Codifica binaria dei dati numerici: i numeri naturali

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1 Codifica binaria dei dati numerici: i numeri naturali Sistema Sistema di numerazione posizionale in base b c k c k 1 c 0 rappresenta c k b k + c k 1 b k c 0 b 0 b= dieci indica Conversione binario decimale basta scrivere il numero secondo la notazione posizionale utilizzando già il sistema decimale b= due indica = 13 dieci Conversione decimale binario Si potrebbe utilizzare lo stesso metodo indicato sopra, ma è molto complesso b= dieci indica 5 dieci 10 2 dieci+ 6 dieci 10 1 dieci+ 5 dieci 10 0 dieci =[101x x x1] due = = due

2 Conversione binario decimale due = 1 dieci 2 5 dieci+ 0 dieci 2 4 dieci+ 1 dieci 2 3 dieci+ 1 dieci 2 2 dieci+ 0 dieci 2 1 dieci+ + 0 dieci 2 0 dieci = = 1 dieci 32 dieci + 0 dieci 16 dieci + 1 dieci 8 dieci + 1 dieci 4 dieci + 0 dieci 2 dieci + 0 dieci 1 dieci = = 32 dieci + 8 dieci + 4 dieci = = 44 dieci due = 1 dieci 2 8 dieci+ 0 dieci 2 7 dieci+ 1 dieci 2 6 dieci+ 1 dieci 2 5 dieci+ 1 dieci 2 4 dieci+ 0 dieci 2 3 dieci+ 1 dieci 2 2 dieci+ 0 dieci 2 1 dieci+ 1 dieci 2 0 dieci = = 1 dieci 256 dieci + 0 dieci 128 dieci + 1 dieci 64 dieci + 1 dieci 32 dieci + 1 dieci 16 dieci + 0 dieci 8 dieci + 1 dieci 4 dieci + 0 dieci 2 dieci + 1 dieci 1 dieci = = 256 dieci + 64 dieci + 32 dieci + 16 dieci + 4 dieci + 1 dieci = = 373 dieci

3 Conversione decimale binario 565 dieci = 5 dieci 10 2 dieci + 6 dieci 10 1 dieci + 5 dieci 10 0 dieci = = 101 due due due due dieci due = = 101 due due due 1010 due due 1 due = = due due due = = due Somma 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 A parità di valore un numero scritto in base due è più lungo ma si somma più semplicemente Prodotto 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

4 Conversione decimale binario Vediamo un procedimento più semplice Sistema di numerazione posizionale in base B che, in questo contesto si può ipotizzare diversa da dieci c n 1 c n 2 c 1 c 0 = c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B 1 + c 0 B 0 c n 1 c n 2 c 1 c 0 = c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B + c 0 (infatti B 1 =B e B 0 =1) Dividendo il numero per il valore della base, il risultato che si ottiene è: (c n 1 B n 1 + c n 2 B n c 1 B + c 0 )/B = = c n 1 B n 2 + c n 2 B n c 1 + c 0 /B che può essere scomposto in modo da evidenziare quoziente e resto: quoziente = c n 1 B n 2 +c n 2 B n c 1 resto = c 0 Il resto della divisione corrisponde all ultima cifra della rappresentazione in base B del numero, ma il suo valore è indipendente dalla base che si utilizza per effettuare i conti. Applicando lo stesso procedimento al quoziente si ottiene la penultima cifra della rappresentazione in base B Ripetendo la procedura è possibile ottenere tutte le altre cifre.

5 Conversione decimale binario 573 dieci : 2 dieci quoziente 286 dieci resto 1 dieci 286 dieci : 2 dieci quoziente 143 dieci resto 0 dieci 143 dieci : 2 dieci quoziente 71 dieci resto 1 dieci 71 dieci : 2 dieci quoziente 35 dieci resto 1 dieci 35 dieci : 2 dieci quoziente 17 dieci resto 1 dieci 17 dieci : 2 dieci quoziente 8 dieci resto 1 dieci 8 dieci : 2 dieci quoziente 4 dieci resto 0 dieci 4 dieci : 2 dieci quoziente 2 dieci resto 0 dieci 2 dieci : 2 dieci quoziente 1 dieci resto 0 dieci 1 dieci : 2 dieci quoziente 0 dieci resto 1 dieci Esercizio: Convertire i numeri 18 e due =573 dieci

6 Conversione decimale binario Si calcolano i resti delle divisioni per due 18 : 2 = 9 resto 0 9 : 2 = 4 resto 1 4 : 2 = 2 resto 0 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto : 2 = 68 resto 1 68 : 2 = 34 resto 0 34 : 2 = 17 resto 0 17 : 2 = 8 resto 1 8 : 2 = 4 resto 0 4 : 2 = 2 resto 0 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto

7 Numeri binari: operazioni Con una successione di n bit si possono rappresentare 2 n numeri naturali da 0 a 2 n -1 Con gli 8 bit utilizzati negli esempi qui riportati si possono rappresentare i numeri naturali fino a 255 dieci. Operazioni che producono un risultato maggiore provocano il superamento della capacità di rappresentazione (indicato in gergo dal termine inglese overflow) due dieci due dieci due = 60 dieci = due = 7 8 dieci = due 85 dieci due 12 2 dieci

8 Numeri naturali binari nei calcolatori Per la codifica dei numeri naturali (interi positivi) si utilizzano abitualmente successioni di 32 bit (4 byte) con cui si possono rappresentare i numeri compresi tra 0 e = 4'294'967' Aumentando la lunghezza delle successioni il massimo numero rappresentabile cresce esponenzialmente: passando da 32 a 64 bit il massimo numero rappresentabile diventa = A causa del minor numero di simboli dell alfabeto binario rispetto a quello decimale, un numero codificato in notazione binaria richiede più cifre rispetto a quelle impiegate in notazione decimale.

9 ESERCITAZIONE N.5 SU EXCELL GRAFICI DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ANALITICHE CON IL PROGRAMMA EXCEL: Creare un foglio di lavoro che consenta il calcolo e il grafico dei valori assunti da una: Exp(x) per x compreso tra -5 e 5 Exp(-x) per x compreso tra -5 e 5 Exp(x) e x^(10) per x compreso tra 20 e 37 per verificare che l esponenziale cresce più rapidamente di qualsiasi potenza

10 GRAFICI DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ANALITICHE CON IL PROGRAMMA EXCEL: Creare un foglio di lavoro che consenta il calcolo e il grafico dei valori assunti da una funzioni con asintoti: Ln(x) per x compreso tra 0,1 e 10 Sin(x)/x per x compreso tra 0,5 e 100 a step di 0,5 Ln(x)/x per x compreso tra 0,1 e 20 a step di 0,2

11 Ancora grafici vari Graficare le seguenti funzioni mettendo le funzioni con il seno tutte in uno stesso grafico e quelle con il coseno tutte in un altro: Y=Sen(x) e y=cos(x) per x compreso tra 0 e 4π Y=Sen(2x) e y=cos(2x) per x compreso tra 0 e 4π Y=2Sen(x) e y=2cos(x) per x compreso tra 0 e 4π