RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Sezione geotecnica ( RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Corso di Geotecnica Ingegneria Edile, A.A. 2010\2011 Johann Facciorusso johannf@dicea.unifi.it

2 Rappresentazione degli stati tensionali PIANI E TENSIONI PRINCIPALI Preso un punto P all interno di un corpo continuo, le tensioni sui possibili elementi superficiali infinitesimi passanti per P (tensione risultante e relative componenti normale σ e tangenziale τ sull elemento superficiale considerato) variano in generale da elemento a elemento. σ Si può dimostrare che nella stella di piani passanti per P esistono almeno 3 piani, ortogonali fra loro, su cui agiscono esclusivamente tensioni normali. Questi 3 piani sono detti principali; le tensioni che agiscono su di essi sono dette tensioni principali σ 1 = tensione principale maggiore (agisce sul piano principale maggiore π 1 ) σ 2 = tensione principale intermedia (agisce sul piano principale intermedio π 2 ) σ 3 = tensione principale minore (agisce sul piano principale minore π 3 ) 3 σ 2 π 1 π 2 π 3 P σ σ 1 1 σ 2 2/77 σ 3

3 Rappresentazione degli stati tensionali STATI TENSIONALI STATO TENSIONALE ISOTROPO σ 1 = σ 2 = σ 3 (tensione isotropa) tutti i piani della stella sono principali e la tensione (isotropa) è eguale in tutte le direzioni. STATO TENSIONALE ASSIAL SIMMETRICO σ i = σ j σ k esiste un fascio di piani principali (che ha per asse la σ k )sui quali agiscono tensioni uguali (σ i = σ j ) e un piano principale ad essi ortogonale (sul quale agisce la σ k ) 3/77

4 Rappresentazione degli stati tensionali STATO TENSIONALE PIANO Poiché gli stati tensionali critici per i terreni interessano, nella maggior parte dei problemi pratici, piani ortogonali al piano principale intermedio, ovvero appartenenti al fascio avente per asse la direzione della tensione principale intermedia σ 2, è possibile ignorare il valore e gli effetti della tensione principale intermedia e riferirsi ad un sistema piano di tensioni σ 1 σ 1 σ 3 P θ Piano π Piano principale minore π 3 σ Piano principale maggiore, π 1 3 CONVENZIONE SEGNI: σ positiva se di compressione; τ positiva se produce rotazione anti oraria rispetto ad un punto mediatamente esterno al piano di giacitura θ positivo in senso antiorario σ θ θ τ θ 4/77

5 Rappresentazione degli stati tensionali CERCHIO DI MOHR Si consideri, nell intorno del punto P, un elemento prismatico triangolare di spessore unitario e lati di dimensioni infinitesime, disposti parallelamente ai due piani principali, π 1 e π 3, e ad un generico piano π passante per P inclinato di θ rispetto a π 1. σ 1 σ 1 σ 3 P θ σ θ τ θ Piano π σ Piano principale maggiore, π 1 3 σ θ θ dl τ θ Piano principale minore π 3 5/77

6 Rappresentazione degli stati tensionali Dall equilibrio alla traslazione dell elemento prismatico nelle direzioni π 1 e π 3 : σ σ 3 1 dl sin θ σ dl cosθ σ θ θ dl sin θ τ dl cosθ + τ dl cosθ = 0 dl sin θ = 0 Equazione di un cerchio sul piano (σ,τ) θ θ τ σ θ θ σ1 σ 3 = 2 = σ 3 + sin 2θ 2 ( σ σ ) cos θ 1 3 σ 1 Riportando in un sistema di assi cartesiani ortogonali (piano di Mohr) le tensioni normali, σ, lungo l asse X e le tensioni tangenziali, τ, lungo l asse Y, al variare di θ, si ottiene un cerchio (cerchio di Mohr) con: RAGGIO : R = (σ 1 σ 3 )/2 CENTRO : C [(σ 1 + σ 3 )/2; 0] σ 3 re, π 1 θ σ θ dl τ θ che rappresenta il luogo geometrico delle condizioni di tensione su tutti i piani del fascio. 6/77

7 Rappresentazione degli stati tensionali τ θ Y Def. Si definisce polo o origine dei piani il punto tale che qualunque retta uscente da esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata. O σ 3 A σ θ θ σ 1 C 2θ D E B Se si assume il piano principale maggiore π 1 come riferimento per individuare l orientazione dei piani del fascio (la cui traccia è l asse X) A (σ 3,0) rappresenta il polo X Se si assume il piano principale minore π 3 come riferimento per individuare l orientazione dei piani del fascio (e la cui traccia coincide con l asse X), il polo coincide con B (σ 1,0) OSS. L angolo di inclinazione θ tra due piani (BÂD) è metà dell angolo al centro del cerchio di Mohr che sottende i punti rappresentativi delle tensioni agenti sui due piani (BĈD). 7/77

8 Rappresentazione degli stati tensionali Se per individuare l orientazione dei piani del fascio si assume come riferimento il piano orizzontale, non coincidente con un piano principale, sul quale agiscono la tensione normale σ D e tangenziale τ D, il polo, P, è individuato dall intersezione col cerchio di Mohr della retta orizzontale condotta dal punto D che ha per coordinate la tensione normale e tangenziale sul piano orizzontale. Y σ D O σ polo 3 A P σ 1 90 β α C cβ Tensione sul piano orizzontale D E B Tensione sul piano inclinato di rispetto all orizzontale X π 1 τ D α β = inclinazione (oraria) del piano principale maggiore rispetto all orizzontale 90 β = inclinazione (antioraria) del piano principale minore rispetto all orizzontale β 90 β σ 1 σ 3 α = inclinazione (oraria) del generico piano del fascio rispetto all orizzontale α π 2 σ E τe 8/77

9 Criterio di rottura di Mohr Coulomb RESISTENZA AL TAGLIO Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di incipiente rottura. Def. La resistenza al taglio di un terreno in una direzione è la massima tensione tangenziale, τ f, che può essere applicata al terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la rottura. Nella Meccanica dei Terreni si parla di resistenza al taglio, perché nei terreni, essendo di natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani. La rottura (ovvero quella condizione cui corrispondono deformazioni inaccettabilmente elevate): può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi) oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza (come si verifica spesso nei terreni) 9/77

