5 numeratore 7 denominatore

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1 LE FRAZIONI 1. La frazione. Frazione come operatore. Frazioni equivalenti Trovare una frazione equivalente a una frazione data. Ridurre una frazione ai minimi termini. Calcolare il termine incognito di una frazione equivalente ad una frazione data. 4. Trasformare due o più frazioni allo stesso denominatore. Confrontare due o più frazioni 1. La frazione numeratore denominatore Numeratore: numero delle parti da considerare Denominatore: numero di parti uguali in cui deve essere diviso l intero 1 1 Unità frazionaria: ognuna delle parti uguali in cui è diviso l intero (, ) 11 Frazione propria: se il numeratore è minore del denominatore; rappresenta una quantità 4 1 minore dell intero.,, Frazione impropria: se il denominatore è maggiore o uguale al denominatore; rappresenta Frazione apparente: Il numeratore è multiplo del denominatore. 44 6,, N.B. Una frazione impropria è uguale alla somma di un numero intero e una frazione propria Prof. Matteo Scapellato pag. 1

2 1 10 = = +. La frazione come operatore Calcolare la frazione di un numero E' dato il numero 1. Calcolare i suoi a= 1 (intero) f=? (frazione) f = n d a=a : n x d =1:x=9 Esercizi Calcola i di 0 e i 6 di 0= 0 : x =4 x = 1 = : 6 x =1 x = 84 6 Data la frazione di un numero, calcolare il numero. I di un numero è. Qual è il numero? f= 18 (frazione) a=? (intero) n= d n f = f :d x n= : x =1 Prof. Matteo Scapellato pag.

3 Esercizi Calcola x: x = 1 x= 1 =1:x= 6 x 0 x = 0 =0:x6=60 6 Altri Esercizi 1= x = x 4 = x x= 4 calcolare x x= 1 = calcolare x x= : = calcolare x x= : 4 4 calcolare x x= 4 : =0. Frazioni equivalenti Due frazioni o più frazioni sono equivalenti se rappresentano la stessa quantità Le frazioni 1 ; 6 ; 18 9 del rettangolo quindi sono equivalenti. rappresentano sempre la stessa superficie del rettangolo, cioè la metà Le frazioni ; 4 9 ; ; sono frazioni equivalenti 40 1 Prof. Matteo Scapellato pag.

4 infatti 4 : 8 9 : cioè 40 : 8 1 : 4 40 x8 x8 9 1 x x Come trasformare una frazione in una equivalente? Per tasformare una frazione in un'altra equivalente bisogna moltiplicare o dividere con lo stesso numero il denominatore e il numeratore della frazione data. Frazioni ridotte ai minimi termini o irriducibili 1 Una frazione ; ; è ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono primi tra loro. Come ridurre una frazione ai minimi termini Per ridurre una frazione ai minimi termini bisogna dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero fino a quando i due termini non siano prima tra loro = 18: 4: = 9: 1: = 4 Calcolare il termine incognito di una frazione equivalente La prima frazione è irriducibile x 0 x= 0 : 1 (moltiplicare i due termini in diagonale) 8 x= 4 8 : 16 (moltiplicare i due termini in diagonale) 4 x La prima frazione è riducibile Ridurre la prima frazione ai minimi termini e applicare il procedimento precedente 1 8 x 0 x 0 x= 0 : x= 4 18:9 8 1 x 4 x Prof. Matteo Scapellato pag. 4

5 N.B. Da questo momento prima di ogni tipo di calcolo con le frazioni bisogna sempre ridurre ai minimi termini prima le frazioni date. Calcola x: 0 x = x= 4 4 x=:x4=0 1 x= x 4 x= 4 : Trasformare due o più frazioni in frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore (m.c.d.) Trasformare le frazioni ; 4 ; ; Date le seguenti frazioni irriducibili lo stesso denominatore ; 4 ; ; trasformale in frazioni equivalenti con Calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.d.) che è m.c.d.(, 4, )= 60 Trovare le tre frazioni equivalenti a quelle date con denominatore ; ; ; ===> 4 60 ; 4 60 ; ; 4= 60 :. 4= 60 : 4. 10= 60 :. Conclusione- Le tre frazioni ; 4 ; 4 60 ; 4 60 ; ; ; sono equivalenti rispettivamente alle frazioni N.B. Se una o più frazioni è riducibile ai minimi termini prima di procedere bisogna ridurre le frazioni date. Prof. Matteo Scapellato pag.

