S.Barbarino - Appunti di Fisica II. Cap. 1. Il campo elettrostatico nel vuoto: I Legge sperimentale di Coulomb e definizione di campo elettrico

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1 Barbarino - Appunti di Fisica II Cap 1 Il campo elettrostatico nel vuoto: I 11 - Legge sperimentale di Coulomb e definiione di campo elettrico Tutte le leggi dell elettrostatica possono essere dedotte dalla legge sperimentale di Coulomb con la quale iniiamo questo capitolo Questa legge stabilisce che l intensitá della fora fra due oggetti carichi varia proporionalmente al prodotto delle quantitá di cariche ed inversamente proporionale al quadrato della distana Le prime accurate misure di questa legge furono fatte nel 1785 da Charles Augustin Coulomb, utiliando la sua bilancia di torsione recentemente inventata fig11-1 La legge di Coulomb si scrive: F 21 = kq 1 q 2 ( r 1 r 2 ) r 1 r 2 3 (111) k = 1 nel sistema CG; k = 1 4πǫ 0 nel sistema I; ǫ 0 = F/m F 21 é la fora agente su una carica puntiforme q 1 in quiete posta in un punto dello spaio definito dal vettore posiione r 1, e dovuta ad un altra carica puntiforme q 2 in quiete posta in r 2 1-1

2 Barbarino - Appunti di Fisica II I vettori posiione r 1 ed r 2 sono riferiti ad una comune origine O Analogamente, dalla legge espressa dalla (111) ed in modo conforme alla tera legge della dinamica, si deduce che F 12 = kq 1 q 2 ( r 2 r 1 ) r 2 r 1 3 (112) esprime la fora agente sulla carica q 2 dovuta alla carica q 1 Dalle (111) e (112) si deduce che se le cariche sono dello stesso segno (o entrambe +, o entrambe -), la fora é repulsiva; viceversa é attrattiva e abbiamo un certo corpo carico (anche non puntiforme) e poniamo nelle sue vicinane una piccola carica q, denominata carica test (di prova), si trova sperimentalmente che la fora che si esercita sulla carica q si puó esprimere come: F = Eq (113) dove la funione vettoriale E = E( r) prende il nome di campo elettrico Il problema fondamentale dell elettrostatica é quello di determinare il campo elettrico generato da una assegnata distribuione di cariche sia isolata nello spaio che in presena di altri corpi materiali e una distribuione isolata é di estensione finita, essa prende il nome di distribuione localiata Per esempio, il campo elettrico nel punto r 2, generato dalla carica puntiforme q 1 si puó dedurre dalla legge di Coulomb dividendo la fora F 12 per la carica test q 2 sulla quale agisce la fora Risulta: E (q1 )( r 2 ) = kq 1 ( r 2 r 1 ) r 2 r 1 3 (114) e q 1 é positiva il verso del campo elettrico é uscente da q 1 Generaliando la (114) per una carica di prova q posta in una generica posiione definita dal vettore r, si puó scrivere: E (q1 )( r) = kq 1 ( r r 1 ) r r 1 3 (115) 12 - Principio di sovrapposiione lineare Da osservaioni sperimentali che le fore dovute a piú cariche si sovrappongono linearmente si deduce che: Il campo elettrico nel punto r dovuto ad un sistema di cariche puntiformi q i disposte nelle posiioni r i (i = 1,2,n) si puó scrivere come una somma vettoriale n ( r r i ) E( r) = k q i r r i 3 (121) i=1 e le cariche sono cosí piccole e cosí numerose da poter considerare il corpo sul quale esse sono depositate come un continuo si puó definire una densitá volumica di carica come: ρ( r ) = dq [ ] Coulomb d 3 r m 3 (122) 1-2

