I serbatoi cilindrici Analisi delle sollecitazioni per diverse condizioni di vincolo Effetti di variazioni termiche BOZZA

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1 Lezione n. 5 I seroi cilindrici Anlisi delle sollecizioni per diverse condizioni di vincolo Effei di vrizioni ermiche L definizione dei vlori delle crerisiche di sollecizione nei seroi cilindrici in condizioni generiche di vincolo vviene inroducendo i coefficieni elsici di ordo, in modo d operre poi nell oic del meodo dell congruenz. Si inizierà quindi inroducendo li coefficieni in due condizioni di crico semplici, che corrispondono ll possiilià che nell sezione di ordo - coincidene, per il sisem di riferimeno prescelo, d un vlore nullo dell sciss x - giscno zioni concenre. Successivmene si nlizzerà quindi il compormeno per vrie condizioni di vincolo, dlle condizioni di vincolo perfeo quelle offere dll presenz di elemeni di fondzione. Infine si discuerà dell effeo di possiili vrizioni ermiche. Coefficieni elsici di ordo ) sisem di forze pplice nell sezione di ordo Il cso riporo in figur è fcilmene nlizzile fcendo ricorso lle equzioni che descrivono l ndmeno delle CdS del seroio lungo lo sviluppo meridino, un vol osserv l ssenz del crico pplico esernmene, e quindi del ermine w pr nelle vrie espressioni ricve. Il seroio in figur è liero, nel senso che non è sooposo ll zione di nessun vincolo lle sue esremià. Inolre, si suppone che l lezz h si le d poer uilizzre le relzioni vise in precedenz per il cso infinimene lungo. L zione di forze H uniformemene disriuie lungo il ordo, compor che deno H H vlere le due condizioni l conorno π x ( ) D ( α ) C e sin αx + ψ π Qx D α C e sin αx + ψ D cui si oiene il sisem nelle due incognie C e ψ: ( ) ( ) H x in x Qx H in x ossi di momeno fleene nullo e di glio con vlore pri d H. Uilizzndo le espressioni vise in precedenz si h: Revisione 8//

2 Lezione n. 5 pg. V. π D α C sin ψ π D α C sin ψ H e quindi: dll prim equzione, non poendo essere nullo né D né C, si ricv il vlore di ψπ/, che sosiuio nell second, consene di individure il vlore di C: π π ψ ψ π ψ π D α C sin H α H D C H C α I primi due coefficieni elsici, indici con w h e ϕ h, sono definii rispeivmene come il vlore dello sposmeno e dell rozione che si oengono, nell sezione di ordo, seguio dell ppliczione di un sisem di forze disriuio di inensià uniri nell sezione. Si h cioè w h sposmeno in per H ϕ h rozione in per H Ricordndo le espressioni per w(x) e ϕ (x), sosiuendo i vlori ppen ricvi per C e ψ, ed imponendo H, si oiene π w h w( ) C e sin( αx + ψ) sin D α α π π ϕh ϕ( ) C α e sin αx + ψ α sin D α α ) sisem di coppie pplice nell sezione di ordo Procedendo in mnier nlog l cso precedene, si risolve or il cso di seroio liero, di lezz h le d poer uilizzre le relzioni vise in precedenz per il cso infinimene lungo, sooposo ll zione di coppie uniformemene disriuie lungo il ordo. Le coppie sono se ssune posiive, quindi endono l inerno del seroio. Le condizioni l conorno sono, in queso cso: x in x Qx in x ossi di momeno fleene pri d e glio nullo nell sezione di ordo. Si h quindi: π x ( ) D ( α ) C e sin αx + ψ π Qx ( ) D ( α ) C e sin αx + ψ SOGGETTA A REVISIONE

