Lezioni di Informarica. Prof. Giovanni Occhipinti

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1 Lezioni di Informarica Prof. Giovanni Occhipinti 23 settembre 2010

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3 Indice 1 La codifica delle Informazioni Il sistema binario Conversione da binario a decimale Conversione da decimale a binario Il sistema esadecimale Conversione da esadecimale a decimale Conversione da decimale a esadecimale Conversione da binario ad esadecimale Conversione da esadecimale a binario Codifica di interi positivi Codifica di interi relativi Tecnica del complemento a

4 4 INDICE

5 Capitolo 1 La codifica delle Informazioni Per la loro natura i computers sono in grado di memorizzare ed elaborare solo informazioni in formato binario, cioè codificate come una sequenza di zeri e uni. La memoria RAM, per esempio, è composta da milioni di condensatori. Senza entrare nei dettagli possiamo dire che un condensatore è un serbatoio di carica elettrica che può essere carico o scarico. Tutto ciò che risiede nella memoria RAM (numeri, testo, suoni, immagini), viene memorizzato combinando opportunamente sequenze di condensatori carichi e scarichi. Per un sistema a due stati come il condensatore è naturale rappresentare lo stato carico del condensatore con il simbolo 1 e lo stato scarico con il simbolo 0. Il primo problema è dunque di capire come i diversi tipi di informazione (numeri, testo, suoni, immagini) debbano essere opportunamente codificate in sequenze di zeri e di uni. Iniziamo a tale scopo lo studio del sistema numerico binario. 1.1 Il sistema binario Per capire il sistema binario è utile portare avanti delle analogie con il sistema decimale. Il sistema decimale utilizza dieci cifre sistema decimale = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e per questo motivo è detto in base dieci. Il sistema binario invece utilizza solamente due cifre sistema binario = {0, 1} ed è detto in base 2. In seguito per evitare equivoci indicheremo sempre la base di un numero. Per i numeri decimali scriveremo = numero decimale. Si legge cento 5

6 6 CAPITOLO 1. LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI per i numeri binari = numero binario.si legge uno zero zero Il sistema decimale è un sistema numerico posizionale. Il valore di un numero dipende non solo dalle cifre, ma anche dalla posizione delle cifre. A scuola elementare ci hanno insegnato per esempio che dato il numero decimale esso è composto da un centinaio, una decina e una unità. La stessa cifra 1, a seconda della posizione, rappresenta dunque centinaia, decine ed unità. Scriviamo questa scomposizione in una forma a noi più utile = Anche il sistema binario è un sistema numerico posizionale. 1 La differenza con il sistema decimale sta nel fatto che la scomposizione deve essere fatta non in base 10, ma in base 2. Possiamo dunque scrivere: = = = Conversione da binario a decimale La scomposizione in potenze di 2 dà un metodo per convertire un numero dal sistema binario a quello decimale. Negli esercizi pratici conviene indicare l esponente della base sopra ogni cifra e poi sviluppare in somma di potenze. Convertiamo per esempio in decimale il numero binario Dapprima indichiamo sopra ogni cifra l esponente (conviene partire da zero procedendo da destra verso sinistra).poi sviluppiamo in somma di potenza di due = A titolo di esempio si riportano alcuni esercizi svolti Esercizio n.1 Esercizio n = = = = Esercizio n = = Un esempio di sistema numerico non posizionale è il sistema romano. Numeri romani = {I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X,...}

7 1.1. IL SISTEMA BINARIO Conversione da decimale a binario In pratica la conversione di un numero decimale in binario si effettua continuando a dividire (divisione intera tra interi) il numero decimale per 2 sino ad ottenere come quoziente zero e prendendo i resti in ordine inverso. Convertiamo, ad esempio, in binario il numero decimale 12. Si ha: 12:2=6 resto 0 6:2=3 resto 0 3:2=1 resto 1 1:2=0 resto 1 A questo punto prendendo i resti in sequenza inversa a quelli ottenuti possiamo scrivere: = A titolo di esempio riportiamo alcuni esercizi svolti. Esercizio n.1 Convertire in binario il numero decimale Si ha: 100:2=50 resto 0 50:2=25 resto 0 25:2=12 resto 1 12:2=6 resto 0 6:2=3 resto 0 3:2=1 resto 1 1:2=0 resto 1 In definitiva dunque: = Esercizio n.2 Convertire in binario il numero decimale Si ha: 15:2=7 resto 1 7:2=3 resto 1 3:2=1 resto 1 1:2=0 resto 1 In definitiva dunque: = Esercizio n.3 Convertire in binario il numero decimale Si ha: 256:2=128 resto 0 128:2=64 resto 0 64:2=32 resto 0 32:2=16 resto 0 16:2=8 resto 0 8:2=4 resto 0 4:2=2 resto 0 2:2=1 resto 0 1:2=0 resto 1 In definitiva dunque: =

8 8 CAPITOLO 1. LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI 1.2 Il sistema esadecimale Scrivere in binario numeri grandi richiede un elevato numero di cifre. esempio, per scrivere un milione è necessario, in binario utilizzare 20 cifre. Ad = ] Per motivi tipografici, spesso nei libri di informatica, specialmente per specificare indirizzi di memoria, viene utilizzato il sistema esadecimale. Inoltre la lettura di lunghe sequenze di zeri ed uni non è sempre agevole e può indurre in errore. Il sistema esadecimale ha il vantaggio di rendere compatta la scrittura di numeri grandi e consente, come vedremo, una immediata conversione in binario. Per scrivere ad esempio un milione con il sistema esadecimale bastano solamente cinque cifre = = F Il sistema esadecimale utilizza sedici cifre: le cifre da 0 a 9 più le lettere maiuscole da A ad F sistema esadecimale = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } dove la lettera A vale 10, B 11, C 12, D 13, E 14, F Conversione da esadecimale a decimale La conversione da esadimale a decimale si effettua in maniera analoga alla conversione da binario a decimale, tenendo però presente che la base del sistema numerico è 16. Esempi = A01 16 A = = F 0 16 F = = CE C 1 E = = Conversione da decimale a esadecimale Per convertire un numero da decimale a esadecimale si procede in maniera naloga alla conversione da decimale a binario ricordando però di dividere per 16 e non per 2. Esercizi svolti Convertire in esadecimale i seguenti numeri decimali: Svolgimento :16=6 resto 4 6:16=0 resto 6 dunque = 64 16

9 1.2. IL SISTEMA ESADECIMALE :16=15 resto 15 15:16=0 resto 15 dunque ricordando che F=15 si ha = F F :16=190 resto :16=11 resto 14 11:16=0 resto 11 e in definitiva = BEC Conversione da binario ad esadecimale Per convertire un numero binario in esadecimale basta raggruppare le cifre binarie a quattro a quattro partendo da destra e poi sostituire ad ogni raggrupamento la corrispondente cifra esadecimale. 2 Per svolgere gli esercizi è utile la seguente tabella decimale binario esadecimale A B C D E F Esercizio 1 Convertire in esadecimale il seguente numero binario Partedo da destra, raggruppiamo a quattro a quattro le cifre binarie. Si ha: Si noti che si è aggiunto uno zero a sinistra per completare la quaterna. sostituiamo a ogni quaterna il corrispondente valore esadecimale. Si ottiene: Adesso 6 1 F Risulta in definitiva: F Il motivo risiede nel fatto che il sistema binario ha base 2 e il sistema esadecimale ha base 16 e risulta 2 4 = 16

10 10 CAPITOLO 1. LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI Esercizio 2 Convertire in esadecimale il seguente numero binario Partedo da destra, raggruppiamo a quattro a quattro le cifre binarie. Si ha: Si noti che sono stati aggiunti tre zeri a sinistra per completare la quaterna. Adesso sostituiamo a ogni quaterna il corrispondente valore esadecimale. Si ottiene: Risulta in definitiva: 6 F E F 85489E Conversione da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si effettua in maniera inversa alla conversione da binario ad esadecimale sostiuendo ad ogni cifra esadecimale le quattro cifre binarie corrispondenti. Esempi 1. A00 16 = 2. F F F F 16 = A F F F F = = A0E4DB 16 = 1 A 0 E 4 D B = Codifica di interi positivi Iniziamo a vedere come i numeri interi positivi vengono salvati in memoria. Nel seguito faremo riferimento a computers a 16 bit. In questi computers gli interi vengono memorizzati utilizzando appunto 16 bit Con 16 bit il più piccolo numero che possiamo scrivere è mentre il più grande è = = Vediamo, per esempio come viene memorizzato il numero Ricordiamo che 2 10 = 10 2 e sfruttando tutti e sedici i bit = Poiché ogni cella di memoria può contenere 8 bits saranno occupate due celle contigue

11 1.4. CODIFICA DI INTERI RELATIVI Codifica di interi relativi Per memorizzare i numeri relativi (interi positivi e negativi) oltre al modulo del numero dobbiamo memorizzare anche il segno che può essere + oppure. Una soluzione intuitiva, ma come vedremo sconveniente, è quella di destinare il primo bit al segno: { 0 se il numero è positivo Primo bit= 1 se il numero è negativo In questo modo la codifica di un numero negativo avverrebbe semplicemente convertendo in binario il valore assoluto del numero e ponendo il primo bit uguale a 1. Questa codifica presenta il seguente problema: supponiamo di voler sommare in binario i numeri 2 10 e Adottando questo tipo di codifica su 16 bits avremmo: e Se effettuiamo la somma risulta: = = = cioè = 4 che è assurdo. In quale modo deve essere allora codificato il valore 2 affinché risulti = 0? Si verifica facilmente che la codifica corretta di 2 deve essere la seguente: Risulta infatti: 2 = = Si osservi che avendo a disposizione 16 bits, l ultimo 1 di riporto non può essere memorizzato e dunque la somma fà zero Tecnica del complemento a 2 Il modo corretto di codificare i numeri negativi si chiama tecnica del complemento a 2. Il procedimento pratico è semplice e lo illustriamo attraverso un esempio Supponiamo di volere codificare il numero 2. I passi da seguire sono i seguenti: 1. Si converte, sfruttando 16 bits, il valore assoluto del numero in binario = (1.1) 2. Si invertono tutti i bits, cioè ogni 0 diventa 1 e viceversa 3. Si aggiunge (1.2) =

12 12 CAPITOLO 1. LA CODIFICA DELLE INFORMAZIONI Il numero binario ottenuto è la codifica di 2 con la tecnica del complemento a due. Riportiamo, per maggior chiarezza un altro esempio. Codifichiamo con la tecnica del complemento a due il numero Si converte, sfruttando 16 bits, il valore assoluto del numero in binario = (1.3) 2. Si invertono tutti i bits, cioè ogni 0 diventa 1 e viceversa 3. Si aggiunge 1 In definitiva dunque (1.4) = Si invitano gli alunni a ricavare la seguente tabella: Si evince che avendo a disposizione 16 bits possiamo contare da a Codifica di numeri reali

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