APPUNTI di FISICA SPERIMENTALE

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1 APPUNTI d FISICA SPERIMENTALE Igegera Elettrca e Meccaca premessa: l metodo spermetale msurazoe d gradezze fsche caratterstche degl strumet d msura sstem d utà d msura aals dmesoale aals delle certezze - certezze - rappresetazoe e utlzzo delle certezze - propagazoe delle certezze - tp d certezze spermetal cocett base d statstca dstrbuzoe ormale lvell d cofdeza metodo de mm quadrat

2 La Fsca s foda sul metodo spermetale (galleao): l crtero d vertà è l rsultato dell osservazoe e dell espereza Premesse del metodo spermetale: premessa flosofca: feome atural s svolgoo sempre co le stesse modaltà quado vegoo mateute le medesme codzo zal premessa tecca: è possble modfcare co accorgmet tecc opportu la scala de feome modo da o alterare la legge pur rededol accessbl alla msurazoe (o osservazoe) premessa matematca: ua legge aturale è rteuta vera se le cosegueze logche che da essa s rcavao matematcamete vegoo rscotrate ella realtà Ua teora fsca è u seme coerete d legg medate le qual è possble eucare affermazo emprcamete verfcabl Il rapporto teora-espermeto è dalettco

3 Nello studo de feome c s chede COME e PERCHE ess avvegao. L ORDINE d queste domade è mportate!! - Flosofa greca - Teologe PERCHE? Modello metale del modo Schema aprorstco delle cose Es.: Arstotele: perché cadoo corp? perché cascu corpo cerca la sua sede aturale Galleo: COME? Spermetazoe quattatva... l grade lbro della atura è scrtto lguaggo matematco...

4 Metodo galleao: studo d u feomeo aturale osservazoe, descrzoe, cofroto co altr feome aalogh, classfcazoe aals delle crcostaze cu l feomeo s verfca e de fattor che lo codzoao dvduazoe degl aspett fodametal prova e rprova del feomeo, elle codzo pù semplc possbl, ache modo artfcale (elevato umero d prove co evetual varazo) espressoe umerca de parametr che caratterzzao l feomeo (es. creazoe d tabelle) formulazoe quattatva: studo della correlazoe tra parametr rcerca della legge che regola l feomeo

5 Osservazoe: terazoe tra osservatore e sstema osservato L formazoe è relatva allo stato del sstema DURANTE l osservazoe, a rgore o ecessaramete uguale a quello PRIMA dell osservazoe Rcerca de metod che mmzzo la perturbazoe sul sstema osservato Fsca classca: SI La perturbazoe può essere rdotta a zero? Fsca quatstca: NO (prcpo d determazoe d Heseberg)

6 GRANDEZZE FISICHE DEFINITE OPERATIVAMENTE Per la descrzoe d u feomeo s devoo usare solo que parametr che soo trasformabl umer co la msurazoe, coè que term che soo defbl OPERATIVAMENTE, attraverso l operazoe metrca d MISURAZIONE (ache solo deale) e che chamamo GRANDEZZE FISICHE. Esemp: massa, forza, lughezza d u segmeto, durata d u tervallo temporale..

7 Il processo d msurazoe è qud alla base d og sceza spermetale Cosderamo u seme d et omogee tra loro (es. seme d carche elettrche, d masse, ecc.). Tale seme costtusce u seme d gradezze fsche se: pres due et a caso A e B, s è sempre grado d dre se A>B, A<B o AB [crtero d cofroto] s può defre la somma A+B [crtero d somma] s può defre uo degl et come utà d msura [campoe utaro] S può defre msurazoe (msura) d ua gradezza fsca l umero che rappreseta l rapporto tra la gradezza cosderata e quella fssata come utà.

8 La msurazoe d ua gradezza può essere fatta tre mod: ) msurazoe dretta ) msurazoe dretta 3) msurazoe co strumet tarat ) msurazoe dretta ) cofroto medate u opportuo strumeto d ua gradezza G co u altra della stessa spece [g] scelta come utà ) determazoe d quate volte G cotee [g] o ua sua frazoe. La msura dretta d ua gradezza è sempre u umero postvo razoale Es. Lughezza 3.5 metr spece della gradezza msura utà

9 ) msurazoe dretta Es. la massa d u oggetto è ua gradezza che s può msurare drettamete co ua blaca. Tuttava, se s volesse msurare la massa d u corpo celeste o d ua partcella pccola quale u atomo, è ovvamete mpossble utlzzare uo strumeto quale la blaca. Allora s fa rcorso ad ua qualche relazoe ota tra le masse d quest ed altre gradezze msurabl drettamete, e po s rsale dalle msure d queste a quella della massa questoe. terazoe gravtazoale B E terazoe elettromagetca

10 I geerale, se la gradezza y è ua fuzoe cooscuta delle gradezze d spece dverse,,., tutte msurabl drettamete y f (,,... S effettuao msure d,,., e, medate la relazoe, s rsale alla msura d y. Esempo: sapedo che l area S del rettagolo d lat a e b è data da S ab ab, per otteere l valore dell area s effettua la msura de lat e s moltplcao rsultat tra loro. Msurare ua gradezza fsca drettamete sgfca: trovare ua legge fsca che la legh ad altre gradezze msurabl drettamete esegure tal msure sfruttare la relazoe per calcolare l umero che esprme la msura cercata )

