TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO"

Transcript

1 Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo perturbazioni dipendenti dal tempo. Consideriamo in particolare perturbazioni che inducono transizioni quantiche, cioè transizioni tra livelli del sistema imperturbato indotte da potenziali che agiscono per un certo tempo. Sia un sistema caratterizzato dalla Hamiltoniana H = H + V(t) (14.1) di cui si conosce lo spettro relativo ad H. L effetto del potenziale dipendente dal tempo V(t) normalmente si può trattare solo in modo perturbativo, ma ciò richiede che la sua intensità sia piccola Rappresentazione d interazione Nel caso della Hamiltoniana dell Eq.(13.1) possiamo introdurre due operatori di evoluzione: U (t, t ) = e ih (t t )/ il cui generatore è H e U(t, t ) generato da H. E possibile definire un terzo operatore di evoluzione U I U(t, t ) = U (t, t )U I (t, t ) (14.2) che sta alla base della cosiddetta rapprentazione d interazione. Vedremo subito che il generatore di questo operatore di evoluzione è il potenziale perturbante stesso. Dalle equazione del moto per U ed U,Eq. (5.19), possiamo determinare le equazioni del moto per U I i d dt U(t, t ) = i d dt [U (t, t )U I (t, t )] (14.3) Ne consegue e quindi HU = H U U I + U i d dt U I (14.4) [H + V(t)]U U I = H U U I + U i d dt U I (14.5) 76

2 CAPIOLO 14. EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO 77 Infine si ha i d dt U I(t, t ) = V I (t)u I (t, t ) (14.6) V I (t) = U 1 V(t)U (14.7) L equazione del moto nella rappresentazione d interazione è quindi regolata dal potenziale perturbante, ma quest ultimo ha incorporato gli effetti dinamici dovuti alla Hamiltoniana imperturbata. Queste equazioni sono alla base dei metodi perturbativi dipendenti dal tempo. L integrando l equazione del moto e sviluppando in serie si ottiene U I (t, t ) = I i t dt V I (t ) + ( i ) ransizioni quantiche t dt V I (t ) t dt V I (t ) + (14.8) Affrontiamo ora un problema che si presenta di frequente in MQ, cioè quello di una interazione che agisce sul sistema per un periodo di tempo limitato. Abbiamo in mente per esempio il caso di un atomo sottoposto per un tempo ad un campo elettromagnetico (e.m.). Il campo e.m. interagendo con gli elettroni dell atomo, ne provoca la transizione da un livello ad un altro dello spettro di H. Vogliamo studiare qui le condizioni perchè queste transizioni si realizzano (regole di selezione) e le probabilità di transizione. Per fissare le idee consideriamo un atomo di idrogeno che a t= si trova nello stato fondamentale e viene irradiato per un tempo da un campo e.m. monocromatico di frequenza angolare ω. In seguito all interazione, l atomo si trova in uno stato eccitato di energia E k. La perturbazione non porta sempre l atomo nello stesso stato k, nel senso che ripetendo l irradiazione tante volte, l atomo si troverà certe volte in uno stato certe volte in un altro. Potremo quindi descrivere, sulla base del principio di sovrapposizione, lo stato ψ t > come una sovrapposione degli autostati di H. Si tratta quindi di determinare la probabilità P k di transizione dallo stato fondamentale allo stato k. Quest ultima è data dalla ampiezza di probabilità che il sistema, che all istante t = si trovava nello stato ψ > all istante t > si trovi in ψ k > P k = < ψ k ψ t > 2 = < ψ k U(t, ) ψ > 2 (14.9) Possiamo scambiare U con U I. Questi differiscono infatti per l operatore di evoluzione imperturbato e quest ultimo, preso tra autostati imperturbati, si trasforma in un fattore di fase che scompare per effetto del modulo quadro. Quindi al primo ordine nella interazione V I abbiamo P k = 2 = 2 dt < ψ k V I (t ) ψ > 2 (14.1) dt < ψ k V(t ) ψ > e i (E k E )t 2 (14.11) Nel caso in considerazione V è il potenziale dovuto al campo e.m. di una data frequenza angolare ω, che possiamo scrivere V(t) = Vcosωt,dove V contiene la parte spaziale. L integrale sul tempo si può effettuare e otteniamo P k = 2 < ψ k V ψ > 2 ei(ω ω k) 1 i(ω ω k ) e i(ω+ωk) 1 2 (14.12) i(ω + ω k ) La struttura risonante di questa espressione per ω ± ω k contempla due diverse situazioni. L atomo di idrogeno si trova a t= nello stato fondamentale, allora ω k > il primo termine risuona (Fig.(5.1),parte