3 Lezione n. 5 pg. V. D cui si oiene il sisem nelle due incognie C e ψ: π D α C sin ψ π D α C sin ψ Dll second equzione si ricv il vlore di ψπ/, e, per sosiuzione nell prim: π D α C sin π ψ D α C π ψ C α D π ψ Si possono queso puno ricvre i secondi due coefficieni elsici, indici con w m e ϕ m, definii rispeivmene come il vlore dello sposmeno e dell rozione che si oengono, nell sezione di ordo, seguio dell ppliczione di un sisem di coppie disriuio di inensià uniri nell sezione. Si h cioè w m sposmeno in per ϕ m rozione in per Ricordndo le espressioni per w(x) e ϕ (x), sosiuendo i vlori ppen ricvi per C e ψ ed imponendo, si oiene w m w ϕm ϕ π sin D α α π π α e sin αx + ψ α sin α α ( ) C e sin( αx + ψ) ( ) C c) coefficieni elsici di ordo Ricpiolndo i risuli ppen oenui, si h w h α D ϕh α D w m α D ϕm α D Il fo che i due coefficieni elsici w m e ϕ h sino uguli r loro non è ovvimene csule. Tle circosnz è ncor un vol conseguenz del eorem di Bei (o di xwell, in queso cso, rndosi di zioni unirie). Considerndo infi i due sisemi A) seroio liero soggeo d un disriuzione di forze unirie in B) seroio liero soggeo d un disriuzione di coppie unirie in il lvoro muuo L AB (lvoro delle forze del sisem A) rispeo gli sposmeni del sisem B) vle L AB w m essendo le forze pplice (di inensià uniri) le uniche enià compiere lvoro. Anlogmene L BA ϕ h dove, ques vol, sono le coppie unirie (sisem B) compiere lvoro rispeo lle rozioni misure sul sisem A). Uguglindo i due ermini si oiene l uguglinz cerc w m ϕ h SOGGETTA A REVISIONE

4 Lezione n. 5 pg. V. Le espressioni ppen ricve sono un po più complice se venisse rimoss l ipoesi di seroio infinimene lungo. Trlscindo i pssggi (per il quli si rimnd esi specifici (*) ), si oerree: sh ch s c w h α D ( sh) s ( sh) + s ϕh w m α D ( sh) s sh ch+ s c ϕm α D ( sh) s in cui si è poso, per semplicià di scriur, s sin(αh), c cos(αh), sh sinh(αh), ch cosh(αh) Un vol noi i coefficieni elsici di ordo (o coefficieni di influenz) si può procedere ll soluzione del seroio in ue le condizioni di vincolo ll se. Seroio con ordo inferiore incsro L ricerc dell soluzione procede nell oic del meodo dell congruenz. Si suppone dpprim di svincolre il seroio ll se: l zione dei crichi eserni si mnifeserà llor inducendo degli sposmeni (in senso generlizzo) ll se, di enià w p e ϕ p. L zione del vincolo (inizilmene soppresso) è cosiui di vlori del glio H e dell coppi incognie: i loro vlori si oerrnno h riprisinndo l congruenz, ossi fcendo in modo che, complessivmene, lo sposmeno e l rozione dell sezione di incsro sino nulle. Sovrpponendo gli effei, si vrà quindi che lo sposmeno glole è offero dll somm del conri- uo del crico (w p ), dell zione di glio ll se (w H ) e dll coppi pplic ll se (w ), e, in mnier nlog, si può procedere per le rozioni. L soluzione (in ermini di H ed ) si oerrà nnullndo i vlori ppen ricvi: w w p + w H + w ϕ ϕp + ϕh + ϕ Sfrundo ncor il PSE (ossi l linerià del prolem) srà possiile esprimere le qunià dovue lle due zioni H ed rverso mulipli dei vlori che si oerreero per inensià unirie, oenendo il sisem finle: w p + H w h + w m ϕp + H ϕh + ϕm dll soluzione del qule si ricvernno i vlori di H ed. (*) Si ved, d esempio, O. Belluzzi, Scienz delle Cosruzioni, vol., cp. VIII, Znichelli (BO) SOGGETTA A REVISIONE

5 Lezione n. 5 pg. V.5 A iolo di esempio, se l zione inern l seroio fosse rppresen dll spin idrosic di un liquido, si vree (ipoizzndo, per semplicià, il seroio complemene pieno) ( h x) γ γ h w p w pr ( x) α α dw pr ( x) γ γ ϕp dx α α in cui si è sfruo il fo che, in condizioni di ssenz di vincolo, l soluzione è offer dl solo inegrle pricolre. Di conseguenz si oiene il sisem γ h + H + α α α γ h + H ( α) + ( α ) γ + H + γ + H ( α ) + ( α ) α α α che porge l soluzione ( αh) γ H α γ ( αh) α A queso puno, per sovrpposizione degli effei (quello dovuo l crico eserno, che produce deformzioni m non sollecizioni, quello dovuo d H e quello dovuo d ), si ricv lo so di deformzione/sollecizione nel seroio. Nell figur seguene è ripor l deform (reggi) che si vree, soo l zione del liquido, se il seroio fosse liero. In line coninu è ripor l deform finle, ossi quell conseguene ll zione del liquido e delle incognie ipersiche, che ovvimene riprisin l congruenz (sposmeni e rozioni nulle ll se). w p w p h SOGGETTA A REVISIONE

