(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.

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1 Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria (= movimeto rigido) di u triagolo equilatero iduce ua permutazioe dei vertici. Precisiamo questa corrispodeza i ua tabella: Trasformazioe Triagolo trasformato Permutazioe dei vertici Idetità Rotazioe atioraria di π itoro al cetro Rotazioe atioraria di 4 π id ( ) itoro al cetro ( ) Simmetria assiale rispetto all asse del lato ( ) Simmetria assiale rispetto all asse del lato ( ) Simmetria assiale rispetto all asse del lato ( )

2 Costatiamo che ogi possibile permutazioe dei vertici è idotta da qualche simmetria del triagolo. Duque il gruppo delle simmetrie del triagolo equilatero può essere idetificato co S. I geerale, cosidereremo la seguete ozioe: Defiizioe 0. Il gruppo delle simmetrie di u poligoo regolare avete lati è detto gruppo diedrale di ordie ed è deotato D. Co la otazioe appea itrodotta, abbiamo duque che D S. I geerale, però, o tutte le permutazioi degli vertici di u poligoo regolare soo idotte da simmetrie del poligoo. Già per = 4 troviamo facilmete u cotroesempio. Nel quadrato 4 la permutazioe () dei vertici o corrispode ad alcua simmetria. Ifatti il quadrato 4 o proviee da quello precedete per movimeto rigido, poiché esso possiede i lati e 4, asseti el primo. Ciò basta per cocludere che D 4 è isomorfo ad u sottogruppo proprio di S 4. I effetti, gli elemeti di D 4 soo solo 8: - l idetità, - le rotazioi atiorarie itoro all origie di ampiezze soo chiaramete uguali a r e r. - le 4 simmetrie assiali s, s, s, s 4 rispetto agli assi dei lati e alle bisettrici degli agoli. π π, π, : detta r la prima, le altre due s s s Quidi { id,,,,,,, } D = r r r s s s s 4 4 s 4 4

3 È facile trovare le permutazioi dei vertici corrispodeti agli elemeti di D 4 : Trasformazioe Permutazioe id id r (4) r ()(4) r (4) s (4) s ()(4) s () s 4 (4)() Il gruppo diedrale D 4 è duque isomorfo ad u sottogruppo di S 4 che già abbiamo icotrato, ell Esercizio 7.4, come cetralizzate dell elemeto ()(4). I geerale, le simmetrie di u poligoo regolare avete lati soo: - l idetità; - le rotazioi r, r,..., r -, ove r è la rotazioe atioraria di ampiezza π itoro all origie; - le simmetrie assiali rispetto - agli assi dei lati, se è dispari; - agli assi delle coppie di lati opposti ed alle bisettrici delle coppie di agoli opposti, se è pari; I ogi caso, si tratta di simmetrie assiali s,..., s rispetto ad u fascio di rette passati per il cetro che si susseguoo, i seso atiorario, separate da agoli di ampiezza π. Riassumedo: Proposizioe 0. Per ogi, D è u gruppo di ordie isomorfo ad u sottogruppo di S. I particolare, si ha D S, metre egli altri casi il sottogruppo è proprio. Ua volta trovato l isieme { id,,,...,,,..., } D = r r r s s

4 restao da determiare le regole di moltiplicazioe: sappiamo già che o( r) =, e o( s i ) = per ogi i=,...,, per il resto si tratta di studiare la composizioe di due simmetrie assiali, e di ua rotazioe co ua simmetria assiale. A tal fie possiamo avvalerci del seguete risultato di geometria elemetare del piao: Teorema 0. (Teorema dei due ribaltameti) Il prodotto di due simmetrie assiali rispetto ad assi icideti equivale alla rotazioe, itoro al loro puto di itersezioe, di ampiezza pari al doppio dell agolo atiorario che l asse della prima simmetria deve percorrere per sovrapporsi all asse della secoda simmetria. Rispetto alla figura a lato, si ha duque che atioraria itoro a P di ampiezza θ. '' ' s s è la rotazioe Dimostrazioe: Si veda la figura sottostate, i cui il cerchio viee sottoposto a simmetria rispetto agli assi a e b. a b Osservazioe 0.4 Nel gruppo D, per ogi i,j, l asse della simmetria s j segue l asse della simmetria s i, i seso atiorario, separato da u agolo di ampiezza (dotata di sego) ( j i) π. Dal Teorema 0. segue duque che s s j i j i = r. I particolare, per ogi idice j si ha s s j j = r, da cui s = r s () j j ed ache:

5 r r ss = =, da cui s r = s = r s () Se e coclude che vale: Proposizioe 0.5 Il gruppo D o è abeliao. Dimostrazioe: Dalla () segue che da cui, teedo coto della (), r = s s, rs = s s = s r. Osservazioe 0.6 A meo di permutare gli idici, s è ua qualuque simmetria assiale. Possiamo chiamarla semplicemete s e cocludere che: - tutti gli elemeti di D soo determiati ua volta assegate la rotazioe r ed ua qualuque simmetria assiale s. Ifatti - l idetità è otteuta come quadrato di s: s = ; - le rotazioi soo otteute come poteze di r: r,r,..., r - ; - le simmetrie assiali soo otteute dalla formula (), poedo j =,..., : s, rs, r s,..., r s. Possiamo duque scrivere { id,,,...,,,,,..., } D = r r r s rs r s r s Esercizio 0.7 Nel gruppo D, i a) calcolare sr, per ogi i=,..., -; b) determiare il cetro. Svolgimeto: a) Dalla () sappiamo che sr r s =. Ne deduciamo che ( ) ( ) sr = sr r = r sr = r r s = r s = r s ( ). Co u facile argometo iduttivo si prova che, per ogi i =,..., -, i i sr r s =. b) Alla luce dell Osservazioe 0.6, u elemeto di D commuta co tutti gli altri elemeti se e solo se commuta co r e co s. Ciò esclude che al cetro possao apparteere r e s. Verifichiamo se vi appartiee qualche poteza di r. Per ogi i, i, l elemeto r i commuta co r. I base alla parte a) dell esercizio, segue che r i appartiee al cetro se e solo se i i i i r s = r s, cioè r = r, che vale se e solo se divide i.

6 Cosiderato l itervallo di valori assuti da i, ciò si verifica se e solo se è pari e i =. Duque, se è pari, si ha che r Z( D ) ; r è la rotazioe di ampiezza π itoro al cetro del poligoo. i Si ha che r s Z( D ) solo se ma ciò implica che - se è pari, Z( D ) = id, r ; Z( D ) = id. - se è dispari, { } ( ) ( ) = = = ( ) = = i+ i i i i + i r s r r s r s r r sr r r s r s r = r, che o si verifica mai. I defiitiva: Nota Si osservi che ( 4) duque il cetro di C(()(4)). Ma ciò, aturalmete, o ci sorprede. Esercizio 0.8 Determiare D4 / Z( D 4). id, ()(4). Questo è Z D corrispode all isieme di permutazioi { } Svolgimeto: Per il Teorema di Lagrage (4.), il gruppo quoziete cercato ha ordie 8 4 =. è facile vedere che D / Z( D ) = Z( D ), Z( D ) r, Z( D ) s, Z( D ) r s { } Esso è isomorfo a Z Z, perché tutti gli elemeti diversi dall elemeto eutro hao periodo. Esercizio 0.9 Determiare u sottogruppo di S 5 a cui è isomorfo D 5. Svolgimeto: Ua volta deomiati i vertici di u petagoo regolare come ella figura a lato, il sottogruppo cercato è quello formato dalle permutazioi dei vertici idotte dagli elemeti di D 5. Costruiamo questi ultimi a partire dalla rotazioe atioraria r di ampiezza π itoro al cetro, e 5 dalla simmetria assiale s rispetto alla retta raffigurata, che è l asse del lato 4. Il sottogruppo cercato è duque l immagie dell omomorfismo di gruppi D5 S5 defiito dalle assegazioi: 5 4 id id r (45) s (5)(4) Esse determiao uivocamete le immagii dei restati elemeti di D 5 :

7 r r r 4 r s r s 4 r s (54) (45) (54) rs ()(5) ()(45) (4)() (5)(4) Il sottogruppo di S 5 cercato è duque H = { id, (45),(54),(45),(54),()(5),()(45),(4)(),(5)(4) }. Osservazioe 0.0 Le rotazioi atiorarie di ampiezza π k sottogruppo di D geerato da r: per k = 0,..., formao il { id,,,..., } r = r r r Si tratta di u sottogruppo ormale, i virtù del Corollario 4.6, essedo r D = =. Nota Il gruppo delle simmetrie di u rettagolo è u sottogruppo del gruppo D 4 delle simmetrie del quadrato. 4 4 Le simmetrie superstiti el passaggio da u quadrato ad u rettagolo qualsiasi soo, oltre all idetità, la rotazioe atioraria di ampiezza π, e le simmetrie assiali rispetto agli assi delle coppie di lati opposti. Duque, detta s la simmetria assiale rispetto all asse dei lati e 4, il sottogruppo i questioe è V = id, r, s, r s. { } Si tratta di u sottogruppo di idice, e quidi di u sottogruppo ormale. Esso è isomorfo al seguete sottogruppo di S 4 :

8 K = { id,()(4),()(4),(4)() }, che abbiamo già icotrato ell Esercizio 7.8, come gruppo di Klei. Ricordiamo che questo è u sottogruppo ormale di S 4.

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