3 CAPIOLO 14. EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO 78 E k E k E assorbimento E emissione stimolata Figura 14.1: ransizioni quantiche sinistra)ed il secondo si può trascurare. In questo caso P k rappresenta la probabilità di eccitazione k P k = 2 < ψ k V ψ > 2 4 sin(ω ω k)/2 2. (14.13) (ω ω k ) Oppure l atomo di idrogeno si trova a t= nello stato eccitato k, allora ω k < il secondo termine risuona (Fig.(5.1),parte destra) ed il primo si può trascurare. In questo caso P k rappresenta la probabilità di diseccitazione k P k = 2 < ψ k V ψ > 2 4 sin(ω + ω k)/2 2 (14.14) (ω + ω k ) E sufficiente descrivere il primo caso. Normalmente il tempo di esposizione è microscopicamente grande e si può assumere. In tal caso la parte temporale di P k tende alla delta di Dirac δ(ω ω k ), ossia la transizione è possibile solo se l energia del fotone del campo e.m. è tale che ω = E k E (14.15) Questa condizione fu per la prima volta congetturata da Niels Bohr per l interpretazione delle righe spettrali in connessione con l ipotesi della struttura atomica. Il limite per è esso stesso una realizzazione della funzione delta di Dirac (vedi Fig.2 e Sez.4) sin 2 αxt lim t x 2 = πα 1 δ(x) (14.16) t da cui l eq.(14.13) diventa P k = 2π < ψ k V ψ > 2 δ( ω E k ) (14.17) La probabilità cresce linearmente col tempo, perchè il numero di transizioni è proporzionale alla durata dell irradiazione. Più significativa è la probabilità per unità di tempo, P k / che non dipende dal tempo Approssimazione di dipolo In questo paragrafo calcoliamo la parte spaziale della probabilità di transizione, da cui scaturisce un altra importante regola di selezione. Consideriamo più da vicino la Hamiltoniana del singolo elettrone atomico in presenza del campo e.m. avente potenziale vettore A. Reinserendo il potenziale dovuto nucleo V nella Hamiltoniana, Eq.(11.24), si ha al primo ordine in A H = 1 2m ( p e c A) 2 + V p2 2m + V e mc p A = H e mc p A (14.18) Nel caso in cui il campo di radiazione è costituito da onde monocromatiche piane,campo elettrico E,campo magnetico B e vettore d onda k formano una terna destrorsa, con E lungo l asse z,b lungo l asse x e k

4 CAPIOLO 14. EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO 79 lungo l asse y. Considereremo solo transizioni di dipolo elettrico, quindi possiamo ignorare il campo magnetico. Il campo elettrico è allora E = A t = ẑr[ A ωe i(k yy ωt) ] (14.19) Vogliamo stimare la lunghezza d onda del campo di radiazione. Partiamo dal fatto che l energia trasportata dai fotoni del campo e.m. dev essere dell ordine di grandezza dell energia coinvolta nelle transizioni elettroniche, che è E el e 2 /r per l atomo di idrogeno. Allora si ha λ = 2πc ω = 2πc E el = 2πc e 2 /r (14.2) da cui r λ = e2 2πc π 1 (14.21) Ciò comporta che il campo elettrico è praticamente costante su scala atomica, almeno per atomi non troppo grandi poichè r r /Z ( Z=numero atomico). Allora nello sviluppo in serie di e ikyy, chiamato sviluppo in multipoli, possiamo arrestarci all ordine più basso (approssimazione di dipolo). Il potenziale del campo e.m. diventa ee mcω p z In questa approssimazione possiamo calcolare l elemento di matrice di transizione: < ψ k V ψ >= ee mcω < ψ k p z ψ > (14.22) L elemento di matrice di p z si calcola come segue < ψ k p z ψ >= i 2m < ψ k [H, z] ψ >= i 2m (E k E ) < ψ k z ψ > (14.23) L operatore z in coordinate polari è rcosθ = 4π/3rY 1, quindi < ψ k p z ψ >= 4π/3 r 2 drψ k (r)rψ (r) dω Y l k m k Y 1 Y δ lk,1δ mk, (14.24) roviamo qui una nuova regola di selezione: la transizione si ha solo se il momento angolare l k = 1 e la proiezione m k =. Se consideriamo, invece di ψ, un altro stato ψ k, la regola di selezione diventa l k l k = 1 (14.25) Anche la regola di selezione sulla proiezione del momento angolare si deve generalizzare. Se consideriamo il campo elettrico polarizzato lungo l asse x o y, allora l operatore di transizione è una combinazione di Y 11 e Y 1 1. In tal caso si ha m k m k = 1 (14.26) Il calcolo dell elemento di matrice di transizione si può effettuare applicando il teorema di Wigner-Eckart (vedi Cap.15): < ψ k Y 1m ψ k > < l k m k Y 1m l k m k > = < l km k, 1m l k m k > 2l k + 1 < ψ k Y ψ k > (14.27) e le regole di selezione derivano dalle proprietà del coefficiente di Clebsch-Gordan. Concludendo, abbiamo mostrato al primo ordine della teoria perturbativa dipendente dal tempo, che una transizione quantica tra livelli elettronici è soggetta a regole di selezione, che ci consentono di distinguere le transizioni permesse da quelle proibite: l energia dei fotoni del campo e.m. dev essere uguale alla differenza di energia tra i due livelli; la differenza di momento angolare tra i due livelli dev essere di una unità di ; la differenza tra le proiezioni dei momenti angolari dev essere 1,,-1 secondo lo stato di polarizzazione del campo elettrico.