6 Lezione n. 5 pg. V.6 Seroio con ordo inferiore incerniero L soluzione si ricv nlogmene quno fo in precedenz. Supponendo dpprim di svincolre il seroio ll se, l zione dei crichi eserni si mnifeserà llor inducendo degli sposmeni (in senso generlizzo) ll se, di enià w p e ϕ p. L zione del vincolo (inizilmene soppresso) è cosiui dl vlore del glio H che riprisin l congruenz, ossi fcendo in h modo che complessivmene lo sposmeno dell sezione vincol si nullo. Sovrpponendo gli effei, si oerrà w w p + w H wp + H wh d cui si oiene H. Anlogmene prim, se l zione inern l seroio fosse rppresen dll spin idrosic di un liquido, si vree (ipoizzndo, per semplicià, il seroio complemene pieno) γ ( ) ( h x) γ h w p w pr x α α e quindi γ h + H α α γ h + H α γ h H α w p w p h Rigidezz ll rozione del seroio Operndo ncor in mnier nlog l cso precedene, si può ricvre il vlore dell rigidezz ll rozione del seroio, K ser, ossi il vlore dell coppi che, pplic uniformemene lungo lo sviluppo dell sezione di se, induce un rozione uniri del ordo inferiore. SOGGETTA A REVISIONE

7 Lezione n. 5 pg. V.7 H ϕ ϕ K ser Il cso in figur si risolve ricvndo i vlori delle due incognie (K ser e H), li che l rozione di esremià ssum il vlore, menre lo sposmeno orizzonle si nullo: H w h + Kser w m H ϕh + Kser ϕm d cui si oiene K ser H + K ser α α D H + K ser α D α D H + Kser α Kser αd H + Kser α α D H α D Quindi per oenere un rozione uniri (nel cso di rslzione orizzonle impedi) occorre pplicre un coppi uniformemene disriui lungo il ordo di vlore pri K ser α D Seroio con fondzione nulre Un lro cso snz frequene è cosiuio d seroi cilindrici imposi su un fondzione nulre, come riporo in figur. s erreno quo del liquido fondzione nulre giuno wer-sop fondo del seroio h h f H SOGGETTA A REVISIONE

8 Lezione n. 5 pg. V.8 Le forze vericli vengono scrice err rverso un fondzione (rppresen d un nello di rggio, lezz h f e se ), che rppresen il vincolo di se del seroio. Il fondo del seroio (normlmene di spessore inferiore rispeo quello dell fondzione), si suppone indipendene dll fondzione, meno di un giuno enu ( wer-sop ) che impedisce l liquido di uscire dll se del seroio sesso. L fondzione si può supporre impedi di rslre orizzonlmene cus dell rio con il erreno circosne ed (in pre) cus del collegmeno con il disco che rppresen il fondo del seroio. L condizione di vincolmeno offer dll fondzione l seroio è quindi inermedi r quell di un incsro e di un cernier: l fondzione infi opporrà un cer resisenz ll rozione del seroio, m sicurmene non le d poer supporre il vlore di le rozione come nullo. Le sollecizioni, di conseguenz, srnno inermedie r i due csi limie di seroio incerniero ed incsro. L soluzione del cso in esme si ricv uilizzndo ques vol il meodo dell equilirio. L unico movimeno consenio l ordo inferiore del seroio è rppreseno dll rozione ϕ, menre, come già deo, l rslzione orizzonle può essere, con uon pprossimzione, rienu null. Di conseguenz l soluzione in fse I (movimeni indipendeni locci) srà offer dll nlisi del compormeno di un seroio in cui, rverso un disriuzione uniforme di morsei l ordo, si impedisc nche l rozione delle srisce meridine. Il cso si riconduce quello di un seroio incsro ll se, già ffrono in precedenz, dll soluzione del qule si ricverà il vlore del momeno di incsro inc I che grnisce l soluzione congruene in ques fse. inc I vincoli usiliri Nell fse II il momeno di incsro cmio di segno, - I inc, si riprirà r i vri elemeni che confluiscono nel nodo (o meglio, nell insieme di nodi) del qule si er impedi l rozione. Tli elemeni sono rppreseni dl seroio del qule si è già ricvo il vlore dell rigidezz ll rozione, K ser αd e dell fondzione, di rigidezz, per il momeno, incogni. A su vol il conriuo di rigidezz ll rozione offero dll fondzione è dovuo due diversi fori: d un pre ll rigidezz ll rozione dell nello di fondzione, dll lr l erreno soosne che, in qulche misur, offrirà nch esso un cer resisenz ll rozione del complesso seroio/fondzione. ) rigidezz ll rozione dell fondzione nulre Il primo conriuo d deerminre è quello offero dll rigidezz ll rozione dell fondzione nulre. Il cso è quello riporo in figur, in cui si cerc il vlore dell disriuzione uniforme di coppie che produc l rozione di vlore. h inc I h f SOGGETTA A REVISIONE

