I Fenomeni di superficie

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1 Per un liquido reale occorre tenere conto, oltre che della viscosità, anche delle forze di coesione che tendono a tenere unite le molecole del liquido; una molecola all interno del liquido è attirata in modo uguale dalle vicine, ma quando si trova alla superficie di separazione con l aria è di solito attirata meno dalle molecole d aria che da quelle del liquido sottostante; le forze di coesione producono una risultante non nulla diretta verso il liquido. Consideriamo, ad esempio, un liquido (es. l acqua - vedi figura seguente) e supponiamo trascurabile l interazione tra esso ed il fluido esterno (es. l aria); ogni molecola A,B,C e D all interno di tale liquido interagisce, con le altre che la circondano, contenute entro una sfera di raggio r a come mostrato in figura. Per le molecole A e B, la sfera d azione è interamente nel liquido. La risultante delle forze sulle molecole A e B è nulla. Fenomeni Superficiali 1

2 La molecola C, a distanza h<r a dalla superficie, è invece soggetta ad una forza risultante diretta verso l interno del liquido. Tale forza è sempre più intensa al diminuire di h, e diventa massima per le molecole (D) poste sulla superficie (h=0). Sullo strato superficiale del liquido di spessore r a, si esercita quindi una forza risultante, verso l interno, che: Fenomeni Superficiali 2

3 a) tende a comprimere leggermente lo strato superficiale, b) porta il liquido, a causa della compressione, a minimizzare la area della superficie che lo delimita, c) fa comportare la superficie che delimita il liquido come una membrana elastica. Infatti, se osserviamo una goccia di liquido queste forze comprimono la molecola di superficie contro quelle sottostanti generando una pressione interna maggiore di quella esterna. La goccia tende ad assumere la forma sferica, che ha rapporto superficie/volume minimo e quindi un minimo numero di molecole superficiali. Si è visto, sperimentalmente, che l aumento della superficie ( S) che delimita un liquido non può avvenire spontaneamente ma serve il lavoro (L) di una forza esterna. Fenomeni Superficiali 3

4 La tensione superficiale: Si definisce di conseguenza, la tensione superficiale di un liquido (generalmente indicata con τ) come la costante di proporzionalità fra il lavoro L necessario ad aumentare di S la superficie che delimita il liquido e S stesso: L dl L=τ S τ= = 1. 1 S ds ( ) Dalla definizione segue cheτsi misura in J/m 2 =N m/m 2 =N/m. Il valore di τ dipende anche dal fluido esterno (se questo non è specificato si assume sia l aria) e dalla temperatura. Nella tabella successiva sono riportati alcuni valori. Fenomeni Superficiali 4

5 Legge di Laplace: Abbiamo già detto che una porzione di liquido, libera di conformarsi per azione delle sole forze di tensione superficiali, deve assumere una forma sferica. Consideriamo quindi una lamina liquida sferica di raggio R e spessore dr (una bolla di sapone). Fenomeni Superficiali 5

6 La pressione esterna e la tensione superficiale per la 1.1 tendono a contrarre la bolla. Per l equilibrio è necessario una pressione interna (vedi figura seguente) che deve tendere ad espandere la bolla, quindi: p int >p est (p int - p est ) >0 Il lavoro delle forze di pressione per una espansione di dr è: dl p =F p dr=(p int - p est ) S dr essendo S=4πR 2 dl p =(p int - p est ) 4πR 2 dr (>0) A questo espansione si oppone la tensione superficiale con un lavoro: dl τ =τ ds (<0). Fenomeni Superficiali 6

7 Per calcolare ds, essendo lo spessore dr piccolo, si ha: S sfera,int. S sfera,est. 4πR 2 ds=ds sfera,inr. +ds sfera,est. = 2 d(4πr 2 )=2 8πRdR dunque dl τ =τ ds =τ 16π R dr d=derivata All equilibrio il lavoro totale deve essere nullo dl τ = dl p 16π τ RdR=(p int - p est ) 4πR 2 dr 4 τ = (p int - p est )R p int - p est =4τ/R (1.2) (sfera cava) L eccesso di pressione interna, necessario per tenere la bolla in equilibrio, dipende direttamente daτed inversamente dal raggio R. Se si tratta di un sfera di liquido, la p int,detta pressione di curvatura p c, è dovuta alla tensione superficiale che lo comprime, mentre l esistenza di una sola superficie che lo delimita toglie un fattore 2 dalla dimostrazione precedente. Si ha pertanto: Fenomeni Superficiali 7