5 CAPIOLO 14. EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO F (ω ω k ) 2 F (ω ω k ) = ( ) 2 sen[ω ω k ] 2 (ω ω k ) F (ω ωk) 8 4 8π - 6π 4π 2π 2π 4π 6π 8π ω ω k Figura 14.2: Probabilità di transizione quantica 14.4 Indeterminazione energia-tempo Consideriamo per semplicità un potenziale costante che agisce nell intervallo. Questo caso si ricava dalla Eq.(12.11) con ω = P k = 2 < ψ k V ψ > 2 4 sin(ω k)/2 2 (14.28) (ω k ) La funzione al secondo membro ha oscillazioni smorzate (vedi figura) con infiniti minimi corrispondenti a sin(ω k )/2 =. rascurando i sempre più piccoli contributi dopo il primo minimo, possiamo concludere che la probabilità si estende fino a ω k /2 π (14.29) cioé (E k E ) 2π (14.3) Se immaginiamo l azione di V per un tempo come un modo per misurare l energia E k dello stato eccitato fondamentale, allora più grande è piú piccolo è l intervallo di incertezza nella determinazione dell energia e viceversa. E una sorta di principio di indeterminazione tra energia e tempo. Ricordiamo tuttavia che il tempo in MQ non è un operatore. Prima di concludere discutiamo brevemente la curva di Fig.2. Per tendente all infinito tutte le oscillazioni si smorzano e F tende a zero ovunque tranne nell origine dove tende all infinito, essendo proporzionale a. Ha quindi le proprietà della Delta di Dirac.

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

I modelli atomici da Dalton a Bohr

I modelli atomici da Dalton a Bohr 1 Espansione 2.1 I modelli atomici da Dalton a Bohr Modello atomico di Dalton: l atomo è una particella indivisibile. Modello atomico di Dalton Nel 1808 John Dalton (Eaglesfield, 1766 Manchester, 1844)

Dettagli

XI. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO

XI. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO XI. PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO Per conoscere un sistema fisico l informazione fondamentale è la sua risposta a una sollecitazione esterna che si sappia controllare. Dall esame di questa risposta

Dettagli

(2) t B = 0 (3) E t In presenza di materia, le stesse equazioni possono essere scritte E = B

(2) t B = 0 (3) E t In presenza di materia, le stesse equazioni possono essere scritte E = B Equazioni di Maxwell nei mezzi e indice di rifrazione I campi elettrici e magnetici (nel vuoto) sono descritti dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) E ϱ ɛ 0 () E B (2) B 0 (3) E B µ 0 j + µ 0 ɛ 0

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

Descrizione matematica della propagazione Consideriamo una funzione ξ = f(x) rappresenatata in figura.

Descrizione matematica della propagazione Consideriamo una funzione ξ = f(x) rappresenatata in figura. ONDE Quando suoniamo un campanello oppure accendiamo la radio, il suono è sentito in punti distanti. Il suono si trasmette attraverso l aria. Se siamo sulla spiaggia e una barca veloce passa ad una distanza

Dettagli

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli

LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.6 ENERGIE DI IONIZZAZIONE E DISTRIBUZIONE DEGLI ELETTRONI 4.C OBIETTIVI

LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.6 ENERGIE DI IONIZZAZIONE E DISTRIBUZIONE DEGLI ELETTRONI 4.C OBIETTIVI LA STRUTTURA DELL ATOMO 4.A PRE-REQUISITI 4.B PRE-TEST 4.C OBIETTIVI 4.1 UNO SGUARDO ALLA STORIA 4.2 L ATOMO DI BOHR (1913) 4.5.2 PRINCIPIO DELLA MASSIMA MOLTEPLICITA (REGOLA DI HUND) 4.5.3 ESERCIZI SVOLTI

Dettagli

2m (con L = 0, 1, 2,...)

