F = e v B v (v x,0,0) ESFIS92-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II i j k v x 0 0 B x B y B z F x = 0 F y = +ev x B z F z = ev x B y Ne segue quindi che certamente B y deve essere sempre nullo, quindi il campo magnetico deve giacere nel piano xz (orizzontale) Siccome B x non interviene nella forza possiamo assumerlo zero e quindi calcolare solo la componente B z che sarà il minimo campo ed anche Per calcolare il valore di B 0 si ha: B z = B 0 ẑ = F L = ev x B 0 ŷ ee 0 ŷ = ev x B 0 ŷ = B 0 = E 0 v x 1 2 mv2 = = v = = v = m/s che è una velocità non relativistica In definitiva si ha: B 0 = = Wb/m 2 = 169Gauss ESFIS92-7

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-6) Esercizio n 2 del 1/2/1992 Una linea elettrica di potenza percorsa da una corrente stazionaria di 100 A è orientata secondo il meridiano magnetico Una bussola è posta sotto la linea ad una distanza di 6 m da essa Se la componente orizzontale del campo magnetico terrestre in quel luogo è 02gauss, calcolare l angolo di cui viene deviato l ago della bussola ed il verso della deviazione se la corrente scorre nella direzione S-N L ago della bussola si orienterà, in assenza di corrente nella linea, secondo la direzione N S cioè col momento magnetico diretto verso S cioè verso la componente orizzontale del campo magnetico terrestre B T y (N) I = 0 m (sotto 6 metri dall asse y) x B T (S) Supponiamo che la corrente nella linea scorra verso la direzione Nord Si genererà un campo magnetico che, per la regola della mano destra, sarà: B l = µ 0 i 2π a ˆx Per effetto di questa corrente il magnete tenderà a ruotare in verso antiorario: y (N) I = 100A B l 90 0 θ m θ θ x B T (S) ESFIS92-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Per contro il campo magnetico terrestre tenderà, come è ovvio a riportarlo nella direzione originale L aghetto, quindi, si stabilizzerà in una certa posizione di equilibrio Sia θ l angolo rispetto alla direzione S N tanθ = B l B T = τ l = τ T = mb l cos θ = mb T sin θ µ 0 I 2π a = 01 6 = θ = arctan 01 6 = 9 0,46 ESFIS92-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-7) Esercizio n 3 del 1/2/1992 Un anello metallico di raggio a = 4cm è posto in un campo magnetico disuniforme le cui linee di forza nei punti dell anello formano un angolo di 10 0 con la normale al piano dell anello Il modulo del campo magnetico sui detti punti è B = 100gauss e la corrente che circola nell anello è I = 5A Calcolare la forza alla quale è sottoposto l anello y B r x I B n z B r Scomponiamo B in B n e B r come in figura La forza competente a B n è nulla perchè il campo è costante in ogni punto La forza competente a B r con quel verso di I è diretta verso l asse z negativo; il modulo è: df = I dl B F = ILB sin 10 0 = I2πaB sin10 0 = = 5 2π sin10 0 = N ESFIS92-10

11 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-8) Esercizio n 4 del 1/2/1992 Un piccolo campione di sostanza diamagnetica (χ m = ) di volume v = cm 3 è sospeso verticalmente per mezzo di una molla di costante elastica k = 150 dyne/cm (La molla è distanziata dal campione da un filo di seta sufficientemente lungo) Il campione si trova a 5cm di distanza al di sopra di una spira percorsa da una corrente di 5A e di raggio a = 5cm Calcolare la variazione di lunghezza della molla F B m Si ha: F = ( m B ) B(z) = µ 0 4π I 2πa 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 m = Mv = χ m Hvẑ Segue: H = 1 2 I a 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 F = ( m µ H ) = ( v χ m µh 2) = = ( v χ m µ z ) H2 ẑ = vχ m µ2h H z ẑ ESFIS92-11

12 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II La derivata parziale di H rispetto a z è pari a: H z = 3 z 2 Ia2 (a 2 + z 2 ) 5/2 Segue F = v χ m µ2 1 2 Ia 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 3 2 Ia2 z (a 2 + z 2 ) 5/2 = = 3v χ m µi 2 a 4 z 2(a 2 + z 2 ) 4 La condizione per cui la molla tende ad accorciarsi è: 3v χ m µi 2 a 4 z 2(a 2 + z 2 ) 4 = k z Poichè z 1 per z lasciamo z = 5cm, mentre k = 150dyne/cm = N/m; µ µ 0 In definitiva si ha: z = 3v χ m µ 0 I 2 a 4 z 2(a 2 + z 2 ) 4 k = m ESFIS92-12

