Definizione della lossodromia Figura 6.1

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1 MRIO UTGGIO CPITOO NIGZIONE OSSODROMI E ORTODROMIC.0 a navgazon utlzza dffrnt trmn pr dscrvr dvrs mtod matmatc pr dfnr la drzon la dstanza tra du dffrnt punt sulla suprfc dlla trra. S possono dfnr l sgunt trattor: navgazon pr paralllo; navgazon pana; navgazon lossodroma; navgazon ortodromca; navgazon msta. Tra qust mtod du d ss racchudono anch gl altr: la navgazon lossodroma la navgazon ortodromca.. Dfnzon dlla lossodroma a lossodroma è qulla curva sull suprfc d rotazon (sfra, llssod, clndro) ch tagla mrdan sotto angolo costant; l nav /o gl ar ch govrnano con la bussola magntca /o groscopca ch mantngono la rotta costant prcorrono una curva sulla suprfc trrstr la cu carattrstca prncpal è qulla d ntrscar mrdan sotto angolo costant; n partcolar, quando s navga su una trra consdrata sfrca la curva prcorsa da un mobl con rotta costant s chama lossodroma sfrca (rumb ln). Fgura. Rapprsntazon dlla lossodroma sulla sfra dlla spral logartmca sul pano 5

2 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC a lossodroma sfrca è dunqu qulla curva ch sulla sfra forma angol costant con tutt mrdan; la lossodroma sfrca ha sulla sfra la stssa proprtà ch ha la spral logartmca sul pano (curva pana ch tagla sotto angol costant l nfnt rtt uscnt da un punto chamato polo) (v. fgura.). In partcolar l quator, paralll d mrdano sono cas partcolar d lossodrom; l quator d paralll sono curv ch ntrscano mrdan sotto l angolo d 90 o 70 mntr mrdan sono lossodrom ch formano con mrdan angol d Navgazon pr paralllo llontanamnto o appartamnto S dfnsc appartamnto ( µ ) la dstanza tra du punt ch s trovano sullo stsso paralllo; la lossodroma n qusto caso è prcorsa con R v 90 oppur con R v 70. Quando la nav vagga lungo l quator tra mrdan passant pr (punto d partnza, λ ) B (punto d arrvo, λ ) l appartamnto è dato da: µ λ λ λ (.) l appartamnto µ rapprsnta la dstanza tra B; s punt B Fgura. Rlazon fra acro d quator arco d paralllo s trovano sul paralllo d lattudn, la dffrnza d longtudn è smpr la stssa λ λ λ mntr la dstanza, rapprsntata dall appartamnto µ, è fornta dalla sgunt rlazon ch lga l arco d paralllo con l corrspondnt arco d quator: µ m λ cos (.)

3 MRIO UTGGIO Qusta rlazon s ottn drttamnt dalla fgura.b dalla qual s rcava ch l raggo r dl paralllo è dato dal prodotto dl raggo R dll quator pr l cosno dlla lattudn : r Rcos cos (.) con R nl caso d sfra d raggo untaro. a (.) fornsc la sgunt proprtà: l arco d paralllo dpnd dalla sua lattudn; così a partà d λ pù alta è la lattudn pù pccolo è l corrspondnt arco d paralllo com rportato nlla sgunt tablla.: Tablla. arabltà dll arco d paralllo n funzon dlla at. ( ) Punto d partnza Punto d arrvo R v m µ at. ( ) ong.( λ ) at. ( ) ong.( λ ) grad mgla 0 N 5 E 0 N 0 E N 5 E 0 N 0 E N 5 E 0 N 0 E N 5 E 75 N 0 E N 5 E 0 N 5 E N 5 E 0 N 5 E N 5 E 0 N 5 E N 5 E 75 N 5 E Navgazon pana Quando una nav prcorr una lossodroma ch forma un angolo con l mrdano non concd al caso d navgazon pr paralllo, allora s, λ d può pnsar ch la dstanza la rotta tra l punto d partnza ( ) l punto d arrvo B ( ),λ può ssr calcolato dal trangolo rttangolo nfntsmo pano, cu catt sono rapprsntat dalla dffrnza d lattudn dall appartamnto µ Fgura. ossodroma sulla sfra trrstr trangolo pano 7

4 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC µ µ mr, mcosr, tan R (.) Dall (.) s possono rcavar du rlazon pr l calcolo dlla dstanza dll angolo dlla lossodroma quando sono not l coordnat d λ,λ : ( ), B ( ) µ m, m (.) R cos R a sclta dll formul (.) pr l calcolo dlla dstanza dpnd dalla varabltà dlla funzon trgonomtrca a dnomnator. Il trangolo pano può ssr consdrato com somma d tant pccol trangol nfntsm d arch d paralllo. Sommat tra loro, costtuscono l appartamnto; ss possono ssr consdrat tutt ugual dato ch l angolo dlla l arco lossodromco è costant; n prma approssmazon, ss possono ssr consdrat pan; da qu l gustfcazon pr cu sono possbl utlzzar l formul (.) (.). Fgura. Scomposzon dlla lossodroma trangolo somtrco nfntsmo Consdramo uno d tant trangol nfntsm passant pr du punt gnrc appartnnt alla lossodroma l sano I J du punt molto prossm fra loro. Il mrdano d I d l paralllo J s ncontrano nl punto K costtuscono appunto l gnrco trangolo nfntsmo (v. fgura.) mstlno cu lat sono dat dall sgunt rlazon: IK rdv, IJ dm, KJ rdλ (.5)