2m (con L = 0, 1, 2,...) Capitolo 2 Proprietà elettromagnetiche dei nuclei Spin e momento magnetico del nucleo: generalità Se una carica e si muove di moto circolare uniforme, per esempio un elettrone attorno ad un nucleo, esiste

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015

Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015 Istituto Superiore Vincenzo Cardarelli Istituto Tecnico per Geometri Liceo Artistico A.S. 2014 2015 Piano di lavoro annuale Materia : Fisica Classi Quinte Blocchi tematici Competenze Traguardi formativi

Dettagli

Le misure di energia elettrica

Le misure di energia elettrica Le misure di energia elettrica Ing. Marco Laracca Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell Informazione Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Misure di energia elettrica La misura

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA ANALISI EDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA arco BOZZA * * Ingegnere Strutturale, già Direttore della Federazione regionale degli Ordini degli Ingegneri del Veneto (FOIV), Amministratore di ADEPRON DINAICA

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca Trascrizione del testo e redazione delle soluzioni di Paolo Cavallo. La prova Il candidato svolga una relazione

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Lo schema a blocchi di uno spettrofotometro

Lo schema a blocchi di uno spettrofotometro Prof.ssa Grazia Maria La Torre è il seguente: Lo schema a blocchi di uno spettrofotometro SORGENTE SISTEMA DISPERSIVO CELLA PORTACAMPIONI RIVELATORE REGISTRATORE LA SORGENTE delle radiazioni elettromagnetiche

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA

FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA FONDAMENTI DI MECCANICA QUANTISTICA Appunti raccolti nel Dipartimento di Fisica dell Università La Sapienza di Roma a cura di Stefano Patrì. Indirizzo e-mail dell autore: seriegeo@yahoo.it 5 ottobre 008

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa?

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen 25/03/1935 Abstract In una teoria completa c è un elemento corrispondente ad ogni elemento

Dettagli

Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici

Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici Capitolo 7: Simmetrie e Numeri Quantici Corso di Fisica Nucleare e Subnucleare I Professor Carlo Dionisi A.A. 2004-2005 1 Simmetrie Invarianza Leggi di Conservazione 1) Principi di Invarianza e leggi di

Dettagli

Dinamica e Misura delle Vibrazioni

Dinamica e Misura delle Vibrazioni Dinamica e Misura delle Vibrazioni Prof. Giovanni Moschioni Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali giovanni.moschioni@polimi.it VibrazionI 2 Il termine

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Laboratorio di Elettrotecnica

Laboratorio di Elettrotecnica 1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni 2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO

Dettagli

LEZIONE 5 Interazione Particelle Cariche-Materia

LEZIONE 5 Interazione Particelle Cariche-Materia LEZIONE 5 Interazione Particelle Cariche-Materia Particelle alfa Le particelle alfa interagiscono intensamente con la materia attraverso collisioni/interazioni che producono lungo la traccia una elevata

Dettagli

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno

Fisica quantistica. Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli. Christian Ferrari. Liceo di Locarno Fisica quantistica Introduzione alla polarizzazione e altri sistemi a due livelli Christian Ferrari Liceo di Locarno Sommario La polarizzazione della luce e del fotone Altri sistemi a due livelli L evoluzione

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Macchine rotanti. Premessa

Macchine rotanti. Premessa Macchine rotanti Premessa Sincrono, asincrono, a corrente continua, brushless sono parecchi i tipi di motori elettrici. Per ognuno teoria e formule diverse. Eppure la loro matrice fisica è comune. Unificare

Dettagli

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE a cura di G. SIMONELLI Nel motore a corrente continua si distinguono un sistema di eccitazione o sistema induttore che è fisicamente

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo

I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo I principi della meccanica quantistica nella scuola secondaria Un contributo Paolo Cavallo 10 marzo 2004 Sommario Si riassume una strategia per la presentazione dei principi della meccanica quantistica

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Esposizioni in condizioni complesse. Gian Marco Contessa grazie a Rosaria Falsaperla gianmarco.contessa@ispesl.it