11 3) msurazoe co strumet tarat Lo strumeto tarato è grado d stablre ua corrspodeza buvoca tra l valore d ua certa gradezza fsca da msurare e u umero che s legge sullo strumeto. Esemp: blaca, amperometro, voltmetro, croometro, ecc. L uso degl strumet tarat elma l coveete d dsporre dell utà campoe el caso d msurazoe dretta, e della ecesstà d cooscere la relazoe y f (,... ) el caso d msura dretta. Og strumeto è caratterzzato da ua curva d taratura o calbrazoe: fuzoe che poe corrspodeza buvoca l umero letto sulla scala co l valore della gradezza da msurare. Quado questa curva è ua retta, lo strumeto s dce leare (la dstaza tra graduazo successve è costate) scala graduata

12 Caratterstche degl strumet d msura Le prcpal caratterstche d uo strumeto soo: sesbltà, precsoe, portata, protezza sesbltà def. I: è u parametro legato alla varazoe mma apprezzable y della gradezza esame S y / y def.ii: rapporto tra lo spostameto dell dce sulla scala e la varazoe y della gradezza da msurare s / y d/dy le due defzo cocdoo se dvsoe (strum. dgtal) può essere costate o varare lugo la scala a secoda che la scala sa leare oppure o dv. 0.5 cm cm 0 cm

13 la sesbltà d uo strumeto può essere aumetata sa agedo sulla struttura meccaca o elettromagetca dell elemeto sesble, sa terveedo co opportu artfc sulle codzo d lettura (amplfcazoe degl spostamet dell dce, sstem ottc per apprezzare meglo la poszoe dell dce sulla scala,.) la sesbltà o può essere aumetata a dsmsura perché gl error casual d msura s fao maggormete setre al crescere della sesbltà dello strumeto, rededo pù certe le letture.

14 precsoe l cocetto d precsoe è coesso al cocetto d certezza d msura spesso vee defta come la somma de valor assolut degl error percetual d lettura dervat da dfett d costruzoe, taratura e fuzoameto dello strumeto stesso Esempo: la blaca fote d mprecsoe d tpo costruttvo: dsuguaglaza de due bracc del gogo ( L/L) fote d mprecsoe d tpo fuzoale: stabltà dello zero per attrt tra coltell e pa d appoggo errore co cu soo state realzzate le masse campoe ( M/M) error casual dovut a mpercettbl varazo elle codzo d msura ( m /M) P L L + M M m M

15 portata la portata d uo strumeto rappreseta l ampezza massma della gradezza msurable per mezzo dello strumeto stesso protezza la protezza è data dalla rapdtà co cu lo strumeto è grado d esegure la msura o d segure le varazo el tempo della gradezza esame

16 Sstem d utà d msura Le gradezze fsche soo umerosssme : lughezza, durata temporale, massa, veloctà, accelerazoe, frequeza, carca elettrca, testà d correte, ecc. No è coveete sceglere u utà d msura per ogua d esse. Covee vece sfruttare le correlazo tra le vare gradezze, fssare utà d msura solo per alcue d esse e utlzzare le suddette correlazo per defre le altre utà. utà d msura fodametal: spece d gradezze per le qual vegoo fssate le utà utà d msura dervate: spece che vegoo rcavate dalle fodametal

17 Sstema Iterazoale (S.I.) E l pù dffuso sstema d utà d msura costtuto dall seme delle utà d msura delle gradezze fodametal Fodametal Supplemetar Gradezze Utà Smbolo Lughezza Metro m Massa Klogrammo kg Itervallo d tempo Secodo s Itestà d correte elettrca Ampère A Temperatura Kelv K Itestà lumosa Cadela cd Quattà d matera Mole mol Agolo pao Radate rad Agolo soldo Steradate sr

18 Per og utà d msura s realzzao de campo le cu caratterstche devoo essere faclmete rproducbl qualuque luogo e be coservabl. (preferblmete legate a COSTANTI NATURALI) Esempo: l metro campoe: sbarra d ua lega d plato-rdo, mateuto alla temperatura d 0 C (dopo l 960): lughezza d oda λ 0 el vuoto della radazoe corrspodete alla traszoe tra lvell p 0 e 5d 5 dell atomo d Krpto-86. m λ λ 0 0 emssoe (dopo l 985): lughezza del cammo percorso el vuoto dalla luce u tervallo d tempo d (/ ) s

19 Dmesoe d ua gradezza fsca I geerale, suppoamo che u sstema d utà d msura compreda le gradezze fodametal: X, X,.. X Sa G ua gradezza dervata e s verfch che, quado moltplchamo le utà delle gradezze fodametal rspettvamete per K, K,.K, l utà d G rsulta moltplcata per K G K α K α.. K α Dremo allora che la gradezza G ha la dmesoe α rspetto a X, la dmesoe α rspetto a X, ecc. S può scrvere l equazoe dmesoale [G] [X α X α X α ]

