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1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 1 Consideriamo diverse situazioni, tutte riconducibili all analisi di una variabile quantitativa con il confronto tra diversi gruppi di soggetti: A. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione i cui parametri sono noti B. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione di cui è nota la media ma non la deviazione standard C. Confronto tra campioni appaiati D. Confronto tra due campioni indipendenti E. Confronto tra n campioni indipendenti F. Confronto tra misure ripetute sugli stessi soggetti I casi A e B sono già stati esaminati nella lezione sulle statistiche campionarie Il caso E corrisponde all'analisi della varianza Il caso F non sarà considerato in questo corso. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie

2 Riepilogo del caso A: Confronto tra una media campionaria ed una popolazione i cui parametri sono noti Siamo interessati al confronto tra la media campionaria e la media della popolazione. I parametri della distribuzione di probabilità della variabile nella popolazione (µ e σ) sono noti. Il processo di verifica dell ipotesi si svolge secondo quanto visto in precedenza: L ipotesi di lavoro: il campione non è parte dalla popolazione considerata ma di un altra popolazione, con media differente. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 3 L ipotesi nulla: il campione estratto ha media uguale a quella della popolazione (corrisponde cioè ad un campione tratto da tale popolazione). L' errore di primo tipo è fissato al 5% (α=0,05) L' errore di secondo tipo viene fissato al 0% e la dimensione del campione è definita di conseguenza usando apposite tavole (l'argomento non è ancora stato trattato). L esperimento consiste nell estrazione di un campione e nel calcolo della media campionaria. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 4

3 Il test statistico consiste nel calcolo della deviata normale standardizzata: Z = ( X - µ)/ (σ/ n). Dove X : media campionaria µ: media della popolazione (σ/ n): errore standard della media (cioè deviazione standard della media campionaria) σ: deviazione standard della popolazione n: numerosità del campione Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 5 Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che siano validi i presupposti relativi alla distribuzione di probabilità (gaussiana). L assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione non sia troppo asimmetrica). Nel calcolo della dimensione del campione occorre quindi anche considerare che la distribuzione di frequenza di campioni piccoli si differenzia dalla distribuzione gaussiana maggiormente che la distribuzione di frequenza di campioni grandi. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 6

4 Il valore di probabilità corrispondente al valore Z (valore assoluto di Z) così ottenuto si legge dalla tabella della distribuzione normale standard. Se Z>0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e. Se Z<0 viene letto il valore di probabilità compreso tra Z e -. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 7 Esempio 1 Confronto della pressione sistolica di un gruppo di pazienti affetti da una forma di arteriopatia di Burger con la popolazione generale. H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale. L ipotesi è nata osservando che i primi casi avevano valori pressori molto elevati. H 0 = i pazienti appartengono ad una popolazione con media della pressione sistolica 145 mmhg La deviazione standard della misura della pressione della popolazione è nota da precedenti studi ed è pari a,53 mmhg; Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 8

5 test bilaterale ('a due code'; sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda). errore 1 tipo =0.05 numerosità campionaria non modificabile poichè sono inclusi tutti i pazienti disponibili. Non è stata calcolata la potenza statistica Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione). Il valore del test si legge sulle tabelle della distribuzione di probabilità normale standard (es. Tabella A3 del testo consigliato). Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 9 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 10

6 Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione è nota da precedenti studi ed è pari a,53 mmhg; La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 11 I dati: Obs pressure (mmhg) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 1

7 Le statistiche campionarie necessarie per il test N (dimensione campionaria) 15 Media campionaria mmhg (calcolo omesso) I parametri necessari per il test µ=145 mmhg σ=,53 mmhg Memo: Il valore della statistica Z corrispondente al limite per il rifiuto dell ipotesi nulla (dati errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code) è 1,960. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 13 Il calcolo del test Z = ( X - µ)/ (σ/ n). Z = ( ) / (,53/ 15) = = 6,34 Conclusione =? Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 14

8 Il calcolo del test Z = ( X - µ)/ (σ/ n). Z = ( ) / (,53/ 15) = = 6,34 Conclusione = rifiuto l ipotesi nulla. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 15 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 16

9 Esempio Una compagnia di assicurazioni intende controllare quali agenzie sono troppo severe oppure troppo disponibili nella valutazione dei danni. Viene effettuato un campione delle pratiche seguite da ciascuna agenzia. Per rendere omogenea la popolazione di provenienza vengono esclusi gli incidenti con feriti e quelli in autostrada. Il costo medio nella popolazione (tutte le pratiche della compagnia di assicurazione) (in migliaia di euro) = 1,6. Deviazione standard della popolazione (in migliaia di euro) = 3,4 H lavoro: L'agenzia xxyy si discosta dai parametri definiti sulla base della popolazione di tutti gli incidenti dell'anno in corso. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 17 H0: l'agenzia non si discosta. test a due code (interessano entrambi gli scostamenti) errore 1 tipo =0.10 (dato il piano di lavoro di controllo) numerosità campionaria pratiche. Test statistico: test Z (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 18