Esposizioni in condizioni complesse. Gian Marco Contessa grazie a Rosaria Falsaperla gianmarco.contessa@ispesl.it Esposizioni in condizioni complesse Gian Marco Contessa grazie a Rosaria Falsaperla gianmarco.contessa@ispesl.it Valutazione dell esposizione a CEM La valutazione pratica dell esposizione ai campi elettrici

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Campioni atomici al cesio

Campioni atomici al cesio Campioni atomici al cesio Introduzione Gli orologi con oscillatore a cristallo di quarzo, che si sono via via rivelati più affidabili e precisi degli orologi a pendolo, hanno iniziato a sostituire questi

Dettagli

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014)

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) Le grandezze fisiche. Metodo sperimentale di Galilei. Concetto di grandezza fisica e della sua misura. Il Sistema internazionale di Unità

Dettagli

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica Correnti e circuiti a corrente continua La corrente elettrica Corrente elettrica: carica che fluisce attraverso la sezione di un conduttore in una unità di tempo Q t Q lim t 0 t ntensità di corrente media

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo una lampadina inserita in un circuito elettrico costituito da fili metallici ed un interruttore.

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO. a.s. 2012/2013

PROGRAMMA SVOLTO. a.s. 2012/2013 Liceo Scientifico Statale LEONARDO DA VINCI Via Cavour, 6 Casalecchio di Reno (BO) - Tel. 051/591868 051/574124 - Fax 051/6130834 C. F. 92022940370 E-mail: LSLVINCI@IPERBOLE.BOLOGNA.IT PROGRAMMA SVOLTO

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

tanhαl + i tan(ωl/v) 1 + i tanh αl tan(ωl/v). (10.1)

tanhαl + i tan(ωl/v) 1 + i tanh αl tan(ωl/v). (10.1) 10 - La voce umana Lo strumento a fiato senz altro più importante è la voce, ma è anche il più difficile da trattare in modo esauriente in queste brevi note, a causa della sua complessità. Vediamo innanzitutto

Dettagli

bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non cambiano mai segno

bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non cambiano mai segno Parametri dei segnali periodici I segnali, periodici e non periodici, si suddividono in: bipolari, quando essi, al variare del tempo, assumono valori sia positivi che negativi unipolari, quando essi non

Dettagli

Sistemi e modelli matematici

Sistemi e modelli matematici 0.0.. Sistemi e modelli matematici L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituire l intervento umano, o a migliorarne l efficienza, nell esercizio di dispositivi e impianti. Un importante

Dettagli

Na (T 1/2 =15 h), che a sua volta decade β - in 24 12

Na (T 1/2 =15 h), che a sua volta decade β - in 24 12 Esercizio 1 Il 24 10 Ne (T 1/2 =3.38 min) decade β - in 24 11 Na (T 1/2 =15 h), che a sua volta decade β - in 24 12 Mg. Dire quali livelli sono raggiungibili dal decadimento beta e indicare lo schema di

Dettagli

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Circuiti Elettrici Corrente elettrica Legge di Ohm Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Leggi di Kirchhoff Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA. CLASSE: V A Corso Ordinario

ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA. CLASSE: V A Corso Ordinario ANNO SCOLASTICO 2014/2015 I.I.S. ITCG L. EINAUDI SEZ.ASSOCIATA LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO PROGRAMMA DI FISICA CLASSE: V A Corso Ordinario DOCENTE: STEFANO GARIAZZO ( Paola Frau dal 6/02/2015) La corrente

Dettagli

LAVORO, ENERGIA E POTENZA

LAVORO, ENERGIA E POTENZA LAVORO, ENERGIA E POTENZA Nel linguaggio comune, la parola lavoro è applicata a qualsiasi forma di attività, fisica o mentale, che sia in grado di produrre un risultato. In fisica la parola lavoro ha un

Dettagli

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo).