10 Criterio di rottura di Mohr Coulomb In linea teorica se si utilizzasse per l analisi delle condizioni di equilibrio e di rottura dei terreni un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è applicabile. In pratica si utilizza un modello continuo, costituito, nell ipotesi di terreno saturo, dalla sovrapposizione nello stesso spazio di un continuo solido corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all acqua che occupa i vuoti interparticellari. OSS: l hp di mezzo continuo è accettabile anche perchè la dimensione caratteristica dei fenomeni di interesse pratico è molto maggiore di quella della microstruttura, ovvero dei grani e dei pori. 10/77

11 Criterio di rottura di Mohr Coulomb Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali (I parte del principio delle tensioni efficaci): σ = σ u La resistenza al taglio dei terreni è legata alle tensioni efficaci (II parte del principio delle tensioni efficaci): Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci τ f = f (σ ) 11/77

12 Criterio di rottura di Mohr Coulomb CRITERIO DI MOHR COULOMB Il più semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr Coulomb ( Terzaghi): τ f = cʹ+ ( σ u) tan ϕ ʹ = cʹ+σʹ tan ϕʹ n, f Principio delle tensioni efficaci (Terzaghi) la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto Psu una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è data dalla somma di due termini: il primo, detto coesione (c ), è indipendente dalla tensione efficace (σ ) agente nel punto P in direzione normale alla superficie il secondo è proporzionale a σ mediante un coefficiente d attrito tanϕ. L angolo ϕ è detto angolo di resistenza al taglio. 12/77

13 Criterio di rottura di Mohr Coulomb Nel piano di Mohr il criterio di rottura di Mohr Coulomb è descritto da una retta, detta retta inviluppo di rottura, che separa gli stati tensionali possibili da quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del materiale. τ τ f = cʹ+σʹ n, f tan ϕʹ STATI TENSIONALI IMPOSSIBILI ϕ c STATI TENSIONALI POSSIBILI σ 13/77

14 Criterio di rottura di Mohr Coulomb Se nel punto P si verifica la rottura, lo stato di tensione corrispondente (supposto per semplicità piano) sarà rappresentato nel piano τ σ da un cerchio di Mohr tangente all inviluppo di rottura τ inviluppo di rottura ϕ rottura stato tensionale relativo al punto P in cui si verifica la rottura τ f c O σ 3,f σ n,f no rottura Impossibile σ σ 1,f N.B. Un cerchio di Mohr tutto al di sotto della retta inviluppo di rottura indica invece che la condizione di rottura non è raggiunta su nessuno dei piani passanti per il punto considerato, mentre non sono fisicamente possibili le situazioni in cui il cerchio di Mohr interseca l inviluppo di rottura. 14/77

15 Criterio di rottura di Mohr Coulomb τ f (Nel punto P) l inclinazione del piano di rottura (sul quale agiscono agiscono la tensione efficace normale σ n,f e la tensione tangenziale τ f ) rispetto al piano principale maggiore (sul quale agisce σ 1,f ) è pari a: θ f = π/4 + ϕ /2 τ c traccia del piano di rottura F O σ A 3,f C B σ n,f D σ 1,f θ = π/4+ϕ /2 f 2θ f ϕ inviluppo di rottura π 1 τ f σ θ f 90 θ f σ 1,f σ 3,f π 3 σ n,,f 15/77

16 Criterio di rottura di Mohr Coulomb OSSERVAZIONI I. Il criterio di rottura di Mohr Coulomb non dipende dalla tensione principale intermedia, σ 2,f τ ϕ c σ 3,f σ 2,f σ 1,f C B σ 16/77

17 Criterio di rottura di Mohr Coulomb II. La tensione τ f non èil valore massimo della tensione tangenziale, che è invece pari al raggio del cerchio di Mohr: τ max = 1 2 ( ' ' σ σ ) 1 3 τ ed agisce (E) su un piano ruotato di π/4 rispetto al piano principale maggiore (e quindi di ϕ /2 rispetto al piano di rottura) traccia del piano di rottura D E θ = π/4+ϕ /2 f ϕ inviluppo di rottura τ max τ f F O c π/4 σ A 3,f C B σ n,f σ σ 1,f 17/77

18 Criterio di rottura di Mohr Coulomb III. I parametri di resistenza al taglio c e tanφ non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori (storia tensionale, indice dei vuoti, tipo di struttura, composizione granulometrica, etc.). IV. L inviluppo a rottura può presentare c = 0. V. L inviluppo di rottura reale non è necessariamente una retta (anzi, è marcatamente curvilineo in prossimità dell origine degli assi); spesso tale approssimazione è accettabile solo in un campo limitato di tensioni. VI. Come conseguenza del principio delle tensioni efficaci: per i terreni a grana grossa (nei quali a variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace) la resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dopo l applicazione del carico. per i terreni a grana fine (consolidazione): a. se le tensioni efficaci crescono (es. rilevato), anche la resistenza al taglio cresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a breve termine, b. se le tensioni efficaci decrescono (es. scavo) anche la resistenza al taglio decresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a lungo termine 18/77

19 Criterio di Tresca CRITERIO DI TRESCA Qualora il terreno pervenga a rottura in condizioni non drenate (in genere nei terreni coesivi e quando la velocità di applicazione del carico è tale da impedire lo smaltimento delle sovrappressioni interstiziali) e quando non è nota l entità delle sovrappressioni Δu, la resistenza al taglio può essere determinata ed espressa solo in termini di tensioni totali, secondo il criterio di Tresca: τf = c u dove c u èla resistenza al taglio non drenata. Nel piano di Mohr il criterio di Tresca è descritto da una retta orizzontale (ϕ u = 0), che inviluppa i cerchi di rottura espressi in termini di tensioni totali: τ τf = c u ( ϕu = 0) c u σ 19/77

20 Coefficienti di Skempton COEFFICIENTI DI SKEMPTON IPOTESI: Elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all interno di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna orizzontale STATO TENSIONALE: assial simmetrico (le tensioni geostatiche verticale e orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra loro uguali; cioè σ 1 = σ v e σ 2 = σ 3 = σ h, con σ v > σ h ). CONDIZIONI DI CARICO E DI FALDA: nessun carico applicato e condizioni idrostatiche σ 1 u/γ w σ 3 20/77

21 Coefficienti di Skempton Si applica, in modo istantaneo in superficie, un carico (infinitamente esteso in direzione orizzontale), che produce istantaneamente, nell elemento di terreno considerato, un incremento assial simmetrico dello stato tensionale totale (Δσ 1 e Δσ 2 = Δσ 3 ) e un incremento della pressione interstiziale (Δu), che possono essere scomposti (nell hp Δσ 1 > Δσ 3 ) in: incremento delle tensioni isotropo, cioè eguale in tutte le direzioni, di intensità Δσ 3 (con incremento di pressione interstiziale Δu b ) incremento deviatorico, agente solo in direzione verticale, di intensità (Δσ 1 Δσ 3 ) (con incremento di pressione interstiziale Δu a ) Δu/ γ w Δu/ γ b w Δu/ γ a w Δσ 1 = Δσ 3 + Δσ 1 Δσ 3 Δσ 3 Δσ 3 0 Δu= Δu a + Δu b 21/77

22 Coefficienti di Skempton Si definiscono coefficienti di Skempton i rapporti: B = Δ u b Δσ 3 A = Δ u a ( Δσ Δ ) 3 1 σ A = A B e complessivamente l incremento di pressione interstiziale all applicazione del carico risulta: Δu = oppure: Δu B Δσ = B 3 + A ( Δσ Δσ ) [ Δσ + A ( Δσ Δ )] 3 1 σ conseguente Tali coefficienti possono essere determinati in laboratorio con prove triassiali consolidate non drenate. 22/77

23 Coefficienti di Skempton COEFFICIENTE B DI SKEMPTON: a) terreno saturo (S r = 1): un incremento di tensione totale isotropa Δσ in condizioni non drenate non produce alcuna deformazione in base al principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di tensione 1.0 efficace (Δσ = 0) Δu B = Δ σ Δσ = Δσ + Δu= Δu = 1 b) terreno asciutto (S r = 0): un incremento di tensione totale isotropa Δσ non produce variazioni delle pressioni interstiziali (Δu= 0): Δu B = Δ σ Δσ = Δσ + Δu= Δσ = 0 c) terreno non saturo (0<S r <1): B = f( S r ) (non lineare e dipendente dal tipo di terreno) Δu Δσ = Δσ + Δu 0 < B = < 1 Δσ N.B. Il coefficiente B dipende dal grado di saturazione del terreno ma non dall entità del carico applicato (cioè dall incremento isotropo Δσ) 23/77 Coefficiente B di Skempton Grado di saturazione, S r

24 Coefficienti di Skempton COEFFICIENTE A DI SKEMPTON: Nell ipotesi di terreno saturo, in condizioni non drenate, il coefficiente A (= A) non è unico per lo stesso terreno, ma dipende (a differenza di B, sempre uguale a 1) dall incremento di tensione deviatorica (Δσ 1 Δσ 3 ) e dallo stato tensionale iniziale. 1.0 Di particolare interesse èil valore a rottura: A f = A cui OCR; f Δu f = ( Δσ Δσ ) 1 per argille NC varia di norma tra 0.5 e 1 per argille fortemente OC è negativo. 3 f Coefficiente A di Skempton Grado di sovraconsolidazione, OCR 24/77 faf dipende da numerosi fattori tra

25 PROVA DI TAGLIO DIRETTO Prova di taglio diretto TIPO DI TERRENO: campioni ricostituiti di materiali sabbiosi; campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine. La dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all altezza del provino. SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di resistenza al taglio del terreno 25/77

26 Prova di taglio diretto ATTREZZATURA: il provino è un prisma a sezione quadrata (lato = mm >> altezza = mm per velocizzare il processo di consolidazione e ridurre l attrito laterale) Il provino è inserito in un telaio metallico diviso orizzontalmente in 2 parti uguali; è racchiuso tra due piastre metalliche forate e nervate, carta filtro e pietre porose. Il tutto èposto in una scatola metallica piena d acqua che può scorrere a velocità prefissata su un binario trascinando la parte inferiore del telaio; la parte superiore è bloccata da un contrasto collegato ad un dinamometro per la misura delle forze orizzontali. Pietre porose Capitello Telaio Provino Sulla testa del provino si trova un capitello che consente di trasformare un carico verticale in pressione uniforme. 26/77

27 Prova di taglio diretto PROCEDURA DI PROVA (la prova è eseguita su almeno 3 provini): I. fase di consolidazione È applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo (in genere 24h) una forza verticale N che dà inizio ad un processo di consolidazione edometrica (essendo il provino saturo confinato lateralmente) Si misurano gli abbassamenti del provino, ΔH, nel tempo, controllando in tal modo il processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione verticale efficace media: ' N σ (A = area trasversale del provino) n = A II. fase di taglio Si fa avvenire lo scorrimento orizzontale (prova a deformazione controllata) della parte inferiore della scatola a velocità costante ( mm/s per sabbie; 10 4 mm/s per argille) e molto bassa (per evitare l insorgere di sovrappressioni interstiziali, altrimenti non misurabili) producendo quindi il taglio del provino nel piano orizzontale medio (in condizioni drenate). Si controlla lo spostamento orizzontale relativo δ e si misurano la forza orizzontale T(t), che si sviluppa per contrastare lo scorrimento, e le variazioni di altezza del provino. 27/77

28 Prova di taglio diretto INTERPRETAZIONE DELLA PROVA: A partire dalle misure effettuate, durante la prova, di: ΔH (t)durante la fase di consolidazione edometrica δ (t),t(t) e ΔH(t) durante la fase di taglio si possono ricavare: a) I parametri di consolidazione (es. c V ) del terreno, limitatamente al carico applicato, N (e alla pressione di consolidazione raggiunta, σ ), sulla base dei quali può essere tarata la velocità di scorrimento nella fase successiva. T b) Si determina la forza resistente di picco Tf oppure, quando non si possa individuare chiaramente un Tf valore di picco della resistenza, la forza T corrispondente ad un prefissato spostamento, δr (pari al Tf 20% del lato del provino) a partire dalle misure di T(t) diagrammate rispetto allo scorrimento δ δf δr δ 28/77

29 Prova di taglio diretto c) La tensione normale e di taglio che agiscono sul piano di rottura (orizzontale) sono rispettivamente: σ ' ' n, f = σ n = N A τ f = T f A (coordinate di un punto del piano di Mohr appartenente alla linea di inviluppo a rottura) Ripetendo la prova con differenti valori di N (almeno 3, scelti tenendo conto della tensione verticale efficace geostatica) si ottengono i punti sperimentali che sul piano di Mohr permettono di tracciare la linea di inviluppo a rottura: τ τ 3f τ f = c ' + σ ' tanφ' e determinare c e ϕ τ ϕ' σ' 3n τ 2f σ' 2n τ 1f σ' 1n Spostamento, δ c' σ' 1n σ' 2n σ' 3n σ' 29/77

30 Prova di taglio diretto STATO TENSIONALE: All inizio della fase di taglio (fine consolidazione) lo stato tensionale è di tipo geostatico (assial simmetrico con piani orizzontale e verticale principali); a rottura il piano orizzontale e verticale non sono più piani principali. Stato tensionale iniziale Stato tensionale a rottura τ τ Tensione sul piano di rottura ϕ τ f α β POLO σ n c Spostamento, δ σ = K σ σ σ σ σ 3,0 3f 0 n 1,0= α e β = inclinazione dei p.p. minore e maggiore rispetto all orizzontale n 1f 30/77 σ

31 Prova di taglio diretto LIMITI DELLA PROVA DI TAGLIO DIRETTO : 1. l area A del provino varia (diminuisce) durante la fase di taglio (per cui bisogna tenerne conto nel calcolo delle tensioni a rottura, σ n,f e τ f ) 2. la pressione interstiziale non può essere controllata (se si generano sovrappressioni non possono essere quantificate) 3. non sono determinabili i parametri di deformabilità 4. la superficie di taglio è predeterminata e, se il provino non è omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima 31/77

32 Prove triassiali TIPO DI TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine. SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di resistenza al taglio e di rigidezza del terreno. MODALITÀ DI PROVA: la prova in modalità standard si esegue a compressione su provini saturi, consolidati o meno, in condizioni drenate o non drenate, a deformazione controllata (altre modalità di prova prevedono, ad esempio, differenti percorsi di carico o provini non saturi). PROVE TRIASSIALI STANDARD 32/77

33 Prove triassiali FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: i provini di terreno hanno forma cilindrica con rapporto altezza/diametro generalmente compreso tra 2 e 2.5. Il diametro è di norma 38 o 50mm (e deve essere almeno 10 volte maggiore della dimensione massima dei grani). STATO TENSIONALE: è di tipo assialsimmetrico e rimane tale durante tutte le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo le direzioni assiale e radiali del provino σ 1 = σ a σ 2 = σ 3 = σ r 33/77

34 Prove triassiali APPARECCHIATURA: si compone di una cella, interamente riempita d acqua, messa in pressione, che consente di trasmettere al provino, contenuto al suo interno, una pressione isotropa (misurabile). Il provino, appoggiato su un piedistallo Carico assiale rigido, riceve il carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico di contrasto ed è isolato dall acqua contenuta nel cilindro tramite una membrana che lo avvolge lateralmente, mentre un circuito di drenaggio regola il flusso d acqua (in entrata o in uscita) nella sola direzione verticale e consente di misurare, quando è aperto, il volume d acqua in uscita, quando è chiuso, la pressione interstiziale interna. Il piedistallo su cui appoggia il provino, avanza, mediante una pressa, con una velocità costante (con la possibilità di misurare gli abbassamenti). Misuratore della Pressione di cella Provino Misuratore del carico assiale Misuratore degli spostamenti verticali Misuratore della pressione interstiziale Misuratore del Volume d acqua scambiato 34/77

35 Prove triassiali Particolare della cella triassiale 35/77

36 Prove triassiali Con l apparecchio triassiale standard è quindi possibile: esercitare una pressione totale isotropa sul provino tramite l acqua di cella; fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le variazioni di volume (= quantità di acqua espulsa dai tubi di drenaggio); deformare assialmente il provino a velocità costante fino ed oltre la rottura misurando la forza assiale di reazione corrispondente; controllare (e misurare) le deformazioni assiali del provino (tramite la velocità di avanzamento della pressa) durante la compressione assiale; misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino durante la compressione assiale a drenaggi aperti; misurare la pressione dell acqua nei condotti di drenaggio (assunta uguale alla pressione interstiziale, supposta uniforme, nei pori del provino) durante la compressione a drenaggi chiusi; mettere in pressione l acqua nei condotti di drenaggio, creando una eguale pressione interstiziale nel provino (contropressione o back pressure) 36/77

37 Prove triassiali TIPI DI PROVA: Le prove triassiali standard sono condotte secondo tre modalità : prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (TxCID), prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU), prova triassiale non consolidata non drenata (TxUU). e i risultati vengono interpretati ipotizzando un comportamento deformativo isotropo del terreno. FASE DI SATURAZIONE (fase 0) Per tutti e tre i tipi di prova, il provino è saturato mediante σ c,s u l applicazione (per un certo tempo) di una tensione 0 isotropa di cella σ c,s e di una poco minore contropressione (backpressure, b.p.) dell acqua interstiziale u 0 (per non avere consolidazione e variazione di tensione efficace). σ c,s Per verificare l avvenuta saturazione: 1. a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di cella di una quantità Δσ e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, Δu 2. se B = Δu/Δσ > 0,95 si considera il provino saturo 3. se invece risulta B < 0,95 si incrementano della stessa quantità la pressione di cella e la b.p. e si ripete dopo un certo tempo la misura di B. σ c,s σ c,s immissione di H 2 O a pressione u 0 37/77

38 La prova si svolge in due fasi. I. FASE DI CONSOLIDAZIONE Il provino, precedentemente saturato, è sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione di cella, a drenaggi aperti fino a completa consolidazione. PROVA TxCID σ c u 0 Prove triassiali σ c σ c pressione di cella pressione interstiziale σ a fine consolidazione c drenaggio aperto volume H 2 0 espulso = ΔV La pressione di consolidazione, σ c, è pari alla differenza fra la pressione di cella (totale), σ c, e la contropressione interstiziale, u 0 : σ c = σ c u 0 Il processo di consolidazione è controllato attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso (= ΔV) 38/77

39 Prove triassiali II. COMPRESSIONE ASSIALE Ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità costante e sufficientemente bassa da non produrre sovrappressioni interstiziali all interno del provino (ad es. inversamente proporzionale al tempo di consolidazione). σ r = σ c Durante la fase di compressione assiale: si controlla la variazione nel tempo dell altezza del provino, ΔH si misurano: la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino il volume d acqua espulso o assorbito dal provino ΔV (corrispondente alla sua variazione di volume nell ipotesi di provino saturo) σ r σ a = σ c +N/A u 0 N/A σ c u = pressione interstiziale, costante σ c drenaggio aperto volume H 2 0 scambiato = ΔV N/A = Pressione trasmessa dal pistone A = area della sezione orizzontale σ c = pressione di cella, costante 39/77

40 Prove triassiali INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, ε a = ΔH/H 0 la deformazione volumetrica media, ε V = ΔV/V 0 la deformazione radiale media, ε r = (ε V ε a ) / 2 (essendo ε V = ε a + 2 ε r ) la tensione assiale media, σ a = N/A + σ c (totale) σ a = σ a u 0 (efficace) la tensione radiale, σ r = σ c (totale) σ r = σ c u 0 = σ c (efficace) la tensione deviatorica media, q =σ a σ r = σ a σ r = N/A, la pressione media, p = (σ a +2 σ r )/3 (totale) p = p u 0 (efficace) 40/77

41 Prove triassiali La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi valori di σ c = σ c u 0 1) Dalla curva (σ a σ r ) ε a si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della deformazione assiale media, ε a. (σ σ ) a r (σ σ ) a r σ a σ r= ( σa σr) 3f 2f σ c (3) σ c (2) 2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ rf = = σ rc (a fine consolidazione) = σ c (di cella) (σ σ ) a r ε v 1f σ c(3) > σ c(2) > σ c(2) σ c (1) 41/77 ε a

42 Prove triassiali 3) Poiché durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni (prova drenata), cioè u 0 = cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante: σ 3f (a rottura) = σ rf = σ rf u 0 = σ rc u 0 (= σ rc, a fine consolidazione) = σ c u 0 = σ c (pressione di consolidazione) 4) Invece varia progressivamente la pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ), sia totale (σ 1 = σ a )sia efficace (σ 1 = σ a ) σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r ) f = σ c + (σ a σ r ) f σ 1c σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r ) f = σ c + (σ a σ r ) f σ 1c 4) Una volta note le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine consolidazione e a rottura: σ 1c = σ 3c = σ c σ 3f = σ c σ 1f = σ c + (σ a σ r ) f si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di tensioni efficaci che rappresentano l evoluzione degli stati tensionali durante la compressione assiale, fino (ed oltre) la rottura (percorso tensionale). 42/77

43 Prove triassiali I) Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è rappresentato da un punto di coordinate [σ c,0] II) I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale efficace durante l applicazione del carico assiale e fino a rottura passano tutti per questo stesso punto. III) Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha un diametro pari a (σ a σ r ) f = (σ a σ r ) f, passa per i punti di coordinate [σ 3f,0] e [σ 1f,0] ed è tangente alla retta di equazione: τ Stato tensionale efficace a rottura τ STATO TENSIONALE: f ( σ u) tanφ' = ' + σ ' tan ' = c' + c Stato tensionale efficace a fine consolidazione (inizio fase di compressione) φ ϕ O σ 1c = σ 3c = σ σ f 3f = σ rf σ 1f = σ af 43/77 σ

44 Prove triassiali DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c E ϕ : Per determinare l equazione dell inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio ϕ e c, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione (scelti tenendo conto della tensione efficace geostatica) N.B. Se il terreno è normal consolidato c = 0 CAMPO D APPLICAZIONE: c τ O σ σ σ rf(1) σ rf(2) σ f rf(3) σ af(1) σ af(2) σ a(f3) L esecuzione della prova TxCID richiede un tempo tanto maggiore quanto minore èla permeabilità del terreno, ed è pertanto generalmente riservata a terreni sabbiosi o comunque abbastanza permeabili 44/77 ϕ

45 PROVA TxCIU La prova si svolge in due fasi. I. FASE DI CONSOLIDAZIONE II. COMPRESSIONE ASSIALE A drenaggi chiusi e collegati a trasduttori che misurano la pressione dell acqua u nei condotti di drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità costante, anche relativamente elevata. Il provino, essendo saturo, non subirà variazioni di volume. Prove triassiali Il provino, precedentemente saturato, è sottoposto ad una fase di consolidazione a drenaggi aperti, identica a quella della prova TxCID. Durante la fase di compressione assiale: si controlla la variazione nel tempo dell altezza del provino, ΔH si misurano: σ r = σ c la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino la pressione interstiziale u all interno del provino σ r σ a = σ c +N/A σ c u N/A σ c drenaggio chiuso (misura di u ) N/A = Pressione trasmessa dal pistone A = area della sezione orizzontale σ c = pressione di cella, costante u = pressione interstiziale, variabile 45/77

46 Prove triassiali INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, ε a = ΔH/H 0 la deformazione radiale media, ε r = ( ε a ) / 2 (ε v = ε a + 2ε r = 0) la pressione (o la sovrappressione) interstiziale, u (Δu) la tensione totale radiale media, σ r = σ c (costante durante la prova) la tensione deviatorica media, q = σ a σ r = σ a σ r = N/A la tensione totale assiale media, σ a = N/A + σ r le tensioni efficaci medie assiali e radiali, σ a = σ a u; σ r = σ r u le pressione medie efficaci e totali p = (σ a +2 σ r )/3; p = p u 0 il coefficiente A di Skempton, A = A = Δu/(σ a σ r ) 46/77

47 Prove triassiali La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi valori di σ c = σ c u 0. σ σ 1) Dalla curva (σ a σ r ) ε a si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della deformazione assiale media, ε a. 2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ rf = σ rc (a fine consolidazione) = σ c (di cella) a b) r (σ σ ) a r (σ σ ) a r (σ σ ) a r Δu 3f 2f 1f σ 3c σ σ 2c 1c σ c(3) > σ c(2) > σ c(2) σ σ 1c 2c σ 3c 47/77 ε a

48 Prove triassiali 3) Poiché durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), la pressione interstiziale u varia rispetto al valore iniziale u 0, e così anche la pressione radiale efficace varia: σ 3f (a rottura) = σ rf = σ rf u f = σ c u f ( σ rc, a fine consolidazione, = σ c u 0 ) σ c (pressione di consolidazione) 4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ), sia totale (σ 1 = σ a ) sia efficace (σ 1 = σ a ) variano: σ 1f (a rottura)= σ 3f + (σ a σ r ) f σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r ) f = σ c + (σ a σ r ) f 5) Una volta calcolate le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine consolidazione e a rottura: σ 1c = σ 3c = σ c σ 3f = σ c u f σ 1f = σ 3f + (σ a σ r ) f si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di pressioni efficaci. 48/77

49 Prove triassiali STATO TENSIONALE EFFICACE I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è rappresentato da un punto di coordinate [σ c,0]. II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale efficace durante l applicazione del carico assiale fino a rottura (percorso tensionale) non passano per uno stesso punto. III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha un diametro pari a (σ a σ r ) f = (σ a σ r ) f, passa per i punti di coordinate [σ 3f,0] e [σ,0] ed è tangente alla retta di equazione: ( ) 1f τ = cʹ+ σ u tan φʹ = cʹ+σʹ tan φ ʹ f τ Stato tensionale efficace a rottura Stati tensionali efficaci intermedi O σ 3f =σ rf σ 1c =σ 3c σ 1f =σ af σ Stato tensionale efficace a fine consolidazione 49/77

50 Prove triassiali DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c E ϕ Per determinare l equazione dell inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio ϕ e c, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione (scelti tenendo conto della tensione efficace geostatica) τ ϕ c O σ σ σ rf(1) σ rf(2) σ f rf(3) σ af(1) σ af(2) σ a(f3) N.B. Se il terreno è normal consolidato, c = 0 50/77

51 Prove triassiali Poiché il terreno perviene a rottura in condizioni non drenate, è possibile interpretare i risultati della prova anche in termini di tensioni totali. STATO TENSIONALE TOTALE I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale iniziale della fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) e fino a rottura sono rappresentati da cerchi traslati di u 0 rispetto ai corrispondenti cerchi espressi in termini di tensioni efficaci (essendo la pressione interstiziale isotropa, e quindi uguale sia in direzione assiale che radiale): τ Stato tensionale efficace a rottura Stato tensionale totale a rottura Stati tensionali efficaci intermedi Stati tensionali totali intermedi O σ 3f =σ rf σ 1c =σ 3c σ 1f =σ u af σ 1c =σ 3c σ 1f = σ af σ (--), σ(-) 0uf 51/77

52 Prove triassiali DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c u Per determinare la coesione non drenata, c u, si calcola il raggio del cerchio di Mohr a rottura τ Cerchio di Mohr in tensioni efficaci Cerchio di Mohr in tensioni totali c u σ f σ σ σ 3f 3f 1f 1f u N.B. La c f u èdiversa per ciascuno dei 3 provini, essendo diversa la pressione efficace di consolidazione (e quindi il diametro del cerchio). Se il terreno ènc il rapporto c u /σ c ècostante, altrimenti è funzione del grado di sovraconsolidazione OCR CAMPO D APPLICAZIONE L esecuzione della prova TxCIU è generalmente riservata a terreni argillosi o comunque poco permeabili, per i quali l esecuzione di prove TxCID richiederebbe tempi molto lunghi 52/77 σ σ,σ

53 PROVA TxUU Prove triassiali A differenza delle prove TxCID e TxCIU, non è prevista una fase di consolidazione isotropa (e in taluni casi neanche di saturazione). La pressione di consolidazione del provino, σ c, è quella che possiede il provino in conseguenza dello scarico tensionale conseguente al suo prelievo ed estrazione, che (nell ipotesi che il coefficiente A di Skempton corrispondente allo scarico subito valga 1/3) coincide con quella in sito. La prova si svolge in due fasi. I. FASE DI COMPRESSIONE ISOTROPA Il provino, a drenaggi chiusi, è sottoposto a compressione isotropa portando in pressione il fluido di cella ad un valore assegnato di pressione totale σ c σ c u 1 σ c σ c σ c = pressione di cella Se il provino è saturo (B=1) il volume del provino non varia e l incremento della pressione isotropa di cella comporta un uguale aumento della pressione interstiziale mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni Durante tale fase si può controllare l incremento Δudi pressione interstiziale. 53/77 pressione interstiziale σ c (u 1 = u 0 +Δu) drenaggio chiuso

54 II. COMPRESSIONE ASSIALE A drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata. Il provino, essendo saturo, continua a non subire variazioni di volume. σ r σ a = σ c +N/A u Prove triassiali N/A σ c σ c = pressione di cella, costante σ r = σ c N/A = Pressione trasmessa dal pistone A = area della sezione orizzontale u = pressione interstiziale, variabile σ c drenaggio chiuso Durante la fase di compressione: si controlla la variazione nel tempo dell altezza del provino, ΔH si misura: la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino N.B. la variazione di pressione interstiziale all interno del provino in genere non viene misurata 54/77

55 Prove triassiali INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, ε a = ΔH/H 0 la deformazione radiale media, ε r = ( ε a ) / 2 (essendo ε V = ε a + 2 ε r = 0) la tensione deviatorica media, q = σ a σ r = σ a σ r =N/A la tensione totale radiale media, (costante σ r = σ c ) la tensione totale assiale media, σ a = N/A + σ r la pressione media totale, p = (σ a + 2 σ r )/3 55/77

56 Prove triassiali La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno sottoposti a 3 diversi valori di σ c (ma con uguale σ c ) σ a -σ r 1) Dalla curva (σ a σ r ) ε a si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a σ r ) (σ f a -σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della deformazione assiale media, ε a. 2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: ε a σ c σ 3f (a rottura) = σ rf = σ rc (a fine compressione isotropa) = σ c (di cella) 56/77

57 Prove triassiali 3) Durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), che in genere non vengono misurate, quindi la pressione efficace radiale varia, ma non è nota. σ 3f (valore a rottura) = σ rf σ rc = σ 3c (valore a fine compressione isotropa) 4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ) totale (σ 1 = σ a )varia ed è determinabile: σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r ) f = σ c + (σ a σ r ) f anche la pressione assiale efficace (σ 1 = σ a ) varia, ma non è determinabile: 5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a fine consolidazione e a rottura: σ 3f = σ c σ 1f = σ c + (σ a σ r ) f si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di pressioni totali (i cerchi di Mohr espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, non essendo misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura). 57/77

58 Prove triassiali STATO TENSIONALE TOTALE I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale della fase di compressione (= fine compressione isotropa) è rappresentato da un punto di coordinate [σ c,0]. II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale durante l applicazione del carico assiale e fino a rottura (percorso tensionale) passano per lo stesso punto di coordinate [σ c, 0] (essendo la tensione totale radiale media costante durante la fase di compressione assiale). III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura ha un diametro pari a (σ a σ r ) f = (σ a σ r ) f, passa per i punti di coordinate [σ 3f,0] e [σ 1f,0], il suo raggio individua la coesione non drenata: σ1 σ 3 cu = DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c u 2 Per determinare la coesione non drenata, c u, si calcola il raggio del cerchio di Mohr a rottura. τ u f f c u σ 3c = σ c σ 1f =σ af σ

59 Prove triassiali OSS. 1) La prova viene eseguita su almeno 3 provini estratti alla stessa profondità (stessa pressione di consolidazione σ c ), a differenti pressioni totali di cella σ c e alle stesse condizioni di saturazione. Il carico assiale che porta a rottura i tre provini (diametro del cerchio di Mohr a rottura) è sempre lo stesso ed indipendente dalla pressione isotropa di cella σ c imposta, quindi la coesione non drenata viene calcolata come media dei valori ottenuti per i tre provini. I cerchi di Mohr a rottura dei tre provini in termini di tensioni totali hanno lo stesso diametro e i cerchi di Mohr in termini di tensioni efficaci sono coincidenti. τ u f(1) u f(2) u f(3) c u σ 3f =σ rf σ 1f =σ af σ c(1) σ c(2) σ c(3) σ (--), σ(-) σ c (1,2,3) u 0 σ 1f(1) σ 1f(2) σ 1f(3) 59/77

60 Prove triassiali OSS. 2) La prova TxUU può anche essere eseguita su provini di terreno non saturi; in tal caso la pressione efficace non è più la stessa e quindi l inviluppo dei cerchi di rottura in termini di tensioni totali risulterà curvilineo per basse pressioni di confinamento e orizzontale per le pressioni più elevate (per le quali il terreno ha raggiunto la saturazione). Inoltre la resistenza al taglio in condizione non drenate, c u, che si ricava dalle prove è dipendente, a parità di terreno, dalla pressione efficace di consolidazione in sito e quindi, su provini estratti a profondità differenti, gli inviluppi a rottura sono differenti. τ σ CAMPO D APPLICAZIONE La prova TxUU è generalmente eseguita su provini ricavati da campioni indisturbati di terreno a grana fine. 60/77

61 COMPRESSIONE ASSIALE PROVA ELL Si fa avanzare la pressa su cui si trova il provino a velocità costante, anche piuttosto elevata. Il provino potrebbe non essere saturo (non è possibile controllare la saturazione), in tal caso potrebbe subire variazioni di volume. σ a = N/A N/A Prova ELL La prova ad espansione laterale libera (ELL), o di compressione semplice, si svolge in una sola fase. È una prova triassiale a tutti gli effetti, ma non è prevista una fase di saturazione e consolidazione isotropa, né la misura delle pressioni interne. Durante la fase di compressione: si controlla la variazione nel tempo dell altezza del provino, ΔH si misura: σ u r = 0 σ r = 0 N/A = Pressione trasmessa dal pistone A = area della sezione orizzontale u = pressione interstiziale, variabile drenaggio impedito dalla velocità di deformazione e della permeabilità la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino N.B. È una prova semplice, rapida e a basso costo, ma può essere eseguita solo su terreni a grana fine 61/77

62 Prova ELL APPARECCHIATURA A differenza dell apparecchio triassiale, il provino non è avvolto da una membrana, non èposto all interno di una cella circondato da acqua e quindi non è compresso in direzione radiale (σ r = 0). Il provino, appoggiato su un piedistallo rigido, riceve il carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico di contrasto per l avanzamento di una pressa a velocità costante (elevata), con la possibilità di controllare gli abbassamenti. Non èprevisto un circuito di drenaggio che consenta di regolare il flusso d acqua (in entrata o in uscita) o di misurare la pressione interstiziale interna. OSS. Sebbene vi sia possibilità di drenaggio, l elevata velocità di deformazione e la ridotta permeabilità del terreno fanno sì che le condizioni di prova siano praticamente non drenate. 62/77

63 Prova ELL INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI Le misure effettuate durante la prova permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, ε a = ΔH/H 0 la tensione totale assiale media (o il deviatore medio), σ a = N/A + σ r = N/A = q (essendo σ r = 0) σ a σ r = σ a = q (deviatore) I risultati possono essere interpretati solo in termini di tensioni totali e può essere determinata la sola coesione non drenata, c u 1) Dalla curva (q) ε a si determina la tensione deviatorica a rottura q u come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della deformazione assiale media, ε a. prova TxUU (con σ c = 0) q q u 63/77 ε a

64 Prova ELL 2) Durante la compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante ed uguale 0 (pressione atmosferica) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ rf = σ r0 (inizio prova) = 0 (pressione atmosferica) 3) Durante la compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), che non possono essere misurate, quindi la pressione efficace radiale varia, ma non è nota. σ 3f (valore a rottura) = σ rf σ r0 = σ 30 (valore a inizio prova) 4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ) totale (σ 1 = σ a )varia ed è determinabile: σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r ) f = σ c + (σ a σ r ) f = q u anche la pressione assiale efficace (σ 1 = σ a ) varia, ma non è determinabile: σ 1f (valore a rottura) = σ af σ a0 = σ 10 (valore a inizio prova) 64/77

65 Prova ELL 5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a inizio prova e a rottura: σ 3f (a rottura)= 0 σ 1f (a rottura)= q u si possono costruire i cerchi di Mohr corrispondenti in termini di pressioni totali (i cerchi di Mohr espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, nono essendo misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura). 65/77

66 Prova ELL STATO TENSIONALE TOTALE I. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale (= inizio della prova) è rappresentato da un punto coincidente con l origine [0, 0]. II. I cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale totale durante l applicazione del carico assiale e fino a rottura (percorso tensionale) passano tutti per l origine (essendo la tensione totale radiale media nulla durante la prova). III. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura ha un diametro pari a q u e passa per i punti di coordinate [0,0] e [q u,0], il suo raggio individua la coesione non drenata: τ c u = q u / 2 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI c u Per determinare la coesione non drenata, c u, si calcola il raggio del cerchio di Mohr a rottura. c u =q u /2 O q u σ 66/77

67 Prova ELL OSS. 1) Se si conoscessero le pressioni interstiziali a rottura, e quindi le tensioni efficaci, il cerchio di Mohr a rottura corrispondente sarebbe spostato a destra rispetto a quelle in termini di tensioni totali (pressioni interstiziali negative), non potendo sostenere il terreno tensioni di trazione. TENSIONI TOTALI τ TENSIONI EFFICACI c = q /2 u u O u f < 0 q u σ f σ 2) Se la prova fosse ripetuta su provini dello stesso terreno estratti alla stessa profondità, il cerchio di Mohr a rottura che si otterrebbe sarebbe lo stesso (nell ipotesi di terreno saturo), non potendo modificare la pressione di cella. 67/77

68 Resistenza al taglio dei terreni RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSA I terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie) possono essere: privi di coesione (sabbie e ghiaie sature non cementate) dotati di coesione apparente (sabbie parzialmente sature) dotati di coesione (sabbie e ghiaie cementate) La resistenza al taglio dei terreni a grana grossa dovrebbe essere determinata su campioni indisturbati e rappresentativi delle reali condizioni in sito. In genere non è possibile prelevare campioni indisturbati di terreno a grana grossa non cementati. Le prove di laboratorio condotte su provini di sabbia ricostituiti alla densità del terreno in sito, sono scarsamente rappresentativi del comportamento meccanico del terreno naturale in sito. Si ritiene più affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie sulla base dei risultati di prove in sito; le prove di laboratorio su terreni a grana grossa vengono effettuate per determinare la resistenza di terreni da impiegare come materiali da costruzione, o per lo studio di leggi costitutive. 68/77

69 Resistenza al taglio dei terreni COMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVO Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad es. prova di taglio diretto o prova triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa sabbia aventi differente indice dei vuoti (ovvero con differente densità relativa) e sottoposti alla stessa pressione di confinamento può essere molto diverso: σ σ 1 3 Sabbia densa e a Sabbia sciolta Sabbia sciolta e crit Sabbia densa ε a ε a 69/77

70 Resistenza al taglio dei terreni All aumentare di ε a : PROVINO DI SABBIA SCIOLTA 1. graduale aumento della resistenza mobilizzata (σ 1 σ 3 ) tendente a stabilizzarsi su un valore massimo, anche per grandi deformazioni; 2. progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell indice dei vuoti) con tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo (corrispondente a un indice dei vuoti critico, e crit ), anche per grandi deformazioni. COMPORTAMENTO CONTRATTIVO PROVINO DI SABBIA DENSA 1. curva di resistenza con un massimo accentuato (corrispondente alla condizione di rottura) e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché eguale al valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta (a parità di pressione di confinamento); 2. piccola diminuzione di volume iniziale, (e quindi di e), seguita da un inversione di tendenza (per cui e supera il valore iniziale e tende allo stesso indice dei vuoti critico, e crit, sempre a parità di pressione di confinamento). COMPORTAMENTO DILATANTE 70/77

71 Resistenza al taglio dei terreni INDICE DEI VUOTI CRITICO T N -ΔV/V Il valore dell indice dei vuoti che discrimina fra comportamento T deformativo volumetrico dilatante e contrattivo, è definito indice dei vuoti critico. N L indice dei vuoti critico non è una caratteristica del materiale ma dipende dalla pressione efficace di confinamento, per cui un provino di sabbia di una data densità relativa può avere comportamento dilatante a bassa pressione efficace di confinamento e contrattivo ad alta pressione efficace di confinamento. Quindi il comportamento contrattivo o dilatante di una sabbia dipende dallo stato iniziale del terreno, ovvero dalla pressione di confinamento, σ 0, e dall indice dei vuoti (o dalla densità relativa) iniziale, e 0. 71/77

72 Resistenza al taglio dei terreni ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO DI PICCO E RESIDUO Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni deformazioni si possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: l angolo di resistenza al taglio di picco (a rottura), ϕ P, e l angolo di resistenza al taglio residuo (per grandi deformazioni), ϕ R 72/77

73 Resistenza al taglio dei terreni I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, l angolo di resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi sono: la densità, la forma e la rugosità dei grani, la dimensione media dei grani, la distribuzione granulometrica ϕ ϕ = = Δφ Δφ Δφ 2 + Δφ 3 + Δφ Δφ 4 4 Densità Densità Δφ 11 sciolta media densa Forma Forma e rugosità e dei dei grani Δφ 22 spigolo vivi media arrotondati molto arrotondati Dimensione Dimensione dei dei grani grani Δφ 3 Δφ 3 sabbia ghiaia fine ghiaia fine ghiaia grossa ghiaia grossa Distribuzione granulometrica Δφ 4 uniforme Distribuzione granulometrica Δφ 4 uniforme media media distesa distesa /77

74 Resistenza al taglio dei terreni RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE TERRENI NC I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle profondità di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di norma indice di consistenza, I c < 0.5 e coesione efficace c = 0. La curva tensioni deformazioni, ottenuta da una prova di taglio diretto o da una prova triassiale drenata, presenta un andamento monotono con un graduale aumento della resistenza mobilizzata fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni, e che cresce al crescere della pressione efficace di confinamento. σ σ (σ a σ r ) a r (σ σ ) a r (σ σ ) a r 3f 2f 1f = σ a σr σ c(1) > σ c(2) > σ c(3) σ c(1) σ c(2) σ c(3) ε a 74/77

75 Resistenza al taglio dei terreni L angolo di resistenza al taglio ϕ èinferiore a quello dei terreni a grana grossa e dipende dai minerali argillosi costituenti e quindi dal contenuto in argilla, CF, e dall indice di plasticità, I P. 75/77