3 Barbarino - Appunti di Fisica II dove: d 3 r é il volumetto infinitesimo della distribuione di carica, dq é la carica contenuta in esso, r il vettore posiione dell elemento considerato In questo caso il campo elettrico si puó esprimere come: E( r) = k V dq ( r r ) r r 3 = k V ρ( r ) ( r r ) r r 3 d3 r (123) e il corpo in questione ha una sola dimensione dominante (per es: la lunghea nel caso di una barra) si definisce una densitá lineare di carica come: λ( r ) = dq dr [ ] coulomb m (124) ed in questo caso il campo elettrico si puó esprimere come: E( r) = k λ( r ) ( r r ) L r r 3 dr (125) Analogamente se esso ha due dimensioni dominanti (per es: un disco) si definisce una densitá superficiale di carica come: σ( r ) = dq d 2 r [ ] coulomb m 2 (126) ed in questo caso il campo elettrico si puó esprimere come: E( r) = k σ( r ) ( r r ) r r 3 d2 r (127) i é assunto (e cosí faremo in seguito) indicare con l apice il vettore posiione di un punto sede di carica (punto sorgente) e sena apice il vettore posiione di un punto dove si vuole calcolare il campo elettrico (punto campo) e le derivate al secondo membro della (122), (124) e (126) sono costanti, le relative densitá sono costanti e le distribuioni si dicono uniformemente cariche 13 - Calcolo di campi elettrici di alcune distribuioni continue di carica: Distribuione lineare ed uniforme 1-3

4 Barbarino - Appunti di Fisica II y y dl P x x yŷ x2 + y 2 O P x fig13-1 i abbia una distribuione lineare di carica infinitamente estesa i calcoli il campo elettrico in un punto generico P Per motivi di simmetria, il campo si ripete identicamente su tutti i semipiani del fascio che ha per asse la distribuione assegnata Individuiamo il semipiano che contiene P e scegliamo un sistema di assi cartesiani con l asse y coincidente con la distribuione lineare di carica e l asse x passante per P E( r) = k λ( r ) ( r r ) + r r 3 dr = k λ (x x yŷ) dy (131) (x 2 + y 2 ) 3 2 in quanto il punto sorgente P é individuato dalla terna (0,y,0) con y y, ed il punto campo P dalla terna (x,0,0) Dalla (131) segue: + x E x (P) = kλ dy (132) (x 2 + y 2 ) 3 2 Poiché: + E y (P) = kλ dt (a 2 + t 2 ) 3 2 tdt (a 2 + t 2 ) 3 2 = y dy (133) (x 2 + y 2 ) 3 2 t a 2 (a 2 + t 2 ) C (134) 1 = + C (135) (a 2 + t 2 )

5 Barbarino - Appunti di Fisica II i ha: E x = kλx [ y x 2 x 2 + y 2 ] + = 2k λ x (136) Nell equaione (136) si é tenuto conto che: lim y ± y = ±1 (137) x2 + y2 [ ] + 1 E y = kλ = 0 (138) x2 + y 2 come ci si doveva aspettare per evidenti ragioni di simmetria Quindi il campo risultante nel punto P é diretto lungo l asse x nel verso positivo se λ é positivo, nel verso negativo se λ é negativo e la distribuione lineare é limitata ad un segmento di lunghea 2L ed il punto P si trova sull asse di esso, gli estremi di integraione negli integrali (132) e (133) sono L e +L; in tal caso, risulta: E x = k λ x 2L x2 + L 2 E y = 0 (139) 14 - Distribuione piana o strato piano Consideriamo una distribuione di cariche con densitá superficiale σ costante su una superficie piana Π indefinita, e calcoliamo il campo da essa prodotto in un generico punto P posto a distana d dal piano Π Per comoditá, scegliamo un sistema di assi cartesiani con l asse normale a Π e passante per P e con gli assi x e y orientati come in figura 1-5

6 Barbarino - Appunti di Fisica II x ξ dξ r O α P y ξ fig14-1 Considerate poi due distribuioni lineari di carica di spessore dξ, poste simmetricamente a distana ξ dall asse y, si verifica subito, sulla base dei risultati dell esempio precedente, (136), e per evidenti ragioni di simmetria, che il campo da esse prodotto in P é diretto secondo l asse ( de = 2dE cos α = 2 2k σdξ ) r cos α (141) in quanto: λ = dq dy = dqdξ dydξ = σdξ i ha: r = d 2 + ξ 2, d = r cos α, cos α = d d2 + ξ 2 Ne segue: E = 4kσ 0 d d 2 + ξ 2 dξ Posto x = ξ, da cui dξ = d (dx), segue: d E = 4kσ 0 dx 1 + x 2 = 4kσ [arctanx] 0 = 4kσπ 2 (142) Nel sistema I la (142) diventa: E = σ 2ǫ 0 (143) 1-6

7 Barbarino - Appunti di Fisica II che esprime l uniformitá del campo generato dalla distribuione piana E σ 2ǫ 0 σ 2ǫ 0 fig Doppio strato piano di cariche E σ ǫ 0 d fig