13 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-9) Esercizio n 1 del 20/6/1992 Un piano xz di un sistema di riferimento O x y z sia una superficie non conduttrice In ciascun punto di essa agisce un campo elettrico uniforme E che giace nei piani paralleli al piano xy e forma un angolo θ con la direzione dell asse y Applicando il tensore degli sforzi di Maxwell calcolare, per unità di area, le componenti, lungo le direzioni dei tre assi, della forza che agisce sulla superficie Si calcoli, altrsì, il modulo di tale forza e l angolo che essa forma con la direzione dell asse y Si commentino i risultati ottenuti discutendo i seguenti casi particolari: a) E = Eŷ; b) E = Eˆx; c) E = Eŷ; d) E = Eˆx, individuando in quali casi la forza è di tensione ed in quali di pressione y E ( df ds ) θ y O ( df ) ds x x z Si ha: E x = E sinθ ; E y = E cos θ ; E z = 0 ˆn = ŷ ; ˆn x = ˆn z = 0 Applicando il tensore degli sforzi si ha: ( df ) = ǫ 0 E 2 E 2 sin θ cos θˆx = ǫ 0 ds 2 sin2θˆx x ( df ) ( = ǫ 0 E 2 cos 2 θ E2 ds 2 y = ǫ 0 E 2 1 cos 2θŷ ( 2 df ) = 0 ds z ESFIS92-13 ) ŷ = ǫ 0 E 2 ( cos 2 θ 1 2 ) ŷ =

14 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Il modulo di tale forza è: d F ds = ǫ 0 E 2 2 (sin2 2θ + cos 2 E 2 2θ) = ǫ 0 2 Per quanto riguarda l angolo formato con l asse y si ha: ( d ) F ds cot α = ( df ) ds y x = cos 2θ sin2θ = cot 2θ = α = 2θ θ = 0 α = 0 θ = π 2 α = π θ = π α = 2π θ = 3 2 π α = 3π forza di tensione forza di pressione forza di tensione forza di pressione ESFIS92-14

15 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-10) Esercizio n 2 del 20/6/1992 Due spire circolari coassiali hanno i loro centri distanti z sull asse comune Se r 1 ed r 2 sono i rispettivi raggi e r 1 z, r 2 z, calcolare il coefficiente di mutua induzione S 2 2) S 1 1) Si ha: per r 1 z e r 2 z segue M 12 = M 21 = Φ 12 I 1 Φ 12 = µ 0 4π I 2πr1 2 1 z 3 πr2 2 M 12 = µ 0 1r 2 2 πr2 2 z 3 ESFIS92-15

16 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-11) Esercizio n 3 del 20/6/1992 Una sottilissima barra magnetica cilindrica, uniformemente magnetizzata lungo l asse, è lunga 10cm ed ha il diametro di 3mm Se il modulo del vettore magnetizzazione M è M = 80000A/m, calcolare il vettore induzione magnetica in un punto situato sull asse ad una distanza di 5cm dal polo positivo, in approssimazione di polo puntiforme M + L = 10cm S 0 a P x Nei punti esterni il campo è dato da: B( r) = µ 0 U ( r) dove U ( r) = 1 M ˆn da 4π r r S0 con S 0 = π d2 In approssimazione puntiforme si ha: 4 U (x) = 1 ( MS0 4π x L MS ) 0 x > L x U (x) = 1 [ MS 0 4π (x L) 2 + MS ] 0 x 2 B(L + a) = µ [ 0 MS 0 4π a 2 + MS ] [ 0 (L + a) 2 = MS 0 (L + a) 2 1 ] a 2 = = π ( ) 2 [ ] 1 4 ( ) 2 1 ( ) 2 = Wb/m 2 = = 02Gauss lungo l asse x positivo ESFIS92-16

17 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-12) Esercizio n 4 del 20/6/1992 Un lungo filo sottile neutro trasporta una corrente I Calcolare la densità di carica, la corrente, il campo elettrico e il campo magnetico rivelati da un osservatore che si muove con velocità v parallela al filo y J x y S S O O x x z z In S ρ = 0 e J x 0, inoltre E x = E y = E z = 0 ; B x = 0, B y = 0, B z = µ 0 I 2π y Le formule di trasformazione sono: E x = E x E y = γ[e y vb z ] E z = γ[e z + vb y ] B x = B x B y = γ B z = γ [ B y v ] c 2 E z [ B z v ] c 2 E y ESFIS92-17 J x = ρ u x = γ(j x vρ) J y = J x, J z = J z ρ = γ ( ρ vj ) x c 2

18 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Per le condizioni sopra dette su S segue: E x = 0 E y = γ E z = 0 ( v µ ) 0 I 2π y B x = 0 B y = 0 B z = γb z ρ = γ v c 2 J x J x = γj x ESFIS92-18