5 MRIO UTGGIO con r raggo dl paralllo, v la lattudn somtrca o crscnt l angolo IJ R ; consdrando pano l trangolo d fgura. s ottn la sgunt quazon dffrnzal dl prmo ordn: Kˆ concdnt con l angolo lossodromco o rotta vra ( ) ch ntgrata fornsc: λ λ dλ tan R dv (.) dλ λ λ tan R dv v v 9 ( v v) tan R ch normalmnt vn scrtta nl sgunt modo: λ ( C c ) tan R (.7) λ (.) la (.) rapprsnta l quazon dlla lossodroma passant pr punt (, λ) B( ),λ appartnnt alla trra llssodca o sfrca. a lattudn crscnt pr l llssod è la sgunt: 000 C log tan 5 (.9) π pr la trra sfrca (0): 000 logtan 5 C (.0) π 000 con l ccntrctà dll llssod trrstr rlazon (.9) (.0) sono sprss pr mzzo dl logartmo dcmal; n π qusto caso l du rlazon assumono la sgunt forma: C C 795.7log0 tan log0tan 5 la cu trasformazon da logartmo nprano a dcmal è data da: 000 log x log0 x pr cu log π log 0 0

6 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC a (.0), comunqu, è lgata alla costant d ntgrazon ch può ssr faclmnt calcolata consdrando la longtudn dl punto (punto d flsso) nl qual la lossodroma ncontra l quator: C ( λ λf ) cotr (.) È facl ddurr ch la lossodroma è rapprsntata da una rtta sulla carta d Mrcator l cu rlazon d corrspondnza sono: x λ, y v (.) ch sosttut nlla (.) danno la sgunt quazon d una rtta: y ( x x F ) cotr d coffcnt angolar m cotr. a proprtà, prcdntmnt dtta, ch la lossodroma è assocabl ad una spral logartmca, s può ora dmostrar sprmndo l quazon dlla lossodroma pr mzzo dll sgunt rlazon d corrspondnza dlla carta strografca quatoral (polar) costruta pr trra sfrca d raggo untaro: w λ, ρ tan 5 cot 5 (.) Ossrvando ch la (.0) può sprmrs nl sgunt modo: tan 5 50 C -x ) cotr (x F v pr cu la (.) può scrvrs nl sgunt modo: (x-x )cotr - F ρ tan 5 v (.) ch rapprsnta appunto l quazon, sul pano, d una spral logartmca n coordnat polar; nl caso s consdra la carta strografca polar, sgundo lo stsso procdmnto s ha: (x-x ) cotr - F ρ tan 5, ρ v (.5) a lossodroma, curva nllo spazo, è carattrzzata da du curvatur: la flsson la torson; consdrata, po com curva appartnnt alla suprfc trrstr, è anch carattrzzata da altr du curvatur: la normal la godtca. Qust proprtà l rlatv quazon possono

7 MRIO UTGGIO ssr trovat rprndndo l sprsson analtch rlatv allo studo dll curv nllo spazo (captolo rlatvo alla gomtra dffrnzal). Fgura.5 Rapprsntazon dlla lossodroma nlla carta strografca quatoral È possbl prò studar du partcolar proprtà: la lossodroma s avvolg a pol snza ma raggungrl; nfnt sono l lossodrom ch congungono du punt dlla suprfc trrstr. a prma proprtà s dmostra consdrando una lossodroma ch nl punto gnrco (, λ) d coordnat not form un angolo dffrnt da R v 0 0 o R v Dalla rlazon dlla lossodroma (.), s solo dopo uno ossrva ch la lossodroma raggung l polo ( ) spostamnto n longtudn λ λ λ ; qusta condzon mpon ch la curva s avvolgrà un numro nfnto d volt pr raggungr una λ, coscché consdrando l conctto d nfnto, la curva non raggungrà ma l polo, s suol dr ch l polo è un punto atotco pr la lossodroma. a sconda proprtà s rcava faclmnt consdrando du punt sulla suprfc trrstr d coordnat not (, λ) B( ),λ ; consdrando ch l punto B può ssr raggunto dopo una λk λ K 0 con K numro ntro s trovano tant rott n trmn d K: λ K 0 tan (.5) K [ R ] C C 5