8 Barbarino - Appunti di Fisica II Consideriamo una distribuione di cariche costituita da due piani Π 1 e Π 2 paralleli fra loro e separati da una distana d; siano rispettivamente +σ e σ i valori uniformi delle densitá di carica distribuite su essi Applicando il principio di sovrapposiione e utiliando i risultati relativi allo strato piano, si deduce che il campo é nullo nelle one esterne ed é confinato nella ona compresa fra i due piani, dove esso vale: E = σ ǫ 0 (151) 16 - Legge di Gauss i abbia una carica puntiforme q interna ad una superficie chiusa Calcoliamo E nda = k q cos θda (161) r2 E da θ n P q fig16-1 i definisce angolo solido infinitesimo l elemento dω = dacos θ r 2 (162) Ne segue: E nda = kqdω (163) 1-8

9 Barbarino - Appunti di Fisica II Integrando su tutta la superficie chiusa si ha: E nda = k qdω = kq dω (164) Dimostriamo che dω = 4π Consideriamo una sfera e, a partire dal centro posto sulla carica puntiforme, stacchiamo una superficie infinitesima d; si ha, in questo caso, d = rsferadω 2 in quanto l angolo solido sotteso é lo stesso Integrando: d = rsfera 2 dω cioé 4πrsfera 2 = rsfera 2 dω dω = 4π (sfera) Ne segue la legge di Gauss: E nda = 4πkq (165) e invece di una singola carica q abbiamo un insieme discreto di cariche otteniamo: E nda = 4πk q i (166) i Analogamente per un insieme continuo di cariche di densitá ρ( r ) si ha: E nda = 4πk V ρ( r )d 3 r (167) dove V é il volume racchiuso da Il primo membro prende il nome di flusso del vettore E attraverso la superficie chiusa 17 - Espressioni differeniali delle leggi del campo elettrico Definiamo l operatore, in coordinate cartesiane, l espressione: = x x + ŷ y + ẑ (171) iano Φ ed A due funioni: scalare e vettoriale rispettivamente Definiamo: Φ = x Φ x + ŷ Φ y + ẑ Φ (Gradiente della funione scalare Φ) (172) 1-9

10 Barbarino - Appunti di Fisica II A = A x x + A y y + A ( A A = x y A y ( Divergena della funione vettoriale A ) ) ( Ax + ŷ A ) ( Ay + ẑ x x A ) x y L ultima espressione prende il nome di rotore della funione vettoriale A Ancora si ha: (173) (174) 2 Φ = 2 Φ x Φ y Φ 2 (Laplaciano della funione scalare Φ) (175) A nda = C V A d l = Ad 3 r (Teorema della divergena) (176) A nda (Teorema di tokes) (177) 18 - Legge di Gauss in forma differeniale Consideriamo la legge di Gauss in forma integrale data dalla (167): E nda = 4πk V ρ( r )d 3 r Applicando al primo membro il teorema della divergena, si ha: Data l arbitrarietá di V segue: V ( E 4πkρ ) d 3 r = 0 (181) E = 4πkρ (Legge di Gauss in forma differeniale) (182) 19 - Funione poteniale e irrotaionalitá del campo elettrostatico Troviamo, adesso, un altra legge importante per il campo elettrostatico ia E( r) = k ρ( r ) ( r r ) r r 3 d3 r (191) Tenendo presente che V ( r r ( ) ) r r 3 = 1 r r 1-10 (192)

11 si ha: Barbarino - Appunti di Fisica II E( r) = k V ρ( r ) r r d3 r (193) Nella (193) si é portato fuori dall integrale l operatore perché esso opera su coordinate non apicate mentre la variabile di integraione é la coordinata r La funione scalare ρ( r ) Φ( r) = k r r d3 r (194) prende il nome di poteniale scalare elettrostatico La (193) si puó, quindi, scrivere: V E( r) = Φ (195) che esprime la possibilitá di poter derivare il campo elettrico da una funione scalare Φ( r) Applicando alla (195) vettorialmente a sinistra l operatore si ha: E = Φ = 0 (196) in quanto si puó dimostrare che Φ = 0 L equaione (196) esprime l irrotaionalitá del campo elettrostatico Dalla definiione di Φ( r) e dalla (195) si deduce che essa é definita a meno di una costante arbitraria; infatti: E( r) = (Φ + C) = Φ (197) Le due leggi: E = 4πkρ (198) E = 0 (199) costituiscono le equaioni fondamentali dell elettrostatica Esse si possono raggruppare in un unica equaione differeniale di secondo ordine; infatti, sostituendo nella (198) la (195) che é equivalente alla (199), si ha: 2 Φ = 4πkρ Equaione di Poisson (1910) e ρ = 0 2 Φ = 0 Equaione di Laplace (1911) Le equaioni differeniali (1910) e (1911) rappresentano uno strumento utilissimo per il calcolo del campo generato da una distribuione di cariche in presena di altri mei materiali 1-11