10 Requisiti del test scelto: La deviazione standard del costo medio è nota, poichè il centro di calcolo della compagnia ha tutte le pratiche. La distribuzione della variabile nella popolazione è asimmetrica con coda a destra (valori elevati), come indicato dal centro di calcolo. Viene effettuata una trasformazione logaritmica per renderla simile alla gaussiana: dopo la trasformazione anche piccoli campioni si distribuiscono secondo la distribuzione gaussiana. Il centro di calcolo fornisce µ e σ della popolazione Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 19 I dati Obs costo Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 0

11 Variable: costo Stem Leaf # Boxplot * *--+--* Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 1 Dati trasformati su scala logaritmica. Obs costo lcosto Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie

12 Variable: lcosto Stem Leaf # Boxplot *--+--* Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 3 Variable: lcosto (log e del costo) Moments N Mean Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 4

13 Il calcolo del test Media e deviazione standard della popolazione calcolati dai logaritmi dei dati originali. µ = 0,6364 σ = 0, X = 0,16 Z = ( X - µ )/ (σ / n). Z = (0,16-0,6364) / (0,875469/ ) = = - 0,484 p=0,401 Conclusione = non rifiuto l ipotesi nulla. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 5 Riepilogo del caso B: Confronto tra una media campionaria ed una popolazione di cui non si conosce la deviazione standard. Se non abbiamo informazioni sul parametro (il valore nella popolazione), usiamo la statistica campionaria, che è stata calcolata proprio per avere informazioni relative al valore (ignoto) del parametro nella popolazione. Si ricorda che l Atteso della varianza campionaria calcolata con il denominatore è (n-1) è una stima non distorta della varianza della popolazione. La varianza del campione però è affetta da variabilità casuale rispetto alla varianza della popolazione, a causa del campionamento. Pertanto non potremo usare statistiche basate sulla distribuzione normale standardizzata, che risulterebbe troppo poco conservativa ma dovremo usare la distribuzione t di Student. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 6

14 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 7 La probabilità corrispondente all intervallo tra un dato t e si legge su apposite tabelle (es. tabella A4 del testo consigliato). Si noti che i valori di probabilità cumulativa esterni ad un dato valore di t sono maggiori man mano che si riduce il numero di gradi di libertà. La distribuzione t per 30 gradi di libertà è praticamente una distribuzione normale standardizzata. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 8

15 Confronto tra un campione e la media della popolazione La formula del test è simile a quella già vista per il calcolo del test Z, con l'errore standard calcolato dalla deviazione standard del campione: t gl = ( X - µ)/ (s/ n). X : media campionaria µ: media della popolazione s: deviazione standard del campione (s/ n): errore standard della media (cioè dev. standard della media campionaria) n: numerosità del campione il numero di gradi di libertà è gl= n-1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 9 Il test è di tipo parametrico, cioè è valido a condizione che: - nella popolazione la variabile sia distribuita secondo la distribuzione di probabilità gaussiana; - il campione abbia la stessa varianza della popolazione. La prima assunzione è generalmente vera dato il teorema del limite centrale (sempre che n sia sufficientemente grande e la forma della distribuzione della popolazione non sia troppo asimmetrica). La seconda è vera se vale H 0 (il campione appartiene alla popolazione), mentre non è valutabile altrimenti. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 30

16 Esempio Confronto della pressione sistolica tra un gruppo di pazienti affetti da una forma di arteriopatia con la popolazione generale (è l esempio precedente, sviluppato senza fare uso della informazione sulla deviazione standard della popolazione). Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 31 H lavoro= i soggetti considerati, affetti da una rara malattia delle arterie hanno pressione arteriosa (sistolica) diversa dalla popolazione generale. L ipotesi è nata osservando che i primi casi diagnosticati avevano valori pressori molto elevati H 0 = media della popolazione: pressione sistolica 145 mmhg test a due code (sebbene l ipotesi di lavoro sia indirizzata maggiormente verso un rialzo pressorio, non ho informazioni sufficientemente forti da scegliere un test ad una coda) errore 1 tipo =0.05 errore tipo =0.0 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 3

17 Test statistico: test t (confronto tra una media campionaria e la media della popolazione, senza dati sulla deviazione standard della popolazione). Verifica dei Requisiti del test scelto: La deviazione standard della misura della pressione della popolazione non è nota. La distribuzione della variabile nella popolazione è gaussiana, pertanto anche piccoli campioni saranno distribuiti secondo tale distribuzione. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 33 I dati individuali: Obs pressure (mmhg) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 34