20 Esemp Idchamo co L, M, T, rspettvamete la lughezza, la massa e l tervallo d tempo (gradezze fodametal el SI) dalla relazoe v s/ t, che defsce la veloctà meda, rsulta l equazoe dmesoale [v][lt - ] Così, per l accelerazoe, la forza e l eerga cetca: a v/ t [a] [LT - ] Fm a [F] [MLT - ] Newto (N kg m s - ) K mv [K] [ML T - ] Joule (J kg m s - ) relazoe equazoe dmesoale utà d msura

21 Le equazo dmesoal cosetoo d fare l aals dmesoale delle relazo fsche: sosttuedo a cascua gradezza le sue dmeso, e trattado smbol delle gradezze fodametal come quattà algebrche, la relazoe può essere valda solo se cascu membro della relazoe stessa ha le medesme dmeso (prcpo d omogeetà) Se le dmeso della gradezza a prmo membro o soo le stesse d quella che compare al secodo membro la relazoe è scuramete sbaglata (o è detto l cotraro) L aals dmesoale cosete oltre la coversoe delle msure da u sstema d utà ad u altro S sosttusce a cascua utà del veccho sstema la corrspodete utà del uovo moltplcata per u fattore d coversoe

22 Esemp Cotrollare dmesoalmete l equvaleza tra mpulso e quattà d moto t mpulso: [F t][mlt - ][T][MLT - ] Fdt v d( mv) t v quattà d moto: [mv][mlt - ] OK! 0 0 Suppoamo d voler esprmere km/h la veloctà d u automoble che vagga a.5 ms -. Poché m 0-3 km e s(/3600) h m v.5 s 3 0 km.5 (/3600) h km/ h 45km/ h Suppoamo che u corpo abba eerga cetca.5 J. Nel sstema CGS ( cu L cm, M g, T s) la sua eerga sarà data da K.5 kg m s -.5 (0 3 g)(0 cm) s g cm s -

23 Attraverso cosderazo d aals dmesoale è possble dedurre formazo sulla forma algebrca delle legg fsche l Esempo: l pedolo semplce θ m g θ dpedeza fuzoale del perodo d oscllazoe τ dalle gradezze fsche che possoo cotrbure al feomeo (l, m, g) τ t τ l g I geerale τ α m β l γ g δ eq. dmesoale [Τ][Μ β L γ+δ T -δ ] ([g][lt - ]) β0 β0 γ+δ0 γ / δ δ /

24 ANALISI DELLE INCERTEZZE (ERRORI) L aals degl error è lo studo e l calcolo dell certezza ella msura. Nessua msura può essere completamete lbera da certezze. Poché l tera struttura della sceza dpede dalle msure spermetal, è d mportaza fodametale essere capac d calcolare queste certezze e d rdurle al mmo I questo caso ERRORE SBAGLIO s prefersce la dzoe INCERTEZZA Le certezze o s possoo evtare totalmete operado co molta cura. Ifatt, alcue sorget d errore soo trseche al processo d msura e o possoo pertato essere elmate del tutto. E comuque mportate poterle stmare.

25 Importaza d cooscere le certezze Esempo: msura della destà d u oggetto al fe d stablre se è composto d oro a 8 carat o d ua lega meo costosa oro Destà (g/cm 3 ) S ota che:. è probable che etrambe le msure sao corrette. la msura () è utle, ache se sembrerebbe suggerre che l oggetto è d oro 3. la msura () cosete d cocludere che l oggetto è composto dalla lega lega 4 3 Perché le msure permettao d trarre ua coclusoe le certezze spermetal o devoo essere troppo grad (ma o è ecessaro che sao estremamete pccole). Etrambe le msure sarebbero utl se gl spermetator o avessero cluso affermazo realstche (e verfcabl) sulle loro certezze

26 Stma delle certezze ella lettura d scale ) Msura d lughezza cm cm.5 cm.0 cm Nel caso cu la puta della matta sa pù vca alla tacca degl.5 cm puttosto che a quella degl.0 cm o de.0 cm Mglore stma della lughezza.5 cm Itervallo probable: da.5 a.75 cm

27 ) Msura d tesoe volts La spazatura tra le tacche è grade, qud s può realstcamete stmare dove gace l ago ello spazo tra le due dvso Mglore stma della tesoe 3. V Itervallo possble da 3. V a 3.3 V Il procedmeto d valutare la poszoe tra le cso d ua scala è detta terpolazoe

28 Stma delle certezze elle msure rpetbl (msura d u tervallo d tempo) Se utlzzamo u croometro, la prcpale sorgete d certezza o è la dffcoltà d leggere l quadrate, ma l tempo d reazoe (cogto) el far partre ed arrestare l croometro. Questo geere d certezze possoo essere ragoevolmete stmate qualora s rpeta la msura parecche volte. esempo.3 s.4 s.5 s.4 s La dspersoe de valor dà u dcazoe dell certezza Mglor stma del perodo:.4 s (valor medo) Itervallo probable: da.3 s a.5 s certezza Valore msurato del perodo (.4 ± 0.) s mglor stma (è ua valutazoe grossolaa ; metod statstc dao ua stma dell certezza pù accurata)