9 Lezione n. 5 pg. V.9 ϕ L nello si rov sooposo ll zione di coppie che hnno sse ngene ll line medi dell nello e che gicciono sul pino che coniene l nello sesso. L condizione di crico è ovvimene ncor ssil-simmeric. Per deerminre il collegmeno r l coppi pplic e l rozione ϕ, occorre preliminrmene deerminre lo so di sollecizione inerno ll nello. In generle, le crerisiche di sollecizione che possono essere preseni sono sei (lo sforzo normle, i due gli, i due momeni fleeni, il momeno orcene). A cus delle pricolri simmerie dell sruur e del crico è possiile dimosrre che solno un di quese è divers d zero. Considerndo dpprim le re componeni di forz, isolndo un ro come in figur, è possiile osservre che: T T Y N T Y N T - considerndo meà nello, l simmeri rispeo ll sse - impone che le forze ino i versi ripori in figur; - l simmeri impone ncor che li CdS sino cosni lungo lo sviluppo dell nello; - per equilirio ll rslzione in direzione dell sse - si h che N; - nche l componene orogonle ll sse orogonle d - dovrà essere null; ci si può fcilmene rendere cono di le circosnz osservndo l condizione di equilirio di un elemeno con un ngolo l cenro diverso d π. In queso cso, è evidene che T, lrimeni l equilirio in direzione - (offero dll relzione N cos - T x sin ) non risuleree soddisfo, sne l ssenz di sforzo normle; - nche T Y, infine, è null perché l presenz di un glio in direzione Y imporree l presenz di un momeno fleene vriile lungo, menre queso, se presene, deve necessrimene essere presene per simmeri del prolem. In conclusione, ue le CdS indice sono nulle, per cui l nello porà essere evenulmene soggeo solno ll zione di coppie. Pssndo ll nlisi delle zioni fleeni e orceni si può considerre ncor meà nello, e conviene rppresenre le coppie (si quelle eserne che le crerisiche di sollecizione) rverso il loro sse momeno, medine il qule si può procedere lle consuee operzioni r veori. Si può quindi osservre che: T T Y N ϕ T Y T N SOGGETTA A REVISIONE

10 Lezione n. 5 pg. V. Y Y R - l risulne delle zioni eserne su meà nello è cosiui d un coppi in direzione orogonle d - con inensià pri (**) ; - per equilirio di meà nello, i momeni fleeni sono diversi d zero ed hnno vlore, equilirndo quindi l zione esern; - l equilirio di un porzione di nello con ngolo l cenro diverso d π impone che si nnulli l CdS di momeno orcene, indic come. Infi l risulne R vle cos(π/-), ed è equilir dll proiezione (orogonle d -) di : di conseguenz deve essere nullo; - infine l CdS Y deve essere null sne l ssenz di componeni del veore che rppresen l sse momeno dovuo lle zioni eserne l di fuori del pino dell nello. Di conseguenz l unic CdS presene nell nello, seguio di un disriuzione uniforme di momeni orceni, è offer dll presenz di un momeno fleene (di vlore ) con sse momeno rdile. ds ϕ ϕ Y Considerndo un elemeno infiniesimo, descrio d un ngolo l cenro d e quindi di sviluppo ds d, si h: (**) L risulne lungo l sse orogonle d - vle π π sin ω dω cos ω cos π cos menre quell in direzione - è null π π cos( ω) dω sin( ω) [ sin( π) sin( ) ] Y ( ) ( ) [ ( ) ( )] ds d Y Y d/ ds Y d/ Y SOGGETTA A REVISIONE