8 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC nlla qual la dffrnza d longtudn λ d lattudn C sono - sprss n prm. ssgnando a K dffrnt valor (0,,,,n) s ottngono dffrnt valor d [ R ] K ch prmttono comunqu d raggungr l punto B dopo K 0. S al posto d λ <0 s consdra l suo splmnto, s prvn con lo stsso ragonamnto ad un altra nfntà d lossodrom passant pr punt B; nfn s λ 0 punt d partnza d arrvo su mrdan oppost, l du sr d lossodrom rsultano smmtrch rsptto al pano mrdano contnnt du punt. a fgura. llustra du cas consdrat. Fgura. ossodrom pr λ 0 λ < Problm d navgazon lossodromca È stato prcdntmnt charto ch alla trra ral è possbl sosttur sa un llssod d rotazon o una sfra. In tutt du cas la lossodroma god dll proprtà prcdntmnt documntat. Prtanto problm d navgazon lossodromca possono ssr svolt sa con l pots d trra llssodca ch d trra sfrca... Navgazon lossodromca su trra llssodca Sano (,λ) ( ),λ B du punt appartnnt alla suprfc llssodca sa l la lossodroma passant pr ss, pr quanto dtto prcdntmnt con λ <0 ; l arco d lossodroma comprsa tra punt rapprsnta la dstanza lossodromca m R v l angolo ch la curva forma con l mrdano dtta anch rotta lossodromca. 5

9 MRIO UTGGIO Fgura.7 ossodroma sull llssod trangolo llssodco nfntsmo Consdramo, ora, un lmnto lnar dm d arco llssodca d strm IJ; l paralllo passant pr J ncontra l mrdano passant pr I nl punto K dfnndo così un trangolo nfntsmo mstlno rttangolo n K. I lat d qusto trangolo sono: KI arco d mrdano KJ arco d paralllo IJ arco d lossodroma Dopo d ch, dal trangolo rttangolo s ha: dm dmcos ch ntgrata tra lmt M M da 0 a m s ha: R v M m dm M M M cosrv dm mcosrv (.) M 0 con M la lunghzza dll arco d mrdano (arco d llss) comprso tra paralll passant pr (,λ) B ( ),λ. arco d mrdano è fornto da appost tavol al varar dlla lattudn dpnd ssnzalmnt dal paramtro dmnsonal (ass maggor) da qullo d forma (schaccamnto f o ccntrctà ); una rlazon approssmata dlla lunghzza dll arco d mrdano, ma valda pr calcol lossodromc d navgazon, approssmata al dcmo d prmo è la sgunt: M a (.7)

10 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC Un algortmo complto pr l calcolo dlla lunghzza dll arco d mrdano con accuratzza cntmtrca è rportato n ppndc. rlazon ch rsolvono problm d navgazon sull llssod sono la (.) la (.) purché s dsponga d tavol dll lattudn crscnt oppur, n sosttuzon, utlzzar la rlazon (.9); valor d C M vanno consdrat postv o ngatv a scondo dl sgno dlla lattudn. Nl rsolvr problm d navgazon lossodromca convn oprar con rott sprss nl sstma quadrantal: l prmo sgno dpnd dal cardn dlla dffrnza d lattudn ( ), l scondo dal sgno dlla dffrnza d longtudn ( λ ): pr l prmo: pr l scondo: pr l trzo: pr l quarto: R N R E ; v R S 0 - R R S 0 R v v W R N 0 R v E W.. I problma dlla lossodroma Il I problma s nunca nl sgunt modo: Not l coordnat dl punto d partnza (,λ), la rotta lossodromca R v d l prcorso m dtrmnar l coordnat dl punto d arrvo B,λ. ( ) Il problma s rsolv nl sgunt modo: s calcola la M con la rlazon (.); s calcola M ( B) M ( ) ( ± M ) ; s passa da M ( B) ; s calcola ; s calcola la C C pr mzzo dlla rlazon (.9); s calcola la C ; s calcola λ con la rlazon (.); s calcola la longtudn dl punto d arrvo λ λ ( ± λ); Prma d rsolvr calcol occorr trasformar la rotta lossodromca da crcolar a quadrantal n modo da potr assgnar sgn a M, C,, λ. 5

11 MRIO UTGGIO Tablla. Calcol pr l I problma dlla lossodroma sull llssod lattudn ongtudn Rotta cammno DTI 0 N 7 0 W mg CCOTI M 9. M 7. M 59.9 C C C.9 λ N λ 7. W Esrcz pr l I Problma at. Partnza ong. Partnza Rotta cammno at. rrvo ong. arrvo N 5.0 E N 5. E S 5.0 W S W 5.7 S W S 9.9 W S W S W.. II problma dlla lossodroma Il II problma s nunca nl sgunt modo: Not l coordnat dl punto d partnza (, λ) l coordnat dl punto d arrvo B (, λ ), calcolar la rotta lossodromca R v l prcorso lossodromco m. Il calcolo prvd l sgunt oprazon: S passa da s calcola C da λ ; C C ; s calcola la rotta lossodromca quadrantal con la rlazon λ tan R d cu cardn sono assgnat da qull d C C λ ; s calcola M M con la rlazon ch dfnsc la lunghzza dll arco d mrdano oppur con l appost tavol d trasformazon; 55