6 Questo procedimento ti servirà nei seguenti casi: Confronto di frazioni Somma di frazioni Differenza di frazioni ESERCIZIO Immagina di avere l'avanzo di due torte uguali, ma di gusto diverso; una parte avanzata è due terzi e l'altra parte avanzata è i tre quarti. Come fai a distribuire i due avanzi a degli amici in modo che ciascuno abbia una o più parti di uguale grandezza? Risposta Trasformi e 4 Le due frazioni saranno in frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore (m.c.d) uguale e 9 1 Così hai diviso i due avanzi in parti uguali a 1/1 per un totale di 1 fette, ciascuna 1/1 della torta iniziale.. Confrontare due o pià frazioni Confrontare due o più frazioni significa stabilire quale è la minore o la maggiore. 1 CASO FRAZIONI PROPRIE E IMPROPRIE Fra due frazioni, una propria e l'altra impropria, è maggiore quella impropria 4 < CASO FRAZIONI CON LO STESSO DENOMINATORE Fra due frazioni, aventi lo stesso denominatore, è maggiore quella con numeratore maggiore > 9 14 CASO FRAZIONI CON LO STESSO NUMERATORE Fra due frazioni, aventi lo stesso numeratore, è maggiore quella con denominatore minore Prof. Matteo Scapellato pag. 6

7 1 > 1 4 CASO FRAZIONI QUALSIASI 1 ESEMPIO ; ; ; trasformare allo stesso denominatore (m.c.d.) cioè ; 4 60 ; e quindi cioè 4 ESEMPIO ; 1 4 ; 8 ; ridurre ai minimi termini cioè trasformare allo stesso denominatore (m.c.d.) cioè 0 ; 1 ; 8 ; 4 10 ; ; ; e quindi 4 10 ; ; ; cioè ; Prof. Matteo Scapellato pag.

8 LE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI. Somma e differenza di frazioni con lo stesso denominatore 6. Somma e differenza di due o più frazioni qualsiasi. Numeri misti 8. Frazioni complementari 9. Prodotto di due o più frazioni irriducubili 10. Prodotto di due o più frazioni riducibili 11. Frazioni reciproche 1. Quoziente di due o più frazioni 1. Potenza di frazione 14. Frazione di frazioni 1. Somma o differenza di frazioni aventi lo stesso denominatore 4 4 = 10 4 = 4 4 = 4 4 =1 Procedimento Sommare o sottrarre i numeratori Ridurre ai minimi termini il risultato quando è possibile. Somma o differenza di due o più frazioni qualsiasi = =(6++80) = Ridurre ai minimi termini le frazioni riducibili Calcolare il mcd (; 4; )= 60 Scrivere il denominatore 60 una sola volta e calcolare i tre numeratori 6= 60 : x = 60 : 4 x 80 = 60 : x 4 Sommare i tre numeratori e ridurre il risultato ai minimi termini se è possibile = = = Prof. Matteo Scapellato pag. 8

9 . Numeri misti Il numero misto è la somma fra un intero e una frazione propria. 4 È un numero misto. Per calcolare la somma fra l'intero e la frazione si procede nel seguente modo: 4 = 4 x 4 = 1 4 N.B. Lo stesso procedimento si adotta nei seguenti casi: per la somma fra un intero e una frazione impropria non è un numero misto perché la frazione è impropria, ma si esegue 1 4 = 4 x 1 = 4 4 per la differenza fra un intero e una frazione 1 4 = (4 x 1) = 4 4 per la differenza tra una frazione e un intero 1 4 = 1 x 4 4 = 4 4. Frazioni complementari Due frazioni sono complementari se la loro somma è 1 4 e sono complementari e la loro somma è 4 + =1 Prof. Matteo Scapellato pag. 9

