Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia

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1 Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 6 Solidi di rotazione Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia

2 Solidi di rotazione Un solido di rotazione è generato dalla rotazione di una figura piana attorno ad una retta, detta asse di rotazione. In genere, l angolo di rotazione è un angolo giro.

3 Cilindro Si dice cilindro (retto) il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad una retta passante per un suo lato. Un cilindro può essere visto anche come il solido a cui tende un prisma la cui base è un poligono regolare con un numero infinito di lati.

4 L asse di rotazione è detto asse del cilindro. I due cerchi generati dalla rotazione si dicono basi del cilindro. I due lati del rettangolo perpendicolari all asse sono detti raggi del cilindro. La superficie descritta dalla rotazione del segmento di partenza si dice superficie laterale. La distanza tra le due basi è detta altezza del cilindro. h=2r Un cilindro si dice equilatero se l altezza è pari al diametro di base.

5 Posizioni tra un piano e un cilindro Dati un cilindro e un piano parallelo al suo asse, il piano può essere: a) esterno (non ha punti comuni) b) tangente (ha in comune una generatrice) c) secante (ha in comune un rettangolo)

6 Cono Si dice cono il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad una retta passante per uno dei suoi cateti. L asse di rotazione è detto asse del cono. Il cerchio generato dalla rotazione si dice base del cono. La superficie descritta dal segmento in rotazione è detta superficie laterale.

7 Il cateto attorno al quale avviene la rotazione è detto altezza del cono. L ipotenusa del triangolo in rotazione è detta apotema del cono. L intersezione tra l apotema e l altezza è detta vertice del cono. Vale la relazione: h 2 + r 2 = a 2 L angolo delimitato dall altezza e dall apotema è detto semiapertura del cono. a=2r Un cono si dice equilatero se l apotema è pari al diametro di base.

8 Posizioni tra un piano e un cono Dati un cono di semiapertura e un piano passante per il suo vertice, formante un angolo b con l asse del cono, allora: b a) b > nessuna intersezione oltre al vertice b b) b = il piano è tangente (ha in comune una generatrice) b c) b < il piano è secante (ha in comune un triangolo)

9 Tronco di cono Un tronco di cono si ottiene sezionando un cono con un piano parallelo alla base. Può essere visto anche come la rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla sua altezza. La distanza tra le due basi è detta altezza del tronco. Il lato obliquo del trapezio è detto apotema del tronco.

10 Sfera Si dice sfera il solido generato dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. Una superficie sferica si può definire come un luogo di punti nello spazio equidistanti da un punto detto centro. La distanza dei punti della superficie dal centro è detta raggio della sfera.

11 Posizioni tra una retta e una sfera Date una retta e una sfera, la retta può essere: a) esterna (non ha punti comuni). P b) tangente (ha in comune un punto) c) secante (ha in comune un segmento)

12 Posizioni tra un piano e una sfera Dati un piano e una sfera, il piano può essere: a) esterno (non ha punti comuni) b) tangente (ha in comune un punto). P c) secante (ha in comune un cerchio)

13 Parti della sfera e della superficie sferica Dall intersezione con un piano, la superficie sferica è divisa in due calotte sferiche; la sfera in due segmenti sferici. La porzione di superficie sferica compresa tra due piani paralleli è detta zona sferica; la porzione di sfera è detta segmento sferico a due basi.

14 Dato un diedro avente origine su una retta passante per il centro di una sfera, si dice fuso sferico la porzione di superficie sferica interna al diedro; la porzione di sfera interna al diedro è detta spicchio sferico. (a) (b) Si dice settore sferico il solido generato dalla rotazione di un settore circolare attorno (a) ad uno dei suoi raggi o (b) attorno ad una retta passante dal centro del settore e non avente altri punti in comune con esso.

15 Solidi inscritti e circoscritti a solidi di rotazione Alcuni esempi (non esaustivi) Prisma circoscritto (a) o inscritto (b) in un cilindro: le basi del prisma sono circoscritte/inscritte alle basi del cilindro. (a) (b) Piramide circoscritta (a) o inscritta (b) in un cono: i vertici coincidono e la base della piramide è circoscritta/ inscritta alla base del cilindro.

16 Cilindro circoscritto ad una sfera: la sfera è tangente alle basi e alla superficie laterale del cilindro. Cilindro inscritto in una sfera: il cilindro e la superficie sferica hanno in comune le circonferenze di base del cilindro. Cono circoscritto ad una sfera: la sfera è tangente alla base e alla superficie laterale del cono.

17 Cono inscritto in una sfera: il vertice del cono è sulla superficie sferica; il cono e la superficie sferica hanno in comune la circonferenza del cono.

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