Trigonometria sferica. Giovanni Torrero

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1 Trigonometria sferica Giovanni Torrero

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3 Indice Capitolo 1. Geometria sferica Concetti introduttivi Triangoli sferici 10 Capitolo 2. Trigonometria sferica Teoremi sui triangoli sferici Teoremi sui triangoli sferici rettangoli 24 Capitolo 3. Coordinate geografiche Latitudine e longitudine Distanza tra due punti Coordinate cartesiane 34 Indice analitico 41 Bibliografia 43 3

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5 CAPITOLO 1 Geometria sferica 1.1. Concetti introduttivi La geometria sferica studia le proprietà delle figure che sono dei sottoinsiemi dell insieme formato da tutti i punti di una superficie sferica. Definition 1.1. (Circonferenza massima) Data una sfera si definisce circonferenza massima ogni circonferenza che si ottiene intersecando la superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera stessa. FIGURA Circonferenza massima 5

6 6 1. GEOMETRIA SFERICA Remark 1.2. Nella geometria sferica la circonferenza massima gioca lo stesso ruolo della retta nella geometria piana. Theorem 1.3. Presi due punti distinti su una sfera per essi passa una ed una sola circonferenza massima. FIGURA Circonferenza massima per due punti DIMOSTRAZIONE. I due punti A e B e il centro O non sono allineati quindi individuano uno ed un solo piano che passa per il centro della sfera e quindi una ed una sola circonferenza massima che passa per i due punti dati. Definition 1.4. (Poli di una circonferenza massima) Data una circonferenza massima si consideri la perpendicolare al piano della circonferenza passante per il centro O della sfera, detta perpendicolare verrà chiamata asse relativo alla circonferenza massima considerata. L asse della circonferenza massima incontra la sfera in due punti chiamati poli, fissato un verso di percorrenza della circonferenza

7 1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI 7 massima, un omino che percorra la circonferenza nel verso prescelto vedrà il polo nord P N alla sua sinistra e il polo sud P S alla sua destra. FIGURA Poli Definition 1.5. (Distanza sferica o segmento sferico) Dati due punti A e B, distinti, su una sfera, esiste una ed una sola circonferenza massima che li contiene, i due punti individuano su questa circonferenza due archi, il minore di essi si chiama distanza sferica o segmento sferico tra i due punti

8 8 1. GEOMETRIA SFERICA FIGURA Distanza sferica Se si indica con a la misura in radianti dell angolo al centro AOB ˆ e si suppone che l unità di misura per le lunghezze sia il raggio della circonferenza 1 allora la misura dell arco AB è proprio a. Remark 1.6. D ora innanzi le sfere considerate avranno tutte raggio unitario, questo equivale a dire che il raggio della sfera viene scelto come unità di misura per le lunghezze. Definition 1.7. (Fuso sferico) Data una sfera si considerino due piani passanti per il suo centro essi individuano due circonferenze massime che dividono la superficie sferica in quattro parti ciascuna delle quali si chiama fuso sferico. 1 Imporre che l unità di misura per le lunghezze si il raggio della sfera è come imporre che la sfera abbia raggio unitario.

9 1.1. CONCETTI INTRODUTTIVI 9 FIGURA Fuso sferico L ampiezza α dell angolo diedro che determina il fuso, espressa in radianti, è anche l ampiezza del fuso sferico. Theorem 1.8. L area di un fuso sferico di ampiezza α è data da: Area = 2α DIMOSTRAZIONE. Vi è una proporzionalità diretta tra l area del fuso e la sua ampiezza e la sfera stessa può essere pensata come un fuso di ampiezza 2π, di conseguenza è possibile scrivere la