29 Rappresetazoe d u rsultato: stma mglore ± certezza Cfre sgfcatve L ultma cfra sgfcatva qualuque rsultato dovrebbe essere dello stesso orde d gradezza (ella stessa poszoe decmale) dell certezza. Esempo: l rsultato 9.8 co u errore d 0.3, dovrebbe essere arrotodato a 9.8 ± 0.3 co u errore d 3, dovrebbe essere arrotodato a 93 ± 3 co u errore d 30, dovrebbe essere arrotodato a 90 ± 30 Le certezze dovrebbero essere arrotodate a ua o al massmo due cfre sgfcatve I og caso, umer che devoo essere usat e calcol dovrebbero geerale essere teut co pù cfre sgfcatve rspetto a quelle rcheste per l rsultato fale. L arrotodameto è bee farlo al terme de calcol.

30 Dscrepaza se due msure della stessa gradezza soo dverse, allora v è ua dscrepaza. La dscrepaza può essere o o essere sgfcatva. Esempo: msura d ua ressteza elettrca Due operator msurao la stessa ressteza ed ottegoo (40 ± 5) ohm e (4 ± 8) ohm La dscrepaza (4-40) ohm ohm è more delle loro certezze le msure soo cosstet Nel caso cu s ottega (35 ± ) ohm e (45 ± ) ohm La dscrepaza (45-35) ohm 0 ohm è maggore delle loro certezze le msure soo cosstet

31 Valore vero (d ua gradezza fsca) Qual è l valore vero d ua gradezza fsca? Esste u valore vero d ua gradezza fsca? No v soo rsposte semplc e soddsfacet. E comuque molto coveete assumere che og gradezza fsca abba u valore vero. E u valore che s dovrebbe poter otteere da ua msura perfetta (possoo esstere svarat valor cosstet co la defzoe d ua data gradezza). Il valore vero è, per sua atura, COMPLETAMENTE INDETERMINATO

32 valore accettato o valore covezoale per gradezze che soo state accuratamete msurate molte volte precedeza, v è geere u valore accettato (molto pù accurato d quello che lo studete può determare), pubblcato su lbr. Esso è comuque affetto da certezza ( da valore vero ). Esemp: c ± m/s g (a Toro) ± m/s Cofroto d valor msurat ed accettat. Esempo: veloctà del suoo ell ara veloctà accettata 33 m/s veloctà msurata 39 ± 5 m/s OK veloctà msurata 345 ± m/s verfcare msure e calcol

33 Icertezza (o errore) relatvo dove (valore msurato d ) best ± δ best mglor stma per δ certezza o errore ella msura δ δ errore relatvo (errore percetuale 00 % ) best best L errore relatvo è u dcazoe approssmata della qualtà d ua msura Ad esempo, per l ostro corso d laboratoro: errore relatvo 0% msura rozza errore relatvo <0% msura accurata

34 PROPAGAZIONE DELLE INCERTEZZE La maggor parte delle gradezze fsche o possoo d solto essere msurate ua sgola msura dretta. I geerale, se la gradezza q è ua fuzoe cooscuta delle gradezze d spece dverse,.,w tutte msurabl drettamete q f (,..., w) s effettuao msure d,.,w e, medate la relazoe, s rsale alla msura d q. Occorre stmare le certezze elle gradezze,...,w e qud trovare come quest error s propagao attraverso calcol per produrre u certezza el rsultato fale.

35 Esempo: somma d due gradezze Msurate le due gradezze e y e otteute le due stme best ±δ y best ±δ y l pù alto valore probable d q+y è ( best + y best ) + (δ +δ y) l pù basso valore probable d q+y è ( best + y best ) (δ +δ y) qud: q best ( best + y best ) e δ q (δ + δ y ) Qud se le gradezze msurate soo sommate o sottratte gl error s sommao. S può aalogamete mostrare che se le gradezze soo moltplcate o dvse, gl error relatv s sommao I realtà s dmostra che le certezze così calcolate possoo essere sovrastmate, specfcatamete el caso che gl error orgar sao dpedet e casual. I og caso determao u lmte superore per l certezza. Vedremo che se le msure d e y soo fatte dpedetemete e soo etrambe goverate dalla dstrbuzoe ormale, allora gl error vao sommat quadratcamete

36 Se q è la somma e dffereza, q + + z - ( u + + w ) δ + + δ z + δ u + + δ w (lmte superore per δq) δq (per error dpedet e casual) ) (... ) ( ) (... ) ( w u z δ δ δ δ Se q è l prodotto e quozete, (lmte superore per δq/q) (per error dpedet e casual) w u z q w w u u z z δ δ δ δ w w u u z z δ δ δ δ q δq

37 Se q B, dove B è oto esattamete, allora δq B δ Se q è ua fuzoe d ua varable, q(), allora δ q Se q è ua poteza, q, allora dq d δ δ q δ q Se q è ua fuzoe d parecche varabl,, z, allora δq q q δ δz z (per error dpedet e casual)

38 Esempo: msura d g co u pedolo semplce Perodo del pedolo: T π l / g Se l e T vegoo msurat, s può rcavare g come g 4π l/t L errore T è l doppo che T: T δ ( ) δ ( T ) T T L errore g sarà: δg g δl l δt + T

