Cerchi di Mohr - approfondimenti

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1 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Stato di tesioe e di deformazioe Cerchi di Mohr - approfodimeti L algebra dei cerchi di Mohr Proprietà di estremo dei cerchi di Mohr Costruzioe iversa dei cerchi di Mohr Le tesioi su piai o pricipali 006 Politecico di Torio

2 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Cerchi di Mohr - approfodimeti Compoeti della tesioe (/) I qualsiasi tera di assi, le compoeti del vettore della tesioe si calcolao: τ = T { } { } T t { t } { t } T { } { } t t + = = e soo ovviamete idipedeti dagli assi t τ e t τ Politecico di Torio

3 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Compoeti della tesioe (/) I assi pricipali: = T { } { } t t T τ + = t { t } { t } { t} = [ ]{ } T { } { } = T { } { } = T T { } { } τ+ = T { } { } = co, i assi pricipali: t = t t t = 0 0 = Compoeti della tesioe (/) { } { } T = = + + T T { } { } τ + = = + + { } { } T = = + + che è u sistema lieare elle icogite:,, Politecico di Torio

4 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (/) Risolvedo rispetto a quadrati dei cosei direttori: i = ( )( ) + ( j)( i k) τ i k co idici da permutare ciclicamete: i, j, k,,,,,, 7 Direzioi su piai pricipali (/) Tutte le direzioi co ormale giacete sul piao pricipale (,), ovvero co ormale sull asse : che implica: ( )( ) + ( )( ) τ = = 0 ( )( ) τ + = 0 equazioe di u cerchio (di Mohr) elle variabili e τ Politecico di Torio 4

5 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (/) Direzioe su -: = 0 9 Direzioi su piai pricipali (4/) Direzioi su -: = Politecico di Torio 5

6 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (5/) Fascio di piai di asse : = 0 Direzioi su piai pricipali (6/) Cerchio di Mohr relativo alle direzioi = 0 : τ τ ( ) ( ) 006 Politecico di Torio 6

7 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (7/) Fascio di piai di asse Direzioi su piai pricipali (8/) Fascio di piai di asse Politecico di Torio 7

8 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (9/) I cerchi per le direzioi sui piai dei tre assi pricipali: τ 5 Direzioi su piai pricipali (0/) L approccio algebrico ci fa ritrovare i cerchi di Mohr già visti, e ce e garatisce l esisteza. τ Politecico di Torio 8

9 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi su piai pricipali (/) τ Poiché τ vi compare al quadrato si perdoo i versi delle τ ik Per teere coto di questo aspetto coviee quidi riferirsi alla deduzioe geometrica 7 Cerchi di Mohr - approfodimeti 006 Politecico di Torio 9

10 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioi qualsiasi i assi pricipali τ Cosa succede di e su superfici o apparteeti a essuo dei tre fasci di asse,,? Ua dimesioe che o ha = 0 oppure = 0 oppure = 0 o ha (,τ ) sui uo dei cerchi di Mohr τ t 9 Cerchi per direzioi sui piai pricipali Ad esempio, el caso > > : τ Politecico di Torio 0

11 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioe o ortogoale all asse τ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + τ 0 ( ) ( ) + τ 0 Direzioe o ortogoale all asse τ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) τ ( ) ( ) + τ Politecico di Torio

12 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Direzioe o ortogoale all asse τ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) τ ( ) ( ) + τ 0 Zoa delle tesioi per direzioi qualsiasi Perciò le tre disequazioi disegate isieme: τ idicao che (, τ ) per u qualsiasi cadoo etro la zoa (luella) tratteggiata Politecico di Torio

13 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Estremo per le ( ) Cosegueza : la tesioe ormale massima è la più grade delle tesioi pricipali: τ max mi 5 Estremo per le ( ) Cosegueza : la tesioe tageziale massima è il raggio del cerchio di Mohr più grade: τ τ max mi Politecico di Torio

14 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Superficie di massima ( ) (/) τ,max Cosegueza : la agisce sulla superficie a 45 dalla superfici pricipali co e : max τ mi τ τ,max 45 max mi + max mi 7 Superficie di massima ( τ) (/) max max + mi 45 τ max mi τ max = max mi Politecico di Torio 4

15 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Cerchi di Mohr - approfodimeti Costruzioe diretta Nella costruzioe diretta occorre prima possedere i valori delle tesioi pricipali,,, e poi costruire cerchi τ Politecico di Torio 5

16 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare il cerchio (/5) La costruzioe iversa è possibile quado si coosce già ua direzioe pricipale, qui idicata co : yy τ yx τ xy xx Trovare il cerchio (/5) Si sa che tutti i piai del fascio di asse hao (,τ ) su u cerchio di Mohr; questo ha il cetro sull asse, e ioltre se e cooscoo due puti di passaggio ( xx,τ xy ),( yy,τ xy ): τ τ xy yy xx xx + yy Si trova il cetro come del diametro soo e., e gli estremi 006 Politecico di Torio 6

17 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare il cerchio (/5) Cetro xx + yy Raggio + τ xx yy xy τ xy yy xx = ± + τ xx yy xx yy xy Trovare il cerchio (4/5) Per via algebrica u tale problema si risolve co: xx λ τxy 0 det τxy yy λ 0 = λ ( λ) ( λ λ( ) τ ) xx + yy + xx yy xy = Politecico di Torio 7

18 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare il cerchio (5/5) Le cui radici: λ = λ λ = ± + τ xx yy xx yy xy cioè i medesimi valori λ =, λ = 5 τ Trovare e assi pricipali (/) La costruzioe appea vista utilizza il valore assoluto τ, e quidi perde il sego della tesioe tageziale. È figlia dell approccio algebrico che defiisce il cerchio di Mohr co: ( ) ( ) + τ 0 i k = Politecico di Torio 8

19 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti τ Trovare e assi pricipali (/) Ricordado la costruzioe geometrica: o = + τ τ τ + 7 τ Trovare e assi pricipali (/) Sezioado co due piai cartesiai ortogoali alla coppia di assi (x,y): y y x 90 x Politecico di Torio 9

20 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti τ Trovare e assi pricipali (4/) Le corrispodeti costruzioi dirette sui cerchi di Mohr, dati, : y x τ y τ + τ xy 90 xx yy τ xy x 9 Trovare e assi pricipali (5/) Dati, iversamete,, τ τ ) : τ ( xx yy xy yx τ + τ xy A B yy xx τ xy C D Politecico di Torio 0

21 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare τ e assi pricipali (6/) Per i quattro puti A,B,C,D τ + τ xy A B yy xx τ xy C D (bastao i realtà o la coppia A,B o la coppia C,D) passa u cerchio co cetro sulle ascisse 4 τ Trovare e assi pricipali (7/) Dette sempre : la tesioe pricipale maggiore : la tesioe pricipale miore il cerchio di Mohr ha le segueti caratteristiche idipedeti dal valore assoluto della Politecico di Torio

22 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare τ e assi pricipali (8/) Per > : xx yy xx A B yy yy xx C D 4 Oppure > : τ Trovare e assi pricipali (9/) yy xx yy A B xx yy xx C D Politecico di Torio

23 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti τ Trovare e assi pricipali (0/) Nell uo e ell altro caso se τ xy è positivo allora il triagolo delle forze deve chiudersi su ( ) i modo che il vettore della forza dovuta a τ xy sia ruotata di 90 i seso atiorario rispetto all asse x Cioè il verso di y y y x 90 x 45 se τ xy Trovare e assi pricipali (/) è positivo: τ xx y yy yy xx xx yy y x yy xx x Politecico di Torio

24 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare τ e assi pricipali (/) ivece se τ xy è egativo: xx y x y x yy yy xx xx yy yy xx 47 τ Trovare e assi pricipali (/) Caratteristica comue a queste costruzioi è che i puti A,B,C,D si scelgoo co ordiata egativa A C yy y xx B D y x x quado la τ xy è positiva, e viceversa co ordiata positiva quado la è egativa τ xy y A C x xx x yy y B D Politecico di Torio 4

25 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Cerchi di Mohr - approfodimeti Tesioi su direzioi fuori dai piai pricipali Direzioe qualsiasi, pesata come ua delle geeratrici di u coo di semi-apertura γ, agolo tra e l asse γ Politecico di Torio 5

26 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Sul piao - Le direzioi sul piao - γ ' 90 γ O 5 sul piao - e '' sul piao - ' ' γ 90 γ O Politecico di Torio 6

27 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti le rispettive tesioi ( ) hao la corrispodete tesioe, τ (rappresetata rispettivamete dai puti A,B sul piao di Mohr) (itersezioe della retta icliata di 90-γ rispetto agli assi e e quidi, pero i, rispetto all asse orizzotale el piao di Mohr) A 90 γ B N.B.: il valore di 90 - γ è stato modificato per facilitare la grafica 5 A e B stao sul cerchio di cetro C Si dimostra ora che i puti A,B stao su u cerchio avete come cetro C, cetro del cerchio passate per e : A B 90 γ C Politecico di Torio 7

28 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Dimostrazioe (/4) MAN e MBL soo triagoli rettagoli; siccome AMN è comue, soo simili, perciò AN parallelo a BL a A P B M N Q L a 55 Dimostrazioe (/4) Idividuato il puto P, medio tra A e B, tracciamo l asse aa. Questo iterseca NL i Q. Il triagolo AQB è isoscele a A P B M N Q L a Politecico di Torio 8

29 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Dimostrazioe (/4) Le cogiugeti Q co A e Q co B hao uguale lughezza ( AQ = BQ) Perciò A e B stao su u cerchio di cetro Q a A P B M N Q L a 57 Dimostrazioe (4/4) Il triagolo MPQ è simile ai MAN e MBL, perciò PQ è parallelo a AN e BL AP NQ Per il Teorema di Talete, = Ma AP = PB, quidi NQ = QL PB QL Perciò Q è puto medio di NL, ovvero Q C C.V.D. a A P B M N Q C a L Politecico di Torio 9

30 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Sigificato del cerchio di cetro C (/4) Dimostriamo che le tesioi dell arco AB soo quelle delle direzioi del coo di semi-apertura γ Dall equazioe geerale: = cos A γ = B ( )( ) + ( )( ) τ γ M N C L 59 Sigificato del cerchio di cetro C (/4) Segue: + τ ( + ) + = ( )( ) cos γ Da cui come è oto, per γ = 90, cos γ = 0, (cioè per direzioi sul piao,): + τ ( + ) + 0 = Che è il cerchio di cetro: + C = E di raggio r = M A B C Politecico di Torio 0

31 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Sigificato del cerchio di cetro C (/4) Nel caso γ < 90 : + τ ( + ) + ( )( ) cos γ = 0 Equazioe di u cerchio di cetro e raggio: + r = ( )( ) ( )( ) cos cos γ γ Cioè u raggio crescete co γ decrescete 6 Sigificato del cerchio di cetro C (4/4) = Quado γ = 0, ovvero = cos γ : r = + ( )( ) + ( ) A B Cioè il segmeto C M Quidi per γ=0 il cerchio passa per M, i cui vegoo a coicidere A e B M C Politecico di Torio

32 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare la tesioe (/9) Per trovare, ora, a quale puto sull arco AB si trovi il puto corrispodete alla direzioe occorre u secodo agolo; per esempio l agolo che forma co l asse γ Il versore fa parte sia del coo di asse sia di u coo di asse e semiapertura 6 Trovare la tesioe (/9) Si evideziao i coi di assi e, co i comue: γ ' Politecico di Torio

33 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare la tesioe (/9) Ovvero, evideziado ' sul piao -: ' ' 65 Trovare la tesioe (4/9) La tesioe corrispodete alla direzioe ' sul piao pricipale - è data dal puto R di Mohr: ' R Politecico di Torio

34 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare la tesioe (5/9) Le direzioi del coo di asse hao tesioi su u arco del cerchio di cetro C passate per R ' ' ' R C S 67 Trovare la tesioe (6/9) L aaloga costruzioe per il coo di asse : γ ' '' B 90 γ 90 γ A R C S C Politecico di Torio 4

35 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare la tesioe (7/9) L itersezioe tra i due archi forisce il puto Z, che rappreseta la tesioe della direzioe A B R Z C S C 69 Trovare la tesioe (8/9) Notiamo che affiché l itersezioe Z esista, occorre che R stia a siistra di B, cioè >90 -γ Al limite: =90 -γ A +γ = 90 ; R che si realizza quado sta sul piao - B Z C 90 γ S C Politecico di Torio 5

36 Comportameto meccaico dei materiali Cerchi di Mohr - approfodimeti Trovare la tesioe (9/9) Le itersezioi di archi RS e AB o possoo che avere luogo all itero della luella ; quidi, come già visto per via algebrica, mostrao che le tesioi relative a tutte le direzioi ello spazio stao etro questa luella Z C C Politecico di Torio 6