10 . Prodotto di due o più frazioni irriducibili 4 x = x 4x = 1 0 Procedimento Moltiplicare i numeratori fra loro Moltiplicare i denominatori fra loro 6. Prodotto di due o più frazioni riducibili 40 x 0 1 x x x 4 1 =. = Ridurre ai minimi termini le frazioni riducibili Ridurre ancora in diagonale 4 con 8 e con 1 x 1 x 1 = (x1x1) (xx) = 18. Moltiplicare i numeratori fra loro e i denominatori fra loro. Frazioni reciproche Due frazioni sono reciproche se il loro prodotto è 1 4 e 4 sono reciproche e il loro prodotto è 4 x 4 =1 8. Quoziente di due o più frazioni 4 : =. Il quoziente di due frazioni è uguale al prodotto della prima frazione per la reciproca (inversa) della seconda. 4 x = 1. Prof. Matteo Scapellato pag. 10

11 40 : 0 1 : 1 9 = Moltiplica la prima frazione per l'inversa della seconda e l'inversa della terza frazione 40 x 1 0 x 9 1 =. Semplifica sia in verticale sia in diagonale 8 x x 4 =. 1 8 x 1 x 1 4 = 1xx1 8x1x1 = 8. Riduci ancora in diagonale con Moltiplica i numeratori fra loro e i denominatori fra loro 9. Potenze di frazioni 8 = X 8X8 = 64. Eleva per lo stesso esponente sia il numeratore sia il denominatore 8 = X 8 = 8. = xx = 8. Solo il primo caso rappresenta la potenza di una frazione. 10. Frazione di frazioni = x 6 = =1 x 1 4 = La frazione di due frazioni è uguale al prodotto fra la prima e l'inversa della seconda. = x = 16 1 Prof. Matteo Scapellato pag. 11

12 LE FRAZIONI E I NUMERI DECIMALI 1. Frazioni decimali. Frazioni ordinarie. Numeri decimali e loro frazioni generatrici 1. Frazioni decimali Una frazione avente il denominatore 10, 100, 1000 è detta frazione decimale Ogni frazione decimale è uguale a un numero decimale limitato. Frazioni ordinarie 10 =0, =0, =0, Una frazione ridotta ai minimi termini è detta frazione ordinaria se non è frazione decimale. Le frazioni ordinarie si dividono in tre gruppi: Frazioni generatrici di numeri decimali limitati Frazioni generatrici di numeri decimali periodici semplici Frazioni generatrici di numeri decimali periodici misti. a) Frazioni generatrici di numeri decimali limitati Una frazione irriducibile è generatrice di un numero decimale limitato quando il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene fattori e/o Prof. Matteo Scapellato pag. 1

13 = 0= xx 1= xx 40= xxx b) Frazioni generatrici di numeri decimali periodici semplici Una frazione irriducibile è generatrice di un numero decimale periodico semplice quando il suo denominatore scomposto in fattori primi non contiene fattori e/o =x11 1= x 11= 11x11 91= x1 c) Frazioni generatrici di numeri decimali periodici semplici Una frazione irriducibile è generatrice di un numero decimale periodico misto quando il suo denominatore scomposto in fattori primi contiene fattori e/o e altri fattori 14=x 10= xx 110= xx11 140= xxx. Numeri decimali e loro frazioni generatrici. a) Numero decimale limitato,1 si legge e 1 centesimi oppure 1 centesimi 0,14 si legge 0 e 14 millesimi oppure 14 millesimi Prof. Matteo Scapellato pag. 1

14 Dal numero decimale limitato alla sua frazione generatrice,1= = 6 0 0,14= = 1 0 La frazione generatrice di un numero decimale limitato ha come numeratore il numero senza virgola e come denominatore l'1 seguito da tanti zeri quanti sono le cifre decimali. b) Numero decimale periodico semplice Parte intera o intero Parte periodica o periodo, 1=, e si legge virgola 1 periodico Dal numero decimale periodico semplice alla sua frazione generatrice, 1= 1 = =104 0,16= = = La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha come numeratore la differenza fra il numero senza virgola e la parte non periodica (l'intero) e come denominatore un numero formato da tanti nove quanti sono le cifre periodiche. c) Numero decimale periodico misto Parte intera o intero Parte periodica o periodo Parte antiperiodica o antiperiodo,1=,1...e si legge virgola 1e periodico Prof. Matteo Scapellato pag. 14