8 p c - p est =2τ/R (1.3) (sfera piena) Le equazioni 1.2 e 1.3 sono note come Legge di Laplace. Superficie di un liquido come membrana elastica: La superficie di un liquido può sostenere una massa deformandosi. Consideriamo un cilindretto cilindrico di raggio r e massa m. Per simmetria, la risultante delle forze di tensione superficiale F τ è verticale con: F τ =τ L cosθ=τ 2πr cosθ essendo L=2πr e P=mg per l equilibrio F τ =P τ 2πr cosθ=mg cosθ=mg/(2πr τ). ossia cosθ aumenta (ovvero aumenta la deformazione della superficie) Fenomeni Superficiali 8

9 all aumentare di m a parità diτed r. Se per un dato m e/oτ, il rapporto mg/2πr τ è maggiore di 1 la superficie non può sostenere la massa m. (Essendo τ generalmente molto piccolo, solo piccole m riescono a fermarsi sulla superficie). Capillarità: La risultante delle forze di interazione molecolare su una molecola è spesso denominata forza di coesione (se si sviluppa fra molecole identiche) o forza di adesione (se si sviluppa fra molecole diverse). forze di coesione tengono insieme le sostanze forze di adesione fanno attrarre sostanze diverse (ad esempio acqua su vetro) La condizione di equilibrio di un fluido in presenza di più sostanze è determinata dalla reciproca intensità delle forze di adesione e coesione. Fenomeni Superficiali 9

10 Consideriamo ad esempio un liquido a contatto con la parete solida del contenitore e con l aria (acqua in un bicchiere). Le molecole del liquido in vicinanza della parete sentono la forza di coesione del liquido F c diretta verso l interno del liquido, la forza di adesione liquido-gas F a,a diretta verso l interno del gas, la forza di adesione liquido-solido F a,s diretta verso l interno del solido (vedi figura). La F a,a è così debole da poter essere trascurata, mentre le restanti due forze, vista la loro direzione e verso, non possono avere risultante nulla quindi, ricordando la definizione di fluido, dobbiamo aspettarci Fenomeni Superficiali 10

11 che all equilibrio la superficie libera del liquido diventi ortogonale alla risultante delle forze agenti. Si possono avere i due casi della figura al lato. Fenomeni Superficiali 11

12 φ = angolo di raccordo (angolo fra la tangente alla superficie del liquido, nel punto di contatto con la parete, e la verticale ascendente). Esso dipende dalla coppia liquido-solido: Acqua-vetro φ = 0 Benzina-vetro φ = 26 Acqua-paraffina φ = 107 Acqua-teflon φ = 127 Mercurio-acqua φ = 140 L incurvamento della superficie è osservabile solo in prossimità ( mm) delle pareti; questo in tubi di piccole dimensioni trasversali (cosiddetti tubi capillari) da luogo al fenomeno della capillarità: il livello della superficie libera del fluido nel capillare è diverso da quello nel resto del recipiente (in contraddizione apparente con la Fenomeni Superficiali 12

13 legge di Stevino). Quello che succede è schematizzato nella figura seguente per due tubi capillari, A e B, immersi in acqua con A di vetro e in B di teflon. Fenomeni Superficiali 13

14 Un liquido che bagna la patere si innalza formando un menisco concavo nel capillare, mentre un liquido che non bagna la parete si porta ad un livello più basso formando un menisco convesso nel capillare. Calcoliamo h, nel caso A (valido anche per il caso B) ovvero per un liquido che bagna la parete, per un capillare cilindrico di raggio r (fig 8b). Sul perimetro di contatto liquido-solido L= 2πr si esercitano le tensioni superficiali la cui risultante F τ è verticale e diretta verso l alto: F τ =τ cosφ L poiché L= 2πr F τ =τ cosφ 2πr. Questo causa l innalzamento del liquido nel capillare la cui massa risente la forza peso P; all equilibrio deve essere P= F τ. Poichè P=mg con m=ρ V ρ πr 2 h τ cosφ 2πr=ρ πr 2 h g 2τcosφ h = ( 1. 4) Legge di Jurin ρ gr Fenomeni Superficiali 14