12 Barbarino - Appunti di Fisica II ignificato fisico di Φ( r) Il poteniale scalare acquista un significato fisico quando si considera il lavoro compiuto nel trasportare una carica di prova da un punto A ad un punto B in presena di un campo elettrico E( r) La fora che in ogni posiione agisce sulla carica é: ed il lavoro fatto trasportandola da A a B é: B W = A F = q E B F d r = q A E d r (1101) Il segno meno deriva dal fatto che stiamo calcolando il lavoro fatto sulla carica, contro le aioni del campo é: B B W = q Φ d r = q dφ = q (Φ B Φ A ) (1102) A A Nella (1102) abbiamo tenuto conto che il differeniale di una funione a piú variabili dφ = Φ x Φ Φ dx + dy + y d = Φ d r (1103) Quindi il termine qφ puó essere interpretato come l energia poteniale della carica di prova nel campo elettrostatico Ne segue, anche, che l integrale di linea del campo elettrico fra due punti é indipendente dal cammino percorso ed é eguale alla differena di poteniale fra il punto di arrivo ed il punto di partena, cambiata di segno: B A E d l = (Φ B Φ A ) (1104) e il percorso di integraione é chiuso l integrale di linea é ero 1-12

13 Barbarino - Appunti di Fisica II Esempi di calcolo di poteniale elettrostatico: Poteniale di una carica puntiforme Cominciamo con l osservare che il poteniale di una carica puntiforme q, posta nel punto r, valutato nel punto r, in virtú delle formule (115), (192) e (193), é: q Φ puntiforme = k r r (1111) La costante C che figura nella (197) viene assunta nulla in modo che il poteniale (1111) si annulli all infinito Tale formula esprime anche il poteniale generato da una distribuione infinitesima di cariche ed é quindi utilissima per il calcolo integrale del poteniale generato da una distribuione finita e la carica sorgente é posta nell origine delle coordinate, nella (1111) si pone r = 0 e si scriverá: Φ puntiforme = k q (1112) r Poteniale di un anello circolare nei punti dell asse a dq = λdl R = 2 + a 2 P γ fig112-1 i abbia una distribuione di cariche sorgenti con densitá lineare uniforme λ su una circonferena γ di raggio a 1-13

14 Barbarino - Appunti di Fisica II Poteniale lungo l asse di un anello carico a = 1 Φ() Φ max fig112-2 Calcoliamo il poteniale prodotto sui punti dell asse di γ: dφ = k λdl R Φ = γ k λdl R = k λ R 2πa = k λ2πa (1121) a2 + 2 La funione presenta un massimo in corrispondena di = 0 che vale: Φ max = kλ2π In figura (1122) é graficata la funione poteniale normaliata cioé Φ()/Φ max i verifichi che la curva ha un flesso per = ± a 2 Il campo elettrico é: E = Φ E = Φ = 2kπaλ (a ) 3 2 (1122) Per << a E (<<a) 2kπλ a 2 ; Per >> a E (>>a) 2kπaλ 2 (1123) Il massimo del campo elettrico corrisponde ai punti di flesso del poteniale 1-14

15 Barbarino - Appunti di Fisica II 10 Campo elettrico lungo l asse di un anello carico a = 1 05 E() 00 E max fig112-3 Un risultato importante che possiamo dedurre dall esempio discusso é che, come si puó osservare dalla (1121) e dalla (1123), il poteniale ed il campo elettrico di una distribuione localiata di cariche elettriche si annullano all infinito con legge 1 r e 1 2 rispettivamente Tale risultato sará rigorosamente dimostrato in seguito Lo stesso r non si puó affermare nel caso di distribuioni infinitamente estese di cariche 1-15