11 Lezione n. 5 pg. V. per equilirio: d Y sin ds e quindi d Y d d cui Y come già dimosro in precedenz; in ermini deformivi: sfrundo il Teorem di Clpeyron per l elemeno infiniesimo, si h L d, e ϕ ds ( ) L Y d,i Y ds ds EJ EJ uguglindo i due ermini, si oiene ( ) Ld,i Ld,e ϕ ds ds EJ che rppresen il vlore dell rozione dell nello. ϕ EJ Di conseguenz, per vere un rozione uniri, occorrerà pplicre un vlore dell coppi orcene pri EJ K fond dove h J f ) rigidezz ll rozione del erreno l di soo dell fondzione Come già ccenno in precedenz, occorre vlure un uleriore conriuo di rigidezz, offero dll rigidezz del erreno l di soo dell fondzione nulre. Il erreno viene schemizzo come un leo di molle elsiche ll Winler, con cosne di soofondo. A cus dell rozione ϕ, l sezione suirà degli ssmeni η come mosro in figur; li ssmeni corrispondernno ensioni nel erreno offere dll relzione σ η. Di conseguenz si h σmx ηmx ϕ L risulne delle ensioni normli dovrà evidenemene equilirre il momeno eserno pplico, cioè SOGGETTA A REVISIONE

12 Lezione n. 5 pg. V. σ ds mx ds ϕ ds ϕ ds Si oiene ϕ e quindi il conriuo di rigidezz offero dl solo erreno è cosiuio dl ermine di momeno fleene corrispondene d un rozione uniri K err ds ds ds η min -ϕ / σ min η min ϕ ϕ η mx ϕ / σ mx η mx c) riprizione del momeno di incsro Un vol deermini i vri conriui di rigidezz, è queso puno possiile procedere ll riprizione dell rezione di incsro oenu in fse I, cmi di segno. In fse II i momeni che i oerrnno srnno offeri d E J K o Kser + Kfond + Kerr α + + e quindi II I K D ser I α ser inc inc K o E J α + + Di conseguenz, il momeno ll se del seroio ssumerà il vlore I II I α D ser inc + ser inc E J α D + + che rppresenerà nche il momeno che gisce sull fondzione nulre. SOGGETTA A REVISIONE

13 Lezione n. 5 pg. V. Effei di vrizioni ermiche Nel cso dell progezione di seroi cilindrici occorre presre pricolre enzione ll possiile presenz di vrizioni ermiche, in quno possono influenzre foremene lo so di sollecizione nel seroio sesso. A iolo di esempio, si pensi l seroio soggeo d un vrizione ermic uniforme + r il momeno dell esecuzione e un qulunque momeno successivo di vi dell sruur, in ssenz di vincoli eserni (seroio liero). A cus dell vrizione ermic +, il rggio si llung dell qunià w. Poiché π L L e quindi w α π +w + ( α ) π w L prim e ( w) L dopo π + si h L Ldopo Lprim π w L llungmeno complessivo deve uguglire quello cuso dll vrizione di emperur, che vle L π α ( ) di conseguenz si oiene Se il ordo inferiore fosse incsro, gli sposmeni complessivi in (offeri dll somm di quelli dovui ll vrizione ermic e quelli dovui ll zione delle incognie ipersiche) devono essere nulli; si deve quindi vere w ϕ ( ) C e sin( αx + ψ) + α ( ) C α e sin αx + ψ d cui ( ψ) C sin + α π C α sin ψ e quindi π α C α π sin π ψ Le sollecizioni ll inerno del seroio sono or ricvili rverso le usuli operzioni di derivzione. A iolo di esempio, l ndmeno del momeno fleene lungo lo sviluppo del meridino è offero dll relzione SOGGETTA A REVISIONE

14 Lezione n. 5 pg. V. x d cui x ( ) x D w ( x) D C ( α ) e sin αx + ψ ( x) ( α ) ( α ) e sin αx Il momeno fleene nell sezione di incsro, ssume il vlore che corrisponde (in vlore ssoluo) quello mssimo, e che vle x x ( ) ( ) ( ) ( α α α e sin αx ) D ( α ) ( ) ( α ) D ( α ) sosiuendo i vlori di α e D α. s si oiene x E s D ( ν ).69 E s s ( ν ) π π π ( ) ( α ).8 E s α dove, per semplicià, si è ssuno ν. Come già soolineo proposio dell effeo delle vrizioni ermiche su sruure ipersiche, si può osservre che il vlore ricvo non dipende dlle dimensioni geomeriche del seroio (rggio ed lezz h), m risul proporzionle l qudro dello spessore s. Di conseguenz, l zione risul no mggiore quno mggiore è lo spessore del seroio: in presenz di vrizioni ermiche occorre quindi procedere in mnier oppos rispeo d un usule progeo per resisenz, in quno l umeno delle dimensioni rsversli compor, in generle, un umeno dello so di sollecizione. SOGGETTA A REVISIONE