Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine

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1 Dall atomo di Bohr alla ostate di struttura fie. INFORMAZIONI SPETTROSCOPICHE SUGLI ATOMI E be oto he ogi sostaza opportuamete eitata emette radiazioi elettromagetihe. Co uo spettrosopio, o strumeti aaloghi, si può risolvere questa radiazioe elle sue ompoeti mooromatihe, sfruttado effetti (rifrazioe, diffrazioe) he dipedoo dalla lughezza d oda λ della radiazioe. Lo spettrosopio, el aso più semplie è ostituito da ua stretta feditura attraverso la quale etra la lue, u elemeto disperdete (prisma) e u rivelatore (lastra fotografia o altro). I questo modo si ottiee l isieme delle radiazioi elettromagetihe, he tale sorgete emette lassifiate seodo l ordie resete o deresete della lughezza d oda o della frequeza, il osiddetto spettro elettromagetio. Se è la veloità di propagazioe della radiazioe elettromagetia el vuoto, allora ν / λ.. Gli spettrosopisti, i geere, usao il umero d oda ν ' π/λ o ahe: ν / λ he rappreseta il umero di ode oteute, el vuoto, ell uità di lughezza. Il più semplie spettro a righe è quello dell atomo di idrogeo e iò è ompresibile essedo questo l atomo più semplie. Questo spettro è ostituito da righe he giaioo, parte ella zoa del visibile, parte ell ifrarosso e parte ell ultravioletto. La radiazioe mooromatia è ostituita da ode o fotoi di ua sola frequeza, quella poliromatia è ostituita da ode o fotoi di diverse frequeze

2 Si ota failmete he queste righe appaioo aturalmete raggruppate i serie e presetao, all itero di iasua serie, ua differeza i frequeza via via deresete all aumetare della frequeza ed ua tedeza a overgere ad u dato limite, evidete soprattutto ella regioe del visibile he fu la prima ad essere soperta. Nel 885, u isegate svizzero, Balmer trovò ua semplie formula empiria per alolare la posizioe delle righe spettrali dello spettro di emissioe dell idrogeo ella zoa del visibile: λ λ (.) 4 dove, 4,5, e λ ost Å. Nel 890 Rydberg, o l aiuto di Walter Ritz, ottee u espressioe più geerale per l iverso 4 della lughezza d oda; ifatti: ν o ahe : λ λ 4 ν R H (.) o R H m (ostate di Rydberg). La (.) prevede u addesameto delle righe per λ orte, iò è ofermato dagli spettri sperimetali ei quali veero suessivamete soperte e risolte altre righe, elle posizioi previste dalla (.), sempre più addesate verso u limite di overgeza orrispodete alla ostate λ he ompare ella formula di Balmer. ν ν R H / 4 λ

3 I seguito veero soperte altre serie di righe ello spettro dell idrogeo e i si aorse he ahe tra le righe di iasua di queste serie sussisteva ua relazioe aaloga alla (.), vale a dire ν R H (.) m o, m umeri iteri e tale he > m. Il fatto he ua formula osì semplie ome la (.) riprodua o tata preisioe tutto lo spettro osservato dell idrogeo o può essere osiderato aidetale ma idue a pesare he la (.), trovata empiriamete, abbia u sigifiato e rappreseti ua fodametale idiazioe sulla strada da seguire per ompredere la struttura atomia. I tetativi di riprodurre questa formula o diversi modelli atomii o ebbero tuttavia, per molto tempo, suesso. D altra parte si trovava he formule aaloghe alla (.) riproduevao i dati sperimetali degli spettri di altri elemeti più pesati dell idrogeo. Per esempio si soprì he spettri molto simili a quelli dell idrogeo erao emessi dagli atomi degli elemeti leggeri, he avessero perso tutti gli elettroi trae uo, ome: He +, Li ++, Be +++, B Questi ioi ostituiti da u uleo e da u solo elettroe, hao ua struttura aaloga a quella dell atomo di idrogeo, da ui differisoo solo per la massa e la aria del uleo e si hiamao atomi idrogeoidi Per la serie di righe dei loro spettri fu trovata la formula: ν R I Z (.4) m Che differise dalla (.) essezialmete per il fattore Z. Per esempio l He +, emette ua serie, detta di Pikerig desritta da ν 4R H 4 e he giae ella regioe del visibile. Questa serie fu osservata per la prima volta ello spettro di emissioe di ua stella ed attribuita all idrogeo (le sue righe pari, o pari, oiidoo ifatti o quelle di Balmer). Ahe egli spettri di altri elemeti si risotrao regolarità aaloghe a quelle trovate ello spettro dell idrogeo e degli atomi idrogeoidi. Il valore della ostate R I dipede dallo ioe osiderato ma è sempre molto viio a R H. Questa differeza trova u adeguata spiegazioe i u effetto dovuto alle diverse masse dei ulei.