16 Barbarino - Appunti di Fisica II Calcolo diretto del campo elettrostatico dovuto ad un anello circolare carico, nei punti dell asse d E 1 = d E 2 = de R a O P + + γ 2 θ d E 2 d E 1 fig113-1 Consideriamo sull anello due elementi infinitesimi diametralmente opposti; per evidenti ragioni di simmetria il campo elettrico risultante é diretto lungo l asse : Ma = R cos θ e R = a per cui: cos θ = Quindi: de = 2dE cos θ = 2k λdl cos θ (1131) R2 2λ de = k dl (a ) 3 2 a λ E = k (a ) 3 2 π 0 2πλa adα = k (a ) 3 2 (1132) Poteniale di un disco circolare uniformemente carico in un punto situato sull asse di simmetria perpendicolare al disco nel suo centro ia un disco di raggio R situato sul piano xy con il centro nell origine delle coordinate 1-16

17 Barbarino - Appunti di Fisica II Consideriamo una corona circolare di raggi r e r + dr Detta σ la densitá superficiale di carica che supponiamo uniforme, il poteniale Φ in un generico punto P sull asse é dato da: Φ = 1 σ d (1141) 4πǫ 0 l essendo Σ la superficie totale del disco, d la superficie infinitesima staccata sulla corona circolare e l la distana del punto P dall elemento d Σ R r O l D P dr fig114-1 Poiché come si vede dalla figura: d = rdαdr, si ha: Φ(P) = σ 4πǫ 0 R 2π 0 0 rdαdr r2 + D = σ R 2 2ǫ 0 0 Per P situato sull asse positivo, si ha: Φ(P) = σ [ ] R2 + D 2ǫ 2 D 0 rdr r2 + D = σ [ R2 + D 2 2ǫ 2 ] D 2 0 (1142) per D 0 (1143) in quanto si é presa la radice positiva + D 2 per fare in modo che Φ 0 quando R 0 (cioé in assena del disco) Per P situato sull asse negativo si ha: Φ(P) = σ [ ] R2 + D 2ǫ 2 + D per D 0 (1144)

18 Barbarino - Appunti di Fisica II La formula generale é: Φ(P) = σ [ ] R2 + D 2ǫ 2 D 0 (1145) La figura mostra l andamento di Φ (normaliato a 1) in funione della distana Poteniale di un disco circolare carico lungo l asse di simmetria 10 R = 1 08 Φ() Φ max fig Poteniale di un guscio sferico carico Consideriamo una superficie sferica Σ di raggio R 0 sulla quale sia distribuita una carica con densitá uniforme σ uddividendo la superficie in nastri circolari infinitesimi di carica dq e di asse, é possibile calcolare il poteniale in un punto generico P dφ = k dq R = kσd R (1151) Per inciso: d R 2 0 d = 2πaR 0 dθ a = R 0 sin θ d = 2πR 2 0 sinθdθ = dω = 2π sin θdθ Per il teorema di Carnot: R = (R R 0 cos θ)

19 Barbarino - Appunti di Fisica II σ2πr0 2 sinθdθ dφ = k (R R 0 cos θ) 1 2 (1152) x y Σ O R 0 a R P(0,0,) θ fig115-1 Integrando sull intera superficie sferica con θ che varia da 0 a π, si ha: Ne segue: = k2πσr 0 π σ2πr0 2 sin θdθ Φ(0,0,) = k 0 (R0 2 + = 2 2R 0 cos θ) 1 2 [ 1 = kσ2πr0 2 ( R 2 R R 0 cos θ ) ] π 1 2 = 0 [ (R R 0 ) 1 2 ( R R 0 ) ] 1 2 = = k2πσr 0 [ R 0 + R 0 ] (1153) k2πσr 0 [(R 0 + ) (R 0 )] per R 0 Φ(0,0,) = (1154) k2πσr 0 [(R 0 + ) ( R 0 )] per R 0 4πkσR 0 Φ(0,0,) = 4πkσR0 2 per R 0 (punti interni) per R 0 (punti esterni) (1155) 1-19

20 Barbarino - Appunti di Fisica II In funione di Q = 4πR0σ 2 si ha: k Q R Φ(0,0,) = 0 k Q per R 0 (punti interni) per R 0 (punti esterni) (1156) Il campo E é: E = Φ; per < R 0 E = 0, per > R 0 E = k Q 2 ẑ (1157) Dalla (1157) si evince che il campo competente ad una distribuione sferica di cariche si comporta, nei punti esterni, come se fosse generato da una carica puntiforme Fine del Cap1 1-20