39 Esempo: suppoamo d aver msurato u agolo θ come θ (0 ± 3) e d voler calcolare l cosθ: qual è la sua mglore stma? (cosθ) d(cosθ)/dθ θ sθ θ ( rad) θ deve essere espressa radat, poché la dervata d cosθ è sθ solo se θ è espresso radat. Qud θ 3 3 (π/80) 0.05 rad (cosθ) s(0.35 rad) cosθ cos(0.35) ± ± 0.0

40 Esempo: u fasco lumoso d testà I 0 che attraversa u materale d spessore emerge co testà I I 0 e -µ, essedo µ l coeffcete d assorbmeto. Sapedo che I 0 (0.00 ± 0.0) W/m, I (5.50 ± 0.0) W/m, (0.000 ± ) m, calcolare l coeffcete d assorbmeto µ co la sua certezza / 5.50 / 0.00 l 0.0 l > < m m W m W m I I µ ( ) ( ) ( ) l m I I I I I I I I I I µ µ µ µ 0.6) (9.9 ± > ± < m µ µ µ

41 γ β α z w a y Per le espresso moome, coè del tpo > < + > < + > < > < z z w w y y γ β α (co a costate) vale la seguete relazoe:

42 Esempo: s vuole msurare la costate delettrca relatva ε r d u materale msurado la capactà C (ε 0 ε r S) / d d u codesatore pao ad armature crcolar d raggo r poste a dstaza d (essedo ε 0 la costate delettrca del vuoto e S la superfce delle armature) tra cu è posto l materale stesso. Sapedo che l certezza d ε 0 è trascurable e che le certezze relatve d C, r, d valgoo rspettvamete 0.05, 0.0, 0.03, calcolare l certezza relatva d ε r : ( ) ( ) ( ) > < + > < + > < d d r r C C r r ε ε 0 r d C r π ε ε

43 Esempo: s vuole msurare la costate delettrca relatva ε r d u materale msurado la capactà C ε 0 ε r S / d d u codesatore pao ad armature crcolar d raggo r poste a dstaza d (essedo ε 0 la costate delettrca del vuoto e S la superfce delle armature) tra cu è posto l materale stesso. Sapedo che l certezza d ε 0 è trascurable e che le certezze relatve d r, d valgoo rspettvamete 0.0,0.0, co che certezza relatva occorre msurare C affché l certezza relatva d ε r sa dell orde d 0.03? > < + > < + > < d d r r C C r r ε ε ( ) ( ) ( ) > < > < > < d d r r C C r r ε ε

44 [ ] ρ γ β α (w) f z w a y ) ( ) ( > < + > < + > < + > < > < w f w f z z w w y y ρ γ β α Se uo de fattor dell espressoe mooma è a sua volta ua fuzoe vale la seguete relazoe:

45 Esempo: s vuole determare la veloctà v d u proettle msurado la gttata s e sapedo che, trascurado l attrto dell ara, s(v /g)s(α). g è l accelerazoe d gravtà e α l alzo del caoe. Sapedo che α (0.5 ± 0.0) rad, l certezza relatva d s vale 0.0 e che l certezza relatva d g vale 0.0, determare l certezza relatva d v. v s g s(α ) ( s(α )) cos(α ) α v v s < s > + g < g > + cos( < α > ) α s( < α > ) ( )

46 Tp d certezza spermetale Le certezze spermetal s possoo essezalmete dstguere : certezze d tpo A) valutate co metod statstc certezze d tpo B) valutate co altr metod (oppure ache accdetal o sstematche ) Icertezze d tpo A (error statstc, o casual) Ess soo dovut a cause d vara atura che agscoo modo del tutto casuale (aleatoro), ora u seso ora ell altro. Esemp d sorget d errore: codzo ambetal varabl (temperatura, tesoe della rete elettrca, ecc.), dsturb meccac (vbrazo prodotte dal traffco cttado), cattva stma ella lettura strumetale, ecc. Tal certezze spermetal possoo essere rvelate rpetedo le msure e possoo essere valutate statstcamete.

47 Icertezze d tpo B (error sstematc) Ess soo dovut a dfett del metodo o delle apparecchature spermetal utlzzate. Esempo: ella msura d u tervallo temporale co l croometro, l fatto che l croometro marc pù letamete o pù rapdamete d quato dovrebbe è sorgete d errore sstematco Tal error possoo essere rdott medate ua accurata aals della tecca d msura e adottado opportu accorgmet (ad esempo cofrotare gl strumet co gl stadard accettat,.) Error strumetal I rsultat d dverse msurazo possoo, a volte, rsultare tutt ugual tra loro. Se cò s verfca, la crcostaza è da attrburs al fatto che lo strumeto utlzzato è talmete poco sesble che le fluttuazo casual della msura o possoo essere apprezzate. I questo caso s valuta come errore massmo la pù fe dvsoe della scala (l ultma cfra d lettura egl strumet dgtal).

48 TIRO AL BERSAGLIO: Icertezze d tpo A (casual o accdetal) e d tpo B (sstematche) SENZA BERSAGLIO: stuazoe pù vca a quella d u espermeto

49 CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabltà U umero reale compreso tra 0 e, assocato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relatva o col grado d credbltà co cu u eveto avvee. Per u alto grado d credbltà la probabltà è vca al valore. Da u puto d vsta o completamete corretto la probabltà può essere cosderata come l rapporto tra l umero d evet favorevol e l umero degl evet possbl elle medesme codzo. Varable aleatora Ua varable aleatora è ua varable che può assumere qualsas valore u determato tervallo, e alla quale è assocata ua dstrbuzoe d probabltà (o destà d probabltà). Ua varable aleatora che può assumere solo valor solat è detta varable dscreta. Ua varable aleatora che può assumere tutt valor etro u tervallo fto o fto è detta varable cotua.

50 Dstrbuzoe d probabltà (d ua varable aleatora) Ua fuzoe che defsce la probabltà che ua varable aleatora dscreta assuma u determato valore (o che ua varable aleatora cotua assuma tutt valor d u tervallo). La probabltà che ua varable aleatora possa assumere u qualsas valore tra quell permess è. Destà d probabltà per ua varable dscreta: ua fuzoe che forsce, per og valore d ua varable aleatora dscreta X, la probabltà p che la varable aleatora s uguale a.p Pr(X ) per ua varable cotua: ua fuzoe p() che forsce, per og tervallo ( +d) de valor che può assumere ua varable aleatora cotua X, la probabltà dp che la varable aleatora assuma u valore all'tero dell'tervallo. dp p() d Pr( X +d) La destà d probabltà cocde co la dervata (quado esste) della fuzoe d dstrbuzoe p() dp()/d

51 Normalzzazoe della destà d probabltà Per l fatto che la probabltà che ua varable aleatora possa assumere u qualsas valore tra quell permess vale, la destà d probabltà deve soddsfare a codzo d ormalzzazoe: per ua varable dscreta: Se valor possbl soo (,,.., N ) per ua varable cotua: ell'tervallo (a b) N p p 0 Se valor possbl soo compres b a p( ) d p() 0 a b

52 Meda o Valore Atteso Per ua varable dscreta: sao valor assut dalla varable aleatora X co probabltà p. Il valore atteso, se esste, rsulta: µ E ( X ) p la somma essedo estesa a tutt valor che può assumere la varable X. Per ua varable cotua: sa p() la destà d probabltà assocata alla varable aleatora X. Il valore atteso, se esste, rsulta: µ E ( X ) p( ) d l'tegrale essedo esteso a tutt gl tervall che compredoo possbl valor assut da X.

53 Varable aleatora cetrata Ua varable aleatora l cu valore atteso sa ullo. Se la varable aleatora X ha u valore atteso uguale a µ, la corrspodete varable aleatora cetrata è (X - µ). Varaza La varaza d ua varable aleatora, o d ua dstrbuzoe d probabltà, è l valore atteso del quadrato della corrspodete varable cetrata σ V ( X ) E X E( X ) E X E( X ) {[ ]} ( ) [ ] Devazoe stadard La devazoe stadard d ua varable aleatora, o d ua dstrbuzoe d probabltà, è la radce quadrata postva della varaza σ V ( X ) E X E( X ) E X E( X ) {[ ]} ( ) [ ]

54 Stma statstca del valor medo (o valore atteso) Il valore atteso della varable aleatora z, rappresetato col smbolo µ z e detto ache valor medo d z, è dato da µ z E( z) z p( z) dz La sua stma statstca è data dalla meda artmetca de valor z assut dalla varable z d destà d probabltà p(z). z z

55 Stma statstca della varaza La varaza d ua varable aleatora z, d destà d probabltà p(z), è data da: σ ( z ) ( z) µ z p( z) dz essedo µ z l valore atteso d z. La varaza σ (z) può essere stmata da () s z ( z ) z z z Il fattore (-) ella espressoe d s (z) provee dalla correlazoe tra valor z e z e rflette l fatto che v soo solo (-) term dpedet el set d valor {z - z }. Se l valore atteso µ z della varable z è oto (o stmato) la varaza può essere stmata da s ( z ) z ( µ ) z

56 La varaza della meda artmetca delle osservazo, puttosto che la varaza d ua sgola osservazoe, è la msura approprata dell'certezza del rsultato d ua msurazoe. La varaza della varable z, σ (z), deve essere accuratamete dstta dalla varaza della meda artmetca. La varaza della meda artmetca d ua sere d osservazo dpedet z della gradezza rappresetata dalla varable aleatora z è data da σ z σ z / () () ed è stmata dalla varaza spermetale della meda: s s ( z) ( ) () z ( z z) Devazoe stadard La devazoe stadard è la radce quadrata postva della varaza.