12 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC s calcola la sgunt dffrnza M M M ; s calcola l prcorso lossodromco con la rlazon m M sc. R Tablla. Calcol pr l II problma dlla lossodroma sull llssod attudn ongtudn attudn ongtudn Dat N E 5.7 N E M 09., 55. M 7., 0.7 Calcolat C M., C 07., λ 5.0, λ tan R, R N. E m M sc R Esrcz pr l II Problma C C.7, m70.9mg at. Partnza ong. Partnza at. rrvo ong. arrvo Rotta m N 5.0 E N 5. E S 5.0 W. S 5.7 W S W 9. S 9.9 W S W 5 0. S W Navgazon lossodromca sulla Trra sfrca Consdramo l trangolo rttangolo sfrco mstlno nfntsmo sulla sfra d raggo untaro dfnto da punt PQK rttangolo n K, d cu lat sono: PK d, arco d mrdano KQ dp dµ PQ dm,, arco d paralllo arco d lossodroma (.) Fgura. Trangolo nfntsmo sulla sfra Gl lmnt (.), applcando l rlazon trgonomtrch al trangolo pano, danno l du sgunt rlazon: 5

13 MRIO UTGGIO d dmcos R, dµ dmr (.9) la cu ntgrazon fornsc la rlazon: m cos R, µ mr (.0) S fa ossrvar ch la sconda dll (.0) nota com appartamnto o allontanamnto rapprsnta la somma d tant pccol archtt d paralllo d trangol nfntsm rlatv a tutt gl lmnt lnar d cu è costtuto l arco lossodromco comprso tra l punto d partnza qullo d arrvo; la prma dll (.0) rapprsnta la dffrnza d lattudn corrspondnt all arco lossodromco. I sgn d, µ dpndono, com gà prcdntmnt dtto, da sgn dlla rotta quadrantal. Pr ottnr la dffrnza d longtudn, ossrvamo ch tra paralll comprs tra l punto d partnza qullo d arrvo, sst un paralllo l cu appartamnto è ugual propro a µ ; s ndchamo con µ la lattudn d qusto paralllo, allora pr la bn nota rlazon tra arco d paralllo l corrspondnt arco d quator, è possbl calcolar la dffrnza d longtudn: λ µ sc cos µ µ λ µ (.) S può dmostrar ch la lattudn µ è prossma al valor dlla lattudn mda tra l punto d partnza qullo d arrvo: m (.) pr cu la (.) può ssr sosttuta con la sgunt rlazon: λ µ sc (.) nota com formula approssmata dlla dffrnza d longtudn. m.5 Navgazon pana. formul dlla navgazon lossodromca possono ssr rsolt grafcamnt mdant sgunt tr trangol pan rttangol fssando una opportuna scala: 57

14 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC Fgura.9 Navgazon pana Trangolo d rotta, dl paralllo mdo d Mrcator Qust trangol srvono a rsolvr grafcamnt du problm lossodromc; l trangolo d rotta fornsc lo spostamnto n lattudn l appartamnto; l trangolo dl paralllo mdo trasforma l appartamnto n dffrnza d longtudn; l trangolo d Mrcator rapprsnta qullo ch s tracca sulla carta d Mrcator quando s unsc un punto d partnza con un punto d arrvo. Inoltr, con l formul dlla navgazon lossodromca, è stato possbl costrur dll tavol, dtt appunto Tavol dl punto, costrut con un passo angolar d un grado pr la rotta la lattudn mda passo d un mglo pr l prcorso. Un altro mtodo d rsolvr l formul dlla navgazon lossodromca sono l tavol logartmch ch ogg sono stat compltamnt sosttut dall calcolatrc tascabl. Infn è sposta una rsoluzon grafca d du problm sulla carta d Mrcator, utlzzando soltanto la scala costant dll longtudn. Pr ottnr la poszon dl punto d arrvo B (, λ ) conoscndo qullo d partnza, la rotta d l cammno; pr la costruzon dl trangolo, s tracca una smrtta nclnata sul mrdano d un angolo par alla rotta a partr dal punto ; su qusta smrtta s porta l prcorso m msurato sulla scala dll longtudn, ottnndo l punto B (v. fgura.0); qund, s abbassa da sso la prpndcolar al mrdano, ottnndo l punto C ; l trangolo B C è l trangolo d rotta: la dstanza C, msurata sulla scala dll longtudn, rapprsnta la dffrnza d lattudn ch sommata alla lattudn d partnza da qulla d arrvo. Il paralllo dl punto d arrvo ndvdua sul mrdano passant pr l punto C dal qual, traccando l paralllo, s ndvdua l punto B; l sgmnto BC rapprsnta la dffrnza d longtudn λ 5