19 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-13) Esercizio n 1 del 10/12/1992 Un filo di tungsteno avente il diametro di 005mm è situato coassialmente ad un cilindro conduttore avente il diametro di 2cm Fra il cilindro ed il filo, entrambi infinitamente lunghi, è applicata una differenza di potenziale di 100 V olt Calcolare il valore del modulo del campo elettrico sulla superficie del filo 2a = 005mm = m 2b = 2cm = m b a Il potenziale dipende solo da r L equazione di Laplace in coordinate cilindriche (solo r) è: ( 1 ρ Φ ) = 0 = Φ ρ ρ ρ ρ = cost ρ Segue Φ = costlnρ + C ; Φ A Φ B = cost(lna lnb) Se Φ A > Φ B la cost è negativa, mentre se Φ A < Φ B la costante è positiva, cioè: cost = Φ A Φ B ln a b Nel nostro caso non è specificato e quindi poniamo Φ A Φ B = V = 100V ESFIS92-19

20 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Per cui Φ = V ln a b lnρ + C E = Φ = Φ ρ êρ = V ln a b 1 ρêρ Poichè ln a è negativo il campo è diretto radialmente verso l esterno (positivo) cioè b vero il potenziale più basso Per ρ = a E = ( ) 5 5 = ln = 6677V/cm ESFIS92-20

21 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-14) Esercizio n 2 del 10/12/1992 Sia E il campo elettrico uniforme in un mezzo dielettrico, infinitamente esteso, di costante dielettrica ǫ Calcolare il campo elettrico in una cavità interna al dielettrico avente la forma di una sfera (Suggerimento: si consideri il campo elettrico interno ad una sfera uniformemente polarizzata immersa in un dielettrico e si applichi il principio di sovrapposizione) Si stacchi dal dielettrico una sfera Essa avrà il vettore P orientato come il campo Si consideri, a parte, il campo generato da una sfera polarizzata P, nei punti interni, immersa però in un dielettrico di costante dielettrica ǫ = ǫ 0 ǫ r Si trova, modificando opportunamente le formule (vedi Appunti): P E int = ǫ 0 (2ǫ r + 1) Il campo nella cavità sferica è quindi uguale al campo nel dielettrico meno il campo di una sfera isolata polarizzata P e immersa nello stesso dielettrico E cav = E + P ǫ 0 (2ǫ r + 1) Poichè P = ǫ 0 (ǫ r 1) E = E cav = 3ǫ r E 2ǫ r + 1 ESFIS92-21

22 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-15) Esercizio n 3 del 10/12/1992 Un sottile ago magnetico di massa m = 5g e di momento magnetico m m = A m 2 uniforme ed orientato secondo la lunghezza è sospeso orizzontalmente, per mezzo di un sottile filo di seta verticale fisso ad un estremo, nel campo magnetico terrestre L altro estremo del filo è legato nel baricentro dell ago L aghetto si orienta, quindi, nella direzione della componente orizzontale del campo magnetico terrestre La componente verticale del campo magnetico terrestre tende a spostare l ago dalla sua posizione orizzontale Calcolare di quanto debba essere spostato dalla posizione baricentrale l estremità del filo perchè il magnetino mantenga la posizione orizzontale se la componente verticale del campo magnetico terrestre è B v = 04Gauss P Siano m m = Am 2 ; P = mg ; B = 05gauss Sia O il nuovo punto di equilibrio e sia x la distanza dal baricentro Per l equilibrio si ha: Px = m m B x = m mb P = m = 004mm ESFIS92-22

23 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 92-16) Esercizio n 4 del 10/12/1992 Si considerino i seguenti dati relativi alla molecola di anidride carbonica CO 2 : a) momento di dipolo elettrico permanente: p m = C m; b) polarizzabilità molecolare indotta: α 0 = C 2 m/n; c) peso molecolare: M = 28 Si calcoli la costante dielettrica relativa del gas alla temperatura di 0 0 C, sapendo che la densità corrispondente è δ = 1250g/litro Si ha: α 0 = C 2 m/n ; p m = C m ; k = JK 1 T = 273K ; ǫ 0 = F/m ; δ = 1250g/litro Calcoliamo α: Del resto Calcolo di N: α = α 0 + p2 m 3KT = C 2 m/n ǫ r 1 = N α ǫ 0 1 Nα 3ǫ 0 22 atomi N A : 28 = N : δ = N = dm 3 25 atomi = m 3 Inoltre Per cui Nα ǫ 0 = = ǫ r 1 = ǫ r = per T = 273K ǫ r = per T = 300K Fine Esercizi Fisica II ESFIS92-23