Informatica. Caratterizzazione del canale I simboli emessi dalla sorgente passano attraverso un canale di trasmissione.

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1 Informatica Pietro Storniolo Entropia e flusso di informazione di una sorgente La sorgente viene caratterizzata dal valor medio di I(x i ): H(X) = Σ p(x i ) log 2 (p(x i )) è l entropia della sorgente, misurata in bit/simbolo; se gli n simboli sono equiprobabili (p(x i ) = /n) si ha che H(X) = log 2 (n). Nel caso dell esempio esempio di prima si ottiene H(X) = =.75 bit/simbolo. Per completare la caratterizzazione della sorgente serve anche la velocità V(X) con cui una sorgente emette i simboli, misurata in simboli al secondo. F(X) = H(X) V(X) è il flusso di informazione della sorgente; si misura in bit/s (bps, bit per secondo). Caratterizzazione del canale I simboli emessi dalla sorgente passano attraverso un canale di trasmissione. Per la presenza di rumore, può accadere che nel passaggio attraverso il canale il simbolo in ingresso venga trasformato in un altro simbolo. Per caratterizzare il comportamento del canale si deve indicare per ogni simbolo x i in ingresso al canale il simbolo y j che si ottiene in uscita. Introduzione ai sistemi informatici

2 Equivocazione H(X Y) L equivocazione H(X Y) del canale rappresenta la quantità di informazione che, dopo aver osservato i simboli in uscita dal canale, si può ancora mediamente ottenere osservando i simboli che sono stati effettivamente inviati attraverso il canale stesso. In pratica questo valore indica quanta informazione è stata persa nel passaggio attraverso il canale. Capacità di canale H(X) H(X Y), H(X Y), è la quantità media di informazione che si ottiene all uscita del canale data una sorgente di entropia H(X) K(C) = max X [H(X) H(X Y)] V(C) è la capacità di canale e rappresenta la massima quantità di informazione che può transitare lungo il canale C per unità di tempo (in bps). Codifica e ridondanza Se la sorgente emette informazione a una velocità superiore alla capacità del canale, K(C)<F(X) gli effetti del rumore non sono eliminabili Se invece K(C)>F(X),, il rumore presente sul canale può essere gestito. Il messaggio è ridondante: : contiene simboli che in assenza di disturbi non sarebbero necessari al suo corretto riconoscimento. Introduzione ai sistemi informatici 2

3 Errori Errore: il dato ricevuto in uscita dal canale è diverso da quello che vi era stato immesso. Errore singolo: un solo bit è sbagliato. Errore doppio: ci sono due bit errati. Codici per la rilevazione/correzione degli errori: a una parola di m bit di dato si aggiungono r bit di controllo e si ottiene una parola di codice di n = m + r bit; quando si legge una parola gli r bit in eccesso vengono controllati per vedere se si è verificato un errore; rilevare l errore correggere l errore invalidare il dato perché errato! sostituire il dato con quello esatto! I segnali I segnali Un segnale è l insieme dei valori che una grandezza assume nel tempo e che costituiscono il supporto per la trasmissione di informazione. Un segnale è una funzione s che in ogni istante t assume un valore s(t) scelto in un opportuno insieme S. Il valore s(t) viene detto del segnale al tempo t. Un esempio significativo: s(t) = x sin(2πf +Φ ) x è l massima del segnale; f rappresenta la frequenza del segnale, misurata in hertz (Hz); Φ rappresenta la fase del segnale. Introduzione ai sistemi informatici 3

4 Dominio del tempo vs dominio delle frequenze s(t) = x sin(2πf +Φ ) x frequenza f s(t) x tempo T Dominio del tempo vs dominio delle frequenze s (t) = x sin(2πf +Φ ) s 2 (t) = x sin(2πf 2 +Φ ) x f f 2 frequenza s(t) tempo Dominio del tempo vs dominio delle frequenze x s (t) = x sin(2πf +Φ ) s 2 (t) = x 2 sin(2πf 2 +Φ ) x 2 frequenza f f 2 s(t) tempo Introduzione ai sistemi informatici 4

