Moduli su un dominio a ideali principali Maurizio Cornalba versione 15/5/2013

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1 Modul su un domno a deal prncpal Maurzo Cornalba versone 15/5/2013 Sa A un anello commutatvo con 1. Indchamo con A k l modulo somma dretta d k cope d A. Un A-modulo fntamente generato M s dce lbero se è somorfo ad A k per qualche k; cò equvale a dre che M ammette una base, coè un sstema d generator m 1,..., m k lnearmente ndpendent, tal coè che, se a 1,..., a k sono element d A con la propretà che a m = 0, allora a 1 = = a k = 0. Lemma 1. Sano m 1,..., m k una base e n 1,..., n h un sstema d generator d un A-modulo M. Allora h k. Il lemma dce, n partcolare, che due bas d un A-modulo lbero fntamente generato M hanno lo stesso numero d element; questo numero vene detto rango d M. Il rango d A k è k. Per dmostrare l lemma, scrvamo m = a j n j, n r = b rs m s. Se h < k, sa U la matrce k k l cu elemento d posto, j è a j se j h e 0 altrment, e sa V la matrce k k l cu elemento d posto, j è b j se h e 0 altrment. Il prodotto d U e V è la matrce denttà k k. Cò è assurdo perché da un lato l determnante della matrce denttà è 1, dall altro sarebbe nullo n quanto prodotto d det(u) e det(v ), che sono null. Dremo che un A-modulo M è noetherano se, data comunque una successone d suo sottomodul N 1 N 2 N h, s ha che N h = N h+1 = per h abbastanza grande. Lemma 2. Sa M un A-modulo e sa N un suo sottomodulo. Allora M è noetherano se e solo se lo sono N e M/N. Supponamo M noetherano. Charamente lo è anche N. Data po una successone d sottomodul L 1 L 2 L h d M/N, e ndcando con ϕ : M M/N l passaggo al quozente, L h = L h+1 se e solo se ϕ 1 (L h ) = ϕ 1 (L h+1 ). Poché M è noetherano, la successone ϕ 1 (L 1 ) ϕ 1 (L 2 ) ϕ 1 (L h ) s stablzza per h suffcentemente grande, e qund lo stesso è vero per L 1 L 2 L h. Cò mostra che M/N è noetherano. Supponamo vceversa che N e M/N sano noetheran, e sa N 1 N 2 N h una successone d sottomodul d M. Per la noetherantà d N la successone N N 1 N N 2 N N h s stablzza, e lo stesso vale per la successone N 1 /(N N 1 ) N 2 /(N N 2 ) N h /(N N h ) d sottomodul d M/N, data la noetherantà d quest ultmo. Ma se N N h = N N h+1 e N h /(N N h ) = N h+1 /(N N h+1 ), allora N h = N h+1. Questo mostra che anche N 1 N 2 N h s stablzza, e qund che M è noetherano. Lemma 3. Un A-modulo M è noetherano se e solo se ogn suo sottomodulo è fntamente generato. Se A è noetherano e M è fntamente generato, M è noetherano. Sa N un sottomodulo d M. Se N non è fntamente generato s può trovare una successone m 1, m 2,... d element d N tal che Am 1 Am 1 + Am 2 Am 1 + Am 2 + Am 3. Supponamo vceversa che ogn sottomodulo d M sa fntamente generato. Se N 1 N 2 N h, ponamo N = N j. Allora N = Am 1 + Am Am n, v è un h tale che m 1, m 2,..., m n N h, qund N h = N, e qund N h = N h+1 =. Supponamo ora A noetherano e M fntamente

2 generato. Mostramo che M è noetherano per nduzone sul mnmo numero d generator d M. Se questo è uno, una successone crescente d sottomodul d M dà una successone crescente d deal n A, che deve essere defntvamente costante, come qund anche l orgnara successone d sottomodul. Sa ora m 1, m 2,..., m n un sstema mnmale d generator n M, e ponamo N = Am Am n. Per potes nduttva N e M/N, che è generato dalla classe d m 1 modulo N, sono noetheran. La noetherantà d M segue dal lemma 2. Segue dal lemma 3 che ogn domno a deal prncpal è noetherano e che ogn modulo fntamente generato su un tale domno è noetherano. D ora n po supporremo sempre che A sa un domno a deal prncpal. Se M è un A-modulo ponamo T (M) = {m M am = 0 per qualche a A}. S tratta d un sottomodulo d M, l cosdetto sottomodulo d torsone d M. Gl