15 MRIO UTGGIO con cu s ottn po la longtudn dl punto d arrvo: sgmnto C rapprsnta la. c λ λ λ ; l Fgura.0 Trangolo d Mrcator dl paralllo mdo Il trangolo BC, così ottnuto, rapprsnta l trangolo d Mrcator. 59

16 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC.5 - Navgazon ortodromca sulla sfra S s consdrano du punt sulla suprfc trrstr, consdrata sfrca, l ntrszon dl pano contnnt dtt punt passant pr l cntro (n qusto caso l pano contn l normal alla suprfc), dtrmna una curva ch sprm la mnma dstanza tra dtt punt. Dtta curva rapprsnta una crconfrnza massma rapprsnta una godtca sulla sfra; n navgazon la crconfrnza massma (CM) è dtta ortodroma. a CM ncontra l quator trrstr n du punt, dtt nod; pr convnzon, qullo ch s trova nll msfro orntal, è dtto nodo prncpal. Fgura. Trangolo ortodromco a CM ncontra mrdan sotto angol dffrnt, s svluppa mtà nll msfro sttntronal mtà n qullo mrdonal; du punt dlla CM ch hanno la massma lattudn sono dtt vrtc ; la dffrnza d longtudn tra du vrtc è d 0 mntr tra un vrtc d un nodo è d 90 ; l angolo tra la CM d l vrtc è d 90. Ogn CM sulla sfra è ndvduata, snza ambgutà, da du paramtr ch sono carattrstc dlla stssa CM: la longtudn dl nodoλ N l nclnazon α dlla CM sull quator; qust ultmo paramtro è ugual alla lattudn dl vrtc ; l nclnazon α dlla CM, pr convnzon è msurata sul nodo prncpal nl snso antoraro (vrso l msfro nord); sst, nfn, una rlazon tra l nclnazon la lattudn dl 0

17 MRIO UTGGIO vrtc: s α < 90 la lattudn dl vrtc α, s nvc α > 90 0 α..5. Equazon dlla crconfrnza massma Consdramo un gnrco punto sulla CM d coordnat (,λ) trangolo sfrco d vrtc N rttangolo n. d l Fgura. CM trangolo sfrco pplcando l rgol su trangol sfrc rttangol s ha: ( λ ) tan tanα λ N (.) a (.) rapprsnta l quazon dlla CM dato ch fssato un mrdano λ, ch ndvdua sulla CM l punto P, s ottn la sua lattudn ; coscché al varar λ è possbl rcavar tutt punt appartnnt alla CM carattrzzata dall du costant ( α, λ N ). E mportant rcordar ch la CM, ssndo una godtca pr la sfra, soddsfa ad una mportant proprtà nota com Torma d Claraut qu d sguto rportato: Sull suprfc d rotazon, è costant l prodotto dl raggo dl paralllo pr l sno dll angolo α ch la godtca forma con l mrdano. Pr dmostra qusta proprtà pr la CM sulla sfra, consdramo la sgunt sprsson trgonomtrca calcolata dal trangolo sfrco rttangolo d fgura.: ch confrontata dall assrto d Claraut: cos α cos θ (.5)

18 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC r θ R cos θ cos θ C (.) ch confrontata con la (.5) da la sgunt rlazon: cos α C (.7) ssndo α costant uno d du paramtr ch dfnsco la CM. Infn s può dmostrar la proprtà dll angolo θ n vrtc dlla CM dalla sgunt rlazon calcolata dal gà trangolo sfrco: ( λ ) cos θ α cos λ N (.) pr cu ssndo l vrtc a 90 dal nodo, la (.) s annulla solo s θ 90. Passamo, ora, al calcolo d paramtr α λ N dlla CM; pr ottnr qust du paramtr, consdramo du punt dlla CM d coordnat not: (,λ ) B (,λ ); applcando l quazon dlla CM ottnamo l sgunt sstma ch va rsolto rsptto alla longtudn dl nodo: tan tan Oprando l rapporto s ha: tan tan tanα tanα ( λ λ ) N ( λ λ ) N ( λ λn ) ( λ λ ) d applcando la rgola dl componndo d l dvdndo s ottn: tan tan tan tan N ( λ λn ) ( λ λn ) ( λ λ ) ( λ λ ) N N (.9) smplfcando l prmo mmbro d applcando l formul d prostafrs al scondo s ha: ( ) λ tan ( ) λ λ λ tan λn (.0) rlazon ch prmtt d calcolar λ N. Qusto valor, po, può ssr usato nll quazon dlla CM (.) pr rcavar l nclnazon dlla CM. Infn è mportant conoscr, fornndo la CM la mnma dstanza tra du gnrc punt, la dffrnza n dstanza con l arco lossodromco passant pr gl stss du punt. E bn rcordar ch la CM volg la concavtà all quator mntr la lossodroma volg la sua concavtà al