18 Le statistiche campionarie N 15 Mean Std Deviation 5,8538 Variance 34,667 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 35 I dati necessari per il test µ=145 mmhg media campione= Std Deviation 5,8538 dimensione del campione = 15 numero di gradi di libertà= 14 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 36

19 Il calcolo del test t 14 = (X - µ)/ (s/ n). t 14 = (149,13-145) / (5,8538/ 15) = =,735 Conclusione = rifiuto l ipotesi nulla. Memo: Il valore della statistica t corrispondente al limite per il rifiuto dell ipotesi nulla (errore 1 tipo <= 0,05 e test a due code, 14 g.l.) =,145 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 37 t Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 38

20 Confronto tra due campioni appaiati Parliamo di campioni appaiati quando ad ogni osservazione del primo gruppo corrisponde un'osservazione del secondo gruppo. E' una tecnica per ridurre l'influenza sui risultati da parte di variabili estranee Due possibilità: - misure ripetute nello stesso soggetto - soggetti diversi ma appaiati perchè simili per caratteristiche importanti (es della stessa età, sesso, luogo di nascita e professione) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 39 L'ipotesi alternativa (di lavoro) è di solito: H1: µ 1 # µ e la corrispondente ipotesi nulla è: Ho: µ 1 = µ quindi Ho: µ 1 - µ =0 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 40

21 In questo caso conviene costruire il test sulle differenze dei valori tra le coppie di misure appaiate. Conviene quindi riformulare H1 ed H0 indichiamo la media delle differenze nella popolazione con δ - L'ipotesi alternativa (di lavoro) è: H1: δ # 0 e l'ipotesi nulla è: Ho: δ = 0 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 41 Calcolo le differenze per le coppie di misure d i = x i1 - x i calcolo quindi media e deviazione standard di d nel campione, usando le formule consuete. Media d n i= 1 = = n d i Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 4

22 Deviazione _ st. = s = n i= 1 ( d d) i ( n 1) Calcolo infine l'errore standard s E. S. = n e la statistica t con g.l.= n.osservazioni 1. t = d s 0 n Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 43 Esempio: in uno studio viene valutato l'accrescimento in peso in coppie di topi nati dalla stessa nidiata e sottoposti a due diverse diete. H1: tra i topi alimentati con le due diete si osserva una differenza di crescita in peso H0: le due diete sono equivalenti e quindi tra i ratti alimentati con le due diete non si osserva una differenza di crescita in peso. errore di 1 tipo = 0,05 viene condotto un esperimento con coppie di topi. La distribuzione della variazione del peso è gaussiana. Userò il test t di student. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 44

23 dieta A dieta B differenza d i1 d i d (d i d ) ,9 0, ,9 15, ,9 0, ,1 1, ,1 4, ,9 0, ,1 16, ,1 37, ,9 4, ,9 3,61 Σ = 0,0 Σ =104,9 d =3,1 s = Σ(d i d ) / (n-1) = = 104,9 / 9 = 11,66 s= 11,66 = 3,41 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 45 ES(d) = s/ n = 3,41 / 10 = 1,08 t 9 = 3,1 / 1,08 =,87 il valore di t con 9 gl corrisponde ad una probabilità < 0,0 (nelle due code della distribuzione t) Dato che stiamo conducendo un test bilaterale dobbiamo sommare l'area della coda superiore e della coda inferiore della distribuzione di probabilità t. Se usiamo la tavola A4, si tenga conto la tavola riporta solo la coda superiore ma l'area nelle due code è = * area nella coda superiore. Ad es. la probabilità corrispondente al valore di t(9 g.l.) =,81 è 0,01 sulla coda superiore. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 46

24 quindi la probabilità corrispondente al valore di t(9 g.l.) =,81 è * 0,01 = 0,0 sulle due code. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 47 Conclusione? Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 48

25 Possiamo anche calcolare un intervallo di confidenza della differenza media. Calcoliamo l'intervallo di confidenza al 95%: Limite fiduciale superiore = d + t 9gl;0,05 *(s/ n) = 3,1 +,6 * 1,08 =5,54 Limite fiduciale inferiore = d - t 9gl; 0,05 *(s/ n) = 3,1 -,6 * 1,08 = 0,66 t α/ deve essere scelto tenendo conto del numero di gradi di libertà ( in questo caso 9) Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 49 Confronto tra la media di due campioni indipendenti Nel caso del confronto tra due campioni indipendenti il test è costruito per valutare la probabilità (data H 0 ) della differenza osservata tra le medie dei due campioni, correggendo per l errore standard. - L'ipotesi alternativa (di lavoro) è di solito: H1: µ 1 # µ e la corrispondente ipotesi nulla è: Ho: µ 1 = µ quindi Ho: µ 1 - µ =0 Non ho informazioni sulla popolazione ma solo sui campioni pertanto dovrò usare il test t e la distribuzione t Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 50