57 Qud, u espermeto: la mglor stma della gradezza è la meda artmetca best N N N la devazoe stadard delle msure,, N è ua stma della certezza meda : d - d d 0 d.80 meda de quadrat delle devazo: varaza estraedo la radce quadrata: devazoe stadard s N ( ) N N-

58 La devazoe stadard s caratterzza l certezza meda delle sgole msure,, N da cu è stata calcolata. Tuttava best rappreseta ua combazoe opportua d tutte le N msure l certezza d è more dell certezza delle sgole msure ed è determata dalla devazoe stadard della meda: s s N N.B.: la gustfcazoe teorca d quest cocett statstc verrà data quado sarà dscussa la curva d dstrbuzoe ormale

59 Dstrbuzoe ormale (o gaussaa) La dstrbuzoe d probabltà d ua varable aleatora X la cu destà d probabltà è p( ) π σ e ( µ ) σ è detta dstrbuzoe ormale o gaussaa. p() µ è l valore atteso della varable aleatora X e σ è la relatva varaza. µ

60 La dstrbuzoe ormale rappreseta, per determat valor d σ e d µ che varao d caso caso, la dstrbuzoe delle msure per ua estesa classe d gradezze fsche. Esempo: costruzoe d u stogramma Suppoamo d effettuare per N volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo: geerale, rsultat otteut o sarao tutt ugual tra loro per va degl error casual. Cosderamo valor mm e massm msurat ( m e M ) e dvdamo l tervallo compreso tra ess r part ugual d ampezza M r Cosderamo u sstema d ass cartesa e rportamo sulle ascsse valor delle msure otteute e ordata l umero d rsultat della msura che cadoo el sotto-tervallo m m M

61 f k N40 N: umero totale d msure f k k : frazoe d msure ell tervallo k-esmo (area rettagolo) m M f k N00 f k N0000 m M

62 dstrbuzoe lmte: dstrbuzoe de rsultat che s dovrebbe otteere se l umero delle msure dvetasse ftamete grade f k f() + f ( ) d 0 +d f()dprobabltà che ua msura da u rsultato compreso tra e d + f ( ) d σ + ( ) f ( ) d

63 S può dmostrare che SE ua msura è soggetta a molte pccole sorget d error casual e trascurabl error sstematc, allora valor msurat sarao dstrbut secodo ua dstrbuzoe ormale (o d Gauss), cetrata sul valore vero. f() f ( ) ep σ π ( ) σ 0 0 Dstrbuzo ormal per dvers valor d σ

64 La coosceza della dstrbuzoe lmte per ua msura c cosete d calcolare l valore medo atteso dopo u gra umero d prove. La meda attesa per la dstrbuzoe d Gauss è + ( 0) p( ) d co p( ) ep σ π σ y σ + ( y + 0)ep σ π dy co y 0 + y + y y ep dy + 0 ep σ π σ σ dy 0 0 σ π Qud, se le msure soo dstrbute secodo la dstrbuzoe ormale, dopo molte prove l valore medo cocde co l valore 0 per cu la gaussaa assume l suo valore massmo, che abbamo assuto essere l valore vero

65 Gustfcazoe della meda come mglor stma Avedo msurato N valor,,, N l problema è d determare la mglor stma del valore vero X e d σ. [ ] d e d P 0 ) ( ) ( σ π σ + Probabltà d otteere ua lettura u tervallo d attoro a semplfcado: 0 ) ( ) ( σ σ e P La probabltà d osservare l tero set d letture è l prodotto delle probabltà sgole (evet dpedet): 0 0 ) (, ) ( )... ( ) ( ),...,, ( σ σ σ N N N e P P P P

66 Prcpo d massma verosmglaza: date le N msure osservate, le mglor stme d 0 e σ soo que valor per qual gl osservat soo pù probabl (coè per cu P 0,σ è massma) ( ) 0 t t mma 0 σ mglor stma per 0 : 0 N Qud la mglore stma del valore vero X (che abbamo assuto cocdere co l ascssa del pcco 0 della gaussaa) è la meda artmetca Σ /N delle msure. Aalogamete s dmostra che la mglor stma per la larghezza della dstrbuzoe σ è la devazoe stadard s degl N valor osservat: s N ( ) 0

67 Devazoe stadard della meda Poché cascua delle gradezze msurate,, N è dstrbuta ormalmete, lo è ache N Poché per cascu valore,, N l valore vero è X, lo è ache per dopo aver fatto molte determazo della meda d N msure, rsultat per sarao dstrbut attoro al valore vero X. La stma della larghezza della dstrbuzoe de rsultat s rcava medate la propagazoe delle certezze: N s s N s N

68 ,, N soo tutte msure della stessa gradezza s s N s Ioltre... N N qud: s s s N N s N s Al solto rappreseta l lmte d cofdeza del 68%: se rcavamo la meda d N msure ua sola volta, possamo essere cofdet al 68% che l ostro rsultato gace etro ua dstaza dal valore vero X. s

69 Rassumedo: se le msure d soo soggette solo ad error casual, allora la loro dstrbuzoe lmte è la fuzoe d Gauss cetrata sul valore vero X e co larghezza σ. La larghezza σ è l lmte d cofdeza del 68% Basados sugl N valor msurat,, N s mostra che la mglor stma del valore vero X è la meda / N e la mglor stma d σ è la devazoe stadard s L certezza ( è cosderata la stma del valore vero X) è la devazoe stadard della meda stmata come σ S dmostra che l certezza relatva d s (cosderata la stma della larghezza vera σ ) è / ( N ) ( è ecessaro fare suffcet msure prma d poter cooscere realstcamete l certezza!) s s / N

70 LIVELLI DI CONFIDENZA Il problema è d otteere, dalla stma y della gradezza Y msurata e dalla sua certezza u(y), ua certezza espasa U p k p u(y) che defsca u tervallo y-u Y y+u tale che abba ua elevata probabltà d copertura (o u elevato lvello d cofdeza) p. S deve qud determare l fattore d copertura k p che geera u tervallo toro al rsultato y della msurazoe che c s aspetta cotega ua grade, specfca frazoe p della dstrbuzoe d valor che potrebbero ragoevolmete essere attrbut alla gradezza Y da msurare.

