Metodi statistici per l'analisi dei dati

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1 Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due

2 Esempio itroduttivo L impasto dell esempio itroduttivo è modificato aggiugedo u additivo che dovrebbe ridure la viscosità. A tal proposito si predoo i cosiderazioe 0 misure sperimetali di viscosità del ttameto origiale (cotrollo) 0 misure sperimetali di viscosità del prodotto alimetare modificato. j Crema modificata (cp) Cotrollo (cp) y Itroduzioe Esempio Il valore medio delle misure del prodotto modificato è miore del valore medio del prodotto origiale Due possibili spiegazioi: Le due formulazioi soo realmete differeti La differeza osservata ei è dovuta alle fluttuazioi ievitabilmete preseti elle misure sperimetali, e le due formulazioi soo di fatto equivaleti Obiettivo: Cocludere che i due campioi soo realmete differeti co strumeti statistici rigorosi Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due

3 Cocetti di statistica di base Descrizioi grafiche della variabilità Diagramma per puti Utile per campioi di piccole dimesioi (sio a 0 osservazioi) i y i Viscosità [cp] y y y i i 7.69 Il diagramma permette di ricooscere il tred cele e la dispersioe dei dati. U ispezioe visiva (qualitativa) del diagramma rivela che i due soo verosimilmete differeti. Cocetti di statistica di base Descrizioi grafiche della variabilità Rappresetazioe dei campioi mite diagrammi a scatola ( box-plots ) Valore massimoosservatoelosservato campioe mo percetile Viscosità [cp] V Mediaa 5 mo percetile 64 Modificato No modificato Valore miimo osservato el campioe Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 3

4 campioi I due diversi possoo essere visti come due livelli del fattore formulazioi Modello statistico per i dati: y ij μ i + ε ij i, j,,..., i y ij j-esima osservazioe dal livello i-esimo μ i Media della risposta al livello i-esimo ε ij Variabile aleatoria ormale associata co la j-esima osservazioe campioi Test statistici Defiizioe del problema Dal puto di vista formale, si possoo defiire le segueti ipotesi ulla H 0 e l ipotesi alterativa H : H 0 : μ μ H : μ μ Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 4

5 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Ricetta /4 cegliere u livello di sigificatività α del test (i geere α0.05) Calcolare il valore critico t α/ tale che: P ( t T ) α α / tα / dove T è la distribuzioe T di tudet a ( + -) gradi di libertà Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Ricetta /4 Distribuzioe T di studet a 8 gdl co l evidezia delle regioi critiche areaα/ areaα/ Regioe di rigetto Regioe di o rigetto Regioe di rigetto Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 5

6 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Ricetta 3/4 Calcolare t 0 y y P + dove P è la stima della variaza campioaria: P ( ) + ( ) + Nota: el caso di, l espressioe si riduce a t 0 y y + Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Ricetta 4/4 i cofrota il t 0 osservato co il valore critico t α/ t < t 0 α / o rigettiamo l ipotesi ulla H 0. No si hao evideze sperimetali tali da affermare che i due siao sigificativamete diversi t > t 0 α / i rigetta l ipotesi ulla: i due soo sigificativamete diversi i corre u «rischio» di affermare la coclusioe sbagliata pari al livello di sigificatività α del test Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 6

7 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Teoria La differeza delle medie dei due può essere vista come ua VA di tipo ormale: [ μ μ, σ ( )] y ~ + y N e i due proveissero dalla stessa popolazioe (ovvero μ μ, σ σ ), e la variaza σ fosse ota, la statistica: z 0 σ y y + sarebbe u valore osservato di ua Gaussiaa di tipo stadard (Z~N(0,)) t 0 è u osservazioe di ua T di studet a ( + -) gdl: Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Teoria Dato che la variaza è igota, si ricorre alla sua stima P, per cui la statistica t 0 : t 0 y y P + ( ) è relativa ad ua T di studet a ( + -) g.d.l. e H 0 fosse vera, ci si aspetta quidi che la probabilità per t 0 di cadere ell itervallo [-t α/, t α/ ] sia pari a 00(-α). U campioe che produce dei risultati al di fuori di questo itervallo o sarebbe usuale è quidi più plausibile che l ipotesi ulla di parteza sia sbagliata Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 7

8 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Applicazioe Per le emulsioi alimetari dell esempio Calcolo valore critico t α/ : α/ (da tabelle dispoibili i letteratura o, equivaletemete, co l ausilio di software) t α/.0 Calcolo statistica t 0 : ( ) + ( ) P + t y y P 9.09 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Applicazioe Coclusioi: t > t 0 α / Il valore osservato t 0 è maggiore (i valore assoluto) del valore critico t α/ I due soo sigificativamete differeti co u rischio (errore di tipo I) del 5% che tale coclusioe sia sbagliata Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 8