4 . IL MODELLO ATOMICO DI BOHR La relazioe fodametale tra i termii spettrosopii di u atomo e la sua struttura fu messa partiolarmete i lue da Bohr he riusì ad iquadrare i risultati sperimetali della spettrosopia i uo shema geerale he estedeva al livello atomio il oetto di quatizzazioe itrodotto da Plak ed Eistei e he va ora sotto il ome, assieme ai suessivi sviluppi ad opera di Sommerfeld, di vehia teoria dei quati. Bohr forì le prime basi teorihe di u modello atomio ipotizzado he l uio elettroe dell atomo di idrogeo si muovesse sotto l iflueza dell attrazioe olombiaa verso il uleo positivo seodo la meaia lassia, he prevede orbite irolari o ellittihe o il etro della forza loalizzato i u fuoo, ome el moto dei piaeti itoro al sole. Per sempliità egli selse u orbita irolare. Si tratta di u modello approssimato (semilassio), he tuttavia è appropriato per forire le eergie dell'atomo di idrogeo orrette, he si otterrebbero da uo studio quatistio. Ifatti la meaia appropriata per gli stati degli atomi o è quella lassia, ma quella quatistia. Sebbee si ottega ua stabilità meaia poihé la forza attrattiva di Coulomb rappreseta la forza etripeta eessaria affihé l elettroe resti i orbita, tale atomo è elettriamete istabile seodo la teoria lassia, poihé l elettroe el suo moto irolare è soggetto ad aelerazioe e, quidi, deve irraggiare eergia elettromagetia o ua frequeza uguale a quella del suo moto: seodo la teoria elettromagetia lassia u tale atomo dovrebbe rapidamete ollassare, o l elettroe he o moto a spirale ade sul uleo emettedo la propria eergia. Bohr risolse questa diffioltà abbadoado l elettrodiamia lassia fio al puto da assumere he, per raggi dell ordie delle dimesioi atomihe, gli elettroi possoo orbitare su traiettorie irolari, dette stati stazioari, seza emettere otiuamete radiazioe. L atomo irraggia solo quado l elettroe i qualhe modo effettua ua trasizioe da uo stato stazioario ad u altro. Dato he la massa del protoe è ira 840 volte superiore a quella dell'elettroe e he la forza di attrazioe dipede dall'iverso del quadrato della distaza (ampo etrale), si può riteere he il protoe resti fermo el moto e he l'elettroe ruoti attoro ad esso su orbite irolari: ogi orbita orrispode a ua diversa eergia dell'elettroe. Essedo il moto ofiato, le eergie soo egative e l'orbita più itera risulta essere quella ad eergia più bassa. Essa rappreseta lo stato fodametale del sistema. Le altre orbite rappresetao stati eitati. L'eitazioe dell'elettroe, da parte di u fotoe di eergia opportua, ausa la trasizioe al primo stato eitato (seoda orbita). I questo proesso il fotoe viee assorbito e la sua eergia è aquistata dall'elettroe he effettua la

5 trasizioe. Il proesso di diseitazioe dell'atomo avviee ella trasizioe da u'orbita estera allo stato fodametale: i questo aso l'eergia dell'atomo dimiuise e viee eduta a u fotoe, he si geera ella trasizioe. Si ha osì il proesso di emissioe di radiazioe. I primi lavori di Bohr sull atomo di idrogeo, ostituito da u elettroe i rotazioe attoro ad ua aria positiva, risalgoo al 9 e soo sostazialmete basati sui segueti postulati: ) U atomo o può assumere tutti i valori lassiamete possibili per l eergia, ma solo erti valori disreti e o E, E, E aratteristii dell atomo stesso. ) Gli stati orrispodeti a queste eergie permesse soo stazioari, ioè, quado l atomo si trova i uo di questi, o avviee emissioe o assorbimeto di radiazioe elettromagetia. ) L emissioe o l assorbimeto della radiazioe avviee quado l atomo effettua ua trasizioe da uo stato stazioario a u altro. I questi asi vegoo emessi (o assorbiti) fotoi di eergia hν uguale alla differeza fra le eergie degli stati tra i quali avviee la trasizioe hν E E m (.) 4) Sussiste il priipio di orrispodeza, ioè la teoria quatistia forise gli stessi risultati (umerii) di quella lassia, el limite i ui questa è orretta, per es. i sistemi marosopii. Come si vedrà quest ultimo postulato è equivalete ad ua regola di quatizzazioe (è questa he figura oggi ei libri di testo) he permette il alolo dei valori quatizzati dell eergia degli stati atomii stazioari. Se si esamia la formula di Balmer-Rydberg per le righe dello spettro dell atomo di idrogeo alla lue dei primi due postulati di Bohr, si possoo failmete idetifiare i valori delle eergie degli stati atomii o quelli dei termii spettrali moltipliati per h. Moltipliado, ifatti, la (.) per h si ottiee hν RH h m. Cofrotado la (.) e quest ultima equazioe si riava he: RH h E τ h,, (.) Il sego meo sta a sigifiare he il sistema atomio si trova i uo stato legato (di eergia totale egativa) 4. Gli stati stazioari dell atomo d idrogeo si possoo quidi rappresetare o il diagramma illustrato ella figura: i segmeti idiao livelli eergetii orrispodeti, ioè i Dal puto di vista orpusolare, la radiazioe e.m. è ostituita da u isieme di pahetti di eergia detti quati o fotoi, he si muovoo alla veloità della lue. L eergia trasportata da iasu fotoe dipede dalla frequeza della radiazioe seodo la relazioe di Plak: E h ν (h ostate di Plak 6.66_0-4 J/s). L eergia assoiata ad u fasio di fotoi ( è legato all itesità del fasio) di frequeza ν (E hν) o è ua gradezza otiua, ma disreta (può essere soltato u multiplo itero della quatità hν). 4 E eessario forire l eergia W - E per liberare l elettroe dall atomo. 4

6 valori di E. Si può otare he per gradi valori di, i livelli eergetii si addesao fio a ostituire quasi u otiuo. Il limite lassio (eergia o quatizzata) è quidi raggruppato per. Sulla base dello shema dei livelli, è faile spiegare il raggruppameto i serie delle righe dello spettro di emissioe dell atomo di idrogeo. Le righe di ua serie orrispodoo a radiazioi emesse da trasizioi ad u medesimo stato fiale (di eergia E m ) a partire da stati di eergia maggiore E > E m.così la serie di Lyma è relativa a trasizioi allo stato di eergia E (stato fodametale) 5, quella di Balmer a trasizioi allo stato di eergia E (primo stato eitato) e osì via. Soo possibili trasizioi tra tutti i livelli. Se per esempio si osiderao le trasizioi he partoo dallo stato più basso si ha ua serie di eitazioi (osservabili i assorbimeto ome righe sure) della serie di Lyma. Ogi sigola eitazioe viee idiata o u pedie greo. L E E L E E E 4 E α β γ L Se, azihé partire dallo stato fodametale, si eita l'atomo partedo dal primo stato eitato, si ottegoo le trasizioi H E E H E 4 E E 5 E α β γ Si forma osì la serie di Balmer, le ui prime righe soo osservabili failmete i emissioe perhé adoo ell'itervallo della lue visibile. Le stesse trasizioi hao luogo se l'atomo azihé assorbire eergia, la ede diseitadosi, ioè passado dagli stati più esteri a quelli più iteri. L uso dei primi tre postulati di Bohr ha permesso di mettere i relazioe i termii spettrali sperimetali o i livelli eergetii. L appliazioe del quarto postulato porterà a determiare i modo idipedete da risultati sperimetali u espressioe della ostate di Rydberg R H, i termii di altre ostati fodametali, i grado di riprodurre il valore sperimetale R H m. I questo suesso risiede essezialmete la giustifiazioe della validità dei postulati di Bohr. Come già osservato, il limite lassio delle formule quatistihe si ha per H. I queste odizioi si può desrivere i termii lassii il moto dell elettroe attoro al uleo, suppoedo he avvega su ua irofereza di raggio r. E possibile alolare la frequeza di questo movimeto e metterla i relazioe o l eergia totale del sistema. La frequeza osì alolata è ahe, seodo la teoria lassia, quella ν l della radiazioe elettromagetia emessa dalla aria aelerata. Seodo il postulato di Bohr, l elettroe di u atomo ompie ua trasizioe da u livello di eergia superiore E, ad uo di eergia iferiore E m, emettedo l eergia hν E E. m 5 E iteressate otare he questa serie è stata soperta dopo lo sviluppo della teoria di Bohr. 5