10 10 1. GEOMETRIA SFERICA seguente proporzione 2π : 4π = α : Area Area = 2α Definition 1.9. (Circonferenze massime perpendicolari)su una superficie sferica due circonferenze massime si dicono perpendicolari se incontrandosi individuano quattro fusi retti. Definition (Angolo tra due semicirconferenze massime) Due semicirconferenze massime, aventi il diametro in comune, individuano un fuso, la sua ampiezza è anche l ampiezza dell angolo formato dalle due semicirconferenze. Theorem L ampiezza di un fuso sferico è sempre minore o uguale a π e quindi anche l angolo tra due circonferenze massime segue la stessa limitazione. DIMOSTRAZIONE. Infatti due piani che si intersecano individuano quattro diedri, a due a due uguali, ciascuno dei quali è minore o uguale ad un angolo piatto. Questa limitazione può essere in alcuni casi fastidiosa, ma così come si possono considerare diedri concavi, volendo si possono anche definire fusi sferici concavi con ampiezza compresa tra π e 2π Triangoli sferici Definition (Doppio fuso sferico) Ad ogni fuso sferico possiamo associare un secondo fuso sferico ad esso opposto al vertice e quindi ad esso uguale i cui lati sono il prolungamento dei lati del primo fuso, come è indicato in figura.

11 1.2. TRIANGOLI SFERICI 11 FIGURA Doppio fuso sferico L unione di questi due fusi forma il doppio fuso sferico. Essendo i due fusi uguali se la loro ampiezza è α la loro area sarà 4α. Definition (Triangolo sferico) Sulla sfera consideriamo tre punti A, B, C, non appartenenti ad una stessa circonferenza massima, essi individueranno tre fusi sferici, il fuso BAC tale che BA e CA siano dei segmenti, il fuso ABC tale che AB e CB siano dei segmenti, il fuso ACB tale che AC e BC siano dei segmenti, l intersezione di questi tre fusi forma il triangolo sferico.

12 12 1. GEOMETRIA SFERICA FIGURA Triangolo sferico Theorem Considerato un triangolo sferico ABC, individuato dai tre fusi sferici di ampiezza rispettivamente: Â, ˆB, Ĉ, l area del triangolo sferico è data da: Area = Â + ˆB + Ĉ π A B C è il simmetrico di ABC rispetto al centro della sfera DIMOSTRAZIONE. Dalla figura sottostante si deduce che unendo i tre doppi fusi sferici di ampiezza Â, ˆB, Ĉ si ricopre tutta la sfera, una volta sola la parte esterna ai due triangoli ABC e A B C e tre volte ciascuno dei due triangoli.

13 1.2. TRIANGOLI SFERICI 13 FIGURA Area del triangolo sferico Tenendo conto di ciò che è già noto sull area dei fusi sferici e del fatto che l area della superficie sferica di raggio 1 è 4π si può scrivere: 4π = 4  + 4 ˆB + 4Ĉ 4 Area Area =  + ˆB + Ĉ π Corollary La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore, o al più uguale ad un angolo piatto. DIMOSTRAZIONE. Infatti da quanto detto in precedenza si ha  + ˆB + Ĉ = π + Area

14 14 1. GEOMETRIA SFERICA e Area è una quantità positiva o al più nulla.

15 CAPITOLO 2 Trigonometria sferica 2.1. Teoremi sui triangoli sferici Remark 2.1. Come già detto prima le sfere considerate saranno tutte sfere trigonometriche, cioè sfere di raggio unitario, pertanto un qualsiasi segmento su dette sfere avrà una lunghezza 1 il cui valore sarà l ampiezza del corrispondente angolo al centro espresso in radianti. FIGURA Lunghezza del segmento sferico Theorem 2.2. (Teorema del coseno o di Eulero) Con riferimento alla figura sottostante, in un triangolo sferico valgono le seguenti formule: sfera cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(α) cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b cos(γ) cos(b) = cos(a) cos(c) + sin(a) sin(c) cos(β) 1 Le lunghezze vengono espresse usando come unità di misura il raggio della 15

16 16 2. TRIGONOMETRIA SFERICA FIGURA Teorema del coseno DIMOSTRAZIONE. Disegnato il triangolo sferico, avente i lati minori di π, si completa la costruzione con il piano α individuato dai tre 2 punti C, O, A. Dal vertice B del triangolo si conduce la tangente alla circonferenza massima che individua il lato a e a quella che individua il lato c, i punti di intersezione di dette tangenti con il piano α definiscono i due punti M en. Si fissi l attenzione sul triangolo rettangolo M OB