element non null d T (M) s dcono d torsone. Il modulo M s dce d torsone se T (M) = M, senza torsone se T (M) = {0}. Notamo che M/T (M) è senza torsone, e che ogn A-modulo lbero è senza torsone. L annullatore d M è Ann(M) = {a A am = 0 per ogn m M}. S verfca senza dffcoltà che Ann(M) è un deale n A. Se M è fntamente generato, M è d torsone se e solo se Ann(M) {0}. Un A-modulo M s dce cclco se è generato da un solo elemento. Se M è cclco, è somorfo ad A/Ann(M). Proposzone 1. Sa M un A-modulo fntamente generato senza torsone. Allora M è lbero. Ragonamo per nduzone sul numero n d generator d M. Quando n = 1, coè quando M = Am con m 0, l elemento m è una base d M perché non è d torsone. Supponamo ora che n > 1 e che la proposzone sa dmostrata per modul generat da non pù d n 1 element. Sa t 0 un elemento non nullo d M appartenente a un sstema d n generator. Se M/At 0 contene element d torsone, c sono t M e a, b A, con a non nvertble, tal che at = bt 0. Se a e b hanno un fattore f n comune, dato che M non ha torsone possamo dvdere entramb lat per f senza nfcare la valdtà dell uguaglanza. Possamo qund supporre che a e b sano tra loro prm, e qund che c sano c, d A tal che ca + db = 1. Ne segue che t 0 = cat 0 + dbt 0 = cat 0 + dat = a(bt 0 + dt), coè che t 0 = a 1 t 1, dove t 1 = bt 0 + dt e a 1 = a. Se M/At 1 contene element d torsone possamo rpetere l procedmento con t 1 e così va, ottenendo relazon t 0 = a 1 t 1 t 1 = a 2 t 2 t j 1 = a j t j dove gl a sono element non nvertbl d A. Questo sgnfca che le ncluson At 0 At 1 At j sono tutte strette. Dato che M è noetherano l procedmento non può contnuare all nfnto, e qund s gunge n un numero fnto d pass a un t j 0 tale che M/At j non abba torsone. Dato che M/At j è generato da n 1 element, è lbero per potes nduttva. Sceglamo element m 2,..., m h d M le cu class modulo t j sano una base d M/At j e ponamo m 1 = t j. È charo che m 1,..., m h generano M. Inoltre, se c 1,..., c h sono element d A tal che c m = 0, rducendo modulo m 1 se ne deduce che c 2 = = c h = 0, e qund anche che c 1 = 0 dato che m 1 0 e M non ha torsone. In conclusone, m 1,..., m h è una base d M.

3 Corollaro 1. Sa M un A-modulo fntamente generato, e sa N un suo sottomodulo. Sa α : M M/N l omomorfsmo naturale. Se M/N non ha torsone, esste un sottomodulo L d M tale che M = N L. Inoltre, se M è un sottomodulo d M tale che α(m ) = M/N, s può sceglere L n modo che L M. La dmostrazone è mmedata. Dato che M/N è senza torsone, è lbero: sano m 1,..., m h element d M tal che α(m 1 ),..., α(m h ) sa una base d M/N. S può sceglere come L l sottomodulo d M generato da m 1,..., m h. Osservamo che una conseguenza del corollaro è che ogn A-modulo fntamente generato M è somma dretta d T (M) e d un sottomodulo lbero d M. Studeremo ora la struttura degl A-modul d torsone. Sa M un A-modulo fntamente generato d torsone, e sa a un elemento non nullo d Ann(M). Se b è prmo con a s può scrvere 1 = αa + βb. Qund la moltplcazone per b è un automorfsmo d M e ha come nversa la moltplcazone per β. Scrvamo ora a = a, dove gl a sono prm fra loro. Indchamo con M l nucleo della moltplcazone per a e ponamo b = j a j. Lemma 4. M = b M per ogn. Inoltre M = M. Notamo nnanztutto che b M M dato che 0 = am = a b M. Poché a e b sono prm fra loro e a Ann(M ), s ha che b M b M = M b M. Questo mostra che M = b M. Dato che b non hanno fattor comun v sono element β d A tal che 1 = β b. Qund M = b β M b M. D altra parte, se m j = 0, m j M j, s ha che, per ogn, 0 = b ( mj ) = b m. Poché su M la moltplcazone per b è nettva cò mplca che m = 0 per ogn. La dmostrazone del lemma è completa. Il lemma 4 rduce lo studo degl A-modul fntamente generat d torsone a quello