26 La differenza tra le due medie: x = ( X 1 X ); Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 51 Il calcolo dell errore standard richiede l individuazione di un valore comune della varianza. Questo valore può essere stimato sia se i due campioni appartengono alla stessa popolazione (H 0 ) sia se appartengono a due popolazioni diverse (H_lavoro), purchè abbiano la stessa varianza (omoscedasticità). Si potrà quindi calcolare uno stimatore comune dell errore standard. Il caso di due campioni con varianze diverse si può affrontare con i test non parametrici, considerati nelle prossime lezioni. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 5

27 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 53 Nel caso di due campioni con varianza comune, lo stimatore migliore della varianza comune (indicata come s (pool) ) è la media delle due varianze campionarie, pesata per il numero di gradi di libertà di ciascun campione. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σ Σ = + + = n n x x x x n n s n s n s pool = somma delle devianze / gradi di libertà Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 54 Per il calcolo dell Errore Standard pooled si consideri che: n n x x var σ = σ +

28 ES( X 1 X ) = (s (pool) /n 1 + s pool /n ) = [s (pool) * (1/n 1 + 1/n )] = s (pool) * (1/n 1 + 1/n ) t gl = s ( x1 x) () 0 pool n 1 n Il numero di gradi di libertà è n 1 + n - Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 55 La verifica dei requisiti di normalità sarà considerata in una delle prossime lezioni. In modo approssimato si può: 1. tenere conto che la distribuzione di campionamento è sempre normale quando i campioni sono grandi. n> 30 garantisce la normalità della distribuzione dei campioni anche se la distribuzione di base è asimmetrica.. Disegnare un istogramma, che deve essere simmetrico 3. Utilizzare una procedura (grafici QQ o PP in SPSS) che effettua il test di normalità. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 56

29 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 57 Esempio: In un laboratorio si intende confrontare l effetto di due differenti diete sulla crescita di ratti. La tabella indica l incremento di peso conseguito tra 7 e 60 giorni dalla nascita. H lavoro: Le due diete sono diverse (in particolare ritengo che la dieta 1 consenta una più veloce aumento di peso ma non ho evidenze per rifiutare a priori altre possibilità). H 0 : le due diete sono uguali per quanto riguarda l aumento di peso. Test a code Errore di primo tipo= 0,05 Lo studio riguarda animali già trattati, pertanto la numerosità campionaria è definita in base al numero di animali già trattati con le due diete Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 58

30 Test t-student (confronto tra medie di campioni indipendenti). Valutazione dei requisiti per il test: La distribuzione del peso degli animali è gaussiana. Gli animali sono dello stesso ceppo, si suppone quindi che la varianza del peso sia la stessa e che le due diete non modifichino la varianza comune. Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 59 I dati: incremento tra peso a 7 gg e peso a 60 gg Dieta 1 Dieta X 1 = 10,0 X = 101,0 n 1 = 1 n = 7 x = ( X 1 X ) = = 19,0 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 60

31 La stima della varianza nei due gruppi viene effettuata con una media pesate delle due varianze (nel primo e nel secondo gruppo). Viene indicata come varianza pooled. S = {Σ(x i1 X 1 ) + Σ(x i X ) } / [(n 1 + n -)] Σ(x i1 X 1 ) = 503,00 Σ(x i X ) = 55,00 S = { } / 17 = 446,1 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 61 L'errore standard viene quindi calcolato usando la deviazione standard pooled. ES( X 1 X ) = [s * (1/n 1 + 1/n )] ES( X 1 X ) = [446.1 * (1/1 + 1/7) ] = 100,90 = 10,04 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 6

32 t 17 = (10,0 101,0) / 10,04 = 1,89 Le due aree verdi corrispondono a p=0.05, su due code Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 63 Il valore di t con 17 gl corrispondente alla probabilità del 5% sulle due code è,110 Conclusione? Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 64

33 Calcoliamo l'intervallo di confidenza della differenza osservata tra i due gruppi. Calcoliamo l'intervallo di confidenza al 95%: Limite fiduciale superiore = (19,0) +,110 * 10,04= 40,18 Limite fiduciale inferiore = (19,0) -,110 * 10,04= -,18 x 1 x + t gl;0,05 * [s * (1/n 1 + 1/n )] = x x 1 + t gl;0,05 * [s * (1/n 1 + 1/n )]= Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 65 Esercizi dal testo p 1 n 1 p 1 n p 1 n 4 p 1 n 5 + intervallo di confidenza al 95% della differenza p 13 n 8 + intervallo di confidenza al 95% della differenza p 13 n 9 Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Confronto tra due medie 66

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

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