71 Per otteere l fattore d copertura k p che produce u tervallo corrspodete a uo specfco lvello d cofdeza p s rchede ua dettaglata coosceza della dstrbuzoe d probabltà che caratterzza rsultat della msura. Ad esempo, per ua gradezza descrtta dalla dstrbuzoe ormale d valor medo <> e devazoe stadard σ <>, l valore d k p che produce u tervallo <> ± k p σ <> che comprede ua frazoe p della dstrbuzoe, può essere calcolato faclmete. Ifatt la probabltà che < > k σ < > è data da kσ kσ < > < > f ( ) d dove f ( ) ep π ( ) σ σ 0

72 Ad esempo: Lvello d cofdeza p ( %) Fattore d copertura k p Qud, se rsultat s dstrbuscoo secodo ua gaussaa, v è l 68.7% d probabltà che l rsultato d ua msura dffersca meo d σ dal valore vero f() l 95.4 % d probabltà che la msura cada etro σ dal valore vero l 99.7 % d probabltà che la msura cada etro 3σ dal valore vero 0 σ 0 3σ 0 σ 0 0 +σ 0 +σ 0 +3σ

73 Aalogamete, co l 68.7 % d probabltà, l valore medo <> s dscosta da quello vero per meo d σ <> co l 95.4 % <> s dscosta per meo d σ <> co l 99.7 % <> s dscosta per meo d 3σ <>. f() 0 σ <> 0 0 σ <> 0 3σ <> 0 +σ <> 0 +σ <> 0 +3σ <>

74 I coclusoe, l rsultato d ua msurazoe s potrà dcare come < > ± s < > dove < > s < > ( < > ( ) ) N.B.: Nel caso cu l certezza calcolata come sopra sa ferore all errore strumetale, s usa quest ultmo come errore massmo.

75 Metodo de mm quadrat Uo de pù teressat tp d espermeto rguarda la msura d parecch valor d due dverse varabl fsche, per vestgare la relazoe matematca tra le due varabl. Es. lascamo cadere u corpo da ua certa altezza. Tale corpo sarà soggetto all accelerazoe d gravtà g. Nel caso cu per l tempo t0 esso abba ua veloctà zale vv 0, la sua veloctà v dovrebbe essere ua fuzoe leare del tempo t, v(t) v 0 + gt tale relazoe è leare del tpo dove A e B soo costat. y() A + B

76 Se le due varabl soo relazoe come y() A + B, allora u grafco d y fuzoe d dovrebbe essere ua lea retta che ha pedeza (coeffcete agolare) B e terseca l asse y ya. y() A N.B. I put y, y,.,y o soo N msure della stessa gradezza Se s msurassero N dvers valor d,,, e valor corrspodet y, y,.,y e se le msure o fossero soggette ad certezze, allora cascuo de put (, y ) dovrebbero gacere esattamete sulla retta

77 I realtà, essedo preset delle certezze, put potrao rsultare sparpaglat toro alla retta. y() y() A A Caso deale Caso reale Se predamo per garatto che y e soddsfao ua relazoe leare, c s può porre l problema d trovare la mglor retta per terpolare u seme d put msurat (, y ), (, y ),.. (, y ), coè trovare u ft leare (regressoe leare o curva de mm quadrat per ua retta). S dovrao trovare qud le mglor stme de coeffcet della retta A e B.

78 Il procedmeto è l seguete s eseguoo msure corrspodet alle coppe (, y ), (, y ),.. (, y ). Sapedo che la relazoe è leare s calcolao gl scart v y - (A+B ), s calcolao quadrat e s sommao Φ ( y A B ) S cercao valor d A e B per cu Φ sa la mma possble. Questo equvale a redere mm quadrat delle dstaze de put (, y ) dalla retta, msurate ella drezoe dell asse y y() y (, y ) A

79 ( ) Φ B A y A 0 ( ) Φ B A y B 0 Per far questo dfferezamo Φ rspetto ad A e B e poamo le dervate ugual a zero: Queste due equazo possoo essere rscrtte come equazo smultaee per A e B: + y B A + y B A equazo ormal

80 y y A + y B A + y B A y y B Mglor stme per le costat A e B

81 ( ) A B A y σ ( ) B B A y σ Mglor stme per le certezze d A e B (σ Α, σ Β )

82 Nel caso cu la presumble relazoe tra ed y o è leare, geerale y f() cò che s fa è sempre mmzzare la somma degl scart quadratc Φ ( y f ( )) rcavados u sstema d equazo cu compaoo gl parametr della fuzoe f()

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