1. Circuito RLC serie Studiamo la configurazione mostrata in figura 1.1. Figura 1.1.

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Angelina Marino
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CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI Sommario. In queste pagine studiamo alcune configurazioni elementari di resistori, condensatori e bobine.

1 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI Sommario. In queste pagine studiamo alcune configurazioni elementari di resistori, condensatori e bobine. Vedremo come si possono dedurre le equazioni differenziali che regolano l andamento delle correnti nel tempo partendo dall equazione di bilancio e dal concetto di potenziale elettrico. 1. Circuito RLC serie Studiamo la configurazione mostrata in figura 1.1. Figura Tensioni. Ai capi del resistore si applica la legge di Ohm, 1.1) φ A φ B = RI diremo che la corrente I, scorrendo sulla resistenza R, determina una «caduta ohmica» tra i terminali A e B, nel senso che B ha potenziale piû basso del potenziale di A) mentre ai capi del condensatore si applica la relazione fondamentale tra potenziale, carica e capacità: 1.2) φ C φ D = 1 C q La presenza della bobina è caratterizzata da una relazione molto semplice tra potenziale, derivata della corrente rispetto al tempo e capacità ed induttanza della bobina: 1.3) φ B φ C = L di discutiamo tra poco il segno in questa equazione). Il generatore di tensione, infine, determina una differenza di potenziale costante tra i suoi terminali: 1.4) φ D φ A = f 1

2 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2 Sommiamo membro a membro le equazioni 1.1, 1.2, 1.3 e 1.4: RI + 1 C q + LdI f = 0 Questa equazione può anzitutto essere riscritta così: 1.5) f L di = RI + 1 C q La 1.5 può essere letta così: quando, sotto l azione del generatore di tensione f, la corrente del circuito aumenta di/ > 0), si stabilisce nel circuito una tensione di segno opposto a quella del generatore LdI/ < 0) che diminuisce la tensione da f a f LdI/ ai capi degli altri due elementi, il resistore ed il condensatore. La bobina, pertanto, ha dal punto di vista teorico un ruolo diverso dagli altri elementi circuitali. Scritta così l equazione del circuito è utile per capire il segno della tensione indotta dalla bobina al variare della corrente elettrica; se vogliamo però scrivere e risolvere l equazione del circuito è meglio riorganizzare i termini così: 1.6) RI + 1 C q + LdI = f D ora in avanti, pertanto, tratteremo la bobina come un qualunque altro elemento del circuito, ritenendo che ai suoi capi si instauri la tensione Ldi/ Bilancio. La corrente I entra nella prima armatura del condensatore, sulla quale si accumula una carica q 1 regolata dall equazione di bilancio dq 1 = +I e allo stesso modo la carica accumulata sul secondo condensatore è regolata dall equazione di bilancio dq 2 = I Se assumiamo che il condensatore sia complessivamente neutro ad esempio perché lo era all istante iniziale) vediamo che q 2 = q 1 = q e per sostituzione vediamo che entrambe le equazioni si riducono a 1.7) dq = I La 1.7 è l equazione di bilancio della carica nel condensatore.

3 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI ODE. Sostituiamo l equazione 1.7 nell equazione 1.6: 1.8) L d2 q 2 + R dq + 1 C q = f L equazione 1.8 è formalmente analoga a quella che regola un oscillatore forzato con smorzamento laminare: m d2 x 2 + αdx + kx = F L corrisponde a m, R ad α, 1/C a k e f a F ). Cercheremo pertanto la soluzione esattamente nello stesso modo. Antitutto cerchiamo una soluzione «a regime» ponendo d 2 q/ 2 = 0 e dq/ = 0: otteniamo la «carica di regime» accumulata sulle lastre del condensatore 1.9) q = fc Introduciamo una nuova funzione con la definizione 1.10) y t) def = q t) q Sostituiamo la definizione 1.10 nell equazione 1.8; semplificando i termini otteniamo l equazione 1.11) L d2 y 2 + R dy + 1 C y = 0 Per risolvere la 1.11 poniamo come al solito y = y 0 e iωt così che otteniamo l equazione polinomiale Lω 2 + irω + 1 C = 0 che può anche essere riscritta così: 1.12) LCω 2 ircω 1 = 0 Questa equazione viene risolta e discussa come di consueto. 2. Circuito RC parallelo Ogni generatore di tensione reale può essere schematizzato con un generatore di tensione ideale il simbolo f della tensione tra i poli «+» e ) ed una resistenza in serie, che indicheremo con la lettera r. Un circuito RC parallelo reale, pertanto, ha l aspetto mostrato in figura 2.1.