7 Per alti umeri quatii, i livelli eergetii soo omuque osì viii i eergia he i fotoi emessi i queste trasizioi hao frequeze molto viie a quelli emessi ella trasizioe E. Si può quidi usare la formula quatistia (.) o m - e per desrivere E m la formula quatistia per la frequeza ν qu della radiazioe emessa. Per m - la formula quatistia hν RH h m per la frequeza dà: ν qu RH ( ) R Da ui per valori elevati di, si può ahe srivere H ( ) ν R H qu RH h RH / E Ma E τ h, pertato ν qu E / ( RH h) h RH. (.) Per il priipio di orrispodeza si potrà idetifiare questa espressioe o quella lassia trovado osì ua determiazioe teoria per la ostate di Rydberg. Per alolare la frequeza i termii lassii, si osserva he: i u atomo di idrogeo ( e- ed p+), l elettroe è soggetto all iterazioe oulombiaa o il uleo, desritta dalla forza di Coulomb 6. e F k (o k/4πε 0 ) (.4) r Dalla legge fodametale della diamia si deriva he, essedo l aelerazioe etripeta a V / r, allora è mv e k da ui r r k V e. (.5) mr L eergia totale del sistema è pari alla somma dell eergia ietia e poteziale: E ( r) mv e k r e k per r r r 0 E 0 E Tot tot e Da ui risulta he il raggio è: r k (.6) E La frequeza i u moto irolare uiforme è data ν l ω / π o ω V / r. Per la (.5) e la (.6) si ha periò: 6 Si adotterà la otazioe k 4πε 0 (ε 0 ostate dielettria del vuoto) 6

8 ω e k ν l E (.7) π π mr πe mk Eguagliado le due espressioi (.7) e (.) per le due frequeze, quatia e lassia, e quadrado si ottiee osì la formula 4 k π e m R H (.8) h Essedo k / 4πε 0 si ottiee 4 e m R H 8ε 0h i ui iseredo i valori delle ostati uiversali si trova proprio il valore pratiamete uguale a quello sperimetale R H m RH h. La formula E τ h per i livelli eergetii diveta, quidi, i forza della (.8), E RH h k π e h 4 m E 0 (.9) dove il termie tra paretesi E 0 rappreseta la ostate di Rydberg espressa i eergia he vale.6ev. Tale relazioe ostituise il risultato fodametale dell appliazioe dei postulati di Bohr. A questo puto la formula per riavare lo spettro dell idrogeo si ottiee ombiado tale equazioe o la terza ipotesi di Bohr: idiati o ed due possibili valori di e o E ed E le eergie orrispodeti a tali valori avremo he: E R E Combiado questi due valori o la odizioe sulla frequeza itrodotta da Bohr otteiamo he per u elettroe he ompie ua trasizioe da uo stato ad eergia E ad u altro o eergia E la frequeza della radiazioe emessa o assorbita è data da: R ν E h E E R h h Per appliare i risultati preedetemete riavati al aso marosopio, Bohr ipotizzò he egli stati atomii stazioari gli elettroi obbedisoo alle leggi della meaia lassia. Dalla (.6) e (.9) si trova he i raggi delle orbite orrispodeti agli stati di eergia E dell atomo di idrogeo soo quatizzati seodo la formula r h 4 πε h 4kπ me me 0 7