17 2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI 17 FIGURA Triangolo MOB Dalla trigonometria piana si deduce che: MB = tan(a) MO = 1 cos(a) In modo analogo, ragionando sul triangolo rettangolo N OB si ricava che NB = tan(c) NO = 1 cos(c) Applicando il teorema di Carnot al triangolo MNO si ottiene MN 2 = MO 2 + NO 2 2 MO NO cos(b) MN 2 = 1 = cos 2 (a) + 1 cos 2 (c) 2 1 cos(a) 1 cos(c) cos(b) MN 2 = cos2 (c) + cos 2 (a) 2 cos(a) cos(b) cos(c) cos 2 (a) cos 2 (c) Applicando il teorema di Carnot al triangolo MNB si ottiene MN 2 = MB 2 + NB 2 2MB NB cos(β)

18 18 2. TRIGONOMETRIA SFERICA cos 2 (c) + cos 2 (a) 2 cos(a) cos(b) cos(c) cos 2 (a) cos 2 (c) = tan 2 (a) + tan 2 (c) 2 tan(a) tan(c) cos(β) = cos 2 (c) + cos 2 (a) 2 cos(a) cos(b) cos(c) cos 2 (a) cos 2 (c) = sin2 (a) cos 2 (c) + sin 2 (c) cos 2 (a) 2 cos(a) cos(c) cos(β) sin(a) sin(c) cos 2 (a) cos 2 (c) = 2 cos 2 (a) cos 2 (c) 2 cos(a) cos(b) cos(c) = = 2 cos(a) cos(c) cos(β) sin(a) sin(c) 2 cos(a) cos(c) = 2 cos(b) 2 cos(β) sin(a) sin(c) cos(b) = cos(a) cos(c) + sin(a) sin(c) cos(β) In modo analogo si possono dimostrare altre due formule cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(α) cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b cos(γ) Theorem 2.3. (Teorema dei seni) Dimostrare le seguenti uguaglianze: sin(a) sin(α) = sin(b) sin(β) = sin(c) sin(γ)

19 2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI 19 FIGURA Teorema dei seni DIMOSTRAZIONE. Dal punto A si conduca la perpendicolare AH al piano individuato dai tre punti BOC, dal punto H si conduca la perpendicolare HL alla retta OB e la perpendicolare HK alla retta OC. Per il teorema delle tre perpendicolari [1, a pagina 134 ] la retta OB è perpendicolare al piano individuato dai punti ALH quindi l angolo ALH ˆ è una sezione normale del diedro che individua il fuso sferico con vertice in B, quindi ALH ˆ = β. In modo analogo si dimostra che AKH ˆ = γ. Considerando il triangolo ALO, rettangolo in L, si ha che AL = sin(c) Considerando il triangolo ALH, rettangolo in H, si ha che AH = AL sin(β) AH = sin(c) sin(β) Considerando il triangolo AKO, rettangolo in K, si ha che AK = sin(b)

20 20 2. TRIGONOMETRIA SFERICA Considerando il triangolo AKH, rettangolo in H, si ha che AH = AK sin(γ) AH = sin(b) sin(γ) Dalle precedenti equazioni si deduce che sin(c) sin(β) = sin(b) sin(γ) sin(c) = sin(b) sin(γ) sin(β) In modo analogo si dimostra che sin(a) sin(α) = sin(b) sin(β) = sin(c) sin(γ) Theorem 2.4. (formule di Vieta) In un triangolo sferico valgono le seguenti formule: cot(a) sin(b) = cos(b) cos(γ) + sin(γ) cot(α) cot(a) sin(c) = cos(c) cos(β) + sin(β) cot(α) cot(b) sin(c) = cos(c) cos(α) + sin(α) cot(β) cot(b) sin(a) = cos(a) cos(γ) + sin(γ) cot(β) cot(c) sin(a) = cos(a) cos(β) + sin(β) cot(γ)

21 2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI 21 FIGURA Regola di Vieta DIMOSTRAZIONE. Dal teorema di Eulero 2.2 a pagina 15 si ha cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(α) cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ) Dal teorema dei seni 2.3 a pagina 18 si ha sin(a) sin(α) = sin(c) sin(γ)