9 Test statistici Defiizioe ipotesi alterative L ipotesi alterativa presa i cosiderazioe H : μ μ cotempla l evetualità che i due presi i cosiderazioe siao solo differeti H : μ <μ oppure μ <μ Tale ipotesi prede il ome di ipotesi i alterativa twosided (valori sia maggiori che miori portao al rigetto di H 0 ). I altri casi, la atura del problema può suggerire altre espressioi per le ipotesi alterative. Test statistici Defiizioe ipotesi alterative «oe sided» H : μ <μ i arriva al rigetto dell ipotesi i ulla solo se μ è sigificativamete miore di μ areaα Regioe di rigetto Regioe di o rigetto Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 9

10 Test statistici Defiizioe ipotesi alterative «oe sided» H : μ >μ i arriva al rigetto dell ipotesi ulla solo se μ è sigificativamete maggiore di μ areaα Regioe di o rigetto Regioe di rigetto Itervalli di fiducia Differeza di medie uppoiamo di essere iteressati a determiare u itervallo di fiducia al 95% per la differeza δ μ -μ delle medie. A tale scopo, si cosideri la statistica: t ( y y ) ( μ μ ) P P + essa èd distribuita secodo ua t +-. d δ + Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 0

11 Itervalli di fiducia Differeza di medie Da cui: P t / ovvero: P ( y y ) ( μ μ ) + t α α / P γ ( y y ) t + ( μ μ ) ( y y ) + t + γ Per cui CONF y α / P α / P ( y ) t + ( μ μ ) ( y y ) α / P L θ + t α / P U + Itervalli di fiducia differeza di due medie Applicazioe Per l esempio itroduttivo CONF ( ) (.0).37 + ( μ μ ) ( ) + (.0) ( ) y y tα / P + ( y y ) tα / P + ovvero: CONF {.70 μ μ 3.56 } 5 μ μ Da otare che il valore μ -μ 0 o è icluso ell itervallo, cofermado ulteriormete che l ipotesi μ μ o è plausibile per il livello di sigificatività α γ5%. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due

12 Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Estesioi σ σ Parte / I preseza di u test delle ipotesi: H 0 : μ μ H : μ μ i cui o è possibile assumere che le variaze dei campioi siao uguali, si può ricorrere alla statistica test t 0 ( y y ) + Test statistici Esempio: t Test per il cofroto di due campioi Estesioi Caso i cui σ σ Parte / essedo la statistica t be approssimata da ua t di studet a υ gradi di libertà: υ + ( ) ( ) Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due

13 Test statistici Esempio: Test per il cofroto di due campioi Estesioi σ e σ ote / I preseza di u test delle ipotesi: H 0 : μ μ H : μ μ i cui le variaze soo a priori ote, si può usare la statistica: z 0 ( y y ) σ e embi le popolazioi soo ormali (o le dimesioi del campioi soo gradi) la statistica z 0 ~ N(0,) + σ Test statistici Esempio: Test per il cofroto di due campioi Estesioi σ e σ ote / La regioe critica per i test delle ipotesi può essere calcolata usado la distribuzioe ormale di tipo stadard aziché la t di studet. arà ecessario calcolare il valore critico z α tale che, per esempio (caso test ipotesi two-sided): P ( z Z ) α α / zα / Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 3

14 Esempio itroduttivo medie co blocco i cosideri di uovo il caso dell esempio itroduttivo. La radomizzazioe dei campioi ha portato alla selezioe casuale di: 0 campioi da modificare 0 campioi o ttati che sarao usati come cotrollo Tale politica implica ua ievitabile sorgete di variazioe: la casualità ella scelta dei campioi da destiare ai due si aggiuge alla evetuale variazioe idotta dalla differeza dei y Esempio itroduttivo medie co blocco tegia possibile per elimiare tale sorgete di icertezza:. i selezioao 0 campioi (aziché 0) o modificati. e e misura la viscosità 3. I seguito, gli stessi campioi soo modificati co l aggiuta dell additivo. 4. i ripete la misura della viscosità sui campioi modificati Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 4

15 Esempio itroduttivo medie co blocco Il modello statistico per descrivere la procedura è il seguete: y ij μ i + β j + ε ij i, j,,..., i y ij j-esima osservazioe dal livello i- esimo μ i Media al livello i-esimo β j Effetto del campioe specifico ε ij Variabile aleatoria ormale associata co la j-esima osservazioe Esempio itroduttivo medie co blocco I questo modo è possibile valutare la differeza per la coppia j-ma: d j y j y j j,..., Il valore atteso di questa differeza è μ d E d E E μ μ [ j ] [ y j y j ] [ y j ] E[ y j ] + β ( μ + β ) μ j j È possibile fare ifereza sulla differeza di medie lavorado semplicemete co le differeze delle coppie Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 5

16 Esempio itroduttivo medie co blocco Testare H 0 : μ μ è equivalete a testare H 0 : μ d 00 H : μ d 0 La statistica test per questa ipotesi è acora ua t a (-) gdl: d t0 d dove d d j j e d ( d d ) j j Esempio itroduttivo medie co blocco La possibilità di ua campaga sperimetale co dati accoppiati, risulta da preferire alla campaga sperimetale completamete radomizzata. i elimia ua sorgete di icertezza dovuta alle differeze evetualmete preseti i campioi (e o dovute ai ). La filosofia del blocco permette di elimiare sorgeti di icertezza preseti el campioe di dati. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due 6

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