5 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f. e.g. s(t) =.8 sin(2πf t) +.2 sin(2π2f 2f t) +.4 sin(2π3f t) f 2f 3f s (t) =.8 sin(2π f t) s 2 (t) =.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) =.4 sin(2π 3f t) Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f. e.g. s(t) =.8 sin(2πf t) +.2 sin(2π2f 2f t) +.4 sin(2π3f t) s (t) =.8 sin(2π f t) s 2 (t) =.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) =.4 sin(2π 3f t) Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f. e.g. s(t) =.8 sin(2πf t) +.2 sin(2π2f 2f t) s (t) =.8 sin(2π f t) s 2 (t) =.2 sin(2π 2f 2 t) Introduzione ai sistemi informatici 5

6 Scomposizione di Fourier Una funzione periodica è la somma di funzioni sinusoidali s n (t), caratterizzate da x n e frequenza f n, con f n = n/t = n f. e.g. s(t) =.8 sin(2πf t) +.2 sin(2π2f 2f t) +.4 sin(2π3f t) s (t) =.8 sin(2π f t) s 2 (t) =.2 sin(2π 2f 2 t) s 3 (t) =.4 sin(2π 3f t) Potenza del segnale Si definisce potenza del segnale al tempo t il valore P(t) = s 2 (t). Il rapporto segnale/rumore (S/N) esprime quanto il segnale (che porta informazione) è più intenso del rumore (segnale indesiderato). Invece dei rapporti P/PP /P2 di potenze si usano valori espressi nella forma log P/P2,, [decibel[ db]: valori negativi si riferiscono alla situazione in cui S < N db indica che la potenza del rumore è uguale a quella del segnale 2 db indica che il segnale è volte più potente del rumore. Larghezza di banda Il segnale, transitando attraverso il canale, perde potenza, ma non tutte le componenti armoniche del segnale subiscono la stessa attenuazione. Il canale trasmette le frequenze del segnale in modo selettivo: le componenti armoniche di frequenza comprese tra f min e f max vengono trasmesse senza un apprezzabile riduzione di potenza, le altre subiscono un attenuazione così sensibile da risultare praticamente eliminate dal segnale. Il segnale in uscita dal canale ha una forma differente da quella del segnale inviato dalla sorgente, viene distorto. B = f max f min, misurato in Hz, è la larghezza di banda e rappresenta una caratteristica fondamentale di un canale di trasmissione. Introduzione ai sistemi informatici 6

7 Canale ideale solo la I armonica NA NA NA NA NA le prime 3 armoniche NA Introduzione ai sistemi informatici 7

8 le prime 5 armoniche le prime armoniche Larghezza di banda e capacità di canale In assenza di rumore un canale con una larghezza di banda pari a B Hz può trasportare al più 2B simboli al secondo [Nyquist 924]. In condizioni di equiprobabilità ogni simbolo porta log 2 (n) bit di informazione, quindi la quantità di informazione trasferibile nell unit unità di tempo è K(C) = 2 B log 2 (n). Un segnale con una frequenza massima B Hz è perfettamente ricostruibile a partire da 2B suoi campioni acquisiti per unità di tempo. Nel caso generale (canali affetti da disturbo con rapporto segnale/rumore S/N) si ottiene K(C) = B log 2 (+S/N) indipendentemente dal numero di simboli [Shannon[ 948]. Introduzione ai sistemi informatici 8

9 La trasmissione dei segnali Canale Analogico Digitale Segnale Analogico Digitale Digitalizzazione Modulazione (campionamento e (e.g. AM, FM, PM) quantizzazione) Modulazione (e.g. Modem) Codifica Trasmissione su canali analogici Adattare i segnali alle caratteristiche del canale scegliere un onda sinusoidale ad alta frequenza, portante, e modificarne opportunamente i parametri in accordo con l informazione da trasmettere; modulazione in : variare l della portante con il segnale in bassa frequenza, modulante, che si vuole trasmettere; modulazione in frequenza: portante e modulante vengono combinate in modo tale che il segnale modulato risultante abbia una frequenza variabile; modulazione di fase: portante e modulante vengono combinate in modo tale che il segnale modulato risultante abbia una fase variabile. Trasmissione di un segnale digitale POTS, Plain Old Telephone System, progettato la voce umana, caratterizzata da uno spettro compreso tra i 4 Hz e i 34 Hz; i segnali digitali vengono modulati con una portante compresa nella banda; modem (modulatore/demodulatore). Segnali analogici su canali digitali Segnale di sincronizzazione del campionamento (Clock) Segnale analogico Pulse Amplitude Modulation Pulse Duration Modulation Pulse Position Modulation Introduzione ai sistemi informatici 9