Appunti di. Logica. per l insegnamento di Matematica Discreta e Logca del corso di laurea triennale in Informatica

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1 Marco Barlotti Appunti di Logica per l insegnamento di Matematica Discreta e Logca del corso di laurea triennale in Informatica Vers. 1.0 Anno Accademico

2 In copertina un disegno di autore ignoto.

3 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. ".! Pag. I PERCHE QUESTI APPUNTI, E COME USARLI (Prefazione alla vers. "!. ) Questi appunti vogliono costituire un supporto scritto alle lezioni di logica che tengo nell ambito dell insegnamento di Matematica discreta e Logica per il Corso di Laurea triennale in Informatica presso la Scuola di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali all Università di Firenze. Anche se il materiale qui trattato corrisponde abbastanza fedelmente agli argomenti svolti a lezione, si tratta ancora di un work in progress soggetto a ulteriori verifiche, nel quale è inevitabile la presenza di errori materiali; in effetti è possibile dimostrare che negli appunti proposti, comprendendo in essi questa introduzione, c è almeno un errore, cioè c è almeno un affermazione falsa ( 1). Inoltre, per quanto mi sia sforzato di conciliare il rigore con la chiarezza, alcuni brani del testo possono risultare poco comprensibili. Sarò grato a tutti coloro, e specialmente agli studenti, che vorranno segnalarmi qualunque problema, dai più banali errori di stampa alle oscurità nell esposizione. Firenze, Marco Barlotti 1 Si lascia questa dimostrazione per esercizio; vale comunque la pena di notare che non è un effettiva dimostrazione di logica matematica; e che, se pure la dimostrazione è quasi immediata, l errore in questione, benché in teoria identificabile, non è altrettanto immediatamente riconoscibile.

4 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. ".! Pag. II BIBLIOGRAFIA [1] D. Mundici Logica: metodo breve Springer Verlag Italia, Milano (2011) [2] R. M. Smullyan A begginer s guide to Mathematical Logic Dover Publications, Inc., Mineola, New York (2014) [A] [G] M. Barlotti Appunti di Algebra M. Barlotti Appunti di Teoria dei Grafi AVVERTENZA Tutti i diritti di questa pubblicazione sono dell autore. È consentita la riproduzione integrale di questa pubblicazione a titolo gratuito. È altresì consentita a titolo gratuito l utilizzazione di parti di questa pubblicazione in altra opera all inderogabile condizione che ne venga citata la provenienza e che della nuova opera nella sua interezza vengano consentite la riproduzione integrale a titolo gratuito e l utilizzazione di parti a queste stesse condizioni. L uso di questa pubblicazione in quasiasi forma comporta l accettazione integrale e senza riserve di quanto sopra.

5 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. ".! Pag. III SOMMARIO 1. - Introduzione La logica matematica pag Enunciati. Il principio aristotelico del terzo escluso pag Logica proposizionale Alfabeto e formule pag Valutazioni di verità pag Le tabelle dei valori di verità pag Digressione sul connettivo.. Ä pag Quanti connettivi logici? pag La forma normale congiuntiva pag La notazione in clausole pag Confutazioni pag L algoritmo di Martin Davis.. e Hilary... Putnam pag Delitto al castello del duca Glomgold pag Confutazioni rapide pag Altri esempi ed esercizi pag Delitto al castello del duca Glomgold pag. 31

6 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. ".! Pag. IV

7 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag INTRODUZIONE La logica matematica. La matematica si sviluppa mediante assiomi, definizioni e teoremi: questi ultimi esprimono proprietà degli oggetti definiti (o dei concetti primitivi) che vengono dimostrate attraverso ragionamenti logici. La logica matematica studia le regole di ragionamento che vengono utilizzate nelle dimostrazioni: precisa il significato di conseguenza logica e consente di verificare la correttezza delle deduzioni riconducendole a procedimenti automatici, un po come il metodo delle coordinate riduce i problemi geometrici a problemi algebrici. Esempio Una delle forme più antiche di deduzione formalizzata è quella del sillogismo. Vediamo alcuni casi. ( 3) Se piove, Andrea prende l ombrello. Piove. Dunque Andrea prende l ombrello. ( 33) Ogni uomo è mortale. Socreate è un uomo. Dunque, Socrate è mortale. ( 333) Caro salsa facit bibere. Atqui, bibere extinguit sitim. Ergo, caro salsa extinguit sitim. Una traduzione un po libera del ( 333): Se mangio cose salate, bevo. Se bevo, mi disseto. Dunque, se mangio cose salate mi disseto. Vedremo che tutti e tre i sillogismi sopra esposti sono corretti (nel senso che l affermazione dopo il dunque è conseguenza logica delle due affermazioni che precedono il dunque ). Il primo e il terzo si potranno dimostrare con mezzi relativamente poveri (quello che si chiama usualmente calcolo proposizionale, del quale ci occuperemo come prima cosa); per il secondo serve una struttura più complessa (il calcolo dei predicati o logica del primo ordine ), che studieremo in seguito.

8 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag Enunciati. Il principio aristotelico del terzo escluso. Oggetto del nostro studio saranno gli enunciati. Intuitivamente, un enunciato è una frase che, opportunamente interpretata, assume un valore di verità ( vero oppure falso ) che rispetta le condizioni fissate # %!! anni fa dal filosofo greco Aristotele, dette principio del terzo escluso : Un enunciato è certamente vero oppure falso, e non può essere sia vero che falso. Esempio Zero è il numero più piccolo è un enunciato vero, se interpretato nell insieme dei numeri naturali; è un enunciato falso se interpretato nell insieme dei numeri interi relativi. Esempio Questo enunciato è falso non può essere interpretato come enunciato: infatti se fosse vero risulterebbe anche falso, quindi non può essere vero; ma se fosse falso risulterebbe anche vero, quindi non può essere nemmeno falso. Poiché non è dato un terzo possibile valore di verità oltre a vero e falso (i filosofi scolastici dicevano in latino: tertium non datur), questa frase non rispetta le condizioni fissate da Aristotele e quindi non è un enunciato. Dati alcuni enunciati, possiamo costruirne altri più complessi utilizzando i cosiddetti connettivi logici (ad esempio: c,,, Ä ) e assegnare a questi nuovi enunciati valori di verità che dipendono opportunamente sia dal valore di verità degli enunciati dati in partenza sia dai connettivi logici usati. La logica matematica studia gli enunciati più complessi così costruiti, definendo i concetti di equivalenza logica, conseguenza logica, tautologia e contraddizione e fornendo gli strumenti per riconoscee, anche con procedimenti sostanzialmente automatici, quando si realizzano..

9 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag LOGICA PROPOSIZIONALE Alfabeto e formule. In questo capitolo supporremo fissato un elementi sono: alfabeto, cioè un insieme A i cui ( 3 ) infiniti simboli :!, :", :#, á, : 8, á che etichettiamo con i numeri naturali ( 1) e chiamiamo variabili proposizionali; ( 33) quattro simboli c,,, Ä detti rispettivamente non, e, o, implica e detti complessivamente connettivi logici ; ( 333) due simboli e ¼ detti rispettivamente vero e falso e detti complessivamente costanti logiche. ( 3@ ) due simboli ( e ) detti rispettivamente parentesi aperta e parentesi chiusa e detti complessivamente simboli extralogici ; Si dice parola sull alfabeto A ogni sequenza finita di elementi di A: gli elementi di una parola vengono usualmente scritti di seguito senza altri segni grafici. Esempio Sono esempi di parole sull alfabeto A sopra descritto (separati fra loro dal simbolo ; ): ):":# c :" ¼ ; :":":& Ä()) c; ( c: ( " :#)) (:" Ä: #); c ¼ (:!. naturali. 1 Rigorosamente, tali simboli si dicono in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri

10 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 4 A noi in generale non interesseranno tutte le parole sull alfabeto A ma soltanto quelle costruite secondo opportune regole. Una parola A sull alfabeto A sopra descritto si dice formula (o anche formula ben formata, abbreviato in fbf) se esiste una sequenza finita A!, A", A#, á, A5 di parole su A tale che FBF-PROP.1 AœA 5 e FBF-PROP.2 per ogni 2Ÿ5la parola A 2 è una variabile proposizionale oppure è una costante logica oppure è della forma ( ca3) oppure è della forma ( A 3 A4) oppure è della forma ( A A) oppure è della forma ( AÄA) con 34 2, La sequenza finita A!, A", A#, á, A5 si dice in questo caso una costruzione della formula A. Il minimo numero naturale 5 per cui esiste una costruzione A!, A", A#, á, A5 della formula A si dice lunghezza di A. Osservazione Sia A una fbf e sia A!, A", A#, á, A5 una costruzione di A. Ogni A3 per 3 ³!, á, 5 è una fbf. Esempio Sono esempi di formule sull alfabeto A sopra descritto (ciascuna su un rigo diverso): ((:" ( c: #)) :") ((((:" Ä :") Ä :&) ( c ¼ )) :!) (( c: ( " :#)) (:" Ä: #)). Osservazione Per definizione, ogni variabile proposizionale e ogni costante logica è una fbf (di lunghezza "); d altro lato, se una fbf ha lunghezza " essa non può essere altro che una variabile proposizionale o una costante logica. Le fbf di lunghezza " (cioè le variabili proposizionali e le costanti logiche) si dicono formule atomiche.

11 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 5 Osservazione ( Principio di unica lettura delle fbf ) Sia A una fbf che non è né una variabile proposizionale né una costante logica. Per la condizione FBF-PROP.2 c è un unico modo di interpretare A come negazione di altra formula oppure (ma soltanto se ciò non è possibile) come congiunzione di altre due formule oppure (ma soltanto se le due precedenti interpretazioni non sono possibili) come disgiunzione di altre due formule oppure (ma soltanto se nessuna delle precedenti interpretazioni è possibile) come implicazione fra due formule. Osservazione Si intuisce dalla definizione, e si può già verificare nell esempio 2.1.3, che in una formula generalmente abbondano le parentesi. È dunque opportuno stabilire alcune convenzioni che consentano di limitare l uso delle parentesi nella scrittura di una fbf. Per adesso, stabiliremo che: ( 3) il connettivo c si riferisce esclusivamente alla fbf immediatamente successiva; ciò consente di omettere la parentesi aperta che precede c e la parentesi chiusa che segue la fbf immediatamente successiva; ( 33) la parentesi aperta e la parentesi chiusa più esterne possono essere omesse. Pertanto, ad esempio, scriveremo c: " c: # anziché (( c: ") ( c: #)) e scriveremo : Ä c: anziché (: Ä ( c: )). " # " # Valutazioni di verità. Si dice valutazione di verità ogni dall insieme delle variabili proposizionali nell insieme {!", }.

12 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 6 Teorema Per ogni valutazione di esiste una e una sola dall insieme delle formule nell insieme {!", } tale che ( 3 per ogni variabile proposizionale :; ( 33 ( ¼ ) œ! ( ) œ " ; ( 333 ) comunque prese le formule :", :# si c: ) œ ) à " :#) œ min :#) œ" œ" : ) œ! altrimenti " # :#) œ max :#) œ! œ! : ) œ " altrimenti " # Ä: ) œ! ) œ" ) Ä: ) œ" altrimenti. " # " # " # Tale si indica ancora e si dice valutazione di verità sull insieme delle formule associata oppure anche interpretazione associata Dimostrazione Per come si è definita una fbf, è sufficiente applicare le relazioni espresse dalla condizione ( 333) ad ogni termine della costruzione. La dimostrazione si formalizza per induzione sulla lunghezza di ciascuna formula. Osservazione I connettivi logici c ( non ) e ( e ) corrispondono abbastanza bene all avverbio non ( 2) e alla congiunzione e della lingua italiana. L uso nella lingua corrente della congiunzione (in senso grammaticale) o risulta però di fatto ambiguo. Quando alla biglietteria di una mostra leggiamo Hanno diritto al biglietto con tariffa ridotta i visitatori che sono in possesso di un biglietto dell autobus o hanno più di '& anni di età sappiamo che le due condizioni ( essere in possesso di un biglietto dell autobus e avere più di '& anni di età ) non si escludono a vicenda: il visitatore, per avere diritto al biglietto con tariffa ridotta, deve soddisfare una o l altra ma può anche soddisfare entrambe le condizioni. Si dice in questo caso che la particella o esprime una disgiunzione non esclusiva. 2 Ma si faccia attenzione al fatto che nella lingua italiana spesso la doppia negazione ha un valore rafforzativo ( Non vedo niente, Non odio nessuno ): vedremo che in logica non è mai così.

13 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 7 Quando invece nelle istruzioni del modello Unico per la dichiarazione dei redditi leggiamo Il contribuente che risulta in credito nelle imposte sui redditi può chiedere il rimborso della somma per cui è in credito o utilizzarla a compensazione di altre imposte dovute sappiamo che le due possibilità sono mutuamente esclusive: se si chiede il rimborso della somma per cui si è in credito non la si può utilizzare a compensazione di altre imposte dovute, e viceversa. Si dice che in questo caso la particella o esprime una disgiunzione esclusiva. Il fatto che nel teorema si sia :#) œ! se e soltanto œ! # ) œ! significa che il connettivo logico corrisponde alla disgiunzione o usata in senso non esclusivo (cioè quando in latino si tradurrebbe con vel anziché con aut ). Siano : una formula una valutazione di verità sull insieme delle formule. œ ", si dice che : è vera oppure che : è vera nell oppure anche soddisfa : ; scriveremo Sia : una formula. Se ogni valutazione di verità soddisfa :, si dice che : è una tautologia; se esiste almeno una valutazione di verità che soddisfa :, si dice che : è soddisfacibile; se nessuna valutazione di verità soddisfa :, si dice che : è insoddisfacibile, oppure che è una contraddizione. Esempio Per ogni formula :, la formula : c: è una tautologia; la formula : c: è una contraddizione; per ogni variabile proposizionale :, la formula : Ä c: è soddisfacibile (ma non è una tautologia). Sia una qualsiasi valutazione di verità; allora œ " œ!. In entrambi i c:) œ " c:) œ!. Siano una valutazione di verità per la œ! e A una valutazione di verità per la quale A( :) œ". Si ( ) œ" (cosicché :Äc: è soddisfacibile) mentre A:Äc: ( ) œ! (cosicché :Äc: non è una tautologia).

14 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 8 Teorema La formula : è una tautologia se e soltanto se la formula c: è una contraddizione. Dimostrazione Supponiamo in primo luogo che : sia una tautologia. Per ogni deve allora œ" e ( :) œ!, dunque c: è una contraddizione. Viceversa, supponiamo che c : sia una contraddizione. Per ogni deve allora ( :) œ! e œ", dunque : è una tautologia. Siano :, < formule. Si dice che < è conseguenza logica di : e si scrive : } < se ogni valutazione che soddisfa : soddisfa anche <. Si dice che : e < sono logicamente equivalenti e si scrive : < se ciascuna di esse è conseguenza logica dell altra, cioè se ogni valutazione che soddisfa : soddisfa anche < e viceversa ogni valutazione che soddisfa < soddisfa anche :. Teorema Le formule : e < sono logicamente equivalenti se e soltanto se per ogni valutazione di si < ). Dimostrazione Supponiamo in primo luogo che : e < siano logicamente equivalenti, cioè che ciascuna di esse sia conseguenza logica dell altra. una valutazione di verità: œ ", deve < ) œ " (perché < è conseguenza logica di :); œ!, non può < ) œ " (perché in tal caso dovrebbe œ ", essendo : conseguenza logica di < ), < ) œ!. Per l arbitrarietà della valutazione di si è così provato che ogni valutazione di verità assume lo stesso valore su : e <. Supponiamo adesso che < ) per ogni valutazione di Allora ogni valutazione di verità che soddisfa : soddisfa anche < (cioè < è conseguenza logica di :) e viceversa ogni valutazione di verità che soddisfa < soddisfa anche : (cioè : è conseguenza logica di < ): dunque : e < sono logicamente equivalenti.

15 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 9 Teorema Siano :, < formule. Sono fatti equivalenti: ( 3 ) < è conseguenza logica di :; ( 33) : Ä < è una tautologia. Dimostrazione Proviamo in primo luogo che dalla ( 3) segue la ( 33). Supponiamo che valga la ( 3 ), e una qualsiasi valutazione di verità: dobbiamo provare Ä< ) œ". œ!, ciò è ovvio; œ", per la ( 3) deve essere < ) œ " e Ä < ) œ ", come si voleva dimostrare. Ora proviamo che dalla ( 33) segue la ( 3). Supponiamo che valga la ( 33 ), e una valutazione di verità tale œ "; poiché deve Ä< ) œ", non può < ) œ!, e < ) œ". Per l'arbitrarietà della si è così provato che < è conseguenza logica di :, come si voleva. Teorema Siano :, < formule. Sono fatti equivalenti: ( 3 ) : e < sono logicamente equivalenti; ( 33) (: Ä < ) ( < Ä :) è una tautologia. Dimostrazione Se vale la ( 3 ), < è conseguenza logica di : e : è conseguenza logica di < ; dunque per il teorema : Ä < e < Ä : sono tautologie; ma allora (: Ä < ) ( < Ä :) è una tautologia, cioè vale la ( 33), come si voleva dimostrare. Viceversa, supponiamo che valga la ( 33): allora sia : Ä < che < Ä : sono tautologie, dunque per il teorema < è conseguenza logica di : e : è conseguenza logica di < : dunque : e < sono logicamente equivalenti, cioè vale la ( 3), come si voleva dimostrare. Sia D ³ {:, :, :, á, : } un insieme finito di formule. " # $ 8 Si dice che una valutazione di soddisfa D soddisfa ciascuna delle formule :, :, :, e :. " # $ á 8 Se esiste almeno una valutazione che soddisfa D, si dice che D è soddisfacibile; se nessuna valutazione soddisfa D, si dice che Dè insoddisfacibile. Siano :", :#, : $, á, : 8, : formule. Si dice che : è conseguenza logica di :", :#, : $, á, : 8 e si scrive {:", :#, : $, á, : } } : se ogni valutazione di verità che soddisfa {,,,, } soddisfa anche. : : : : : " # $ á 8 8

16 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 10 Teorema Siano :", :#, : $, á, : 8, : formule. Sono fatti equivalenti: ( 3) : è conseguenza logica di :, :, :, á, : ; " # $ 8 ( 33) {:, :, :, á, :, c: } è insoddisfacibile. " # $ 8 Dimostrazione Proviamo in primo luogo che dalla ( 3) segue la ( 33). una valutazione di verità. Ci sono due soddisfa ciascuna delle 8 formule :", :#, : $, á, : 8 (e in questo caso per la ( 3) soddisfa anche :, quindi non soddisfa c: ), oppure c è almeno una delle 8 formule :", :#, : $, á, : 8 che non è soddisfatta In entrambi i non soddisfa {:, :, :, á, :, c: }. " # $ 8 Ora proviamo che dalla ( 33) segue la ( 3) Þ una valutazione che soddisfa ciascuna delle 8 formule :", :#, : $, á, : 8. Per la ( 33 non soddisfa {:", :#, : $, á, : 8, c :}, c: ) œ!. œ " e quindi la ( 3 ) per l arbitrarietà Esercizio Siano!, " formule. Si dimostri che! è conseguenza logica di {! ", c" }. Teorema Siano!, ", : tre formule. Sono fatti equivalenti: ( 3 ) : è conseguenza logica di! e "; ( 33 ) : è conseguenza logica di! ". Dimostrazione Proviamo in primo luogo che dalla ( 3) segue la ( 33). una valutazione di verità che soddisfa! "; soddisfa! e soddisfa ", quindi per la ( 3 ) soddisfa :. Per l arbitrarietà abbiamo provato che : è conseguenza logica di! ". Ora proviamo che dalla ( 33) segue la ( 3 ). una valutazione di verità che soddisfa! e soddisfa "; soddisfa! ", quindi per la ( 33) soddisfa :. Per l arbitrarietà abbiamo provato che : è conseguenza logica di! e ".

17 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag Le tabelle dei valori di verità. Se le formule : e < sono costruite mediante i connettivi logici a partire da certe altre formule :", :#, á, : 5, per ogni valutazione di i < ) dipendono soltanto ), ). " # 5 Questa banale osservazione si applica di fatto a tutte le formule, perché ciascuna di esse è costruita mediante i connettivi logici a partire da un numero finito di variabili logiche. Le informazioni essenziali sulle formule, cioè la verifica delle possibili proprietà che abbiamo definito nella sez. 2.2, si possono quindi ottenere tabulando i valori 5 < ) in funzione dei # possibili valori ), ). Dunque: " # 5 la formula : è una tautologia se e soltanto se per ogni possibile valore ), ) si œ "; " # 5 la formula : è soddisfacibile se e soltanto se esiste una scelta di valori ), ) per la quale si œ "; " # 5 la formula : è una contraddizione se e soltanto se per ogni possibile valore ), ) si œ!; " # 5 la formula < è conseguenza logica della formula : se e soltanto se per ogni valore ), ) tale œ " si ha < ) œ "; " # 5 le formula : e < sono logicamente equivalenti se e soltanto se per ogni possibile valore ), ) si < ) (cfr. teor ) ; " # 5 Le tabelle che esprimono i valori di verità per una o più formule in funzione dei valori di verità delle formule (eventualmente delle variabili proposizionali) a partire dalle quali esse sono costruite si dicono tabelle dei valori di verità (o talvolta, più pomposamente, tavole di verità) per quelle formule. Teorema Siano!, ", # formule. ( 3) Le formule! e c( c! ) sono logicamente equivalenti; ( 33 ) Le formule! " e "! sono logicamente equivalenti; ( 333 ) le formule! " e "! sono logicamente equivalenti; ( 3@ ) le formule (! ") # e! (" #) sono logicamente equivalenti; (@) le formule (! ") # e! (" #) sono logicamente equivalenti.

18 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 12 Dimostrazione Basta tabulare i valori di verità delle formule considerate in funzione di tutti i possibili valori di verità per!, " e #:! c! cðc! Ñ! "! "! "! "! " "!! " "!!!!!!!! " " "!! "! " "!! " " " " " "! " #! " " # (! ") #! (" #)!!!!!!!!! "!!!!! "!!!!!! " "! "!! "!!!!!! "! "!!!! " "! "!!! " " " " " " "! " #! " " # (! ") #! (" #)!!!!!!!!! "! " " "! "! " " " "! " " " " " " "!! "! " " "! " " " " " " "! " " " " " " " " " " "

19 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 13 Osservazione Siano!, " formule. Le equivalenze logiche espresse dai punti ( 3@ ) e (@) del terorema suggeriscono altre situazioni (oltre a quelle già esplicitate con l osservazione 2.1.6) nelle quali certe parentesi possono essere omesse. Senza ambiguità circa il valore assunto sulla formula risultante da ogni valutazione di verità, infatti, potremo scrivere! " # in luogo di (! ") # e di! (" #), e potremo scrivere! " # in luogo di (! ") # e di! (" #). Più in generale, potremo usare senza ambiguità le scritture!!! á! e!!! á!. " # $ 8 " # $ Digressione sul connettivo Ä. Siano!, " formule. Alla formula! Ä " corrispondono molte espressioni del linguaggio corrente, formalmente diverse ma sostanzialmente equivalenti. Essa infatti si può leggere se! allora " oppure! implica " oppure " se! oppure! solo se ". Le formule costruite mediante il connettivo Ä rivestono particolare importanza in matematica, perché compaiono nell enunciato di molti teoremi. Siano!, " formule. Se la formula! Ä " è una tautologia, si dice che! è condizione sufficiente per " oppure, equivalentemente, che " è condizione necessaria per!.

20 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 14 Teorema Siano!, " formule. Le formule! Ä " e c! " sono logicamente equivalenti. Dimostrazione Basta tabulare i valori di verità di! Ä " e di c! " in funzione di tutti i possibili valori di verità per! e ":! "! Ä " c! c! "!! " " "! " " " " "!!!! " " "! " Siano!, " formule. Si dice contronominale dell implicazione! Ä " l implicazione c" Ä c!. Teorema Siano!, " formule. L implicazione! Ä " e la sua contronominale c" Ä c! sono logicamente equivalenti. Dimostrazione Si potrebbero tabulare i valori di verità di! Ä " e di c" Ä c! in funzione di tutti i possibili valori di verità per! e " (si lascia questa strada al lettore come utile esercizio). Ma si può anche procedere a una verifica diretta utilizzando il teorema e le ( 3) e ( 333) del teorema 2.3.1: c" Ä c! c( c ") c! " c! c! "! Ä ". Esercizio Si stabilisca se in generale per tre formule!, " e # si ha che (! Ä ") Ä #! Ä (" Ä #) oppure no.

21 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 15 Esempio Verifichiamo, con l aiuto delle tabelle dei valori di verità, che, qualunque siano le formule! e ", la formula " è conseguenza logica di! (! Ä "). Dimostrazione Basta tabulare i valori di verità di! (! Ä ") in funzione di tutti i possibili valori di verità per! e " e osservare che in tutte le righe per le quali nella colonna di! (! Ä ") compare il valore " anche nella colonna di " compare il valore ":! "! Ä "! (! Ä ")!! "!! " "! "!!! " " " " Si noti che le due formule! (! Ä ") e " non sono però logicamente equivalenti: infatti nella seconda riga della tabella compaiono in corrispondenza delle loro colonne due valori diversi. Osservazione Si riconsideri il sillogismo ( 3) dell esempio Posto! ³ Piove e " ³ Andrea prende l ombrello, tale sillogismo esprime il fatto che " è conseguenza logica di! e! Ä ", ossia (per il teorema ) di! (! Ä "). Dunque l esempio fornisce la formalizzazione del sillogismo ( 3) dell esempio Esercizio Si riconsideri il sillogismo ( 333) dell esempio Lo si formalizzi mediante la scelta di opportune variabili logiche e se ne dimostri la validità.

22 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 16 Esercizi Per ciascuna delle seguenti formule si stabilisca se è una tautologia o una contraddizione oppure né l una né l altra cosa: (:Ä;) (;Ä:); ( c: Ä ;) c (: ;) ; :Ä(;Ä:); (:Ä(;Ä<)) Ä ((:Ä;) Ä (:Ä<); ((: ;) ( c: < )) Ä (: <); ((:Ä;) c;) ((;Ä:) c:) ; ((:Ä;) Ä< ) c:ä ( (;Ä<) ; Quanti connettivi logici? Teorema ( leggi di De Morgan ) Siano!, " formule. Allora () 3 c (! ") c! c"; ( 33) c (! ") c! c". Dimostrazione Basta tabulare i valori di verità delle formule considerate in funzione di tutti i possibili valori di verità per! e ":! "! " c (! ") c! c" c! c"!!! " " " "! " "! "!! "! "!! "! " " "!!!!! "! " c (! ") c! c" c! c"!!! " " " "! "! " "! " "!! "! " " " " "!!!!

23 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 17 Corollario Siano!, " formule. Le formule c(! Ä ") e! c" sono logicamente equivalenti. Dimostrazione Infatti (teor ) (teor ( 3)) (teor ( 3)) c(! Ä ") c( c! ") c( c!) c"! c". Osservazione Comunque scelte le formule! e ", si ha che! " cac! c" b e! " cac! c" b. In effetti, per le leggi di De Morgan, cc a! c" b cc (!) cc ( ")! " e cc a! c" b cc (!) cc ( ")! " Dunque ciascuno dei due connettivi e può essere espresso mediante un opportuna combinazione dell altro e della negazione. Osservazione Per i teoremi e 2.5.1, ogni formula ben formata è logicamente equivalente a una formula costruita utilizzando soltanto i connettivi logici c e. Se definiamo un nuovo connettivo logico estendendo la generica valutazione di con la < ) œ " < ) < ) œ! altrimenti si verifica facilmente (mediante le tabelle dei valori di verità) che per ogni coppia di formule!, " si ha!! c!; (!! ) ( " ")! "; (! " ) (! ")! "; (! ( " " )) (! ( " "))! Ä ". Dunque ogni formula ben formata è logicamente equivalente a una formula ben formata costruita utilizzando soltanto il connettivo logico.

24 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 18 Esercizio Sia il connettivo logico introdotto nell osservazione Si stabilisca se in generale per due formule! e " si ha che! " "! oppure no. Esercizio Sia il connettivo logico introdotto nell osservazione Si stabilisca se in generale per tre formule!, " e # si ha che (! " ) #! ( " # ) oppure no. Esercizi Definiamo cinque nuovi connettivi logici à ( se ), ( o disgiuntivo ), ( la prima formula ), ( la seconda formula ) e ( sempre vero ) (attenzione! questi simboli e questi nomi non sono standard!) estendendo la generica valutazione di con le Ã< ) œ! œ! < ) Ã< ) œ" < ) œ " < < ) œ " < ) qualunque sia il valore < < ) < ), qualunque sia il < ) œ ", qualunque sia il valore < ) Si esprima ciascuno dei cinque connettivi logici sopra considerati mediante i quattro connettivi standard c,,, Ä Si esprima ciascuno dei cinque connettivi logici sopra considerati mediante il connettivo considerato nell osservazione Si dimostri che ogni possibile connettivo binario è uno dei tre connettivi binari standard,, Ä oppure uno dei cinque connettivi Ã,,,, oppure la negazione di uno di questi otto connettivi binari.

25 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag La forma normale congiuntiva. La scelta del connettivo logico unario c e dei tre connettivi logici binari, e Ä per la costruzione delle formule rappresenta un compromesso tra economia (numero dei connettivi logici usati) e chiarezza (senso della formula costruita nel linguaggio comune). Abbiamo visto con l osservazione che ogni formula ben formata non solo è logicamente equivalente a una formula costruita utilizzando soltanto i connettivi logici c e ma addirittura a una formula costruita utilizzando soltanto il connettivo binario. In questa sezione introduciamo un altra possibile forma standard (anzi, altre due) a cui ogni formula può essere ridotta; questa risulterà molto importante nella prossima sezione, dove la utilizzeremo per introdurre un algoritmo di soddisfacibilità. Si dice letterale una formula che consiste in una variabile proposizionale oppure nella negazione di una variabile proposizionale. dove ciascun dove ciascun Una formula : si dice in forma normale congiuntiva ( FNC )se : è della forma : œ :" :# á : 2 : 3 è della forma : 3 œ : : á : 3", 3#, 3ß5 3 : 34, è un letterale. Una formula : si dice in forma normale disgiuntiva ( 3 ) ( FND ) se : è un letterale oppure : è della forma : œ :" :# á : 2 dove ciascun dove ciascun : 3 è un letterale oppure è della forma : 3 œ : : á : 3", 3#, 3ß5 3 : 34, è un letterale. 3 Il nome è standard ma non è particolarmente felice, visto che abbiamo sottolineato come il connettivo logico vada considerato un 9 non disgiuntivo.

26 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 20 Osservazione Ogni letterale, in base alla definizione, è sia una formula in FNC che una formula in FND. Per dimostrare che ogni formula è logicamente equivalente a una formula in forma normale congiuntiva ci serve ancora qualche risultato preliminare. Teorema Siano!, ", # formule. ( 3 ) Le formule (! ") # e (! #) (" #) sono logicamente equivalenti; ( 33 ) Le formule! (" #) e (! ") (! #) sono logicamente equivalenti; ( 333 ) Le formule (! ") # e (! #) (" #) sono logicamente equivalenti; ( 3@ ) Le formule! (" #) e (! ") (! #) sono logicamente equivalenti; Dimostrazione Come al solito, basta tabulare i valori di verità delle formule considerate in funzione di tutti i possibili valori di verità per!, " e #. Ad esempio,! " #! "! # " # (! ") # (! #) (" #)!!!!!!!!!! "! " " " "! "!!! "!!! " "! " " " " "!!! "!!! "! "! " " " " " "! " " " " " " " " " " " " " che dimostra la ( 3). Si lasciano al lettore, quale utile esercizio, le tabulazioni dei valori di verità che provano la ( 33), la ( 333) e la ( 3@ ).

27 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 21 Lemma Se : è una formula in FND, allora c: è logicamente equivalente a una formula in FNC; se : è una formula in FNC, allora c: è logicamente equivalente a una formula in FND. Dimostrazione Se : è in FND; allora : è della forma : œ :" :# á : 2 dove ciascun : 3 è della forma : œ : : á : dove ciascun dove ciascun : 34, è un letterale ", 3#, 5 Per le leggi di De Morgan (teor ) ne segue che c: è della forma c: œ c :" c:# á c: 2 c: 3 è della forma c: 3 œ c : c: á c: 3", 3#, 3ß5 3 dove ciascun c: 34, è la negazione di un letterale, dunque è logicamente equivalente a un letterale. Pertanto si è visto che: se : è in FND, allora c: è logicamente equivalente a una formula in FNC. Supponiamo poi che : sia in FNC; allora : è della forma : œ :" :# á : 2 dove ciascun dove ciascun dove ciascun : 3 è della forma : 3 œ : : á : 3", 3#, 3ß5 3 : 34, è un letterale. Per le leggi di De Morgan (teor ) ne segue che c: è della forma c: œ c :" c:# á c: 2 c: 3 è della forma c: 3 œ c : c: á c: 3", 3#, 3ß5 3 dove ciascun c: 34, è la negazione di un letterale, dunque è logicamente equivalente a un letterale. Pertanto si è visto che: se : è in FNC, allora c: è logicamente equivalente a una formula in FND. Il lemma è così completamente dimostrato.

28 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 22 Lemma Se : e < sono formule in FNC, allora : < è logicamente equivalente a una formula in FNC. Dimostrazione Per ipotesi, : è della forma : œ :" :# á : 2 dove ciascun : 3 è della forma : œ : : á : 3 3 3", 3#, 5 dove ciascun : è un letterale; e < è della forma 34, < œ < " < # á < 2 dove ciascun < 3 è della forma < 3 œ < < á < 3", 3#, 3ß5 3 dove ciascun < 34, è un letterale. Ripetute applicazioni della ( 3) e della ( 33) del teorema ci permettono di concludere che : < è logicamente equivalente alla formula (: < ) (: < ) á (: < ) (: < ) (: < ) á (: < ) á " " " # " 2 # " # # # 2 á (: < ) (: < ) á (: < ) 2 " 2 # 2 2 che (per la forma delle formule : 3 e < 3) è in FNC. Lemma Se : e < sono formule in FND, allora : < è logicamente equivalente a una formula in FND. Dimostrazione Per ipotesi, : è della forma : œ :" :# á : 2 dove ciascun : 3 è della forma : 3 œ : : á : 3", 3#, 3ß5 3 dove ciascun : è un letterale; e < è della forma 34, < œ < " < # á < 2 dove ciascun < 3 è della forma < 3 œ < < á < 3", 3#, 3ß5 3 dove ciascun < 34, è un letterale. Ripetute applicazioni della ( 333) e della ( 3@ ) del teorema ci permettono di concludere che : < è logicamente equivalente alla formula (: < ) (: < ) á (: < ) (: < ) (: < ) á (: < ) á " " " # " 2 # " # # # 2 á (: < ) (: < ) á (: < ) 2 " 2 # 2 2 che (per la forma delle formule e ) è in FND. : < 3 3

29 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 23 Teorema (di forma normale congiuntiva ) Ogni formula è logicamente equivalente a una formula in FNC (e a una formula in FND). Dimostrazione Basta procedere per induzione sulla lunghezza della formula data: infatti l asserto è banalmente vero per i letterali (ciascuno dei quali è sia in FNC che in FND). Supposto vero l asserto per le formule di lunghezza minore di 8, con 8 ", per il teorema resta da distinguere fra tre casi: ( 3) la formula data è della forma c!, con! di lunghezza minore di 8; ( 33 ) la formula considerata è della forma! ", con! e " di lunghezza minore di 8 ; ( 333 ) la formula considerata è della forma! ", con! e " di lunghezza minore di 8. Nel caso ( 3), per concludere che c! è logicamente equivalente a una formula in FNC basta supporre (per l ipotesi di induzione) che! sia logicamente equivalente a una formula in FND e applicare a questa il lemma ; per concludere invece che c! è logicamente equivalente a una formula in FND basta supporre (per l ipotesi di induzione) che! sia logicamente equivalente a una formula in FNC e applicare a questa il lemma Nel caso ( 33 ), la conclusione che! " è logicamente equivalente a una formula in FNC segue immediatamente dall ipotesi di induzione applicata ad! e a "; mentre per concludere che! " è logicamente equivalente a una formula in FND bisogna supporre (per l ipotesi di induzione) che! e " siano logicamente equivalenti a formule! e " in FND ed applicare il lemma alla formula! ". Nel caso ( 333 ), infine, la conclusione che! " è logicamente equivalente a una formula in FND segue immediatamente dall ipotesi di induzione applicata ad! e a "; mentre per concludere che! " è logicamente equivalente a una formula in FNC bisogna supporre (per l ipotesi di induzione) che! e " siano logicamente equivalenti a formule! e " in FNC ed applicare il lemma alla formula! ".

30 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 24 Esempio Troviamo una formula in FNC logicamente equivalente alla c((! Ä (" #)) (" Ä c! )). In primo luogo eliminiamo il connettivo Ä ; poi utilizzando le leggi di De Morgan portiamo il connettivo c a contatto diretto con le variabili proposizionali (in questo caso!, " e #); infine applichiamo le ( 3) e ( 33) del teorema c((! Ä (" #)) (" Ä c!)) c(( c! (" #)) ( c " c!)) cc (! (" #)) cc ( " c!) ( c( c!) c(" #)) ( c( c ") c( c!)) (! ( c " c#)) ("!) (! ") (!!) ( c " c# ") ( c " c#!) La formula così ottenuta, che è in FNC come si voleva, può naturalmente essere semplificata osservando che!!! e che c " " è una tautologia, cosicché anche c " c# " è una tautologia e può essere soppressa dalla congiunzione; si giunge così alla più semplice formula in FNC (! ")! ( c " c#!). Esercizio Trovare una formula in FNC logicamente equivalente alla ((! Ä ") Ä ( c" Ä #)) Ä (! Ä #). Esercizio Trovare una formula in FNC logicamente equivalente alla (! Ä ") Ä ((" #) Ä!).

31 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag La notazione in clausole. Introduciamo adesso una notazione alternativa per le formule in FNC, che ci sarà molto utile nella prossima sezione per descrivere l algoritmo di Davis e Putnam (efficace per decidere se una formula è una contraddizione oppure è soddisfacibile). Si dice clausola un insieme di letterali. Alla formula : : á : (dove ciascun : è un letterale) 3", 3#, 3ß53 34, si associa la clausola {:, :,, : }. Si noti che a formule diverse (che possono ad 3" 3# 3ß5 3 esempio differire per l ordine dei : o perché qualche : è ripetuto) può venire associata 34, 34, la stessa clausola: tali diverse formule, però, hanno tutte lo stesso valore di verità sotto ogni interpretazione (per la ( 333 ) del teorema 2.3.1, o perché per ogni letterale -).,, á dove ciascun dove ciascun Alla formula in FNC : œ :" :# á : 2 : 3 è della forma : 3 œ : : á : 3", 3#, 3ß5 3 : 3ß4 è un letterale si associa l insieme di clausole {{:, :, á, : }, {:, :, á, : }, á, {:, :, á, : }, á, {:, :, á, : }}. "", "#, "ß5" #", ##, #ß5# 3", 3#, 3ß53 2", 2#, 2ß52 Ancora una volta, la notazione insiemistica ingloba alcune regole di calcolo dei valori di verità, come la ( 33 ) del teorema o il fatto che!!! per ogni formula!). Siano C ³ {-", -#, á, -5} una clausola (dove ciascun -3 è un letterale) una valutazione di verità sull insieme delle formule. Se esiste almeno un - 3 C tale 3 ) œ ", si dice che C è vera oppure che C è vera nell oppure anche soddisfa C ; scriveremo Questa definizione è scelta in modo che una clausola risulti vera sotto una valutazione di se e soltanto se qualsiasi formula a cui essa resta associata è vera Analogamente a quanto stabilito nella sez. 2.2, se ogni valutazione di verità soddisfa la clausola C si dice che C è una tautologia; se esiste almeno una valutazione di verità che soddisfa C, si dice che C è soddisfacibile; se nessuna valutazione di verità soddisfa C, si dice che C è insoddisfacibile, oppure che è una contraddizione.

32 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 26 Siano ora S ³ {C", C #, á, C 2} un insieme di clausole una valutazione di verità sull insieme delle formule. Se per ogni C3 C 3) œ ", si dice che S è vero oppure che S è vero nell oppure anche soddisfa S ; scriveremo Questa definizione è scelta in modo che un insieme di clausole risulti vero sotto una valutazione di se e soltanto se qualsiasi formula a cui esso resta associato è vera Analogamente a quanto stabilito nella sez. 2.2, se ogni valutazione di verità soddisfa l insieme di clausole S si dice che S è una tautologia; se esiste almeno una valutazione di verità che soddisfa S, si dice che S è soddisfacibile; se nessuna valutazione di verità soddisfa S, si dice che S è insoddisfacibile, oppure che è una contraddizione. Siano S e S due insiemi di clausole. Si dice che S è conseguenza logica di S e si scrive S } S se ogni valutazione di verità che soddisfa S soddisfa anche S. Ovviamente, S è conseguenza logica di S se e soltanto se qualsiasi formula a cui resta associato S è conseguenza logica di qualsiasi formula a cui resta associato S. Due insiemi di clausole si dicono logicamente equivalenti se ciascuno di essi è conseguenza logica dell altro; ciò aviene se e soltanto se qualsiasi formula a cui resta associato il primo insieme di clausole è logicamente equivalente a qualsiasi formula a cui resta associato l altro insieme di clausole. Coerentemente con le definizioni poste sopra, la clausola vuota (che di solito si indica con la notazione [] anziché con la notazione {} ) si considera insoddisfacibile ( 4), cosicché un insieme di clausole al quale appartenga la clausola vuota è insoddisfacibile; mentre l insieme vuoto di clausole {} si considera soddisfacibile ( 5). 4 Se la clausola vuota fosse soddisfacibile, esisterebbero una valutazione di e un letterale - appartenente alla clausola vuota tali œ "; ma, per definizione, alla clausola vuota non appartiene alcun letterale. 5 Se l'insieme vuoto fosse insoddisfacibile, in esso vi sarebbe una clausola insoddisfacibile; ma, per definizione, all'insieme vuoto non appartiene alcuna clausola.

33 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag Confutazioni. Si dice confutazione di un insieme di clausole S una sequenza finita S,! S, " S, # á, S8 di insiemi di clausole tale che: () 3 S! œ S; ( 33) S 3 è conseguenza logica di S 3 " per 3³"#á,,, 8; ( 333 ) esiste una variabile proposizionale : tale che a S 8 appartengono sia la clausola {:} che la clausola { c: }. Teorema Sia S un insieme finito di clausole. Se esiste una confutazione di S, allora S è insoddisfacibile. Dimostrazione Sia S,! S, " S, # á, S8 una confutazione di S. Se S fosse soddisfacibile, esisterebbe una valutazione di che soddisfa S ; sarebbe allora immediato (la dimostrazione, per induzione su 3, si lascia al lettore quale utile esercizio) soddisfa ogni S 3 per 3 ³ ", #, á, 8 e in particolare soddisfa S 8: assurdo per la condizione ( 333) della definizione di confutazione. Nella prossima sezione vedremo che il teorema è invertibile: proveremo infatti che se S è un insieme insoddisfacibile di clausole esiste una confutazione di S. Non solo: descriveremo un algoritmo che, in un numero di passi mai superiore al numero delle variabili proposizionali presenti in S, genera una confutazione di S (se S è insoddisfacibile) o permette di trovare una interpretazione che soddisfa S. In preparazione di quanto sopra, osserviamo due casi in cui possiamo affermare con certezza che un insieme S di clausole è conseguenza logica di un altro insieme S : il primo caso è assolutamente banale, il secondo è più ingegnoso. Entrambi sono alla base dell algoritmo che descriveremo nella prossima sezione.

34 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 28 Osservazione Sia S un insieme finito di clausole. Ogni sottoinsieme di S è conseguenza logica di S. Siano C " e C # due clausole, e sia : una variabile proposizionale tale che : C " e c: C #. Si dice risolvente (rispetto a :) di C " e C # la clausola Ris : (C", C #) ³ C" C #\ {:, c: }. Osservazione Sia S un insieme finito di clausole, siano C ", C# S, e sia : una variabile proposizionale tale che : C" e c: C #. La clausola Ris : (C", C #) è la clausola vuota se e soltanto se C " œ {:} e C # œ { c: }. Teorema Sia S un insieme finito di clausole privo di tautologie, siano C ", C# S, e sia : una variabile proposizionale tale che : C e c: C. L insieme di clausole " # S Ris : (C, " C) # è conseguenza logica di S. Dimostrazione una valutazione di verità che soddisfa S; dobbiamo dimostrare soddisfa S Ris : (C ", C # ). Per soddisfa ogni clausola che appartiene a S, dunque dobbiamo soltanto dimostrare soddisfa Ris: (C", C #), cioè che in Ris: (C", C #) esiste un letterale -! tale œ ". Poiché C" S, in C " esiste un letterale -" tale œ "; se -" Á:, è anche -" Ác: (poiché c:âc ", dato che per ipotesi in S non vi sono tautologie) e quindi -" Ris : (C", C #), cosicché possiamo scegliere -! ³ -". Se invece -" œ:, ( ) œ" e ( ) œ! ; poiché C# S, in C # esiste un letterale -# tale œ " e deve essere -# Á c: (perché si è appena osservato c: ) œ!) e - # Á: (perché :ÂC #, dato che per ipotesi in S non vi sono tautologie), quindi - Ris : (C, C ), cosicché possiamo scegliere - ³ -. # " #! "

35 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag L algoritmo di Martin Davis e Hilary Putnam. Questo algoritmo, ideato nel 1960, opera su un insieme S di clausole e ne genera una confutazione (se S è insoddisfacibile) oppure genera una valutazione di verità che ne soddisfa ogni clausola (se S soddisfacibile). L algoritmo costruisce una sequenza finita di insiemi di clausole S,! S, " S, # á, S8 come segue. Si pone in primo luogo S! ³ S. Il passo 4 simo dell algoritmo trasforma S 4 " in S 4 mediante quattro sotto-passi: ( 3) si eliminano da S 4 " le tautologie; ( 33 ) si sceglie una variabile proposizionale : che compare, direttamente o come negazione, nelle clausole di S 4 " : questa viene detta il pivot del passo; ( 333) si costruisce un nuovo insieme S 4 " di clausole che ha come elementi tutte le clausole di S 4 " e tutti i possibili risolventi rispetto al pivot fra due clausole di S 4 " ; ( 3@Ñ si eliminano da S 4 " tutte le clausole in cui compare il pivot, e si indica con S 4 l insieme di clausole così ottenuto. Osserviamo subito esplicitamente che, per il teorema e l osservazione 2.8.2, al simo passo l insieme S è conseguenza logica di S " L algoritmo termina quando fra le clausole di S 4 compare la clausola vuota oppure quando (eventualmente dopo il sotto-passo ( 3)) S 4 risulta vuoto. Per l osservazione 2.8.3, se fra le clausole di S 4 compare la clausola vuota la sequenza finita è una confutazione di S. S,! S, " S, # á, S4 " Osservazione Nel passaggio dall insieme di clausole S 4 " all insieme S 4 al passo 4 simo dell algoritmo di Davis e Putnam scompare certamente la variabile proposizionale assunta come pivot. Può accadere che scompaiano altre variabili proposizionali, che diremo esodate. In ogni caso, dopo un numero di passi pari al più al numero delle variabili proposizionali presenti nell insieme iniziale, l algoritmo termina (perché non vi sono più variabili nelle clausole).

36 M. Barlotti appunti di Logica per l insegnamento di Matematica discreta e Logica v. 1.0 Pag. 30 Teorema Sia S un insieme finito di clausole. Se l algoritmo di Davis e Putnam per S termina con l insieme vuoto, esiste una che soddisfa S. Dimostrazione Basterà sull insieme delle variabili proposizionali che compaiono nelle clausole di S. Lo facciamo procedendo a ritroso sulla sequenza di insiemi di clausole S,! S, " S, # á, S8 generata dall algoritmo. Per ipotesi, S 8 è l insieme vuoto. Ci sono tre possibilità: ( 3 ) in S 8 " l ultimo pivot : compare come tale (cioè senza mai essere preceduto dalla negazione c ) in ogni clausola; ( 33 ) in S 8 " l ultimo pivot : compare preceduto dalla negazione c in ogni clausola; ( 333 ) in S 8 " tutte le clausole in cui compare l ultimo pivot : danno luogo, come risolventi, soltanto a tautologie. Nel caso ( 3 ), S 8 " è soddisfatto ³ ". Nel caso ( 33), S 8 " è soddisfatto ³!. Nel caso ( 333), in S 8 " non ci possono essere quattro clausole della forma {:, ;"}, {:, ;#}, { c:, c; "} e { c:, c; #} perché in tal caso fra i risolventi ci sarebbe {;", c; #} che non è una tautologia; dunque le clausole di S 8 " sono della forma {:, ;", ;#, á, ; 5}, { c:, c; ", -"",, -"#,, á, -"2, }, á, { c:, c; 5, -5",, -5#,, á, -52, } " 5 (o analoga, ottenuta scambiando : e i ; 3 con le loro negazioni), cosicché S 8 " è soddisfatto ponendo (in questo ( ) ³! ( ") ³", e similmente nei casi analoghi. Adesso supponiamo di aver sulle variabili che compaiono in S 4 in modo che S 4 risulti soddisfatto e mostriamo si può estendere al pivot : del passo 4 simo in modo che anche S 4 " risulti soddisfatto Per soddisfa ogni clausola di S 4 " in cui non compare la variabile proposizionale : (perché ogni tale clausola si ritrova in S 4 ); dunque, non si può estendere a : in modo da soddisfare ogni clausola di S 4 ", in S 4 " ci sono due clausole C " e C # in cui compare la : e che non possono essere soddisfatte entrambe comunque si ( ): inevitabilmente, : C " (e c:âc ) e c: C (e :ÂC ), o viceversa. Allora " # # Ris : (C", C #) S4 cosicché Ris: (C", C #) è soddisfatto ossia esiste - Ris: (C", C #) tale œ "; ma tale - appartiene a C " (oppure a C #), soddisfa certamente C " (oppure C #) e possiamo ( ) in modo soddisfi anche C # (oppure C ") contro quanto supposto.