22 22 2. TRIGONOMETRIA SFERICA sostituendo si ha cos(a) = cos(b) [cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ)] + + sin(b) sin(c) cos(α) sin(c) = sin(a) sin (γ) sin(α) cos(a) = cos(a) cos 2 (b) + cos(b) sin(a) sin(b) cos(γ) + + sin(b) sin(a) sin (γ) cot(α) cos(a) sin 2 (b) = cos(b) sin(a) sin(b) cos(γ) + + sin(b) sin(a) sin (γ) cot(α) cos(a) sin 2 (b) sin(a) sin(b) = cos(b) sin(a) sin(b) cos(γ) sin(a) + sin(b) + sin(a) sin(b) sin (γ) cot(α) sin(a) sin(b) cot(a) sin(b) = cos(b) cos(γ) + sin(γ) cot(α) La regola di cui sopra, detta regola di Vieta, ha uno schema del tipo cot(..) sin(..) = cos(..) cos(..) + sin(..) cot(..) Per riempire gli spazi vuoti si segue la seguente figura

23 2.1. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI 23 e cioè: FIGURA Schema regola di Vieta primo lato >secondo lato > angolo tra i due lati > angolo opposto al primo lato Con questi schemi si possono scrivere altre regole cot(a) sin(c) = cos(c) cos(β) + sin(β) cot(α) cot(b) sin(c) = cos(c) cos(α) + sin(α) cot(β) cot(b) sin(a) = cos(a) cos(γ) + sin(γ) cot(β) cot(c) sin(a) = cos(a) cos(β) + sin(β) cot(γ) cot(c) sin(b) = cos(b) cos(α) + sin(α) cot(γ)

24 24 2. TRIGONOMETRIA SFERICA 2.2. Teoremi sui triangoli sferici rettangoli Theorem 2.5. =In un triangolo rettangolo sferico, i cui lati siano tutti minori di π, indicando con c l ipotenusa e con a e b i due cateti si ha 2 che: cos(c) = cos(a) cos(b) FIGURA Triangoli sferici rettangoli DIMOSTRAZIONE. Ne punto C si tracci il piano α tangente alla sfera e quindi perpendicolare al raggio CO. Si consideri la retta OB e sia D il punto di intersezione di tale retta con il piano α, analogamente sia E il punto di intersezione della retta OA con lo stesso piano. L angolo DCE è retto in quanto è la sezione normale dell angolo diedro che individua il fuso sferico di vertice C che è retto per ipotesi.

25 2.2. TEOREMI SUI TRIANGOLI SFERICI RETTANGOLI 25 Si consideri il triangolo DCO, rettangolo in C, essendo CO = 1 si può scrivere DC = tan(a) DO = 1 cos(a) Analogamente considerando il triangolo rettangolo COE si può scrivere: CE = tan(b) OE = 1 cos(b) Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DCE si ha: DE 2 = tan 2 (a) + tan 2 (b) Applicando il teorema di Carnot al triangolo DEO abbiamo DE 2 = DO 2 + OE 2 2 DO OE cos(c) tan 2 (a) + tan 2 (b) = 1 cos 2 (a) + 1 cos 2 (b) 2 cos(a) cos(b) cos(c) cos 2 (b) sin 2 (a) + cos 2 (a) sin 2 (b) = cos 2 (a) + cos 2 (b) 2 cos(a) cos(b) cos(c) 2 cos(a) cos(b) cos(c) = 2 cos 2 (a) cos 2 (b) cos(c) = cos(a) cos(b) Questo teorema si poteva dimostrare come semplice applicazione del teorema del coseno. Claim 2.6. Il teorema precedente si poteva dedurre molto più facilmente dal teorema di Eulero, dalle regole di Vieta 2.4 a pagina 20 si possono dedurre, ponendo γ = 90, le seguenti formule valide per il triangolo rettangolo sferico.

26 26 2. TRIGONOMETRIA SFERICA FIGURA Triangolo sferico rettangolo Dalle formule di Vieta 2.4 a pagina 20 si ricava che: cot(a) sin(b) = cot(α) sin(b) = tan(a) cot(α) In modo analogo si può dimostrare sin(a) = tan(b) cot(β) Da un altra delle formule di Vieta si ricava: cot(c) sin(a) = cos(a) cos(β) cos(β) = tan(a) cot(c) In modo analogo si ricava: cos(α) = tan(β) cot(c)

27 CAPITOLO 3 Coordinate geografiche 3.1. Latitudine e longitudine Definition 3.1. (Longitudine e latitudine) Come è noto in geografia la terra viene considerata sferica con una particolare retta che passa per il suo centro, l asse di rotazione terrestre. 27