degl A- modul fntamente generat l cu annullatore sa generato dalla potenza d un elemento prmo d A. Lemma 5. Sa M un A-modulo fntamente generato tale che Ann(M) = Ap h, dove p è prmo. Allora M è somma dretta d modul cclc della forma A/Ap k. D pù, per ogn k, l numero degl addend somorf a A/Ap k che compaono n questa decomposzone è unvocamente determnato. Per dmostrare la prma affermazone del lemma ragonamo per nduzone sul numero de generator d M. Se questo numero è 1 non c è nente da dmostrare. Supponamo che M abba un nseme d generator consstente d n element. Uno tra quest generator, che ndchamo con m 1, deve avere per annullatore Ap h. Dunque p h m 1 = 0 ma p h 1 m 1 0. Per potes nduttva l quozente M/Am 1 è somma dretta Am 2 Am n d p modul cclc, dove m M e m ndca la classe d m modulo Am 1. Per ogn 2 sa Ap l l annullatore d m ; n partcolare l h, p l m = 0 ma p l 1 m 0. Dunque p l m Am 1, coè esstono a A prmo con p e un ntero k tal che p l m = p k am 1.

4 Dato che a è prmo con p, l annullatore d am 1 è lo stesso d m 1, coè Ap h. Dunque p h k 1+l m = p h 1 am 1 0. Ne segue che l k e qund, ponendo m = m p k l am 1, che p l m = p l m p k am 1 = 0. D altra parte m = m per ogn. Possamo dunque supporre che pl m = 0, coè che modul cclc Am e Am sano somorf per ogn 2. Ne segue che L = 2 Am è somorfo a M/Am 1 ed è qund, n partcolare, una somma dretta. Ne segue anche che M è somma dretta d Am 1 e L e qund, n defntva, che M è somma dretta de sottomodul cclc Am, = 1,..., n. Passamo alla seconda affermazone del lemma. Scrvamo M = M 1 M n, dove M A/Ap h, e per ogn sceglamo un generatore m d M. Ponamo anche N k (M) = {m M : p k m = 0}. È evdente che N k (M ) è l sottomodulo d M generato da p h k m se 0 < k h e concde con M quando k > h. Ne segue, n partcolare, che N k (M )/N k 1 (M ) è uno spazo vettorale d dmensone 1 sul campo F = A/Ap se 0 < k h, ed è nullo se k > h. Dunque, per ogn k 1, l quozente V k (M) = N k (M)/N k 1 (M) = ( Nk (M )/N k 1 (M ) ) è uno spazo vettorale su F d dmensone par al numero degl tal che k h. Ne segue che, per ogn k, #{ : h = k} = dm F V k (M) dm F V k+1 (M), e dunque che questo numero è ntrnsecamente assocato a M e non dpende dalla partcolare decomposzone d M n somma d modul cclc. La dmostrazone del lemma 5 è completa. Combnando rsultat fnora dmostrat possamo descrvere completamente la struttura de modul fntamente generat su A. Teorema 1 (Struttura de modul fntamente generat su un domno a deal prncpal). Ogn modulo fntamente generato su un domno a deal prncpal A è somma dretta d un numero fnto d modul cclc somorf ad A o a un quozente A/Ap h, dove p è un elemento prmo d A. Il numero d addend somorf ad A e l numero degl addend somorf ad A/Ap h, per ogn fssato h, sono unvocamente determnat. Per gustfcare questo rsultato notamo nnanztutto che segue dalla proposzone 1 e dal corollaro 1 che M è somma dretta d T (M) e d un modulo lbero. Possamo dunque supporre che M sa d torsone. Sa d = p k pkr r un generatore dell annullatore d M, dove p 1,..., p r sono prm dstnt, e sa M l nucleo della moltplcazone per p k. Il lemma 4 mostra che M è somma dretta degl M, e l lemma 5 che quest ultmo è somma dretta d modul cclc della forma A/p h. L affermazone d unctà nell enuncato del teorema 1 segue dall analoga affermazone nell enuncato del lemma 5. Teorema 2 (Struttura de modul fntamente generat su un domno a deal prncpal: seconda versone). Ogn modulo fntamente generato su un domno a deal prncpal A è somma dretta d un numero fnto d cope d A e d modul cclc A/Ad 1,..., A/Ad m, dove d 1,..., d m sono element d A tal che d m d m 1... d 1. Gl element d 1,..., d m sono unvocamente determnat, a meno d moltplcazone per element nvertbl d A.

