a b c Triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo : un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto al cateto.

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1 Tringolo rettngolo In un tringolo rettngolo : un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto l teto. = sen = sen un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo diente l teto. = os = os un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l tngente dell ngolo opposto l teto. = tg = tg Tringolo qulsisi In un tringolo qulsisi vlgono i seguenti tre teoremi : Teorem dei Seni = = = R sen sen sen ( R = rggio dell ironferenz irosritt l tringolo ) Teorem di rnot = + os = + os = + os = + os = + os = + os os = os = os = Teorem delle proiezioni = os + os = os + os = os + os ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo 1

2 Tringolo rettngolo I due tringoli OP e sono simili, inftti: - l ngolo è in omune i due tringoli, - l ngolo ĤP = Â = 90 Pertnto i lti orrispondenti dei due tringoli sono proporzionli: 1. : = P : e ioè os : teto = 1: ipotenus teto = ipotenus os y P. P : = P : e ioè sen : teto = 1: ipotenus teto = ipotenus sen x 3. : = P : e ioè os : teto = sen : teto sen teto = teto os teto = teto tg m os = sen, sen = os e 1 tg = otg = perhé ngoli omplementri, quindi: tg l relzione (1) l relzione () l relzione (3) d ui si h: teto = ipotenus os divent teto = ipotenus sen teto = ipotenus sen divent teto = ipotenus os teto = teto tg divent teto = teto tg 1 teto = teto tg onludendo si è ottenuto: teto = ipotenus sen teto = ipotenus os teto = teto tg teto = ipotenus sen teto = ipotenus os teto = teto tg Un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto l teto. he equivle srivere Un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo diente l teto. Un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l tngente dell ngolo opposto l teto. ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo

3 Teorem dell ord L lunghezz di un ord di un ironferenz è ugule l prodotto del dimetro per il seno di uno qulunque degli ngoli ll ironferenz he insistono su uno dei due rhi determinti dll ord stess. Dimostrzione I so - l ord oinide on il dimetro ( = r ) gli rhi sottesi dll ord sono due semiironferenze, gli ngoli ll ironferenz he insistono su tli rhi sono retti e quindi: sen = 1. Periò risult: = r sen = r 1 = r II so - l ord non oinide on il dimetro ( r ) Si M il dimetro. Il tringolo M è rettngolo in. K Pertnto, per i teoremi sul tringolo rettngolo, risult: = r sen M ( I ) Si un punto qulsisi dell'ro ontenente M. Siome inidono sullo stesso ro, risult he: M =. M Pertnto sostituendo tle uguglinz nell ( I ) si h: = r sen ( II ) Si K un punto qulsisi dell ro non ontenente M. Riordndo he un qudriltero insritto in un ironferenz h ngoli opposti supplementri, si h: K = 180. Di onseguenz si h: sen K = sen 180 = sen. Sostituendo tle uguglinz nell ( II ) si ottiene: = r sen K. K ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo 3

4 Teorem delle proiezioni (dimostrzione) I so è un tringolo utngolo Nel tringolo rettngolo si h : = os Nel tringolo rettngolo si h : = os Pertnto il lto = = + = os + os In definitiv = os + os nlogmente le ltre due formule : = os + os = os + os II so è un tringolo ottusngolo Nel tringolo rettngolo si h : = os Nel tringolo rettngolo si h : = os(180 ) = ( os) = os Pertnto = = = = os ( os ) = os + os In definitiv = os + os Per le ltre due formule si proede nlogmente i si preedenti Teorem di rnot (dimostrzione) Dlle formule del Teorem delle Proiezioni : = os + os Moltiplihimo per = os + os = os + os Moltiplihimo per = os os = os + os Moltiplihimo per = os os Sommndo memro memro si ottiene: ioè : = os + os os os os os ; = os e in definitiv Si proede in modo nlogo per le ltre due formule : = + os = + os e = + os ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo 4

5 Teorem dei Seni (dimostrzione) sen = sen = sen = R ( R = rggio dell ironferenz irosritt l tringolo ) Dimostrzione 1 1. Si ostruise l ironferenz irosritt l tringolo. Si trov il punto medio del lto e si tri un perpendiolre l lto (sse del lto ); si trov il punto medio del lto e si tri un perpendiolre l lto (sse del lto ); il punto di inontro dei due ssi O, è il iroentro, entro dell ironferenz irosritt l tringolo ;. Si ostruise l ironferenz irosritt l tringolo. entro del ompsso nel punto O ed pertur del ompsso fino d un vertie del tringolo si tri l ironferenz; 3. Si tri il dimetro D dell ironferenz. Il tringolo D è rettngolo in, perhé insritto in un semiironferenz; pertnto D = sen Dˆ m l ngolo Dˆ = perhé sottendono lo stesso ro; mentre D =R; In definitiv si h he: R = sen D ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo 5

6 4. Si tri il dimetro E dell ironferenz. Il tringolo E è rettngolo in, perhé insritto in un semiironferenz; pertnto E = sen Ê m l ngolo Ê = perhé sottendono lo stesso ro; mentre E =R; In definitiv si h he: R = sen E 5. Si tri il dimetro F dell ironferenz. Il tringolo F è rettngolo in, perhé insritto in un semiironferenz; pertnto F = sen Fˆ m l ngolo Fˆ = perhé sottendono lo stesso ro; mentre F =R; In definitiv si h he: R = sen F 6. Riunendo le tre relzioni trovte si ottiene: = = = R sen sen sen Dimostrzione Si ostruise l ironferenz irosritt l tringolo. Per il teorem dell ord si h: = r sen = r sen = r sen Dlle quli si ottiene: = r sen = r sen sen = r Riunendo in un uni relzione le tre uguglinze si h: = = = r sen sen sen ppunti di Mtemti xoomer.virgilio.it/mimmoorrdo 6

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