4 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 4 Figura Tensioni. Ai capi della resistenza interna del generatore la caduta ohmica è 2.1) φ A φ B = ri mentre la caduta ohmica ai capi della resistenza R è 2.2) φ B φ C = RI 1 Il condensatore invece è regolato dalla relazione 2.3) φ B φ C = q 2 C Ricordiamo infine che la tensione ai capi del generatore è 2.4) φ C φ A = f Combinando le equazioni 2.4 e 2.1 otteniamo immediatamente 2.5) φ B φ C = f ri Questa è la tensione ai capi del resistore e del condensatore in parallelo Bilancio. L equazione di bilancio può essere applicata sia al nodo B sia al nodo C e può essere espressa in questa forma: 2.6) I 1 + I 2 = I Essa ci dice che non vi è accumulo di carica nei due nodi; il bilancio del condensatore è già stato trattato nella sezione precedente ODE. Combinando l equazione 2.2 con la 2.5 otteniamo 2.7) I 1 = f ri R mentre combinando l equazione 2.3 con la 2.5 otteniamo q 2 = C f ri) Deriviamo questa equazione ed otteniamo 2.8) I 2 = rc di

5 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 5 Ora utilizziamo contemporaneamente le equazioni 2.7, 2.8 e 2.6 ed otteniamo l equazione differenziale del circuito: f ri R + rc di ) = I che può essere semplificata e riscritta così: 2.9) rc di r ) I = f R R Una volta risolta questa equazione ad esempio come visto nel caso della caduta in aria) determiniamo le correnti nei due rami usando le equazioni 2.7 e Circuito RL parallelo La discussione di questo esempio è molto simile a quella del caso precedente. Anche nel circuito della figura 3.1 prendiamo in considerazione una resistenza interna del generatore. Figura Tensioni. Come abbiamo visto nel circuito RC parallelo la tensione ai capi dei terminale della bobina e del resistore è 3.1) φ B φ C = f ri Se prendiamo in considerazione il resistore, inoltre 3.2) φ B φ C = RI 1 mentre ai capi della bobina 3.3) φ B φ C = L di 2 Combinando queste tre equazioni otterremo la ODE del circuito Bilancio. Il bilancio è espresso ad entrambi i nodi, B o C) dalla relazione I = I 1 + I 2 ma in questo caso dovremo far ricorso alla relazione analoga tra le derivate delle correnti: di 3.4) = di 1 + di 2

CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI 6 3.3. ODE. Procedendo come nel circuito RC parallelo otteniamo I 1 = f ri R e, derivando questa equazione, di 1 3.

6 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI ODE. Procedendo come nel circuito RC parallelo otteniamo I 1 = f ri R e, derivando questa equazione, di 1 3.5) = r di R Vediamo inoltre immediatamente che di 2 3.6) = f ri L e pertanto f ri + r ) di = di L R Riorganizzando i termini otteniamo l equazione differenziale del circuito: 3.7) 1 + r ) di L + r L I = f L Notiamo che in entrambi i circuiti, RC parallelo e RL parallelo, l equazione differenziale che regola la corrente in uscita dal generatore è del primo ordine. 4. Circuito RLC parallelo Siamo ora pronti per studiare il circuito RLC parallelo reale alimentato da un generatore di tensione costante figura 4.1). Figura Tensioni. Le considerazioni precedenti ci mostrano immediatamente che 4.1) φ B φ C = f ri 4.2) φ B φ C = RI 1 4.3) φ B φ C = q 2 C 4.4) φ B φ C = L di 3 Vediamo che sono coinvolte la carica elettrica, la sua derivata prima e la sua derivata seconda: ci dobbiamo pertanto aspettare un equazione differenziale di second ordine.

7 CIRCUITI RLC ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI Bilancio. Il bilancio ai nodi dovrà espresso dalla relazione di = di 1 + di 2 + di 3 come visto nel circuito RL parallelo ODE. Dalle relazioni che esprimono le tensioni otteniamo derivando una volta) derivando due volte) di 1 = r di R di 2 = rc d2 I 2 di 3 = f ri L direttamente, senza derivare). Dall equazione di bilancio otteniamo rc d2 I ) + f ri r di R + 2 = di L e riorganizzando i termini otteniamo l equazione differenziale del circuito: 4.5) rc d2 I r R ) di + r L I = f L 5. Esercizi di approfondimento 1) Stabilisci tutte le relazioni tra le unità di misura delle grandezze coinvolte: [R] = Ω, [φ] = V, [q] = C, [I] = A, [C] = F e [L] = He. Tieni presente che le dimensioni di una capacità tipica variano dal µf al mf, ed allo stesso modo le dimensioni di una induttanza tipica variano dal µhe al mhe. 2) Determina e rappresenta in grafico la soluzione dei circuiti RL parallelo ed RC parallelo e costruisci anche le soluzioni per le correnti nei due rami parallili. 3) Determina e discuti le soluzioni dei circuiti RLC serie ed RLC parallelo, individuando per ciascuno dei due circuiti il caso critico. 4) Studia i seguenti circuiti ad una maglia privi di generatore di tensione: a) RC ed RL; b) RLC serie; c) RLCparallelo.

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