28 28 3. COORDINATE GEOGRAFICHE FIGURA Terra Dalla figura è assolutamente evidente come viene individuato un punto P sulla superficie terrestre, c è solo da aggiungere che la latitudine viene suddivisa in Nord e Sud ed è un angolo compreso tra 0 e 90, mentre la longitudine viene suddivisa tra Est e Ovest ed è un angolo compreso tra 0 e 180. Se assumiamo come unità di misura per le lunghezze il raggio della terra trasformiamo la terra in una sfera trigonometrica e quindi la lunghezza dell arco F M sarà pari alla longitudine di P, che verrà abbreviata con long P,la lunghezza in metri dell arco F M sarà allora long P R, dove R è la lunghezza in metri del raggio della terra.

29 3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI Distanza tra due punti Theorem 3.2. Dimostrare che la distanza tra due punti A e B di uno stesso quarto di sfera (ad esempio Nord_Est) è data da AB = arccos [sin (lat A ) sin (lat B ) + cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long)], vedere la figura sottostante, FIGURA Distanza tra due punti DIMOSTRAZIONE. Come è noto la distanza tra due punti, in geometria sferica, è la lunghezza dell arco più piccolo che i due punti individuano sulla circonferenza massima che passa per i due punti stessi.

30 30 3. COORDINATE GEOGRAFICHE Si consideri il triangolo sferico NAB, esso ha: l angolo sferico ANB ˆ = A OB ˆ = long B long A = long il lato sferico NA = π 2 lat A il lato sferico NB = π 2 lat B Applicando il teorema del coseno a detto triangolo, vedere il teorema 2.2 a pagina 15, si ottiene : cos( AB) = cos( NA) cos( cos( AB) = cos ( π 2 lat A NB) + sin( NA) sin( NB) cos( ANB) ˆ ) ( ) ( ) π π cos 2 lat B + sin 2 lat A sin cos( AB) = sin (lat A ) sin (3.2.1) (lat B ) + cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long) AB = arccos [sin (lat A ) sin (lat B ) + cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long)] ( ) π 2 lat B cos ( long) Theorem 3.3. Dimostrare che in un triangolo sferico esiste la seguente relazione sin 2 (α) = sin 2 ( long) cos 2 (lat B ) 1 sin 2 (lat A ) sin 2 (lat B ) cos 2 (lat A ) cos 2 (lat B ) cos 2 ( long) + 2 sin (lat A ) sin (lat B ) cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long)

31 3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI 31 FIGURA Calcolo della direzione DIMOSTRAZIONE. Si applichi il teorema dei seni al triangolo sferico NAB sin ( π 2 lat B sin(α) ) cos 2 (lat B ) sin 2 (α) = = ( ) sin AB sin ( long) ( ) 1 cos 2 AB sin 2 ( long)

32 32 3. COORDINATE GEOGRAFICHE Usando la a pagina 30 si ha cos 2 ( AB ) = [sin (lat A ) sin (lat B ) + cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long)] 2 =.0 = sin 2 (lat A ) sin 2 (lat B ) + cos 2 (lat A ) cos 2 (lat B ) cos 2 ( long) sin (lat A ) sin (lat B ) cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long) Ritornando all equazione precedente sin 2 (α) = sin2 ( long) cos 2 (lat B ) ( ) 1 cos 2 AB sin 2 (α) = sin 2 ( long) cos 2 (lat B ) 1 sin 2 (lat A ) sin 2 (lat B ) cos 2 (lat A ) cos 2 (lat B ) cos 2 ( long) + 2 sin (lat A ) sin (lat B ) cos (lat A ) cos (lat B ) cos ( long) L espressione ottenuta è piuttosto complessa, non esiste su nessun manuale, provo a trovare qualche cosa di più utilizzabile. Theorem 3.4. Con riferimento alla figura seguente dimostrare che l angolo α, detto anche rotta iniziale, soddisfa alla seguente uguaglianza: tan (α) = sin ( long) tan (lat B ) cos (lat A ) sin (lat A ) cos ( long)

33 3.2. DISTANZA TRA DUE PUNTI 33 FIGURA Rotta iniziale DIMOSTRAZIONE. Si consideri la formula di Vieta 2.4 a pagina 20 ( ) ( ) ( ) cot NB sin NA = cos NA cos ( long) + sin ( long) cot (α) ( ) ( ) ( ) π π π cot 2 lat B sin 2 lat A = cos 2 lat A cos ( long) + sin ( long) cot (α) tan (lat B ) cos (lat A ) = sin (lat A ) cos ( long) + sin ( long) cot (α) cot (α) = tan (lat B) cos (lat A ) sin (lat A ) cos ( long) sin ( long) sin ( long) tan (α) = tan (lat B ) cos (lat A ) sin (lat A ) cos ( long)

34 34 3. COORDINATE GEOGRAFICHE 3.3. Coordinate cartesiane La sfera trigonometrica è la sfera di raggio unitario Theorem 3.5. Data la sfera trigonometrica, con riferimento alla figura sottostante, dimostrare le relazioni FIGURA Coordinate cartesiane DIMOSTRAZIONE. Dalla figura si deduce che (3.3.1) OQ = cos (lat) OZ = sin (lat) OX = cos (lat) cos (long) OY = cos (lat) sin (long)

35 3.3. COORDINATE CARTESIANE 35 La terra può essere considerata approssimativamente una sfera, se come unità di misura delle lunghezze si assume il raggio della terra questa sfera diventa la sfera trigonometrica. L equatore e il meridiano di Greenwich dividono la superficie terrestre in quattro parti uguali: la zona di nord-est, la zona di nord-ovest, la zona di sud-est, la zona di sudovest, ricordando come vengono definite la latitudine e la longitudine di un punto sulla superficie terrestre si può dire che le coordinate cartesiane di un punto della superficie terrestre, nel sistema di riferimento indicato nella figura di cui sopra, saranno: Nord-est: Nord-ovest: Sud-est: Sud-ovest: x = cos (lat) cos (long) y = cos (lat) sin (long) z = sin (lat) x = cos (lat) cos (long) y = cos (lat) sin (long) z = sin (lat) x = cos (lat) cos (long) y = cos (lat) sin (long) z = sin (lat) x = cos (lat) cos (long) y = cos (lat) sin (long) z = sin (lat) Theorem 3.6. Con riferimento alla figura seguente dimostrare che vale la seguente uguaglianza: tan (ϕ) = [cos (lat P ) sin (lat Q ) sin (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long)] [cos (lat Q ) sin ( long)] 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q )

36 36 3. COORDINATE GEOGRAFICHE FIGURA Distanza tra due punti DIMOSTRAZIONE. Essendo la sfera una sfera trigonometrica avente raggio unitario la distanza P Q coincide con l angolo ϕ formato dai due vettori OP e OQ. Il punto T è il punto di intersezione tra il piano tangente alla sfera in P e la retta OQ, di conseguenza il segmento P T rappresenta la tangente dell angolo ϕ. Le coordinate di P sono note dal teorema precedente, bisogna calcolare quelle di T. Il piano tangente α ha una equazione del tipo ax + by + cz + d = 0

37 3.3. COORDINATE CARTESIANE 37 dove a, b, c sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano stesso (si veda [2, a pag. 158 ]), il vettore OP è perpendicolare al piano α, dal teorema precedente OP = [cos (lat P ) cos (long P )] u x + [cos (lat P ) sin (long P )] u y + [sin (lat p )] u z L equazione del piano α sarà del tipo [cos (lat P ) cos (long P )] x + [cos (lat P ) sin (long P )] y + [sin (lat p )] z + d = 0 Il piano α deve passare per il punto P che ha come coordinate di conseguenza x P = cos (lat P ) cos (long P ) y P = cos (lat P ) sin (long P ) z P = sin (lat P ) [cos (lat P ) cos (long P )] 2 + [cos (lat P ) sin (long P )] 2 + [sin (lat p )] 2 + d = 0 cos 2 (lat P ) [ cos 2 (long P ) + sin 2 (long P ) ] + sin 2 (lat P ) + d = 0 L equazione del piano α sarà la seguente: d = 1 [cos (lat P ) cos (long P )] x + [cos (lat P ) sin (long P )] y + [sin (lat P )] z = 1 La retta OQ ha le seguenti equazioni parametriche x = [cos (lat Q ) cos (long Q )] t y = [cos (lat Q ) sin (long Q )] t z = [sin (lat Q )] t sostituendo nell equazione del piano α si ha [cos (lat P ) cos (long P )] [cos (lat Q ) cos (long Q )] t + +[cos (lat Q ) sin (long Q )] [cos (lat P ) sin (long P )] t+[sin (lat P )] [sin (lat Q )] t = 1 t = 1 cos (lat P ) cos (long P ) cos (lat Q ) cos (long Q ) + + cos (lat Q ) sin (long Q ) cos (lat P ) sin (long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q )