19 MRIO UTGGIO polo, pr cu la CM s svluppa a lattudn pù alt rsptto alla CM, pr cu può captar l arco ortodromco n zon la cu lattudn è prcolosa alla navgazon marttma. a dffrnza tra qust du prcors è data dalla sgunt sprsson: m oss mloss mcm R tan (.) ch s rcava confrontando l quazon dlla lossodroma con qulla dll ortodroma d cu trmn a scondo mmbro s rfrscono ad - lmnt lossodromc. Dalla (.) s può notar ch la dffrnza aumnta con la dstanza lossodromca m oss, con la lattudn con l approssmars dlla rotta lossodromca a 90 o 70 ; vcvrsa la dffrnza tnd ad annullars pr rott prossm al mrdano (pr rott 0 0 la lossodroma l ortodroma s sovrappongono)..5. Rsoluzon d problm ortodromc a navgazon ortodromca o pr crcolo massmo rchd ch sano not paramtr ch dfnscono paramtr dlla CM. I problm d navgazon s rsolvono consdrando l trangolo sfrco ortodromco d-,λ, d arr- fnto da du vrtc rapprsntat da punt d partnza, ( ) vo (, λ ) B dal polo dll msfro d uno d du punt; l trangolo ortodromco, prtanto, è lmtato da du mrdan ( λ ), da du lat oppost rapprsntat dall collattudn c, c dal lato rapprsntato dalla dstanza ortodromca m. Quando du punt s trovano n msfr oppost l lato lgato al punto d arrvo è maggor d 90 ; la dstanza ortodromca sarà smpr mnor d 0 (000 mgla). B Fgura. Trangolo sfrco ortodromco

20 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC Nl rsolvr l rlazon trgonomtrch rlatv a trangol sfrc occorr smpr dfnr l polo d rfrmnto ch normalmnt è smpr qullo dl punto d partnza; l rlazon trgonomtrch rlatv al trangolo ortodromco, normalmnt, sono sprss n trmn dlla lattudn pr cu nl rsolvr l rlazon occorr, ssndo ss smpr mnor d 90 occorr dfnr un crtro pr rsolvrl. Prtanto s pon smpr postva la lattudn dl punto d partnza (I quadrant); s l punto d arrvo è nllo stsso msfro d qullo d partnza, allora, la lattudn è ancora consdrata postva altrmnt va consdrata ngatva (I quadrant) nl rsolvr l rlazon trgonomtrch qust rgol vanno smpr rgorosamnt applcat..5. Dtrmnazon dlla dstanza ortodromca dlla rotta nzal Qusto problma è nuncato nl sgunt modo: dat l coordnat dl punto d partnza qull dl punto d arrvo calcolar la dstanza ortodromca la rotta nzal. Pr rsolvr qusto problma consdramo l trangolo ortodromco rportato n fgura. cu vrtc sono: l punto d partnza (,λ) ; l suo polo omonmo; B, λ. l punto d arrvo ( ) Fgura. Rsoluzon dl trangolo ortodromco: m.5 mg., R N. E

21 MRIO UTGGIO dal trangolo ortodromco applcando la rlazon fondamntal dlla trgonomtra sfrca all lmnto cntral m s ha: cosm cosc d l torma d ta: cosc cosm cot c B cot R c cos cos c B c c cos λ cos cos cos λ cos λ λ cot R [ tan cosc λ tan cot λ] B (.) (.) a (.) fornsc la dstanza ortodromca m, smpr mnor d 0 ; la (.) la rotta nzal cu quadrant dpnd s postvo dal polo omonmo al punto d partnza s ngatvo dal polo opposto; l vrso è dfnto dall msfro dlla dffrnza d longtudn. Esmp d calcolo ortodromco at. Partnza ong. Partnza at. rrvo ong. arrvo Rotta m N 5.0 E N 5. E S 5.0 W. S 5.7 W S W 9. N 9.9 E S W 5 0. S W.. In qualch caso è rchsta anch la rotta fnal, coè l angolo ch la CM forma con l mrdano nl punto d arrvo; n qusto caso occorr utlzzar la sconda dll (.) scambando l lato d arrvo con qullo d partnza tnr prsnt la R f 0 β con β angolo ntrno nl vrtc dl punto d arrvo: cotc c B cotβ cos cosc B cos λ λcotβ [ tan cosc λ tan cot λ] (.) S l du localtà sono nllo stsso msfro, la rotta fnal è data da 0 β ; s nvc, l du localtà sono n msfr oppost la rotta R f fnal è data dall angolo ntrno calcolato con l cardn dfnto dal polo dl punto d arrvo..5. Dfnzon dll coordnat dl vrtc Pr una CM passant pr du punt ch s trovano nllo stsso msfro può vrfcars ch l vrtc s trov ad una lattudn ch pr motv d scurzza (ghacc, Icbrg condzon mto avvrs) non è conv- 5

22 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC nnt navgar. Pr tutt qust motv, nlla fas d progttazon d un prcorso ortodromco è mportant calcolar l coordnat dl vrtc. Qusto problma s nunca nl sgunt modo: dat l coordnat dl punto d partnza la rotta nzal, dtrmnar l coordnat dl vrtc. Fgura.5 CM suo vrtc Important proprtà d trangol sfrc è s du angol nrt R β assocat a du vrtc rlatv al punto d partnza d arrvo B sono ntramb mnor o maggor d 90 allora l vrtc capta all ntrno dll arco ortodromco tra B. Pr ottnr l coordnat dl vrtc, s consdr l mrdano prpndcolar alla CM passant pr l polo omonmo al punto d partnza; n qusto modo s ottngono du trangol rttangol sfrc da qual è possbl, applcando l rgol pr trangol sfrc rttangol s ha: cosc cot R cot λ, cot λ tan R.5) cos c R, cos cos R (.) con smpr mnor d 90 d omonma n sgno alla lattudn d partnza λ < o > d 90 a sconda dlla R ; con l valor d λ s rcava la longtudn dl vrtc con la rlazon: λ λ λ qund l coordnat dl vrtc (, λ ) Rcavat l coordnat dl vrtc è facl dtrmnar l coordnat dl vrtc opposto : λ λ ± λ

23 MRIO UTGGIO.5.5 Calcolo dll coordnat d un punto dlla CM Nl prcorrr la CM, n molt cas, è rchsto d conoscr l coordnat d un punto dlla CM ottnut com ntrszon dlla CM con un mrdano oppur con un paralllo. Qusto problma s nunca nl sgunt modo:, la rotta nzal R la longtudn (lattudn) dl punto gnrco P sulla CM, dtrmnar la sua lattudn (longtudn). dat l coordnat dl punto d partnza (,λ) Consdramo l caso ch sa nota la longtudn λ ; n qusto caso s consdra l trangolo sfrco P n s applca la formula d ta: Fgura. - Intrszon dlla CM con un mrdano cot c tan c tan cosc cos λ cos λ sc λ λ cot R cot R (.7) a sconda rlazon dll (.7) fornsc l valor dlla lattudn dl punto d ntrszon dl mrdano λ con la CM; pr la rsoluzon dlla (.7) occorr applcar l rgol prcdntmnt consdrat pr trangol sfrc. S l scondo mmbro rsulta postvo allora la a- vrà lo stsso sgno dlla lattudn dl punto d partnza ; s l valor fnal è ngatvo, allora l cardn dlla lattudn d P sarà qullo opposto d qullo d partnza. Consdramo ora l scondo caso: ntrszon dlla CM con un paralllo. In qusto caso, ossrvamo ch l paralllo ntrsca, nllo stsso msfro, la CM n du punt B B (v. fgura.7). 7

24 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC Fgura.7 Intrszon dlla CM con un paralllo < pplcando ancora la formula d ta s ha: tan B tan cos λ B sc λ B cot R dalla qual, dopo avr rcavato λb, s trova la longtudn dl punto d ntrszon dl paralllo con la CM; s fa ossrvar prò, ch l quazon non è lnar dato ch prché λb è argomnto sa dlla funzon sno ch d cosno pr cu occorr sosttur a cos λ B λ B rsolvr una quazon d scondo n trmn d λb. S ottngono du valor ch prmttono d rcavar l longtudn d du punt ntrszon dlla CM con l paralllo prfssato. Una procdura pù smplc d unvoca è qulla d rcavar la longtudn dl punto d ntrszon utlzzando l trangolo sfrco rttangolo rlatvo al vrtc pù vcno al punto d ntrszon; così, consdrando l trangolo sfrco PP, rttangolo n d fgura.5, s ha:. cos λ P cos λ P cot tan P P cot cot B (.) dalla qual s rcava l valor d λp ; s l paralllo d ntrszon s trova nllo stsso msfro dl vrtc allora l valor d λp è mnor d 90 altrmnt sarà maggor d 90. a longtudn d du punt sarà: λ λ ± λ [ ] ( ) P, P

25 MRIO UTGGIO.5. Calcolo dll coordnat d un punto dlla CM dstant m dal punto d partnza In navgazon ortodromca, nfn, s può avr la ncsstà d rcavar d punt sulla CM ch dstano dlla dstanza ortodromca m dal punto d partnza. Qusto problma s può porr nl sgunt modo: Not l coordnat gografch dl punto d partnza (,λ) la rotta nzal R, dtrmnar l coordnat d un punto sulla CM posto alla dstanza m. Fgura. - Trangolo sfrco rlatvo al punto posto alla dstanza m dal punto d partnza. coordnat dl punto ( λ ), s rcavano consdrando l trangolo sfrco P n nl qual sono not l lato rlatvo alla collattudn d la rotta nzal R. pplcando la rlazon fondamntal dlla trgonomtra sfrca al lato P sa ha: cosc n cosc cos m cos cos m c mcos R mcos R (.9) con dllo stsso sgno dlla ; applcando la formula d ta: cot d c cot λ cosc cot d cos cos R R cot λ coscr cot R (.0) dalla qual s rcava l valor dlla dffrnza d longtudn λ l cu sgno è qullo dlla rotta nzal R ; l coordnat dl punto, prtanto, sono: λ λ λ (.) 9

26 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC.5.7 Calcolo dlla varazon d rotta lungo la CM Un ultror lmnto dl trangolo ortodromco è la varazon d rotta lungo la CM nota n navgazon com convrgnza d mrdan; n partcolar, n alcun problm, s rchd la rotta fnal R f la dffrnza tra rotta nzal R qulla fnal R R f R. Fgura.9 Trangolo ortodromco varazon d rotta Qusta rlazon è calcolata pr mzzo d una dll analog d Npro; dal trangolo ortodromco s ha: cg cf cos R R 0 R β f tan tan λgf cot cg cf cos ch può ssr ultrormnt smplfcata nl sgunt modo: qund 0 tan ( R R ) f cos R tan 90 λ cot cos R cot λ cot (.) m m 70

27 MRIO UTGGIO Inoltr, s può ossrvar ch, pr λ 0 s ha R 0 pr λ 0 s ha R 0 ; nl prmo caso punt d partnza d arrvo sono sullo stsso mrdano; nl scondo caso punt s trovano su mrdan oppost..5.7 Navgazon msta Quando l punto d partnza (,λ) qullo d arrvo B( ),λ sono stuat sullo stsso msfro d a grand dffrnza d longtudn λ d a pccola dffrnza d lattudn la CM ch passa pr du punt s svluppa scuramnt n zon d alta lattudn nll qual s trova l vrtc, carattrzzat da avvrstà mto marn prcolos pr la navgazon. Pr vtar alla nav d attravrsar qust zon prcolos, s dcd d non oltrpassar un dato paralllo dtto, paralllo lmt, la cu lattudn vn ndcata con ; l prcorso pù brv dvnta la somma d tr prcors d cu du ortodromc d un lossodromco. Fgura.0 Trattor n navgazon msta Pr dtrmnar allora l cammno total occorr consdrar tr trangol sfrc rapprsntat n fgura.. Partndo da s prcorr l arco ortodromco, arrvat n s prcorr l arco d paralllo (arco d lossodroma); nfn, s prcorr l scondo arco ortodromco B pr arrvar n B. Gl lmnt ortodromc d du trangol sfrc P N P N B s rcavano dall sgunt rlazon: 7

28 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC cosd cos λ Fgura. Trangol sfrc n navgazon msta tan cosc cot,, R cosd B B cos λb tan sc cos cosc B cot, Non occorr trovar una quarta rlazon pr la rotta nzal nl punto, ssndo qusto un angolo rtto. a dffrnza d longtudn, tra s rcava pr dffrnza trovando la longtudn d punt con l du sgunt rlazon: λ λ ( ± λ ) λ λ ( ± λ ), B B 7

29 MRIO UTGGIO 7 ppndc CCOO DE UNGHEZZ DE RCO DI MERIDINO TERR EISSOIDIC. a lunghzza dll arco d mrdano pr la trra llssodca s calcola pr mzzo dlla formula ch fornsc l arco nfntsmo d mrdano dm n funzon dl raggo d curvatura ρ dll arco d mrdano d ntgrando fra l paralllo consdrato l quator: l P P ( ) [ ] ( ) [ ] ρ d a d a d l la cu ntgrazon va ffttuata svluppando n sr bnomal l sprsson da ntgrar; x n s ha: ( ) K x n x n x n x n x n x n x n x n n

30 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC con: n n n n( n ) 5! n n( n )( n )! n n! n n 5 5! 5 ( n )( n )( n ) 5 ( n )( n )( n )( n ) sosttundo coffcnt bnomal s ha: l a a ( ) 5 d d ( ) d d d 0 d Il calcolo dll arco s trova, calcolando gl ntgral dfnt svluppando prma l potnz dlla funzon n trmn dlla stssa d argomnt ( n α ), cu svlupp sono rportat nll appndc B; passamo ora al calcolo dgl ntgral: d 0 cos d d d cos cos d 5 7

31 MRIO UTGGIO cos cos cos d d d d d cos cos cos 7 cos [ ] d d cos0 5 cos 5 5 cos 5 5 cos 5 cos raggruppando trmn comun s ha:

32 CPITOO NIGZIONE OSSODROMIC E ORTODROMIC 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a l ch può ssr ultrormnt smplfcata nl sgunt modo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a l dov: