Filtraggio nel Dominio della Frequenza Parte I

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1 Filtraggio nl Dominio dlla Frqunza Part I Prof. Sbastiano Battiato Introduzion Una funzion priodica può ssr sprssa com somma di sni /o cosni di diffrnti frqunz ampizz Sri di Fourir. Anch una funzion non priodica sotto crt condizioni può ssr sprssa com intgral di sni /o cosni moltiplicati pr opportun funzioni-pso Trasformata di Fourir. Jan Baptist Josph Fourir Aurr 768 Paris 83 Prof. S. Battiato

2 Introduzion Entramb l rapprsntazioni condividono il fatto ch una funzion possa ssr ricostruita rcovrd con un smplic procsso di invrsion snza prdita di informazion. E cioè possibil lavorar nl cosiddtto dominio di Fourir tornar nl dominio original dlla funzion in manira dl tutto natural. Inizialmnt l analisi di Fourir trovò applicazion nl campo dlla diffusion dl calor dov prmis la formulazion la risoluzion di quazioni diffrnziali di alcuni fnomni fisici in manira dl tutto original. Prof. S. Battiato Introduzion Con l avvnto dlla FFT Fast Fourir Trasform il sttor dll laborazion digital di sgnali DSP Digital Signal Procssing ha subito una vra propria rivoluzion d oggi qusti conctti trovano applicazion ni più svariati campi industriali dalla mdicina all tlcomunicazioni cc.. Prof. S. Battiato

3 La Trasformata di Fourir Bnchè altr trasformat siano oggi di uso frqunt in molt applicazioni rstauro codifica dscrizion di carattristich la trasformata di Fourir mantin un ruolo cardin nll imag procssing. La trasformata di Fourir di una funzion continua f di variabil ral sotto opportun ipotsi di continuità è dfinita com: Ricordando ch I { f } F u i2πu la Fu è composta dalla somma di infiniti trmini sinusoidali cosinusoidali ogni valor di u dtrmina la frqunza dlla coppia snocosno corrispondnt. + f i2πu d cos 2πu i sin 2πu Prof. S. Battiato La Trasformata di Fourir 2 Data la Fu è possibil risalir a f tramit l antitrasformata dfinita dalla sgunt formula: I { F u } f La trasformata la antitrasformata sistono s f è continua intgrabil s Fu è intgrabil. S f è ral Fu è in gnral complssa. + F u i2πu du In pratica la trasformata di Fourir riorganizza i dati in un altro spazio: lo spazio dll frqunz Prof. S. Battiato

4 Grandzz fondamntali Essndo una funzion complssa la Fu può ssr scritta com F u dov : R u + ii u F u iφ u F u [ R 2 u + I 2 u] Spttr o dlla Trasformat a φ u P u tan F u I u R u 2 Angolo Potnza di o fas Dnsità Spttral Estnsion al 2-D E immdiata l stnsion al caso bidimnsional. L condizioni di sistnza sono la continuità l intgrabilità dlla fy l intgrabilità dlla Fuv. u v sono l variabili frqunz dfinit nl piano dll frqunz. I{ f y} I { F u v} F u v f y f y F u v i2π u + vy i2π u + vy ddy dudv

5 Spttro dlla Trasformata Angolo di Fas Potnza Spttral 2 2 v u I v u R v u F + tan v u R v u I v u φ v u I v u R v u F v u P + Estnsion al 2-D Discrt Fourir Transform Una funzion continua f è discrtizzata in una squnza considrando campioni distanti. Prtanto la funzion di variabil discrta si può scrivr com } ] [... 2 { f f f f ' ' ' + f f

6 Discrt Fourir Transform In altri trmini nl caso discrto -D la f divnta una squnza di campioni uniformmnt distanziati di : f f f2 f-. Con qusta notazion la coppia di trasformat discrt nl caso -D è la sgunt: 2 i πu F u f pr u... f u F u i2πu Anch la frqunza u è una variabil discrta. In analogia a quanto visto pr la f i valori u - nlla DFT corrispondono ai campioni dlla trasformata continua pr u 2 u - u Quindi Fu rapprsnta Fu u così com f rapprsnta f +. La diffrnza è ch il campionamnto di Fu comincia nll'origin dll'ass frqunza. pr... Discrt Fourir Transform La rlazion tra u è la sgunt: l caso 2-D la coppia trasformata antitrasformata dlla squnza bidimnsional fy assum la sgunt forma: F u v f y M M y M u v f y F u v u vy i2π + M u vy i2π + M u v sono gli indici rlativi agli assi frqunz discrtizzati mntr M sono l dimnsioni in pil dll'immagin.il campionamnto dlla fy ha luogo ni punti di una griglia bidimnsional con passi y. Pr la Fuv valgono considrazioni analogh a qull fatt nl caso monodimnsional. u pr u...m -v... - pr... M y...

7 Discrt Fourir Transform In particolar il campionamnto dlla fy vin sguito su una griglia 2-D con opportuni y. La funzion discrta fy rapprsnta campioni dlla funzion f + y +y y pr 2 M- y 2 -. L rlazioni tra u tra y v sono l sgunti: y v M u Discrt Fourir Transform Infin quando l immagini sono campionat su una griglia quadrata M y ottniamo:... - uv pr y f v u F y vy u i + 2 π u v vy u i y pr v u F y f π

8 Analisi di form d onda lo spttro Riassumndo: sgnal priodico di frqunza f sgnal non priodico f Il sgnal è una somma di sinusoidi di frqunza multipl intr dlla frqunza dl sgnal f. Lo spttro è formato da band quidistanti Il sgnal è una somma di sinusoidi di tutt l frqunz. Lo spttro è formato da una lina continua. Esmpio -D La f vin campionata a partir da.5 con.25 ottnndo i cinqu campioni mostrati. Applicando la Fu:

9 Esmpio -D Tutti i valori dlla f contribuiscono alla costruzion di ciascuno di campioni dlla Fu. Analogamnt tutti i campioni dlla trasformata contribuiscono durant la antitrasformazion a ciascuno di valori dlla f. I campioni dlla Fu sono in gnr complssi pr cui ciascuno di ssi ha un modulo una fas. F 2.96 F cc. Esmpi Un smpio di trasformata discrta nl caso -D: un impulso approssimato da un rttangolo di lato altzza 2 su una finstra complssiva di 256 valori di :

10 Esmpi Un smpio di trasformata discrta nl caso 2-D: un impulso approssimato da un piccolo crchio bianco su fondo nro in un immagin di circa 2 2 pils. I diffrnti livlli di grigio nll immagin di intnsità dllo spttro vidnziano l ampizz dcrscnti di divrsi lobi. Rang dinamico Quando si visualizza lo spttro di Fourir com immagin di intnsità sso manifsta in gnr una dinamica molto più grand di qulla riproducibil su un tipico display pr cui solo l parti più luminos dllo spttro risultano visibili. Pr smpio lo spttro dll'immagin di Lna varia tra circa Effttuando la normalizzazion ncssaria pr visualizzarlo con L256 livlli di grigio solo pochissim parti molto luminos sono visibili. A ciò si può ovviar com è noto mdiant una comprssion di tipo logaritmico visualizzando invc ch lo spttro una funzion dl tipo: Duvc log+ Fuv c è una costant di scala ch va sclta opportunamnt pr far ricadr i valori trasformati nl rang voluto cioè in [ L-]

11 Rang dinamico Poiché < Fuv < R si ha < Duv<clog+R. Dato ch R>> com praltro avvin normalmnt pr lo spttro di Fourir di una immagin si può porr c log RL- da cui c L-/log R 255/log Prtanto Duv ha tutti i valori nll intrvallo [ 255] ciò consnt la visualizzazion di molti più dttagli. Esmpi Un smpio di trasformata di immagin ral pil 256 livlli. L informazion associata alla fas è in raltà molto più important di quanto non appaia da qusto smpio. llo spazio di Fourir è com s l immagin foss ossrvata da un diffrnt punto di vista: ogni punto nl dominio trasformato contin du pzzi di informazion uno rlativo alla ampizza uno rlativo alla fas di una struttura priodica. La fas contin l informazion ssnzial pr la struttura dll immagin qulla cioè rlativa al dov l struttur priodich vidnziat nlla DFT sono collocat. L ampizza invc contin solo l informazion rlativa al fatto ch una crta struttura priodica è prsnt nll immagin. La visualizzazion dllo spttro riguarda in raltà una vrsion comprssa logaritmicamnt di Fuv.

12 Trasformat di Fourir: vantaggi Ch vantaggio si può ottnr dalla trasformata di Fourir? llo spazio dll frqunz è possibil: sopprimr frqunz indsidrat ridurr lo spazio occupato dai dati pur limitando la dgnrazion dl sgnal JPEG MPEG DivX MP3 rignrar sgnali dgradati Esmpi sull Immagini

13 Esmpi sull Immagini 2 Discussioni La trasformazion dirtta può ssr vista com un procsso di analisi: il sgnal f vin scomposto nll su componnti lmntari ch sono nlla forma di vttori di bas. I cofficinti dlla trasformata spcificano quanto di ogni componnt di bas è prsnt nl sgnal. lla trasformazion invrsa mdiant un procsso di sintsi il sgnal vin ricostruito com somma psata dll componnti di bas: il pso di ogni vttor di bas nlla ricostruzion dl sgnal è rapprsntato dal corrispondnt cofficint dlla trasformata. Il cofficint dlla trasformata è una misura dlla corrlazion tra il sgnal d il corrispondnt vttor di bas. La trasformazion non comporta prdita di informazion: ssa fornisc solo una rapprsntazion altrnativa dl sgnal original.

14 Trasformat Oltr a qulla di Fourir divrs trasformat utilizzat nll imag procssing con largo impigo nl rstauro soprattutto nlla comprssion appartngono alla class dll trasformat unitari. Fra qust ricordiamo: La trasformata discrta di Walsh DWT La trasformata discrta di Hadamard DHT La trasformata discrta dl Cosno DCT La trasformata discrta di Karhunn Lov KLT Un tipico sistma di comprssion I Transform Coding Quantization Entropy Encoding I La comprssion si ralizza principalmnt nl procsso di quantizzazion. La comprssion si basa tipicamnt su un codificator ntropico ch tipicamnt si basa su tcnich di run-lngth coding combinat con codici di Huffman.

15 Trasformata DCT Un smpio di trasformata molto utilizzata in comprssion è la DCT Discrt Cosin Transform F u v f y dov : 4 4 C u C v pr u v ; 2 C u C v altrimnti 2y uπ + C u C v f ycos cos y 6 6 2y uπ + C u C v F u vcos cos u v 6 6 vπ vπ JPEG YCbCr DCT data Qdct ZZ DCT Quantizr Q Quantization Tabl Zig-Zag Entropy ncodr H Huffman tabl JPEG img

16 DCT L funzioni di bas dlla DCT DC Cofficint AC Cofficints Esrcizio Scrivr uno script Matlab ch visualizzi l basi dlla DCT al variar dlla dimnsion dll input 2 K *2 k Prof. S. Battiato

17 Immagini vs. DCT I cofficinti DCT possono ssr visti com di psi associati a opportun funzioni priodich ch formano una bas nllo spazio dll frqunz prmttono di ricostruir così il sgnal spazial lavorando su blocchi 88: Original imag block DC flat basis function AC basis functions DCT ampl

18 DCT Quantization I cofficinti DCT sono quantizzati ad un numro limitato di livlli. La quantizzazion è ncssaria pr ridurr il numro di bit pr campion. Eampl: 4 6 bits prcision Truncats to 4 bits 8 4 bits prcision. i.. 4/5 8 thr is a constant 5 or th quantization or quality factor. Formula: F u v round[ F u v / Q u v] Q u v constant > Uniform Quantization. Q u v variabl > on-uniform Quantization. Quantization stp Dad zon It is possibl to approimat th statistical distribution of th AC DCT cofficints both luminanc and chrominanc componnts of a 88 block by a Laplacian distribution in th following way: p i λ i /2 -λ i i ; EXAMPLE: whr: λ i sqrt2/σ i ; σ i i-th DCT standard dviation ; Quv 8; Quantization Stp Round256/8 32 Intrvals; [ ] - Rconstruction Lvls S. Battiato

19 Edmund Y. Lam Josph W. Goodman - A Mathmatical Analysis of th DCT Cofficint Distributions for Imags IEEE Trans. On Imag Procssing Vol.9 o. 2 Esrcizio: Vrificarlo sul datast KODAK in Matlab Ch succd su immagini TEXT? S. Battiato Standard Q-tabls L occhio umano è più snsibil all bass frqunz uppr lft cornr mntr lo è mno risptto all alt frqunz lowr right cornr Luminanc Quantization Tabl Chrominanc Quantization Tabl I numri dll tabll possono ssr scalati positivamnt o ngativamnt attravro il cosiddtto Quality Factor QF. i.. Q*uv QF Quv Tabll di quantizzazion non standard possono ssr spcificat nll hadr

20 Quantizd DCT z ij round y ij / q ij Zig-Zag Ordring Dopo la fas di quantizzazion vin sparato il cofficint DC dai cofficinti AC ch invc vngono riordinati in un formato -D 8 8 a 64 utilizzando una scansion a zig-zag util a gnrar lungh stringh run di cofficinti nulli.