9 h h dove si è posto h. Quidi r r (.0) π kme Da questa relazioe risulta he all'elettroe soo permesse solo determiate orbite, he dipedoo dal valore del umero quatio priipale. I partiolare per, r assume il valore di r a Å è il raggio dell orbita orrispodete allo stato fodametale dell atomo di idrogeo. (r aumeta all aumetare di umero quatio priipale o progressioe geometria) Ahe i determiati valori dell'eergia dipedoo dal valore del umero quatio priipale. E possibile ioltre alolare la veloità dell elettroe elle orbite irolari, partedo dalla (.5) e dalla (.0), otteedo osì ahe la quatizzazioe della veloità seodo la formula e k V. h Essedo i uo stato stazioario, quatizzati sia il raggio dell orbita he la veloità o ui essa viee perorsa è evidetemete quatizzato ahe il mometo agolare L m V r. I orrispodeza dello stato quatio si ha: e k h L mvr m h h kme (.) Negli stati stazioari dell atomo di idrogeo il mometo agolare dell elettroe ha quidi u valore multiplo itero di h. La relazioe (.) è partiolarmete semplie e, ella maggior parte dei libri di testo, i molte esposizioi del modello di Bohr, viee presa ome regola di quatizzazioe al posto del quarto postulato riguardo il priipio di orrispodeza. 7 8 Se l atomo di idrogeo veisse trattato osì ome vee fatto el primissimo lavoro di Bohr, la trattazioe assumerebbe u grade valore didattio: i u uio otesto si sitetizzao molti argometi iotrati i preedeza, (moto irolare, legge di Coulomb, e.) offredo ua argometi iotrati i preedeza, (moto irolare, legge di Coulomb, e.) offredo ua ompresioe più siura dei oetti base, e si muovoo i primi passi verso oteuti uovi (il priipio di orrispodeza, i livelli disreti di eergia, e.) he si rivelerao fodametali per lo studio della teoria quatistia. L aalisi è limitata alle orbite irolari e la eessaria regola di quatizzazioe o è otteuta attraverso ua quatizzazioe arbitraria del mometo agolare (trattazioi di questo geere per studeti ad u livello itroduttivo potrebbero risultare iompresibili), ma attraverso l appliazioe del priipio di orrispodeza he, pur essedo algebriamete più omplesso, è molto più ragioevole e ompresibile per gli alui. Purtroppo, però, molte reeti versioi dei libri idebolisoo la trattazioe riduedoe i oteuto fisio, impatto e ompresibilità. 8

10 I risultati del modello di Bohr possoo essere failmete estesi ahe agli atomi idrogeoidi He +, Li ++, Be +++, B Basta ifatti sostituire Ze ad e, dove Z è il umero atomio dell elemeto osiderato. r 4 4πε 0h E mze π ε 0h Z e m 4 Z e m ν ( E E ) h 64π ε 0 h Si verifia osì failmete he le gradezze relative agli atomi idrogeoidi (I) soo legate a quelle dell atomo di idrogeo (H) dalle relazioi Livelli eergetio dell'atomo di idrogeo (Z) e di alui atomi idrogeoidi quali l'he + (Z) e il Li + (Z). La prima delle (.) è i aordo oi risultati spettrosopii espressi dalla (.4). Per le (.) è L H L h la ui validità implia he la odizioe di quatizzazioe del mometo agolare I sussiste per tutti i sistemi idrogeoidi. La ostatazioe di questo risultato ebbe ua otevole importaza ello sviluppo della teoria quatistia i quato suggerì he tale quatizzazioe L h, o oteete le ostati m ed e, ma solo h, avesse ua validità geerale per le forze etrali. Si aprì osì la strada alle odizioi geerali di quatizzazioe di Sommerfeld-Wilso 9

11 Nel 94 l esperimeto di Frak-Hertz 8, fugò tutti i dubbi sulla quatizzazioe dell eergia degli atomi, ma, oostate questi suessi ed i perfezioameti di Sommerfeld e Wilso, il modello atomio di Bohr si rivelò iadatto a rappresetare tutti i dati sperimetali iereti al omportameto spettrosopio degli atomi più omplessi. Il modello o è i grado di iterpretare alui sdoppiameti elle righe di spettri di emissioe di atomi plurielettroii, a iiziare dall'elio. Si presuppoe ioltre he gli elettroi si muovao su orbite determiate e o veloità defiite, tali he si possa prevedere o esattezza la posizioe futura dell'elettroe ota la sua posizioe i u determiato mometo Affihé iò abbia u seso fisio reale oorre he veloità e posizioe dell'elettroe siao, almeo i teoria, sperimetalmete osservabili e determiabili o suffiiete preisioe. Ciò seza otare he esso è i u erto seso viziato alla base da u difetto di origie: quello di predere le mosse dalle leggi fodametali della meaia lassia, iestado però su di esse alue ipotesi quatistihe he a tali leggi soo totalmete estraee e o loro i otrasto. Seodo Heiseberg la teoria di Bohr adde perhé le idee fodametali su ui è basata (il modello orbitale, la validità delle leggi lassihe di moto) o possoo essere otrollate. La teoria si muove i ua regioe di là dell esperieza, su postulati otroituitivi, e, ostruita su u fodameto di ipotesi he o possoo essere provate sperimetalmete, fallise i parte i quelle osegueza he possoo essere sottoposte alla prova dell esperieza. Se si vuole ostruire ua meaia atomia logiamete oerete, o si devoo itrodurre ella teoria se o quelle etità he soo fisiamete osservabili: o, per es. l orbita di u elettroe, ma solo le frequeze e le itesità della lue emessa dall atomo, essedo queste osservabili. Partedo da questo requisito Heiseberg formulò i priipi fodametali di ua teoria, poi sviluppata da lui stesso, da Bohr e da Jorda, 95, la osiddetta meaia matriiale he, itesa a sostituire la meaia atomia di Bohr, olse brillati suessi i tutte le appliazioi.. DA BOHR A SOMMERFELD Il perfezioameto del modello di Bohr, proposto da Sommerfeld e Wilso, otiee tuttavia u aspetto fodametale per lo sviluppo di ua teoria quatistia dell atomo, ioè la valutazioe degli effetti relativistii. I partiolare, Sommerfeld, valutado il rapporto tra la veloità dell elettroe sulla prima orbita dell atomo di Bohr (v ) e la veloità della lue el vuoto itrodusse la COSTANTE DI STRUTTURA FINE defiita ome: 8 I ui u atodo risaldato C vegoo emessi elettroi di bassa eergia he vegoo aelerati verso l aodo A da ua differeza di poteziale V 0. Alui elettroi attraversao la griglia e proseguoo verso il raoglitore R, dove arrivao solo se la loro eergia ietia è suffiiete a viere u leggero poteziale freate V appliato tra R e A. Il tubo viee riempito da vapori della sostaza he si vuole studiare. L esperimeto osiste el misurare la orrete he arriva i R al variare della differeza di poteziale V 0. I primi esperimeti veero ompiuti o vapori di Hg, Frak ed Hertz osservaroo he quado l eergia degli elettroi è iferiore a 4,9 ev o si osservava irraggiameto da parte del merurio metre appea l eergia risultava al di sopra di tale soglia si osserva ua sola liea spettrale orrispodete a 4,9 ev. Duque ome aveva supposto Bohr ahe l eergia degli atomi è quatizzata. 0