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo). 1 Modelli matematici Un modello è un insieme di equazioni e altre relazioni matematiche che rappresentano fenomeni fisici, spiegando ipotesi basate sull osservazione della realtà. In generale un modello

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Elettronica Circuiti nel dominio del tempo

Elettronica Circuiti nel dominio del tempo Elettronica Circuiti nel dominio del tempo Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Elettronica Circuiti nel dominio del tempo 14 aprile 211

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario I.T.I.S. "Antonio Meucci" di Roma Elementi di analisi delle reti elettriche a cura del Prof. Mauro Perotti Anno Scolastico 2009-2010 Sommario 1. Note sulla simbologia...4 2. Il generatore (e l utilizzatore)

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

CAPITOLO 1. Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente

CAPITOLO 1. Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente CAPITOLO Motore a corrente continua ad eccitazione indipendente. - Struttura e principio di funzionamento Una rappresentazione schematica della struttura di un motore a corrente continua a due poli è mostrata

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Gli orbitali: modello atomico probabilistico

Gli orbitali: modello atomico probabilistico 1 Approfondimento 2.1 Gli orbitali: modello atomico probabilistico Modello atomico planetario (o a gusci): gli elettroni ruotano intorno al nucleo percorrendo orbite prefissate. Il modello atomico planetario

Dettagli

Fisica delle Particelle: esperimenti. Fabio Bossi (LNF-INFN) fabio.bossi@lnf.infn.it

Fisica delle Particelle: esperimenti. Fabio Bossi (LNF-INFN) fabio.bossi@lnf.infn.it Fisica delle Particelle: esperimenti Fabio Bossi (LNF-INFN) fabio.bossi@lnf.infn.it Il processo scientifico di conoscenza Esperimento Osservazione quantitativa di fenomeni riguardanti alcune particelle

Dettagli

1 Introduzione alla dinamica dei telai

1 Introduzione alla dinamica dei telai 1 Introduzione alla dinamica dei telai 1.1 Rigidezza di un telaio elementare Il telaio della figura 1.1 ha un piano solo e i telai che hanno un piano solo, sono chiamati, in questo testo, telai elementari.

Dettagli

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso 441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;

Dettagli

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 INDICE CORRENTE ELETTRICA...3 INTENSITÀ DI CORRENTE...4 Carica elettrica...4 LE CORRENTI CONTINUE O STAZIONARIE...5 CARICA ELETTRICA ELEMENTARE...6

Dettagli

PROTEZIONE DAI CAMPI ELETTROMAGNETICI NON IONIZZANTI (3a Edizione)

PROTEZIONE DAI CAMPI ELETTROMAGNETICI NON IONIZZANTI (3a Edizione) Consiglio Nazionale delle Ricerche ISTITUTO DI RICERCA SULLE ONDE ELETTROMAGNETICHE "NELLO CARRARA" FIRENZE PROTEZIONE DAI CAMPI ELETTROMAGNETICI NON IONIZZANTI (3a Edizione) D. Andreuccetti M. Bini A.

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

EFFETTI FISIOPATOLOGICI DELLA CORRENTE ELETTRICA SUL CORPO UMANO

EFFETTI FISIOPATOLOGICI DELLA CORRENTE ELETTRICA SUL CORPO UMANO EFFETTI FISIOPATOLOGICI DELLA CORRENTE ELETTRICA SUL CORPO UMANO Appunti a cura dell Ing. Emanuela Pazzola Tutore del corso di Elettrotecnica per meccanici, chimici e biomedici A.A. 2005/2006 Facoltà d

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

IX. LO SPIN. 1 Yu. Aharonov e D. Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory [Significato

IX. LO SPIN. 1 Yu. Aharonov e D. Bohm: Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory [Significato IX. LO PIN Lo studio quantistico di una particella carica sottoposta all azione di un campo magnetico pone interessanti problemi da un punto di vista sia concettuale, sia formale. L equazione di chrödinger

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

MODELLIZZAZIONE, CONTROLLO E MISURA DI UN MOTORE A CORRENTE CONTINUA

MODELLIZZAZIONE, CONTROLLO E MISURA DI UN MOTORE A CORRENTE CONTINUA MODELLIZZAZIONE, CONTROLLO E MISURA DI UN MOTORE A CORRENTE CONTINUA ANDREA USAI Dipartimento di Informatica e Sistemistica Antonio Ruberti Andrea Usai (D.I.S. Antonio Ruberti ) Laboratorio di Automatica

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Seconda Legge DINAMICA: F = ma

Seconda Legge DINAMICA: F = ma Seconda Legge DINAMICA: F = ma (Le grandezze vettoriali sono indicate in grassetto e anche in arancione) Fisica con Elementi di Matematica 1 Unità di misura: Massa m si misura in kg, Accelerazione a si

Dettagli

IL FENOMENO DELLA RISONANZA

IL FENOMENO DELLA RISONANZA IL FENOMENO DELLA RISONANZA Premessa Pur non essendo possibile effettuare una trattazione rigorosa alle scuole superiori ritengo possa essere didatticamente utile far scoprire agli studenti il fenomeno

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli