APPUNTI di FISICA SPERIMENTALE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "APPUNTI di FISICA SPERIMENTALE"

Transcript

1 APPUNTI d FISICA SPERIMENTALE Igegera Elettrca e Meccaca premessa: l metodo spermetale msurazoe d gradezze fsche caratterstche degl strumet d msura sstem d utà d msura aals dmesoale aals delle certezze - certezze - rappresetazoe e utlzzo delle certezze - propagazoe delle certezze - tp d certezze spermetal cocett base d statstca dstrbuzoe ormale lvell d cofdeza metodo de mm quadrat

2 La Fsca s foda sul metodo spermetale (galleao): l crtero d vertà è l rsultato dell osservazoe e dell espereza Premesse del metodo spermetale: premessa flosofca: feome atural s svolgoo sempre co le stesse modaltà quado vegoo mateute le medesme codzo zal premessa tecca: è possble modfcare co accorgmet tecc opportu la scala de feome modo da o alterare la legge pur rededol accessbl alla msurazoe (o osservazoe) premessa matematca: ua legge aturale è rteuta vera se le cosegueze logche che da essa s rcavao matematcamete vegoo rscotrate ella realtà Ua teora fsca è u seme coerete d legg medate le qual è possble eucare affermazo emprcamete verfcabl Il rapporto teora-espermeto è dalettco

3 Nello studo de feome c s chede COME e PERCHE ess avvegao. L ORDINE d queste domade è mportate!! - Flosofa greca - Teologe PERCHE? Modello metale del modo Schema aprorstco delle cose Es.: Arstotele: perché cadoo corp? perché cascu corpo cerca la sua sede aturale Galleo: COME? Spermetazoe quattatva... l grade lbro della atura è scrtto lguaggo matematco...

4 Metodo galleao: studo d u feomeo aturale osservazoe, descrzoe, cofroto co altr feome aalogh, classfcazoe aals delle crcostaze cu l feomeo s verfca e de fattor che lo codzoao dvduazoe degl aspett fodametal prova e rprova del feomeo, elle codzo pù semplc possbl, ache modo artfcale (elevato umero d prove co evetual varazo) espressoe umerca de parametr che caratterzzao l feomeo (es. creazoe d tabelle) formulazoe quattatva: studo della correlazoe tra parametr rcerca della legge che regola l feomeo

5 Osservazoe: terazoe tra osservatore e sstema osservato L formazoe è relatva allo stato del sstema DURANTE l osservazoe, a rgore o ecessaramete uguale a quello PRIMA dell osservazoe Rcerca de metod che mmzzo la perturbazoe sul sstema osservato Fsca classca: SI La perturbazoe può essere rdotta a zero? Fsca quatstca: NO (prcpo d determazoe d Heseberg)

6 GRANDEZZE FISICHE DEFINITE OPERATIVAMENTE Per la descrzoe d u feomeo s devoo usare solo que parametr che soo trasformabl umer co la msurazoe, coè que term che soo defbl OPERATIVAMENTE, attraverso l operazoe metrca d MISURAZIONE (ache solo deale) e che chamamo GRANDEZZE FISICHE. Esemp: massa, forza, lughezza d u segmeto, durata d u tervallo temporale..

7 Il processo d msurazoe è qud alla base d og sceza spermetale Cosderamo u seme d et omogee tra loro (es. seme d carche elettrche, d masse, ecc.). Tale seme costtusce u seme d gradezze fsche se: pres due et a caso A e B, s è sempre grado d dre se A>B, A<B o AB [crtero d cofroto] s può defre la somma A+B [crtero d somma] s può defre uo degl et come utà d msura [campoe utaro] S può defre msurazoe (msura) d ua gradezza fsca l umero che rappreseta l rapporto tra la gradezza cosderata e quella fssata come utà.

8 La msurazoe d ua gradezza può essere fatta tre mod: ) msurazoe dretta ) msurazoe dretta 3) msurazoe co strumet tarat ) msurazoe dretta ) cofroto medate u opportuo strumeto d ua gradezza G co u altra della stessa spece [g] scelta come utà ) determazoe d quate volte G cotee [g] o ua sua frazoe. La msura dretta d ua gradezza è sempre u umero postvo razoale Es. Lughezza 3.5 metr spece della gradezza msura utà

9 ) msurazoe dretta Es. la massa d u oggetto è ua gradezza che s può msurare drettamete co ua blaca. Tuttava, se s volesse msurare la massa d u corpo celeste o d ua partcella pccola quale u atomo, è ovvamete mpossble utlzzare uo strumeto quale la blaca. Allora s fa rcorso ad ua qualche relazoe ota tra le masse d quest ed altre gradezze msurabl drettamete, e po s rsale dalle msure d queste a quella della massa questoe. terazoe gravtazoale B E terazoe elettromagetca

10 I geerale, se la gradezza y è ua fuzoe cooscuta delle gradezze d spece dverse,,., tutte msurabl drettamete y f (,,... S effettuao msure d,,., e, medate la relazoe, s rsale alla msura d y. Esempo: sapedo che l area S del rettagolo d lat a e b è data da S ab ab, per otteere l valore dell area s effettua la msura de lat e s moltplcao rsultat tra loro. Msurare ua gradezza fsca drettamete sgfca: trovare ua legge fsca che la legh ad altre gradezze msurabl drettamete esegure tal msure sfruttare la relazoe per calcolare l umero che esprme la msura cercata )

11 3) msurazoe co strumet tarat Lo strumeto tarato è grado d stablre ua corrspodeza buvoca tra l valore d ua certa gradezza fsca da msurare e u umero che s legge sullo strumeto. Esemp: blaca, amperometro, voltmetro, croometro, ecc. L uso degl strumet tarat elma l coveete d dsporre dell utà campoe el caso d msurazoe dretta, e della ecesstà d cooscere la relazoe y f (,... ) el caso d msura dretta. Og strumeto è caratterzzato da ua curva d taratura o calbrazoe: fuzoe che poe corrspodeza buvoca l umero letto sulla scala co l valore della gradezza da msurare. Quado questa curva è ua retta, lo strumeto s dce leare (la dstaza tra graduazo successve è costate) scala graduata

12 Caratterstche degl strumet d msura Le prcpal caratterstche d uo strumeto soo: sesbltà, precsoe, portata, protezza sesbltà def. I: è u parametro legato alla varazoe mma apprezzable y della gradezza esame S y / y def.ii: rapporto tra lo spostameto dell dce sulla scala e la varazoe y della gradezza da msurare s / y d/dy le due defzo cocdoo se dvsoe (strum. dgtal) può essere costate o varare lugo la scala a secoda che la scala sa leare oppure o dv. 0.5 cm cm 0 cm

13 la sesbltà d uo strumeto può essere aumetata sa agedo sulla struttura meccaca o elettromagetca dell elemeto sesble, sa terveedo co opportu artfc sulle codzo d lettura (amplfcazoe degl spostamet dell dce, sstem ottc per apprezzare meglo la poszoe dell dce sulla scala,.) la sesbltà o può essere aumetata a dsmsura perché gl error casual d msura s fao maggormete setre al crescere della sesbltà dello strumeto, rededo pù certe le letture.

14 precsoe l cocetto d precsoe è coesso al cocetto d certezza d msura spesso vee defta come la somma de valor assolut degl error percetual d lettura dervat da dfett d costruzoe, taratura e fuzoameto dello strumeto stesso Esempo: la blaca fote d mprecsoe d tpo costruttvo: dsuguaglaza de due bracc del gogo ( L/L) fote d mprecsoe d tpo fuzoale: stabltà dello zero per attrt tra coltell e pa d appoggo errore co cu soo state realzzate le masse campoe ( M/M) error casual dovut a mpercettbl varazo elle codzo d msura ( m /M) P L L + M M m M

15 portata la portata d uo strumeto rappreseta l ampezza massma della gradezza msurable per mezzo dello strumeto stesso protezza la protezza è data dalla rapdtà co cu lo strumeto è grado d esegure la msura o d segure le varazo el tempo della gradezza esame

16 Sstem d utà d msura Le gradezze fsche soo umerosssme : lughezza, durata temporale, massa, veloctà, accelerazoe, frequeza, carca elettrca, testà d correte, ecc. No è coveete sceglere u utà d msura per ogua d esse. Covee vece sfruttare le correlazo tra le vare gradezze, fssare utà d msura solo per alcue d esse e utlzzare le suddette correlazo per defre le altre utà. utà d msura fodametal: spece d gradezze per le qual vegoo fssate le utà utà d msura dervate: spece che vegoo rcavate dalle fodametal

17 Sstema Iterazoale (S.I.) E l pù dffuso sstema d utà d msura costtuto dall seme delle utà d msura delle gradezze fodametal Fodametal Supplemetar Gradezze Utà Smbolo Lughezza Metro m Massa Klogrammo kg Itervallo d tempo Secodo s Itestà d correte elettrca Ampère A Temperatura Kelv K Itestà lumosa Cadela cd Quattà d matera Mole mol Agolo pao Radate rad Agolo soldo Steradate sr

18 Per og utà d msura s realzzao de campo le cu caratterstche devoo essere faclmete rproducbl qualuque luogo e be coservabl. (preferblmete legate a COSTANTI NATURALI) Esempo: l metro campoe: sbarra d ua lega d plato-rdo, mateuto alla temperatura d 0 C (dopo l 960): lughezza d oda λ 0 el vuoto della radazoe corrspodete alla traszoe tra lvell p 0 e 5d 5 dell atomo d Krpto-86. m λ λ 0 0 emssoe (dopo l 985): lughezza del cammo percorso el vuoto dalla luce u tervallo d tempo d (/ ) s

19 Dmesoe d ua gradezza fsca I geerale, suppoamo che u sstema d utà d msura compreda le gradezze fodametal: X, X,.. X Sa G ua gradezza dervata e s verfch che, quado moltplchamo le utà delle gradezze fodametal rspettvamete per K, K,.K, l utà d G rsulta moltplcata per K G K α K α.. K α Dremo allora che la gradezza G ha la dmesoe α rspetto a X, la dmesoe α rspetto a X, ecc. S può scrvere l equazoe dmesoale [G] [X α X α X α ]

20 Esemp Idchamo co L, M, T, rspettvamete la lughezza, la massa e l tervallo d tempo (gradezze fodametal el SI) dalla relazoe v s/ t, che defsce la veloctà meda, rsulta l equazoe dmesoale [v][lt - ] Così, per l accelerazoe, la forza e l eerga cetca: a v/ t [a] [LT - ] Fm a [F] [MLT - ] Newto (N kg m s - ) K mv [K] [ML T - ] Joule (J kg m s - ) relazoe equazoe dmesoale utà d msura

21 Le equazo dmesoal cosetoo d fare l aals dmesoale delle relazo fsche: sosttuedo a cascua gradezza le sue dmeso, e trattado smbol delle gradezze fodametal come quattà algebrche, la relazoe può essere valda solo se cascu membro della relazoe stessa ha le medesme dmeso (prcpo d omogeetà) Se le dmeso della gradezza a prmo membro o soo le stesse d quella che compare al secodo membro la relazoe è scuramete sbaglata (o è detto l cotraro) L aals dmesoale cosete oltre la coversoe delle msure da u sstema d utà ad u altro S sosttusce a cascua utà del veccho sstema la corrspodete utà del uovo moltplcata per u fattore d coversoe

22 Esemp Cotrollare dmesoalmete l equvaleza tra mpulso e quattà d moto t mpulso: [F t][mlt - ][T][MLT - ] Fdt v d( mv) t v quattà d moto: [mv][mlt - ] OK! 0 0 Suppoamo d voler esprmere km/h la veloctà d u automoble che vagga a.5 ms -. Poché m 0-3 km e s(/3600) h m v.5 s 3 0 km.5 (/3600) h km/ h 45km/ h Suppoamo che u corpo abba eerga cetca.5 J. Nel sstema CGS ( cu L cm, M g, T s) la sua eerga sarà data da K.5 kg m s -.5 (0 3 g)(0 cm) s g cm s -

23 Attraverso cosderazo d aals dmesoale è possble dedurre formazo sulla forma algebrca delle legg fsche l Esempo: l pedolo semplce θ m g θ dpedeza fuzoale del perodo d oscllazoe τ dalle gradezze fsche che possoo cotrbure al feomeo (l, m, g) τ t τ l g I geerale τ α m β l γ g δ eq. dmesoale [Τ][Μ β L γ+δ T -δ ] ([g][lt - ]) β0 β0 γ+δ0 γ / δ δ /

24 ANALISI DELLE INCERTEZZE (ERRORI) L aals degl error è lo studo e l calcolo dell certezza ella msura. Nessua msura può essere completamete lbera da certezze. Poché l tera struttura della sceza dpede dalle msure spermetal, è d mportaza fodametale essere capac d calcolare queste certezze e d rdurle al mmo I questo caso ERRORE SBAGLIO s prefersce la dzoe INCERTEZZA Le certezze o s possoo evtare totalmete operado co molta cura. Ifatt, alcue sorget d errore soo trseche al processo d msura e o possoo pertato essere elmate del tutto. E comuque mportate poterle stmare.

25 Importaza d cooscere le certezze Esempo: msura della destà d u oggetto al fe d stablre se è composto d oro a 8 carat o d ua lega meo costosa oro Destà (g/cm 3 ) S ota che:. è probable che etrambe le msure sao corrette. la msura () è utle, ache se sembrerebbe suggerre che l oggetto è d oro 3. la msura () cosete d cocludere che l oggetto è composto dalla lega lega 4 3 Perché le msure permettao d trarre ua coclusoe le certezze spermetal o devoo essere troppo grad (ma o è ecessaro che sao estremamete pccole). Etrambe le msure sarebbero utl se gl spermetator o avessero cluso affermazo realstche (e verfcabl) sulle loro certezze

26 Stma delle certezze ella lettura d scale ) Msura d lughezza cm cm.5 cm.0 cm Nel caso cu la puta della matta sa pù vca alla tacca degl.5 cm puttosto che a quella degl.0 cm o de.0 cm Mglore stma della lughezza.5 cm Itervallo probable: da.5 a.75 cm

27 ) Msura d tesoe volts La spazatura tra le tacche è grade, qud s può realstcamete stmare dove gace l ago ello spazo tra le due dvso Mglore stma della tesoe 3. V Itervallo possble da 3. V a 3.3 V Il procedmeto d valutare la poszoe tra le cso d ua scala è detta terpolazoe

28 Stma delle certezze elle msure rpetbl (msura d u tervallo d tempo) Se utlzzamo u croometro, la prcpale sorgete d certezza o è la dffcoltà d leggere l quadrate, ma l tempo d reazoe (cogto) el far partre ed arrestare l croometro. Questo geere d certezze possoo essere ragoevolmete stmate qualora s rpeta la msura parecche volte. esempo.3 s.4 s.5 s.4 s La dspersoe de valor dà u dcazoe dell certezza Mglor stma del perodo:.4 s (valor medo) Itervallo probable: da.3 s a.5 s certezza Valore msurato del perodo (.4 ± 0.) s mglor stma (è ua valutazoe grossolaa ; metod statstc dao ua stma dell certezza pù accurata)

29 Rappresetazoe d u rsultato: stma mglore ± certezza Cfre sgfcatve L ultma cfra sgfcatva qualuque rsultato dovrebbe essere dello stesso orde d gradezza (ella stessa poszoe decmale) dell certezza. Esempo: l rsultato 9.8 co u errore d 0.3, dovrebbe essere arrotodato a 9.8 ± 0.3 co u errore d 3, dovrebbe essere arrotodato a 93 ± 3 co u errore d 30, dovrebbe essere arrotodato a 90 ± 30 Le certezze dovrebbero essere arrotodate a ua o al massmo due cfre sgfcatve I og caso, umer che devoo essere usat e calcol dovrebbero geerale essere teut co pù cfre sgfcatve rspetto a quelle rcheste per l rsultato fale. L arrotodameto è bee farlo al terme de calcol.

30 Dscrepaza se due msure della stessa gradezza soo dverse, allora v è ua dscrepaza. La dscrepaza può essere o o essere sgfcatva. Esempo: msura d ua ressteza elettrca Due operator msurao la stessa ressteza ed ottegoo (40 ± 5) ohm e (4 ± 8) ohm La dscrepaza (4-40) ohm ohm è more delle loro certezze le msure soo cosstet Nel caso cu s ottega (35 ± ) ohm e (45 ± ) ohm La dscrepaza (45-35) ohm 0 ohm è maggore delle loro certezze le msure soo cosstet

31 Valore vero (d ua gradezza fsca) Qual è l valore vero d ua gradezza fsca? Esste u valore vero d ua gradezza fsca? No v soo rsposte semplc e soddsfacet. E comuque molto coveete assumere che og gradezza fsca abba u valore vero. E u valore che s dovrebbe poter otteere da ua msura perfetta (possoo esstere svarat valor cosstet co la defzoe d ua data gradezza). Il valore vero è, per sua atura, COMPLETAMENTE INDETERMINATO

32 valore accettato o valore covezoale per gradezze che soo state accuratamete msurate molte volte precedeza, v è geere u valore accettato (molto pù accurato d quello che lo studete può determare), pubblcato su lbr. Esso è comuque affetto da certezza ( da valore vero ). Esemp: c ± m/s g (a Toro) ± m/s Cofroto d valor msurat ed accettat. Esempo: veloctà del suoo ell ara veloctà accettata 33 m/s veloctà msurata 39 ± 5 m/s OK veloctà msurata 345 ± m/s verfcare msure e calcol

33 Icertezza (o errore) relatvo dove (valore msurato d ) best ± δ best mglor stma per δ certezza o errore ella msura δ δ errore relatvo (errore percetuale 00 % ) best best L errore relatvo è u dcazoe approssmata della qualtà d ua msura Ad esempo, per l ostro corso d laboratoro: errore relatvo 0% msura rozza errore relatvo <0% msura accurata

34 PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE La maggor parte delle gradezze fsche o possoo d solto essere msurate ua sgola msura dretta. I geerale, se la gradezza q è ua fuzoe cooscuta delle gradezze d spece dverse,.,w tutte msurabl drettamete q f (,..., w) s effettuao msure d,.,w e, medate la relazoe, s rsale alla msura d q. Occorre stmare le certezze elle gradezze,...,w e qud trovare come quest error s propagao attraverso calcol per produrre u certezza el rsultato fale.

35 Esempo: somma d due gradezze Msurate le due gradezze e y e otteute le due stme best ±δ y best ±δ y l pù alto valore probable d q+y è ( best + y best ) + (δ +δ y) l pù basso valore probable d q+y è ( best + y best ) (δ +δ y) qud: q best ( best + y best ) e δ q (δ + δ y ) Qud se le gradezze msurate soo sommate o sottratte gl error s sommao. S può aalogamete mostrare che se le gradezze soo moltplcate o dvse, gl error relatv s sommao I realtà s dmostra che le certezze così calcolate possoo essere sovrastmate, specfcatamete el caso che gl error orgar sao dpedet e casual. I og caso determao u lmte superore per l certezza. Vedremo che se le msure d e y soo fatte dpedetemete e soo etrambe goverate dalla dstrbuzoe ormale, allora gl error vao sommat quadratcamete

36 Se q è la somma e dffereza, q + + z - ( u + + w ) δ + + δ z + δ u + + δ w (lmte superore per δq) δq (per error dpedet e casual) ) (... ) ( ) (... ) ( w u z δ δ δ δ Se q è l prodotto e quozete, (lmte superore per δq/q) (per error dpedet e casual) w u z q w w u u z z δ δ δ δ w w u u z z δ δ δ δ q δq

37 Se q B, dove B è oto esattamete, allora δq B δ Se q è ua fuzoe d ua varable, q(), allora δ q Se q è ua poteza, q, allora dq d δ δ q δ q Se q è ua fuzoe d parecche varabl,, z, allora δq q q δ δz z (per error dpedet e casual)

38 Esempo: msura d g co u pedolo semplce Perodo del pedolo: T π l / g Se l e T vegoo msurat, s può rcavare g come g 4π l/t L errore T è l doppo che T: T δ ( ) δ ( T ) T T L errore g sarà: δg g δl l δt + T

39 Esempo: suppoamo d aver msurato u agolo θ come θ (0 ± 3) e d voler calcolare l cosθ: qual è la sua mglore stma? (cosθ) d(cosθ)/dθ θ sθ θ ( rad) θ deve essere espressa radat, poché la dervata d cosθ è sθ solo se θ è espresso radat. Qud θ 3 3 (π/80) 0.05 rad (cosθ) s(0.35 rad) cosθ cos(0.35) ± ± 0.0

40 Esempo: u fasco lumoso d testà I 0 che attraversa u materale d spessore emerge co testà I I 0 e -µ, essedo µ l coeffcete d assorbmeto. Sapedo che I 0 (0.00 ± 0.0) W/m, I (5.50 ± 0.0) W/m, (0.000 ± ) m, calcolare l coeffcete d assorbmeto µ co la sua certezza / 5.50 / 0.00 l 0.0 l > < m m W m W m I I µ ( ) ( ) ( ) l m I I I I I I I I I I µ µ µ µ 0.6) (9.9 ± > ± < m µ µ µ

41 γ β α z w a y Per le espresso moome, coè del tpo > < + > < + > < > < z z w w y y γ β α (co a costate) vale la seguete relazoe:

42 Esempo: s vuole msurare la costate delettrca relatva ε r d u materale msurado la capactà C (ε 0 ε r S) / d d u codesatore pao ad armature crcolar d raggo r poste a dstaza d (essedo ε 0 la costate delettrca del vuoto e S la superfce delle armature) tra cu è posto l materale stesso. Sapedo che l certezza d ε 0 è trascurable e che le certezze relatve d C, r, d valgoo rspettvamete 0.05, 0.0, 0.03, calcolare l certezza relatva d ε r : ( ) ( ) ( ) > < + > < + > < d d r r C C r r ε ε 0 r d C r π ε ε

43 Esempo: s vuole msurare la costate delettrca relatva ε r d u materale msurado la capactà C ε 0 ε r S / d d u codesatore pao ad armature crcolar d raggo r poste a dstaza d (essedo ε 0 la costate delettrca del vuoto e S la superfce delle armature) tra cu è posto l materale stesso. Sapedo che l certezza d ε 0 è trascurable e che le certezze relatve d r, d valgoo rspettvamete 0.0,0.0, co che certezza relatva occorre msurare C affché l certezza relatva d ε r sa dell orde d 0.03? > < + > < + > < d d r r C C r r ε ε ( ) ( ) ( ) > < > < > < d d r r C C r r ε ε

44 [ ] ρ γ β α (w) f z w a y ) ( ) ( > < + > < + > < + > < > < w f w f z z w w y y ρ γ β α Se uo de fattor dell espressoe mooma è a sua volta ua fuzoe vale la seguete relazoe:

45 Esempo: s vuole determare la veloctà v d u proettle msurado la gttata s e sapedo che, trascurado l attrto dell ara, s(v /g)s(α). g è l accelerazoe d gravtà e α l alzo del caoe. Sapedo che α (0.5 ± 0.0) rad, l certezza relatva d s vale 0.0 e che l certezza relatva d g vale 0.0, determare l certezza relatva d v. v s g s(α ) ( s(α )) cos(α ) α v v s < s > + g < g > + cos( < α > ) α s( < α > ) ( )

46 Tp d certezza spermetale Le certezze spermetal s possoo essezalmete dstguere : certezze d tpo A) valutate co metod statstc certezze d tpo B) valutate co altr metod (oppure ache accdetal o sstematche ) Icertezze d tpo A (error statstc, o casual) Ess soo dovut a cause d vara atura che agscoo modo del tutto casuale (aleatoro), ora u seso ora ell altro. Esemp d sorget d errore: codzo ambetal varabl (temperatura, tesoe della rete elettrca, ecc.), dsturb meccac (vbrazo prodotte dal traffco cttado), cattva stma ella lettura strumetale, ecc. Tal certezze spermetal possoo essere rvelate rpetedo le msure e possoo essere valutate statstcamete.

47 Icertezze d tpo B (error sstematc) Ess soo dovut a dfett del metodo o delle apparecchature spermetal utlzzate. Esempo: ella msura d u tervallo temporale co l croometro, l fatto che l croometro marc pù letamete o pù rapdamete d quato dovrebbe è sorgete d errore sstematco Tal error possoo essere rdott medate ua accurata aals della tecca d msura e adottado opportu accorgmet (ad esempo cofrotare gl strumet co gl stadard accettat,.) Error strumetal I rsultat d dverse msurazo possoo, a volte, rsultare tutt ugual tra loro. Se cò s verfca, la crcostaza è da attrburs al fatto che lo strumeto utlzzato è talmete poco sesble che le fluttuazo casual della msura o possoo essere apprezzate. I questo caso s valuta come errore massmo la pù fe dvsoe della scala (l ultma cfra d lettura egl strumet dgtal).

48 TIRO AL BERSAGLIO: Icertezze d tpo A (casual o accdetal) e d tpo B (sstematche) SENZA BERSAGLIO: stuazoe pù vca a quella d u espermeto

49 CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabltà U umero reale compreso tra 0 e, assocato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relatva o col grado d credbltà co cu u eveto avvee. Per u alto grado d credbltà la probabltà è vca al valore. Da u puto d vsta o completamete corretto la probabltà può essere cosderata come l rapporto tra l umero d evet favorevol e l umero degl evet possbl elle medesme codzo. Varable aleatora Ua varable aleatora è ua varable che può assumere qualsas valore u determato tervallo, e alla quale è assocata ua dstrbuzoe d probabltà (o destà d probabltà). Ua varable aleatora che può assumere solo valor solat è detta varable dscreta. Ua varable aleatora che può assumere tutt valor etro u tervallo fto o fto è detta varable cotua.

50 Dstrbuzoe d probabltà (d ua varable aleatora) Ua fuzoe che defsce la probabltà che ua varable aleatora dscreta assuma u determato valore (o che ua varable aleatora cotua assuma tutt valor d u tervallo). La probabltà che ua varable aleatora possa assumere u qualsas valore tra quell permess è. Destà d probabltà per ua varable dscreta: ua fuzoe che forsce, per og valore d ua varable aleatora dscreta X, la probabltà p che la varable aleatora s uguale a.p Pr(X ) per ua varable cotua: ua fuzoe p() che forsce, per og tervallo ( +d) de valor che può assumere ua varable aleatora cotua X, la probabltà dp che la varable aleatora assuma u valore all'tero dell'tervallo. dp p() d Pr( X +d) La destà d probabltà cocde co la dervata (quado esste) della fuzoe d dstrbuzoe p() dp()/d

51 Normalzzazoe della destà d probabltà Per l fatto che la probabltà che ua varable aleatora possa assumere u qualsas valore tra quell permess vale, la destà d probabltà deve soddsfare a codzo d ormalzzazoe: per ua varable dscreta: Se valor possbl soo (,,.., N ) per ua varable cotua: ell'tervallo (a b) N p p 0 Se valor possbl soo compres b a p( ) d p() 0 a b

52 Meda o Valore Atteso Per ua varable dscreta: sao valor assut dalla varable aleatora X co probabltà p. Il valore atteso, se esste, rsulta: µ E ( X ) p la somma essedo estesa a tutt valor che può assumere la varable X. Per ua varable cotua: sa p() la destà d probabltà assocata alla varable aleatora X. Il valore atteso, se esste, rsulta: µ E ( X ) p( ) d l'tegrale essedo esteso a tutt gl tervall che compredoo possbl valor assut da X.

53 Varable aleatora cetrata Ua varable aleatora l cu valore atteso sa ullo. Se la varable aleatora X ha u valore atteso uguale a µ, la corrspodete varable aleatora cetrata è (X - µ). Varaza La varaza d ua varable aleatora, o d ua dstrbuzoe d probabltà, è l valore atteso del quadrato della corrspodete varable cetrata σ V ( X ) E X E( X ) E X E( X ) {[ ]} ( ) [ ] Devazoe stadard La devazoe stadard d ua varable aleatora, o d ua dstrbuzoe d probabltà, è la radce quadrata postva della varaza σ V ( X ) E X E( X ) E X E( X ) {[ ]} ( ) [ ]

54 Stma statstca del valor medo (o valore atteso) Il valore atteso della varable aleatora z, rappresetato col smbolo µ z e detto ache valor medo d z, è dato da µ z E( z) z p( z) dz La sua stma statstca è data dalla meda artmetca de valor z assut dalla varable z d destà d probabltà p(z). z z

55 Stma statstca della varaza La varaza d ua varable aleatora z, d destà d probabltà p(z), è data da: σ ( z ) ( z) µ z p( z) dz essedo µ z l valore atteso d z. La varaza σ (z) può essere stmata da () s z ( z ) z z z Il fattore (-) ella espressoe d s (z) provee dalla correlazoe tra valor z e z e rflette l fatto che v soo solo (-) term dpedet el set d valor {z - z }. Se l valore atteso µ z della varable z è oto (o stmato) la varaza può essere stmata da s ( z ) z ( µ ) z

56 La varaza della meda artmetca delle osservazo, puttosto che la varaza d ua sgola osservazoe, è la msura approprata dell'certezza del rsultato d ua msurazoe. La varaza della varable z, σ (z), deve essere accuratamete dstta dalla varaza della meda artmetca. La varaza della meda artmetca d ua sere d osservazo dpedet z della gradezza rappresetata dalla varable aleatora z è data da σ z σ z / () () ed è stmata dalla varaza spermetale della meda: s s ( z) ( ) () z ( z z) Devazoe stadard La devazoe stadard è la radce quadrata postva della varaza.

57 Qud, u espermeto: la mglor stma della gradezza è la meda artmetca best N N N la devazoe stadard delle msure,, N è ua stma della certezza meda : d - d d 0 d.80 meda de quadrat delle devazo: varaza estraedo la radce quadrata: devazoe stadard s N ( ) N N-

58 La devazoe stadard s caratterzza l certezza meda delle sgole msure,, N da cu è stata calcolata. Tuttava best rappreseta ua combazoe opportua d tutte le N msure l certezza d è more dell certezza delle sgole msure ed è determata dalla devazoe stadard della meda: s s N N.B.: la gustfcazoe teorca d quest cocett statstc verrà data quado sarà dscussa la curva d dstrbuzoe ormale

59 Dstrbuzoe ormale (o gaussaa) La dstrbuzoe d probabltà d ua varable aleatora X la cu destà d probabltà è p( ) π σ e ( µ ) σ è detta dstrbuzoe ormale o gaussaa. p() µ è l valore atteso della varable aleatora X e σ è la relatva varaza. µ

60 La dstrbuzoe ormale rappreseta, per determat valor d σ e d µ che varao d caso caso, la dstrbuzoe delle msure per ua estesa classe d gradezze fsche. Esempo: costruzoe d u stogramma Suppoamo d effettuare per N volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo: geerale, rsultat otteut o sarao tutt ugual tra loro per va degl error casual. Cosderamo valor mm e massm msurat ( m e M ) e dvdamo l tervallo compreso tra ess r part ugual d ampezza M r Cosderamo u sstema d ass cartesa e rportamo sulle ascsse valor delle msure otteute e ordata l umero d rsultat della msura che cadoo el sotto-tervallo m m M

61 f k N40 N: umero totale d msure f k k : frazoe d msure ell tervallo k-esmo (area rettagolo) m M f k N00 f k N0000 m M

62 dstrbuzoe lmte: dstrbuzoe de rsultat che s dovrebbe otteere se l umero delle msure dvetasse ftamete grade f k f() + f ( ) d 0 +d f()dprobabltà che ua msura da u rsultato compreso tra e d + f ( ) d σ + ( ) f ( ) d

63 S può dmostrare che SE ua msura è soggetta a molte pccole sorget d error casual e trascurabl error sstematc, allora valor msurat sarao dstrbut secodo ua dstrbuzoe ormale (o d Gauss), cetrata sul valore vero. f() f ( ) ep σ π ( ) σ 0 0 Dstrbuzo ormal per dvers valor d σ

64 La coosceza della dstrbuzoe lmte per ua msura c cosete d calcolare l valore medo atteso dopo u gra umero d prove. La meda attesa per la dstrbuzoe d Gauss è + ( 0) p( ) d co p( ) ep σ π σ y σ + ( y + 0)ep σ π dy co y 0 + y + y y ep dy + 0 ep σ π σ σ dy 0 0 σ π Qud, se le msure soo dstrbute secodo la dstrbuzoe ormale, dopo molte prove l valore medo cocde co l valore 0 per cu la gaussaa assume l suo valore massmo, che abbamo assuto essere l valore vero

65 Gustfcazoe della meda come mglor stma Avedo msurato N valor,,, N l problema è d determare la mglor stma del valore vero X e d σ. [ ] d e d P 0 ) ( ) ( σ π σ + Probabltà d otteere ua lettura u tervallo d attoro a semplfcado: 0 ) ( ) ( σ σ e P La probabltà d osservare l tero set d letture è l prodotto delle probabltà sgole (evet dpedet): 0 0 ) (, ) ( )... ( ) ( ),...,, ( σ σ σ N N N e P P P P

66 Prcpo d massma verosmglaza: date le N msure osservate, le mglor stme d 0 e σ soo que valor per qual gl osservat soo pù probabl (coè per cu P 0,σ è massma) ( ) 0 t t mma 0 σ mglor stma per 0 : 0 N Qud la mglore stma del valore vero X (che abbamo assuto cocdere co l ascssa del pcco 0 della gaussaa) è la meda artmetca Σ /N delle msure. Aalogamete s dmostra che la mglor stma per la larghezza della dstrbuzoe σ è la devazoe stadard s degl N valor osservat: s N ( ) 0

67 Devazoe stadard della meda Poché cascua delle gradezze msurate,, N è dstrbuta ormalmete, lo è ache N Poché per cascu valore,, N l valore vero è X, lo è ache per dopo aver fatto molte determazo della meda d N msure, rsultat per sarao dstrbut attoro al valore vero X. La stma della larghezza della dstrbuzoe de rsultat s rcava medate la propagazoe delle certezze: N s s N s N

68 ,, N soo tutte msure della stessa gradezza s s N s Ioltre... N N qud: s s s N N s N s Al solto rappreseta l lmte d cofdeza del 68%: se rcavamo la meda d N msure ua sola volta, possamo essere cofdet al 68% che l ostro rsultato gace etro ua dstaza dal valore vero X. s

69 Rassumedo: se le msure d soo soggette solo ad error casual, allora la loro dstrbuzoe lmte è la fuzoe d Gauss cetrata sul valore vero X e co larghezza σ. La larghezza σ è l lmte d cofdeza del 68% Basados sugl N valor msurat,, N s mostra che la mglor stma del valore vero X è la meda / N e la mglor stma d σ è la devazoe stadard s L certezza ( è cosderata la stma del valore vero X) è la devazoe stadard della meda stmata come σ S dmostra che l certezza relatva d s (cosderata la stma della larghezza vera σ ) è / ( N ) ( è ecessaro fare suffcet msure prma d poter cooscere realstcamete l certezza!) s s / N

70 LIVELLI DI CONFIDENZA Il problema è d otteere, dalla stma y della gradezza Y msurata e dalla sua certezza u(y), ua certezza espasa U p k p u(y) che defsca u tervallo y-u Y y+u tale che abba ua elevata probabltà d copertura (o u elevato lvello d cofdeza) p. S deve qud determare l fattore d copertura k p che geera u tervallo toro al rsultato y della msurazoe che c s aspetta cotega ua grade, specfca frazoe p della dstrbuzoe d valor che potrebbero ragoevolmete essere attrbut alla gradezza Y da msurare.

71 Per otteere l fattore d copertura k p che produce u tervallo corrspodete a uo specfco lvello d cofdeza p s rchede ua dettaglata coosceza della dstrbuzoe d probabltà che caratterzza rsultat della msura. Ad esempo, per ua gradezza descrtta dalla dstrbuzoe ormale d valor medo <> e devazoe stadard σ <>, l valore d k p che produce u tervallo <> ± k p σ <> che comprede ua frazoe p della dstrbuzoe, può essere calcolato faclmete. Ifatt la probabltà che < > k σ < > è data da kσ kσ < > < > f ( ) d dove f ( ) ep π ( ) σ σ 0

72 Ad esempo: Lvello d cofdeza p ( %) Fattore d copertura k p Qud, se rsultat s dstrbuscoo secodo ua gaussaa, v è l 68.7% d probabltà che l rsultato d ua msura dffersca meo d σ dal valore vero f() l 95.4 % d probabltà che la msura cada etro σ dal valore vero l 99.7 % d probabltà che la msura cada etro 3σ dal valore vero 0 σ 0 3σ 0 σ 0 0 +σ 0 +σ 0 +3σ

73 Aalogamete, co l 68.7 % d probabltà, l valore medo <> s dscosta da quello vero per meo d σ <> co l 95.4 % <> s dscosta per meo d σ <> co l 99.7 % <> s dscosta per meo d 3σ <>. f() 0 σ <> 0 0 σ <> 0 3σ <> 0 +σ <> 0 +σ <> 0 +3σ <>

74 I coclusoe, l rsultato d ua msurazoe s potrà dcare come < > ± s < > dove < > s < > ( < > ( ) ) N.B.: Nel caso cu l certezza calcolata come sopra sa ferore all errore strumetale, s usa quest ultmo come errore massmo.

75 Metodo de mm quadrat Uo de pù teressat tp d espermeto rguarda la msura d parecch valor d due dverse varabl fsche, per vestgare la relazoe matematca tra le due varabl. Es. lascamo cadere u corpo da ua certa altezza. Tale corpo sarà soggetto all accelerazoe d gravtà g. Nel caso cu per l tempo t0 esso abba ua veloctà zale vv 0, la sua veloctà v dovrebbe essere ua fuzoe leare del tempo t, v(t) v 0 + gt tale relazoe è leare del tpo dove A e B soo costat. y() A + B

76 Se le due varabl soo relazoe come y() A + B, allora u grafco d y fuzoe d dovrebbe essere ua lea retta che ha pedeza (coeffcete agolare) B e terseca l asse y ya. y() A N.B. I put y, y,.,y o soo N msure della stessa gradezza Se s msurassero N dvers valor d,,, e valor corrspodet y, y,.,y e se le msure o fossero soggette ad certezze, allora cascuo de put (, y ) dovrebbero gacere esattamete sulla retta

77 I realtà, essedo preset delle certezze, put potrao rsultare sparpaglat toro alla retta. y() y() A A Caso deale Caso reale Se predamo per garatto che y e soddsfao ua relazoe leare, c s può porre l problema d trovare la mglor retta per terpolare u seme d put msurat (, y ), (, y ),.. (, y ), coè trovare u ft leare (regressoe leare o curva de mm quadrat per ua retta). S dovrao trovare qud le mglor stme de coeffcet della retta A e B.

78 Il procedmeto è l seguete s eseguoo msure corrspodet alle coppe (, y ), (, y ),.. (, y ). Sapedo che la relazoe è leare s calcolao gl scart v y - (A+B ), s calcolao quadrat e s sommao Φ ( y A B ) S cercao valor d A e B per cu Φ sa la mma possble. Questo equvale a redere mm quadrat delle dstaze de put (, y ) dalla retta, msurate ella drezoe dell asse y y() y (, y ) A

79 ( ) Φ B A y A 0 ( ) Φ B A y B 0 Per far questo dfferezamo Φ rspetto ad A e B e poamo le dervate ugual a zero: Queste due equazo possoo essere rscrtte come equazo smultaee per A e B: + y B A + y B A equazo ormal

80 y y A + y B A + y B A y y B Mglor stme per le costat A e B

81 ( ) A B A y σ ( ) B B A y σ Mglor stme per le certezze d A e B (σ Α, σ Β )

82 Nel caso cu la presumble relazoe tra ed y o è leare, geerale y f() cò che s fa è sempre mmzzare la somma degl scart quadratc Φ ( y f ( )) rcavados u sstema d equazo cu compaoo gl parametr della fuzoe f()

Istogrammi e confronto con la distribuzione normale

Istogrammi e confronto con la distribuzione normale Istogramm e cofroto co la dstrbuzoe ormale Suppoamo d effettuare per volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo (es. la massa d u oggetto, la tesoe d ua pla, la lughezza d u oggetto, ecc.):

Dettagli

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1 Lezoe 4 La Varabltà Lezoe 4 1 Defzoe U valore medo, comuque calcolato, o è suffcete a rappresetare l seme delle osservazo effettuate (o l seme de valor assut dalla varable statstca); è ecessaro qud affacare

Dettagli

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento Captolo Error d msura: )Geeraltà defzo e trattameto I cocett d meda, varaza e devazoe stadard s utlzzao ormalmete per otteere formazo sulla botà d ua msura. I geerale, s assume come msura m della gradezza

Dettagli

Variabilità = Informazione

Variabilità = Informazione Varabltà e formazoe Lo studo d u feomeo ha seso solo se esso s preseta co modaltà/testà varabl da u soggetto all altro. Ad esempo, se dobbamo studare l reddto ua certa regoe è ecessaro osservare utà statstche

Dettagli

MEDIA DI Y (ALTEZZA):

MEDIA DI Y (ALTEZZA): Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 4 Marzo 0 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta:

Dettagli

Caso studio 12. Regressione. Esempio

Caso studio 12. Regressione. Esempio 6/4/7 Caso studo Per studare la curva d domada d u bee che sta per essere trodotto sul mercato, s rlevao dat rguardat l prezzo mposto e l umero d pezz vedut 7 put vedta plota, ell arco d ua settmaa. I

Dettagli

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione?

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione? Prma dstrb. Secoda dstrb. Totale Meda 0 5 8 35 85 63 63/5 =3,6 5 5 38 40 45 63 63/5 =3,6 Due dstrbuzo, stessa meda ma quale delle due la meda rappreseta, stetzza meglo la stuazoe? Le mede stetzzao la dstrbuzoe,

Dettagli

Università egli Studi di Bergamo Corso di laurea in Ingegneria Edile STATISTICA Stima di massima verosimiglianza

Università egli Studi di Bergamo Corso di laurea in Ingegneria Edile STATISTICA Stima di massima verosimiglianza Uverstà egl Stud d Bergamo Corso d laurea Igegera dle STATISTICA Stma d massma verosmglaza Sao,, varabl aleatore d Posso dpedet, cascua co valore atteso λ S determ lo stmatore d massma verosmglaza d λ

Dettagli

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 26 Febbrao 200 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Cosderado le class d altezza 60 6; 6 70; 70 78; 78 86 per u collettvo d 20 persoe, s può affermare che l ALTEZZA dpede

Dettagli

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 5 Febbrao 00. Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO N A partre dalla dstrbuzoe semplce del carattere peso rlevata su 0 studet del corso d Mcroecooma peso: { 4, 59, 65,

Dettagli

SECONDA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA gennaio 2005 COMPITO C2

SECONDA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA CLEA gennaio 2005 COMPITO C2 Cogome Numero d matrcola SECONDA PROVA INERMEDIA DI SAISICA CLEA 07 7-77-08 geao 00 Nome COMPIO C A f della valutazoe s terrà coto solo ed esclusvamete d quato rportato egl appost spaz. Al terme della

Dettagli

MISURE E GRANDEZZE FISICHE

MISURE E GRANDEZZE FISICHE R. Campaella Ig. Meccaca v. Peruga Gradezze fsche Rev. 12.02.21 MISRE E GRANDEZZE FICHE 1 Itroduzoe Nella descrzoe de feome la fsca s serve d legg, elle qual tervegoo gradezze fsche qual: la lughezza,

Dettagli

LA FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA

LA FUNZIONE DI VEROSIMIGLIANZA A FUNZIONE DI VEROSIMIGIANZA HA UN RUOO IMPORTANTE NEA PROCEDURE DI INFERENZA STATISTICA COME: ) METODO DI COSTRUZIONE DI STIMATORI (IN SITUAZIONI COMPESSE) ) METODO DI INDIVIDUAZIONE DI TEST UNIFORMEMENTE

Dettagli

Var iabili aleatorie continue

Var iabili aleatorie continue Var abl aleatore cotue Probabltà e Statstca I - Varabl aleatore cotue - a.a. 04/05 Per ua varable aleatora dscreta, la fuzoe massa d probabltà ) f f è tale che ( x ) ) a 3) x f :,..., ( x Defzoe { x, x,,

Dettagli

pè via che, lì, la media è sempre eguale risurta che te tocca un pollo all'anno: Me spiego: da li conti che se fanno seconno le statistiche d'adesso

pè via che, lì, la media è sempre eguale risurta che te tocca un pollo all'anno: Me spiego: da li conti che se fanno seconno le statistiche d'adesso La varabltà L utlzzo d ua meda permette d stetzzare effcacemete l formazoe coteuta ua dstrbuzoe statstca dal puto d vsta dell testà del carattere. Tuttava la stes può essere eccessva, el seso s possoo

Dettagli

Facoltà di Economia - STATISTICA - Corso di Recupero a.a Prof.ssa G. Balsamo CONCETTI di BASE Carattere X [o A ] i = 1

Facoltà di Economia - STATISTICA - Corso di Recupero a.a Prof.ssa G. Balsamo CONCETTI di BASE Carattere X [o A ] i = 1 Facoltà d Ecooma - STATISTICA - Corso d Recupero a.a. 2012-13 Prof.ssa G. Balsamo CONCETTI d BASE Carattere X [o A ] caratterstca quattatva [o qualtatva] rappresetatva d u feomeo sottoposto ad dage Popolazoe

Dettagli

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica).

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica). Regressoe leare Il terme regressoe fu trodotto da Fracs Galto (8-9), atropologo (promotore dell eugeetca). I u suo famoso studo (877-885), Galto scoprì che, sebbee c fosse ua tedeza de getor alt ad avere

Dettagli

Quale retta? La retta migliore è quella che più si avvicina all insieme dei 115

Quale retta? La retta migliore è quella che più si avvicina all insieme dei 115 Quale retta? Quale retta? Questa? Oppure questa? Questa certamete o! 0 1 0 1 La retta mglore è quella che pù s avvca all seme de 115 put corrspodet alle coppe d valor (x, y ). Per la stma de parametr s

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco 01-013013 Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe dpede dal

Dettagli

Esercitazione 6 del corso di Statistica (parte 1)

Esercitazione 6 del corso di Statistica (parte 1) Eserctazoe del corso d Statstca parte Dott.ssa aola Costat 8 Marzo 0 Eserczo S ha motvo d rteere che u uovo farmaco A abba la propretà d abbassare l lvello d glcema el sague. I cascuo de pazet dabetc osservat,

Dettagli

Daniela Tondini

Daniela Tondini Daela Tod dtod@ute.t Facoltà d Medca Veterara C.L. Tutela e Beessere Amale Uverstà degl Stud d Teramo INDICI STATISTICI La moda o orma M O d ua dstrbuzoe d frequeza X, calcolable per caratter sa quattatv

Dettagli

INDICI DI VARIABILITA

INDICI DI VARIABILITA INDICI DI VARIABILITA Defzoe d VARIABILITA': la varabltà s può defre come l'atttude d u carattere ad assumere dverse modaltà quattatve. La varabltà è la quattà d dspersoe presete e dat. Idc d varabltà

Dettagli

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso.

Dettagli

Compito A1- Soluzioni

Compito A1- Soluzioni Compto A- Soluzo Eserczo (4 put) I ua dage statstca codotta presso 0 rstorat s soo raccolt dat rportat tabella, dove l sgfcato delle varabl è l seguete Spesa: Copert: Stelle: esa a persoa meda (escl. bevade)

Dettagli

DATA MINING PER IL MARKETING (63 ore)

DATA MINING PER IL MARKETING (63 ore) DATA MINING PER IL MARKETING (63 ore) Marco Ra mra@upr.t Sto web del corso http://www.ra.t/dmm REGRESSIONE INFERENZIALE 1 Itroduzoe agl elemet aleator N. dpedet (X) Vedte mlo d (Y) A 10 1,9 B 18 3,1 C

Dettagli

LEZIONI DI STATISTICA MEDICA

LEZIONI DI STATISTICA MEDICA LEZIONI DI STATISTICA MEDICA A.A. 00/0 - Idc d dspersoe Sezoe d Epdemologa & Statstca Medca Uverstà degl Stud d Veroa La dspersoe o varabltà è la secoda mportate caratterstca d ua dstrbuzoe d dat. Essa

Dettagli

Dott.ssa Marta Di Nicola

Dott.ssa Marta Di Nicola RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quado s cosderao due o pù caratter (varabl) s possoo esamare ache l tpo e l'testà delle relazo che sussstoo tra loro. http://www.bostatstca.uch.tt Nel caso cu per

Dettagli

I percentili e i quartili

I percentili e i quartili I percetl e quartl I percetl soo quelle modaltà che dvdoo la dstrbuzoe ceto part d uguale umerostà. I quartl soo quelle modaltà che dvdoo la dstrbuzoe quattro part d uguale umerostà. Il prmo quartle Q

Dettagli

Stima puntuale Quando un parametro della popolazione incognito è valutato (stimato) da una sola statistica (parametro) tratto da un campione

Stima puntuale Quando un parametro della popolazione incognito è valutato (stimato) da una sola statistica (parametro) tratto da un campione STIMA PARAMTRICA TST DLL IPOTSI L fereza Statstca rguarda affermazo crca I parametr d ua popolazoe sulla base della metodologa statstca e del calcolo delle probabltà Stma putuale Quado u parametro della

Dettagli

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek MISURE DI TENDENZA CENTRALE Pscometra 1 - Lezoe Lucd presetat a lezoe AA 000/001 dott. Corrado Caudek 1 Suppoamo d dsporre d u seme d msure e d cercare u solo valore che, meglo d cascu altro, sa grado

Dettagli

( ) 2 i 1 X. n(n + 1) a) si determini se sono corretti; b) per quelli non corretti, si calcoli la distorsione d;

( ) 2 i 1 X. n(n + 1) a) si determini se sono corretti; b) per quelli non corretti, si calcoli la distorsione d; ESERCIZIO 5. Sa (X, X,, X ) u campoe casuale geerato da ua v.c. X f(x; θ) per la quale è oto che E(X) θ e Var(X). S cosdero 3 stmator d θ: X ; X ; ( ) X 3 a) s determ se soo corrett; b) per quell o corrett,

Dettagli

ANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE

ANALISI DELLA REGRESSIONE ANALISI BIVARIATA DELLA REGRESSIONE ANALISI DELLA REGRESSIONE L Aals della Regressoe rguarda lo studo delle relazo esstet fra o pù caratter quattatv o varal. La rcerca de lega esstet fra pù varal s poe coe rcerca delle relazo fuzoal che

Dettagli

CORSO DI FISICA SPERIMENTALE A+B

CORSO DI FISICA SPERIMENTALE A+B POLITECNICO DI MILANO DIPARTIMENTO DI FISICA Ao Accademco 2002-2003 CORSO DI FISICA SPERIMENTALE A+B ESERCITAZIONI Prof. Marco Fazz Dott. Ig. Atoo Motao Zéo! Cruel Zéo! Zéo D'Èlée! M'as-tu percé de cette

Dettagli

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100 ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe percetuale delle famgle talae per class d reddto, espresso mlo d lre, (ao 995, fote Istat): Class d reddto % famgle Fo a 5 5.3 5-5 6. 5-35. 35-45 8.6 45-55 3.6 Oltre

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Dpartmeto d Sceze Poltche, della Comucazoe e delle Relaz. Iterazoal Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe

Dettagli

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione Aals de Dat La statstca è facle!!! Correlazoe A che serve la correlazoe? Mettere evdeza la relazoe esstete tra due varabl stablre l tpo d relazoe stablre l grado d tale relazoe stablre la drezoe d tale

Dettagli

Approfondimenti Lezione 3. Mara Bruzzi

Approfondimenti Lezione 3. Mara Bruzzi Approfodmet Lezoe 3 Mara Bruzz APPROFONDIMENTO 1 : I BOSONI Partcelle come le a, foto, meso hao vece fuzo d oda smmetrche y S. Esse o obbedscoo al prcpo d esclusoe d Paul. Tal partcelle soo dette BOSONI.

Dettagli

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione LE MEDIE RAZIONALI LE MEDIE Msure stetche trodotte per valutare aspett compless e global d ua dstrbuzoe d u feomeo X medate u solo umero reale costruto modo da dsperdere al mmo le formazo su dat orgar.

Dettagli

Lezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia Meccanica

Lezioni del Corso di Fondamenti di Metrologia Meccanica Uverstà degl Stud d Casso Facoltà d Igegera Lezo del Corso d Fodamet d Metrologa Meccaca A.A. 005-006 Prof. Paolo Vgo Uverstà degl Stud d Casso Idce. Icertezza d Msura. Propagazoe delle Icertezze 3. Errore

Dettagli

Capitolo 6 Gli indici di variabilità

Capitolo 6 Gli indici di variabilità Captolo 6 Gl dc d varabltà ommaro. Itroduzoe. -. Il campo d varazoe. - 3. La dffereza terquartle. - 4. Gl scostamet med. -. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza. - 6. Le dffereze mede. - 7.

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV Uverstà degl Stud d Napol Partheope Facoltà d Sceze Motore a.a. 011/01 Statstca Lezoe IV E-mal: paolo.mazzocch@upartheope.t Webste: www.statmat.upartheope.t Fuzoe d regressoe Attraverso la fuzoe d regressoe

Dettagli

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio 09/03/06 Caso studo 0 S cosder la seguete dstrbuzoe degl occupat Itala secodo l umero d ore settmaal effettvamete lavorate e l settore d attvtà (cfr. Itala cfre, Ao 008, pag. 7 ): Ore lavorate Settore

Dettagli

4 CAMPIONE DI n UNITA STATISTICHE (lettere latine)

4 CAMPIONE DI n UNITA STATISTICHE (lettere latine) 4 CAMPIONE DI UNITA TATITICHE (lettere late) Meda campoara x meda solo per dat quattatv m 1 x = modaltà assuta dall -esma utà statstca Devaza campoara solo per dat quattatv 1 ( x m) 1 x 1 x dev.q Varaza

Dettagli

Appunti di. Elaborazione dei dati sperimentali

Appunti di. Elaborazione dei dati sperimentali Apput d Elaboraoe de dat spermetal Corso d sca er cors d Laurea Igegera Uverstà d adova sura d ua gradea fsca Ua gradea fsca s rappreseta co uo (o pù) umer segut da ua utà d msura. Il umero che quatfca

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione Corso d laurea Sceze Motore Corso d Statstca Docete: Dott.ssa Immacolata Scacarello Lezoe 9: Covaraza e correlazoe Altr tp d dpedeza L dce Ch-quadro presetato ella lezoe precedete stablsce l grado d dpedeza

Dettagli

Indipendenza in distribuzione

Indipendenza in distribuzione Marlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Lo studo delle relazo tra due caratter" Aals delle relazo tra due caratter Dpedeza dstrbuzoe s basa sul cofroto delle dstrbuzo codzoate Dpedeza meda s basa sul cofroto

Dettagli

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI parte Varabl casual e Dstrbuzo d varabl casual Calcolo delle probabltà Defzo Il calcolo delle probabltà tede a redere razoale l comportameto dell uomo d frote all certezza;

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Parthenope. STATISTICA per il Turismo. IV Lezione

Università degli Studi di Napoli Parthenope. STATISTICA per il Turismo. IV Lezione Uverstà degl Stud d Napol Partheope Corso d Laurea Maagemet per le Imprese Turstche STATISTICA per l Tursmo IV Lezoe Docete: Sergo Logobard sergo.logobard@upartheope.t Cosderazo sulla moda La moda forsce

Dettagli

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI Nell aals chmca u aalsta effettua u umero lmtato d prove e cosdera la meda de rsultat otteut per poter arrvare a determare o l valore VERO d ua determata gradezza

Dettagli

Controlli Automatici A

Controlli Automatici A Cotroll Automatc A Cors d laurea treal Igegera Elettroca, Iformatca, Telecomucazo a.a. 200/2002 Docete: Prof. Aurelo Pazz Emal: aurelo@ce.upr.t http://www.ce.upr.t/people/pazz/ Cotroll Automatc A Prof.

Dettagli

exp("# (al posto di n) var Ca Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri. f X DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL.

exp(# (al posto di n) var Ca Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri. f X DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL. DISTRIBUZIONE EV o DI GUMBEL. x x [ $ e ] exp[ e ] F x exp co: Sgfcato de parametr: f exp al posto d : Numero medo d evet dpedet [ 0,t], ad esempo u ao. / :Valore medo della gradezza dell eveto, esempo

Dettagli

Propagazione di errori

Propagazione di errori Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo

Dettagli

Generalmente sia l ampiezza che il valore medio della sollecitazione sono variabili nel tempo.

Generalmente sia l ampiezza che il valore medio della sollecitazione sono variabili nel tempo. È molto raro che u compoete meccaco sa sollectato a fatca da u carco cclco ad ampezza costate. Geeralmete sa l ampezza che l valore medo della sollectazoe soo varabl el tempo. max a a max m m m m Tempo

Dettagli

Regressione e Correlazione

Regressione e Correlazione Regressoe e Correlazoe Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 L aals della regressoe è ua tecca statstca per modellare e vestgare le relazo tra due (o pù) varabl. Nella tavola è rportata

Dettagli

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA

ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA ELEMENTI DI TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA Msura: processo che assoca ad og gradezza fsca uo (scalare) o pu` (vettore) umer che la quatfca rspetto ad ua opportua uta` d msura. Procedmeto emprco soggetto

Dettagli

Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni i che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti

Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni i che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti e l fereza Popolazoe Campoe Da dat osservat medate scelta campoara s guge ad affermazo che rguardao la popolazoe da cu ess soo stat prescelt e l fereza S defsce campoameto u procedmeto attraverso l quale

Dettagli

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13 La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p ε per

Dettagli

Seconda Prova Parziale di STATISTICA Modalità A

Seconda Prova Parziale di STATISTICA Modalità A Secoda Prova Parzale d STATISTICA 0..07 Modaltà A (A) a f della valutazoe verrao cosderate solo le rsposte rportate dallo studete egl appost rquadr bach. (B) ello svolgmeto del compto s utlzzo almeo quattro

Dettagli

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario Dpartmeto d Meccaca, Strutture, Ambete e Terrtoro UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO Laurea Specalstca Igegera Meccaca: Modulo d Fsca Tecca Lezoe d: Dffereze fte per problem d coduzoe regme stazoaro /20

Dettagli

Statistica descrittiva per l Estimo

Statistica descrittiva per l Estimo Statstca descrttva per l Estmo Paolo Rosato Dpartmeto d Igegera Cvle e Archtettura Pazzale Europa 1-34127 Treste. Itala Tel: +39-040-5583569. Fax: +39-040-55835 80 E-mal: paolo.rosato@da.uts.t 1 A cosa

Dettagli

Corso di Architettura (Prof. Scarano) 06/03/2002

Corso di Architettura (Prof. Scarano) 06/03/2002 Orgazzazoe della lezoe Lezoe Codfca della formazoe Vttoro Scarao Archtettura Corso d Laurea Iformatca Uverstà degl Stud d Salero La codfca della formazoe Notazoe poszoale Rappresetazoe base degl ter Coversoe

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

ρ XY risponde alla domanda esiste un associazione lineare tra le variabili X e Y?

ρ XY risponde alla domanda esiste un associazione lineare tra le variabili X e Y? Relazoe fra varabl casual X e Y cogutamete dstrbute Test d potes due popolazo Coeffcete d Correlazoe ρ XY (9.5.3) Regressoe ρ XY rspode alla domada esste u assocazoe leare tra le varabl X e Y? Costrure

Dettagli

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0) Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )

Dettagli

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti.

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti. Iterpolazoe Defzoe: per terpolazoe s tede la rcerca d ua fuzoe matematca che approssma l adameto d u seme d put. Iterpolazoe MATEMATICA Calcola ua fuzoe che passa PER tutt put Tp d terpolazoe Iterpolazoe

Dettagli

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3) Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a

Dettagli

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE L ANALISI DI REGRESSIONE La regressoe è volta alla rcerca d u modello atto a descrvere la relazoe esstete tra ua varable Dpedete e ua varable dpedete (regressoe semplce)

Dettagli

Il campionamento e l inferenza

Il campionamento e l inferenza e l fereza Popolazoe Campoe Da dat osservat medate scelta campoara s guge ad affermazo che rguardao la popolazoe da cu ess soo stat prescelt Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco Ao

Dettagli

FORMULARIO DI RIFERIMENTO PER IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE DI MISURA. F.Silvestrin, V.Talamini

FORMULARIO DI RIFERIMENTO PER IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE DI MISURA. F.Silvestrin, V.Talamini FORMULARIO DI RIFERIMENTO PER IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE DI MISURA F.Slvestr, V.Talam Ne calcol fatt per valutare le certezze d msura s farà rfermeto al presete formularo rportado umer delle formule usate

Dettagli

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio 8/02/20 Caso studo 2 U vesttore sta valutado redmet d due ttol del settore Petrolo e Gas aturale. Sulla base de redmet goraler della settmaa passata vuole cercare d prevedere l redmeto per la prossma settmaa

Dettagli

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13 La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p per co

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terz) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Eserctazoe 2 2.1 Da u dage svolta su u campoe d lavorator dpedet co doppo lavoro è stata rlevata la dstrbuzoe coguta del reddto

Dettagli

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che: Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore

Dettagli

6. LA CONCENTRAZIONE

6. LA CONCENTRAZIONE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso d Laurea Sceze per l'ivestgazoe e la Scurezza 6. LA CONCENTRAZIONE Prof. Maurzo Pertchett Statstca

Dettagli

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1)

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1) Eserctazoe 5 del corso d Statstca (parte 1) Dott.ssa Paola Costat 8 Novembre 011 I alcue crcostaze s poe u maggor teresse sullo studo della varabltà tra le sgole utà statstche, puttosto che lo studo della

Dettagli

6. LA CONCENTRAZIONE

6. LA CONCENTRAZIONE UNIVESITA DEGLI STUDI DI PEUGIA DIPATIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FOMAZIONE Corso d Laurea Sceze per l'ivestgazoe e la Scurezza 6. LA CONCENTAZIONE Prof. Maurzo Pertchett Statstca

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA ELEETI DI STATISTICA S desce popolazoe oggetto l seme d tutt quegl elemet che hao comue almeo ua caratterstca (o attrbuto) Lo studo d ua popolazoe è eettuato qud dal puto d vsta d u suo attrbuto: s valuta

Dettagli

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 2:

Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 2: Costruzoe d macche Modulo d: rogettazoe probablstca e affdabltà Marco Begh e Leoardo Bert Lezoe : robabltà codzoata e varabl casual robabltà codzoata ((A/B)): La probabltà che s verfch u eveto A, assumedo

Dettagli

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza

Dettagli

La media aritmetica. Le medie. Esempio. Esempio. Media aritmetica Mediana. Medie analitiche Medie di posizione. x 1

La media aritmetica. Le medie. Esempio. Esempio. Media aritmetica Mediana. Medie analitiche Medie di posizione. x 1 Le mede Mede: permettoo d stetzzare ua dstrbuzoe sulla base d u solo valore. Possoo essere classcate : Mede aaltche: calcolate tramte operazo algebrche su valor del carattere solo per caratter quattatv

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) Mutua variabilità. n n 1. n n 1. n n 1. n n 1

( ) ( ) ( ) ( ) Mutua variabilità. n n 1. n n 1. n n 1. n n 1 Mutua varabltà È ua msura d quato le utà statstche dfferscoo tra d loro (o pù rspetto ad u puto fsso). Il calcolo degl dc s basa sulle dffereze tra tutte le coppe d utà statstche. Dffereze mede (seza rpetzoe)

Dettagli

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Facoltà d Farmaca Corso d Matematca co elemet d Statstca Docete: Rccardo Rosso Statstca descrttva: l coeffcete d cocetrazoe d G Quado s vuole rpartre ua certa somma d dearo, v soo due suddvso che soo,

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte II

Elementi di Statistica descrittiva Parte II Elemet d Statstca descrttva Parte II Nella prma parte d queste ote s soo llustrate le tecche utlzzate per rappresetare dat, maera stetca, medate tabelle e grafc Tal tecche soo applcabl sa a caratter quattatv

Dettagli

La Regressione. Y = f ( X ) Le motivazioni che ci spingono alla ricerca di f essenzialmente due: la Previsione ed il Controllo.

La Regressione. Y = f ( X ) Le motivazioni che ci spingono alla ricerca di f essenzialmente due: la Previsione ed il Controllo. La Regressoe Sulla base delle coppe d modaltà osservate (x 1,y 1 ),..,(x,y ), dopo aver verfcato la dpedeza tra caratter quattatv X ed Y, c propoamo d determare la fuzoe matematca f che meglo stetzz l

Dettagli

Le misure di variabilità

Le misure di variabilità arlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Le msure d varabltà e cocetrazoe" La varabltà L atttude d u carattere quattatvo X ad assumere valor dfferet tra le utà compoet u seme statstco è chamata varabltà

Dettagli

Laboratorio di Fisica I: laurea in Ottica e Optometria. Misura di una resistenza con il metodo VOLT-AMPEROMETRICO

Laboratorio di Fisica I: laurea in Ottica e Optometria. Misura di una resistenza con il metodo VOLT-AMPEROMETRICO Laboratoro d Fsca I: laurea Ottca e Optoetra Msura d ua ressteza co l etodo OLTMPEOMETICO descrzoe s sura ua ressteza utlzzado u voltetro e u llaperoetro sfruttado la relazoe : Per coduttor ohc è dpedete

Dettagli

La media aritmetica. La sua individuazione si basa sulla logica della trasferibilità di un carattere. Se la funzione f( ) corrisponde alla somma:

La media aritmetica. La sua individuazione si basa sulla logica della trasferibilità di un carattere. Se la funzione f( ) corrisponde alla somma: La meda artmetca La sua dvduazoe s basa sulla logca della trasferbltà d u carattere. ( ) = ( µ µ ) f,, f,, volte Se la fuzoe f( ) corrspode alla somma: + + + = µ + µ + + µ volte + + + = µ µ X= = La meda

Dettagli

7 STIMATORI DI REGRESSIONE LINEARE 7.1 INTRODUZIONE

7 STIMATORI DI REGRESSIONE LINEARE 7.1 INTRODUZIONE 7 STIMATORI I REGRESSIOE LIEARE 7. ITROUZIOE Co l terme stmator d regressoe leare s dca u'ampa classe d stmator, che comprede ache gl stmator rapporto, utlzzabl quado s dspoe d u'formazoe auslara rappresetata

Dettagli

Modelli di accumulo del danno dovuto a carichi ciclici

Modelli di accumulo del danno dovuto a carichi ciclici Modell d accumulo del dao dovuto a carch cclc Modell d accumulo del dao dovuto a carch cclc È molto raro che u compoete meccaco sa sollectato a fatca da u carco cclco ad ampezza costate. Geeralmete sa

Dettagli

PROVA SCRITTA DI STATISTICA (COD ) 4 Febbraio 2004 MODALITÀ A APPROSSIMARE TUTTI I CALCOLI ALLA QUARTA CIFRA DECIMALE

PROVA SCRITTA DI STATISTICA (COD ) 4 Febbraio 2004 MODALITÀ A APPROSSIMARE TUTTI I CALCOLI ALLA QUARTA CIFRA DECIMALE PROVA SCRITTA DI STATISTICA (COD 08-07-7-77) Febbrao 00 MODALITÀ A APPROSSIMARE TUTTI I CALCOLI ALLA QUARTA CIFRA DECIMALE ESERCIZIO (6 put) Da ua classfca del sto teret IBS rsulta che 0 flm pù vedut vdeocassetta

Dettagli

Esercizi sull incertezza di misura

Esercizi sull incertezza di misura Esercz sull certezza d sura Eserczo 1 S vuole deterare l certezza tpo da attrbure al rsultato d ua surazoe d ressteza effettuata co etodo e struetazoe d certezza trascurable rspetto a quella legata alle

Dettagli

Come descrivere fisicamente con facilità questi eventi?

Come descrivere fisicamente con facilità questi eventi? Come descrvere scamete co acltà quest evet? Quattà d moto Osservazoe: Tato maggore è la massa d u corpo, tato pù è dcle ermarlo ( a partà d veloctà) Data ua partcella d massa m e veloctà v s desce quattà

Dettagli

Propagazione delle incertezze

Propagazione delle incertezze Propagazoe delle certezze Luca Mar, versoe 18.5.16 Questo testo è dstrbuto co Lceza Creatve Commos Attrbuzoe Codvd allo stesso modo 4.0 Iterazoale Coteut Itroduzoe...1 Rappresetazoe d gradezze codzo d

Dettagli

Organizzazione della lezione. Lezione 2 Codifica della informazione. Codifica della informazione. Dove si trova la ALU. Un quadro della situazione

Organizzazione della lezione. Lezione 2 Codifica della informazione. Codifica della informazione. Dove si trova la ALU. Un quadro della situazione Orgazzazoe della lezoe Lezoe Codfca della formazoe Vttoro Scarao Archtettura Corso d Laurea Iformatca Uverstà degl Stud d Salero U quadro della stuazoe: dove samo, dove stamo adado e perché La codfca della

Dettagli

Incertezza di misura

Incertezza di misura Icertezza d msura Itroduzoe e rcham Come gà detto rsultat umerc ottebl dalle msurazo soo trsecamete caratterzzat da aleatoretà è duque sempre ecessaro stmare ua fasca d valor attrbubl come msura al msurado;

Dettagli

2 - STATISTICA DESCRITTIVA E DISTRIBUZIONI

2 - STATISTICA DESCRITTIVA E DISTRIBUZIONI - STATISTICA DESCRITTIVA E DISTRIBUZIONI. Varabl statstche e varabl casual semplc Varable statstca S suppoga che gl dvdu apparteet ad u seme be determato sao caratterzzat da u attrbuto X avete seguet requst:

Dettagli

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica Esercz su Rappresetazo d Dat e Statstca Eserczo Esprmete forma percetuale e traducete u aerogramma dat della seguete tabella: Nord Cetro Sud Isole Totale 5 58 866 0 95 36 4 35 30 6 79 56 57 399 08 Soluzoe

Dettagli