12 α v e 7.97x0 4πε h 0 7 (.) Queste defiizioe della ostate di struttura fie porta ad ua iteressate risrittura delle eergie dei livelli dell atomo di Bohr i termii di α stessa e dell equivalete i eergia della massa a riposo dell elettroe: E m α (.) La ostate di struttura fie trova tuttavia la sua piea giustifiazioe el alolo delle orrezioi relativistihe ai valori dell eergia dell atomo di Bohr. Sommerfeld fu i grado di alolare le orrezioi alle eergie dei livelli idrogeoidi, preedetemete valutati o il modello di Bohr, el modo seguete: 4 mz e α Z E + ( ) (.) 4πε 4 0 h ϑ dove θ è il umero quatio azimutale, itrodotto da Sommerfeld per teer oto della ellittiità delle orbite ( θ,,,, ) ome ulteriore estesioe del modello di Bohr he prevedeva ivee solo orbite irolari. Da queste formula è possibile osservare he la orrezioe relativistia alle eergie di Bohr è proporzioale ad α, ioè risulta dell ordie di 0-4. Co lo sviluppo della teoria quatistia, a partire dalla formulazioe della equazioe di Shroediger, è stato possibile riosiderare gli effetti relativistii e l iterazioe di spi-orbita ome orrezioe ai valori imperturbati delle eergie di u atomo idrogeoide: RhZ E α Z + j + 4 I questo aso j rappreseta il umero quatio assoiato al mometo agolare totale J, somma, seodo le regole della meaia quatistia, del mometo agolare orbitale L e di spi S. Etrambe le orrezioi, effetti relativistii e iterazioe spi-orbita, risultao essere dello stesso ordie di gradezza Ad esempio, el valutare il valore di j per i livelli oivolti ell emissioe del sodio a ira 589 m (p-s), oorre osiderare ome valori di j quelli risultati dalla somma di l ed s/, ioè j/, /, seodo le regole di somma dei mometi agolari i meaia quatistia. Il doppietto del sodio ha origie dai due valori di j permessi dall aoppiameto spi- (.4)

13 orbita, e la differeza i eergia tra i livelli p separati dalla iterazioe spi orbita si può valutare i base alla formula.4 el modo seguete: E RhZ l + α 4 j / E j / (.5) ( l ) Tale formula può essere appliata al aso del sodio a patto he esso possa essere osiderato ome u atomo idrogeoide. Questa assuzioe ostituise ua pesate approssimazioe: per pesare all atomo di sodio ome u atomo idrogeoide dovremmo osiderare l emissioe del doppietto el giallo ome se fosse da attribuire ad u elettroe p sul quale agise u poteziale effiae determiato dalla aria del uleo e dai 0 elettroi iteri (gusi o ed ). Pertato i prima approssimazioe Z -0. La desrizioe quatistia tuttavia o osidera le orbite ome oetrihe, ma assoia agli elettroi ua desità di aria distribuita ello spazio i u modo determiato dal modulo quadro della fuzioe d oda assoiata a iasu elettroe. I aloli della fuzioe d oda idiao he agli elettroi è assoiata ua desità di aria o ulla ahe i prossimità del uleo, ahe per elevati umeri quatii (ad esempio per ). Pertato l elettroe p ha ua erta probabilità di trovarsi viio al uleo, dove l attrazioe oulombiaa del uleo o è ompletamete shermata dai restati 0 elettroi. Pertato spesso si sostituise Z o u valore di aria effiae Z eff, per teer oto di tali effetti. Alla lue di queste osiderazioi, la relazioe tra la ostate di struttura fie α e la separazioe ν tra le frequeze del doppietto è: 4 ν RZ eff ( m ) l + α ( l ) Per quato riguarda la stima di Z eff, fu Ladè a proporre ua formula empiria i ui omparivao due valori della aria effiae Z o e Z i, per teer oto sia della aria effiae sulla parte estera di orbita he di quella sulla parte itera: ( m ) ν RZ o Z i l + α ( l ) dove Z o e Z i.4 per le trasizioi he dao origie al doppietto del sodio. (.6) (.7) BIBLIOGRAFIA H. Hake, H.C. Wolf, Fisia Atomia e Quatistia, Bollati Borighieri, Torio, 990 M. Bor, Fisia Atomia, Bollati Borighieri, Torio A.Degli Esposti, Elemeti di struttura dell atomo, Libraria Uiversitaria Ed., Bologa 976 James S. Walker, Fisia vol. III, Elettromagetismo, Fisia atomia e subatomia; Zaihelli 004. A.Aros, Guida all isegameto della fisia, Zaihelli Ed., Bologa 00. P. A.Tipler, Ivito alla fisia III, Zaihelli Ed., Bologa 99 H. E. White, Itrodutio to Atomi Spetra, M.Graw Hill, 985