5 Gl element d 1,..., d m vengono chamat dvsor elementar d M. Questa seconda versone del teorema d struttura segue dalla prma se s osserva che vale l seguente rsultato. Lemma 6. Sano M e N modul cclc su A e ne sano Aa e Ab gl annullator. Se a e b sono prm tra loro M N è cclco e l suo annullatore è Aab. La dmostrazone è del lemma è semplcssma. Sano m e n generator d M e N e scrvamo 1 = αa + βb. Allora m =αam + βbm = βb(m + n), n =αan + βbn = αa(m + n), e qund m + n genera M N. È charo che ab(m + n) = 0. D altra parte, se c è un elemento d A tale che c(m + n) = 0, deve essere cm = cn = 0, e qund a e b dvdono c. Dato che a e b sono prm tra loro anche ab dvde c. Per applcare l lemma procedamo come segue. Possamo lmtarc a dmostrare l teorema nel caso n cu M sa d torsone. Sano p 1,..., p r fattor prm dstnt d un generatore dell annullatore d M. Per ogn ndchamo con M,1 A/Ap h,1, M,2 A/Ap h,2,..., M,m A/Ap h,m gl addend, nella decomposzone data dal teorema 1, l cu annullatore è una potenza d p, ordnat n modo che h,1 h,2. Ponamo po d j = ph,j, dove h,j = 0 se j > m, e ndchamo con m l massmo ntero per cu d m 1. Ponamo anche M,j = {0} se j > m. Allora rpetute applcazon del lemma 6 mostrano che l modulo N j = M,j è cclco e somorfo a A/Ad j. Inoltre M = j N j, e d m d m 1... d 1. L unctà de d j segue dalla parte unctà del teorema 1. Osservando che l annullatore d A è l deale {0} e quello d A/Ad l deale Ad, s vede che l teorema 2 può essere renuncato come segue. Teorema 3 (Struttura de modul fntamente generat su un domno a deal prncpal: terza versone). Ogn modulo fntamente generato su un domno a deal prncpal A è somma dretta d un numero fnto d modul cclc M 1,..., M h tal che Ann(M 1 ) Ann(M 2 ) Ann(M h ). Gl deal Ann(M ) sono unvocamente determnat. I teorem d struttura per modul fntamente generat su anell a deal prncpal danno ovvamente, come caso partcolare, un teorema d struttura per grupp abelan (coè per gl Z-modul) fntamente generat. Un esempo un po meno ovvo d applcazone è l seguente. Sa V uno spazo vettorale d dmensone fnta sul campo K, e sa ϕ un endomorfsmo d V. Sa A = K[T ], dove T è una ndetermnata: s tratta d un anello a deal prncpal. Lo spazo vettorale V dventa un A-modulo ponendo P v = P (ϕ)(v). Osservamo che un sotto-a-modulo d V non è altro che un sottospazo vettorale ϕ-nvarante d V (coè un sottospazo W tale che ϕ(w ) W ). È charo che V, come A-modulo, è fntamente generato. Inoltre, se P è l polnomo caratterstco d ϕ, l teorema d Cayley-Hamlton dce che per ogn v V s ha che P v = 0. Dunque V è un A-modulo d torsone. Il teorema 1 (bastano n effett 4 e 5) dce che V è somma dretta d sottospaz cclc V 1 = Av 1,..., V h = Av h tal che, per ogn, l annullatore d v è della forma P r, dove P è un polnomo monco rrducble e r è un ntero postvo. Rspetto a una base d V costruta mettendo nseme bas per sottospaz V, la matrce d ϕ è dunque una matrce dagonale a blocch: blocch non sono altro che le matrc delle restrzon d ϕ a V.