38 38 3. COORDINATE GEOGRAFICHE t = 1 cos (lat P ) cos (lat Q ) [cos (long P ) cos (long Q ) + sin (long P ) sin (long Q )] + + sin (lat P ) sin (lat Q ) t = 1 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) Le coordinate del punto T, intersezione tra la retta OQ e il piano α, saranno x T = y T = z T = cos (lat Q ) cos (long Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat Q ) sin (long Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) x = x T x P = = cos (lat Q ) cos (long Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) + cos (lat P ) cos (long P ) = = cos (lat Q ) cos (long Q ) sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (long P ) + cos 2 (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) cos (long P ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos (long Q long P ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) I calcoli si stanno complicando oltremodo, bisognerebbe calcolare ancora y e z per poi usare la formula tan (ϕ) = x 2 + y 2 + z 2, un tentativo fatto con Maxima ha condotto a un risultato lungo mezza pagina e quindi assolutamente inutilizzabile, l idea migliore è quella di abbandonare tutto e cercare un altra strada.

39 3.3. COORDINATE CARTESIANE 39 L angolo ϕ lo si può calcolare sfruttando le proprietà del prodotto scalare tra due vettori: OP OQ = cos (ϕ) cos (lat P ) cos (long P ) cos (lat Q ) cos (long Q ) + + cos (lat P ) sin (long P ) cos (lat Q ) sin (long Q ) + sin (lat P ) sin (lat Q ) = cos (ϕ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q ) = cos(ϕ) Il risultato ottenuto è identico alla a pagina 30, per ottenere qualche cosa di diverso si può usare la famosa formula : tan (ϕ) = tan (ϕ) = 1 cos2 (ϕ) cos (ϕ) 1 cos 2 (lat P ) cos 2 (lat Q ) cos 2 ( long) sin 2 (lat P ) sin 2 (lat Q ) + 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q ) tan (ϕ) = 1 [ 1 sin 2 (lat P ) ] cos 2 (lat Q ) cos 2 ( long) + [1 cos 2 (lat P )] sin 2 (lat Q ) 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q ) tan (ϕ) = 1 + sin 2 (lat P ) cos 2 (lat Q ) cos 2 ( long) sin 2 (lat Q ) + + cos 2 (lat P ) sin 2 (lat Q ) cos 2 (lat Q ) [1 sin 2 ( long) ] + 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q ) tan (ϕ) = 1 sin 2 (lat Q ) cos 2 (lat Q ) + sin 2 (lat P ) cos 2 (lat Q ) cos 2 ( long) + + cos 2 (lat P ) sin 2 (lat Q ) + cos 2 (lat Q ) sin 2 ( long) + 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) sin (lat P ) sin (lat Q ) cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q )

40 40 3. COORDINATE GEOGRAFICHE tan (ϕ) = [cos (lat P ) sin (lat Q ) sin (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long)] [cos (lat Q ) sin ( long)] 2 cos (lat P ) cos (lat Q ) cos ( long) + sin (lat P ) sin (lat Q )

41 Indice analitico Angolo tra due semicirconferenze massime, 10 asse relativo alla circonferenza massima, 6 Circonferenza massima, 5 Circonferenze massime perpendicolari, 10 Distanza sferica o segmento sferico, 7 Doppio fuso sferico, 10 formule di Vieta, 20 Fuso sferico, 8 Longitudine e latitudine, 27 Poli di una circonferenza massima, 6 rotta iniziale, 32 Teorema dei seni, 18 Teorema del coseno o di Eulero, 15 Triangolo sferico, 11 41

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43 Bibliografia [1] L. Cateni R. Fortini. La Geometria per il liceo Classico e Artistico 2, volume secondo. Le Monnier, Firenze, [2] C. Longo. LEZIONI DI GEOMETRIA, volume unico. Libreria eredi Virgilio Veschi, Roma Viale dell Università, 7,