15 Dal numero decimale periodico misto alla sua frazione generatrice,11= 11 1 = = 14 16,01 0= = = La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha come numeratore la differenza fra il numero senza virgola e la parte non periodica (intero e antiperiodo) e come denominatore un numero formato da tanti nove quanti sono le cifre periodiche e tanti zeri quante le cifre antiperiodiche. CURIOSITA' 1,9= perchè è 19 1 = , 9=1,0 perchè è 19 1 = =1 10 ciò dimostra che se la parte periodica è 9 il numero viene arrotondato per eccesso, cioè la cifra precedente a quella periodica viene aumentata di una unità e il nove diventa 0 1,=1, 0 quindi ogni numero decimale limitato può essere trasformato in un periodico misto Prof. Matteo Scapellato pag. 1

16 PROBLEMI CON LE FRAZIONI 1. Problema diretto: dato un numero calcolare una sua frazione. Problema inverso: data la frazione di un numero calcolare il numero. Data la somma di due numeri di cui uno è frazione dell'altro, calcolare i due numeri 4. Data la differenza di due numeri di cui uno è frazione dell'altro, calcolare i due numeri 4. Dato il prodotto di due numeri di cui uno è frazione dell'altro, calcolare i due numeri PROBLEMI CON LE FRAZIONI 1 TIPO. Dato un numero, calcolare una sua frazione. a= numero dato b=? frazione del numero dato n b= a d PROCEDIMENTO Esempio n b= a = a : d x n d 10 In una scuola di 08 studenti i aderiscono ad una gita. Qual è il 11 numero dei partecipanti? a= 08 (intero) b=? (alunni partecipanti alla gita) 10 b= a (frazione) 11 PROCEDIMENTO b= a 08 = 08 :11 x 10= Prof. Matteo Scapellato pag. 16

17 TIPO. Data la frazione di un numero, calcolare il numero b= frazione di un numero a=? (intero) numero da calcolare n b= a d Esempio PROCEDIMENTO d a= b = b : n x d n Una funivia si ferma dopo i del percorso, cioè 600 metri dalla partenza. 14 Quanto è lungo tutto il percorso? b= 600 m (frazione del percorso totale) a=? (Intero percorso) 600= a (frazione) 14 PROCEDIMENTO a= b 600 = 600 : x 14= 800 m TIPO. Data la somma di due numeri, di cui uno è frazione dell altro, calcolare i due numeri s= a+b n b= a d a? (Intero) b? (frazione) Esempio 9 Due pescatori hanno preso in tutto pesci. Il primo ne ha preso i del secondo. Quanti pesci ha preso ciascuno? s= a+b= (totale pesci) a=? (Intero) 9 b= a (frazione) b=? (frazione di a) PROCEDIMENTO a= s : (n+d) x d b= s : (n+d) x a PROCEDIMENTO a b s a= s : (n+d) x d= : (+9)x = :16x=14 b= s : (n+d) x d= : (+9)x9 = :16x9=18 Prof. Matteo Scapellato pag. 1

18 4 TIPO. Data la differenza di due numeri, di cui uno è frazione dell altro, calcolare i due numeri q= a-b a? (Intero) n b= a d b? (frazione) PROCEDIMENTO se n>d cioè b>a a= q : (n-d) x d b= q : (n-d) x a se n<d cioè b<a Esempio La differenza di due numeri è. Un numero è due terzi dell altro. Calcola i due numeri. q= a-b= (differenza) a=? (Intero) a= b (frazione) b=? (frazione di a) a= q : (d-n) x d b= q : (d-n) x a PROCEDIMENTO a b a= q : (-)x = :1x=110 b= q : (-) x = : 1x = 16 Prof. Matteo Scapellato pag. 18

19 TIPO. Data il prodotto di due numeri, di cui uno è frazione dell altro, calcolare i due numeri p= axb a? (Intero) n b= a d b? (frazione) Esempio a= p : (nxd) x d b= p : (nxd) x a L area di un rettangolo è cm². La base è i 9 dell altezza. Calcola la lunghezza dei lati. A= bxh= cm² h=? (Intero) b= 9 h (frazione) b=? (frazione di a) PROCEDIMENTO h= A:(nxd) x d= :(x9) x= :6 x=14cm b= A:(nxd ) x n= :(x9) x9= :6 x9=18 cm Prof. Matteo Scapellato pag. 19