6 Sceglamo ora per V una base partcolare. Sa d l grado d P. I vettor u k = ϕ k 1 (v ), per 0 < k r d, sono ndpendent, n quanto una relazone lneare tra d ess potrebbe essere rscrtta sotto la forma Qv = 0, dove Q è un polnomo d grado al pù r d 1, n contraddzone con l fatto che l annullatore d v è generato da P r, che ha grado r d. I vettor n questone generano V ; per vederlo basta mostrare che l sottospazo che ess generano è ϕ-nvarante. Ora ϕ(u k ) = ϕ k (v ), che è uguale a u k+1 se k < r d. Quando nvece k = r d, la relazone P r v = 0 permette d scrvere ϕ k (v ) come combnazone lneare d u 1,..., u r d. Pù esattamente, se scrvamo P r (T ) = T r d + a r d T r d 1 + a r d 1T r d a 1, ottenamo r d ϕ(u r d ) = ϕ r d (v ) = a j u j. Rspetto alla base u 1,..., u r d, la matrce della restrzone d ϕ a V è dunque j=1 (1) a 1 a 2... a r d Rspetto a una opportuna base d V la matrce d ϕ è dunque dagonale a blocch, con blocch della forma (1). Trattamo ora l caso n cu K = C o, pù n generale, l caso n cu K sa algebrcamente chuso. I polnom P sono allora d grado 1: scrvamo P = T λ. Convene sceglere una base w 1,..., w r per V dversa da quella scelta prma, ponendo w k = P k 1 v. È charo che w k generano V. Inoltre ess sono ndpendent. Supponamo nfatt che c k w k = 0, dove c k K. Applcando P r 1 a questa uguaglanza s ottene che c 1 w r = 0, e qund c 1 = 0. Applcando po P r 2 s rcava che c 2 w r = 0, e qund c 2 = 0, e così va. Notamo che ϕ(w k ) = w k+1 + λ w k se k < r, ϕ(w r ) = λ w r. In altre parole, la matrce della restrzone d ϕ a V, rspetto alla base w 1,..., w r, è λ λ λ Una matrce d questo tpo s chama blocco d Jordan. In conclusone, rspetto a una opportuna base d V la matrce d ϕ è una matrce dagonale a blocch costtuta da blocch d Jordan. Una matrce sffatta s dce n forma normale d Jordan.

7 Proposzone 2. Sano M un modulo fntamente generato senza torsone su A e N M un sottomodulo. Allora esstono una base m 1,..., m n d M, un ntero h n e d 1,..., d h A tal che d 1 d2 dh e che d 1 m 1,..., d h m h sa una base d N. Per ogn sottomodulo L d M ponamo L = {m M esste a A, a 0, tale che am L}. È charo che L è un sottomodulo d M e che M/L non ha torsone. Il sottomodulo L vene a volte detto l saturato d L. Dremo buona una base d M come nell enuncato. S può supporre che M/N sa d torsone. Infatt se la proposzone è vera per l nclusone d N n N e m 1,..., m h è una base buona d N, s può trovare una base buona d M aggungendole una base d un complementare d N. Supponamo dunque che M/N sa d torsone e ndchamo con d un generatore del suo annullatore. Sceglamo un elemento µ d M tale che la sua classe modulo N, che ndcheremo con [µ], abba annullatore Ad. Ragonando come nella dmostrazone della proposzone 1 s mostra che esste m M tale che µ sa multplo d m e che M/Am non abba torsone. L annullatore d [m] è generato da un multplo d d, e qund deve essere generato da d. Supponamo che hm appartenga a N, cè che h[m] = 0. Allora d h. Ne segue che Am N = Adm. Notamo che N/Adm non ha torsone; qund, n base al corollaro 1, esste un sottomodulo L d N tale che N = Adm L. Dco che M = Am L. Infatt se m M, allora dm N e qund dm = adm + l, dove a A e l L; ne segue che d(m am) L, coè che m am L. D altra parte, se am L, coè se ham L per qualche h 0, allora n partcolare ham N, qund ham Adm, e dunque ham = 0. Vsto che M non ha torsone se ne deduce che am = 0. Notamo nfne che L N = L. Il fatto che essta una decomposzone n somma dretta M = Am H, dove s è posto H = L, tale che N = Adm L, L = H N e Am N = Adm, permette d procedere per nduzone sul numero d generator d M, o meglo sul numero d addend cclc n una decomposzone M/N = A/Ad 1 A/Ad k con d 1 d 2 d k.

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