Il teorema nella storia - Dimostrazioni Il teorema di Pitagora nel trattato Chou Pei Suan Chjing

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1 Il teorema nella storia - Dimostrazioni Il teorema di Pitagora nel trattato Chou Pei Suan Chjing - Il titolo del trattato corrisponde a Il libro classico dello gnomone e delle orbite circolari del cielo. - In Cina il Teorema di Pitagora prende il nome di Kon Ku. Si trova in questo trattato del III a.c. Come si può notare i triangoli 1,2,3 e 4 sono equivalenti; spostando questi triangoli come in figura, otteniamo lo stesso quadrato contenitore che dimostra come l area al di fuori dei triangoli corrisponde alla somma delle aree dei quadrati Q1 e Q2. - Poiché il quadrato Q1 + Q2 è costruito sull ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come lati i lati dei due quadrati Q1 e Q2, il teorema è dimostrato. Il teorema di Pitagora visto da Euclide - Euclide visse ad Alessandria intorno al 300 a.c. Scrisse gli Elementi di geometria (conoscenze geometriche della sua epoca esposte con rigore e con le deduzioni delle proprietà (teoremi) a partire dalle definizioni, postulati e assiomi). Queste sono le basi della geometria insegnate ancora oggi. E l opera più diffusa dopo la Bibbia. Il Teorema di Pitagora, si trova nel libro I, ma appare anche nel libro VI (in associazioni alle proposizioni) e X (dove si parla di radici page 1 / 10

2 quadrate). - La dimostrazione del teorema è la seguente: trasforma ogni quadrato costruito sui cateti in un parallelogrammo avente la stessa area. In pratica l enunciato di Euclide è: In un triangolo rettangolo, il quadrato di un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa Il teorema di Pitagora in un mosaico arabo - Si tratta di una dimostrazione del 900 a.c. trovata in un mosaico arabo (attribuita ad Annairizi di Arabia). Il mosaico è formato dai quadrati de cateti e, quello sovrapposto, dai quadrati dell ipotenusa. Di fianco la dimostrazione estrapolata dal mosaico. page 2 / 10

3 Il teorema di Pitagora visto da Henry Perigal - Henry Perigal è un matematico dilettante dell 800. La spiegazione del teorema viene fornita sottoforma di rompicapo page 3 / 10

4 La dimostrazione di un presidente degli USA - Il presidente degli USA James Abram Garfield ( ) trovò e pubblico la seguente dimostrazione originale - Sull ipotenusa del triangolo rettangolo ABC viene costruito il triangolo page 4 / 10

5 rettangolo isoscele CBE. Si prolunga la retta AC fino ad incontrare in D la perpendicolare tracciata da E. Per costruzione (due triangoli rettangoli con la stesa ipotenusa sono uguali) Il triangolo ABC è uguale al triangolo DCE, perciò: AB = DC e AC = DE. - Sia l'altezza che la somma delle basi sono x + y, quindi l area del trapezio ABDE è uguale all area dei 3 triangoli (di cui due uguali): La dimostrazione di Leonardo da Vinci - Dopo aver costruito i quadrati sui lati del triangolo rettangolo ABC, Leonardo aggiunse la riga EF, creando il triangolo rettangolo ECF e in basso disegnò una copia di questo triangolo, A B C. Tracciò poi i segmenti DD e CC e, per costruzione, quest ultimo risultò perpendicolare al primo. - Si può notare come l esagono BDEFD A sia simmetricamente diviso in due parti che possono essere sovrapposte perfettamente (invertendo una parte) sull esagono BA C B AC. - Eliminando l area dei triangoli BCA e CE F dal primo esagono e BCA e A B C dal secondo, le aree rimanenti risultano uguali, quindi l area dei due quadrati sui cateti è uguale all are del quadrato sull ipotenusa. page 5 / 10

6 Altre dimostrazioni e rompicapo - Il matematico cinese Liu Hui (III secolo a.c.) scrisse un libro importante I nove capitoli sull arte matematica, in cui parla del Pi Greco e dove è presente una dimostrazione del Teorema di Pitagora sottoforma di rompicapo. - In questo rompicapo il quadrato sul cateto più piccolo viene diviso in due metà, mentre quello sul cateto maggiore in cinque parti, traslando il triangolo originale ai due vertici opposti del quadrato. Mediante queste sette parti si può ricomporre il quadrato sull ipotenusa page 6 / 10

7 - Johannes Eduard Böttcher ( ) fisico tedesco che si dedicò anche a lavori di ricerca di matematica pura. Nel 1886 pubblicò in una rivista specialistica l articolo Modello semplice per la dimostrazione del Teorema di Pitagora, in cui propose una dimostrazione per mezzo di un puzzle. - Il puzzle consiste nel dividere i quadrati sui cateti in quattro triangoli uguali a due a due con i quali costruire il quadrato sull ipotenusa. page 7 / 10

8 - Il matematico autodidatta inglese Henry Ernest Dudeney ( ) pubblicò un enorme quantità di rompicapi (giochi canonici per gli amanti delle sfide matematiche), tra cui emergono anche quelli basati sul Teorema di Pitagora page 8 / 10

9 - Un altra dimostrazione è quella del divulgatore scientifico Scott Loomis ( ). Tracciando la parallela all ipotenusa dal vertice dell angolo retto del triangolo rettangolo, si produce una divisione del quadrato minore in due parti, e una divisione del quadrato maggiore in tre, tracciando la perpendicolare a questa nel punto in cui incontra il lato. - Le cinque parti così ottenute compongono il quadrato sull ipotenusa. Pitagora e il V postulato di Euclide - Il V postulato dice Attraverso un punto si può tracciare solo una retta parallela ad una retta data. - Le dimostrazioni sul Teorema di Pitagora riflettono alcune proprietà che si riferiscono, direttamente o indirettamente al V postulato (parallelogrammi aventi stessa base e altezza hanno sempre la stessa area, triangoli simili hanno lati proporzionali, gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, ecc.). - Ammessi gli altri quattro postulati, da queste considerazioni si può affermare che il Teorema di Pitagora è equivalente al V postulato. page 9 / 10

10 Un problema pitagorico - Lewis Carroll ( ) autore di Alice nel paese delle meraviglie, era un sacerdote anglicano che si dedicò anche alla matematica. - Nel 1850 ideo e pubblico il seguente problema: in una piazza 21x21, con 4 punti A, B, C e D, disposti come in figura, da quale punto la somma della distanza dagli altri tre e minima? - La risposta è da A. Come dimostrano i calcoli sottostanti - Da A: ,04=46,04 - Da B: ,21=54,21 - Da C: 15, =58,81 - Da D: 12,04+21,21+15,81=49,06 page 10 / 10

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