21 JPEG Baslin Encoding/Dcoding Procss Color Transform RGB YCbCr; Imag Partition; Discrt Cosin Transform; Quantization; DC Cofficint Encoding; Zig-zag ordring of AC Cofficints; Entropy Coding. Alcun proprità dlla DFT 2-D Sparabilità Traslazion Priodicità and Simmtria Coniugata Valor Mdio

22 Sparabilità La trasformata di Fourir discrta può ssr sprssa in forma sparabil. In particolar val la sgunt sprssion: F u v g v iπu dov: g v y f y i2πvy Il principal vantaggio dll proprità di sparabilità è ch la Fuv può ssr ottnuta applicando in du passi succssivi la trasformata -D. Sparabilità Pr ogni valor di l'sprssion in parntsi è una trasformata -D nl dominio di v con v Prtanto la funzion 2-D Fv è ottnuta ffttuando una trasformata lungo ogni riga dlla fy moltiplicando il risultato pr ; Fuv è a qusto punto calcolata ffttuando una trasformata lungo ogni colonna di Fv; Lo stsso risultato può ssr ottnuto trasformando prima pr colonn poi pr righ. Considrazioni dl tutto analogh possono ssr fatt pr la trasformazion invrsa.

23 Traslazion E possibil dimostrar ch: f i2π u + v y y F u u v v f y y F u v i2π u + vy l caso bidimnsional è util prima di ffttuar la trasformata applicar uno shift traslazion dll origin nl punto /2 /2 cioè nl cntro dl rttangolo dll frqunz. Dall rlazioni di cui sopra ciò si ottin ponndo u v /2 da cui: I[ f y +y ]F u /2 v /2 Traslazion 2 Si dimostra inoltr ch uno shift nlla fy non modifica la magnitudo dlla trasformata ma non dlla fas dato ch: F u v i2π u + vy F u v Qust proprità vngono utilizzat pr una miglior visualizzazion dllo spttro. In MATLAB ciò vin ralizzato dalla funzionfftshift

24 Priodicità Simmtria Coniugata La trasformata discrta DFT la sua invrsa sono priodich con priodo : F u v F u+ v F u v+ F u+ v+ Qusto significa ch bnché nlla dfinizion dlla DFT ci si limiti a considrar vttori di dimnsion in raltà si potrbbro calcolar trasformazioni dirtt invrs snza rstrizioni ni valori dll indic ch darbbro luogo a campioni di ugual valor ad ogni intrvallo pari a. Priodicità Simmtria Coniugata La priodicità dlla DFT dà luogo ad una intrssant intrprtazion gomtrica. l caso -D il campion F F è ovviamnt contiguo a F-. I campioni possono quindi ssr pnsati calcolati pr valori disposti non su una lina rtta ma su un crchio il cosiddtto anllo di Fourir. l caso 2-D la matric rapprsntativa dll immagin è proittata sul cosiddtto toro di Fourir. Anch s la Fuv si ript infinit volt solo gli M valori comprsi in un solo priodo sono ncssari pr ottnr fy da Fuv. Quindi solo un priodo dlla trasformata è ncssario pr spcificar compltamnt Fuv nl dominio dll frqunz.

25 Priodicità Simmtria Coniugata S f è ral Fu è inoltr dotata di simmtria coniugata: F u v F u v u v F u v ssndo F * u la complssa coniugata di Fu. F * La proprità di priodicità indica ch Fu ha un priodo pari a la proprità di simmtria mostra ch il modulo dlla DFT è cntrato nll origin: F u F u F u + F u Priodicità Simmtria Coniugata Prtanto nll intrvallo [ -] sono in raltà prsnti du smipriodi dlla trasformata costituiti rispttivamnt dai campioni da a /2 dalla rplica dgli /2 campioni prsnti nl smipriodo a sinistra dll origin. Pr visualizzar un intro priodo basta spostar l origin dll ass u nl punto u/2. A tal fin si può sfruttar la proprità di traslazion quindi basta moltiplicar la f pr - prima dlla trasformazion com visto in prcdnza:

26 A B D C C D B A La trasformata di un piccolo rttangolo bianco su uno sfondo nro sarà dunqu dopo lo shift

27 >yzros ; >y:2 2 2.; >subplot22plotyylim[ plotyylim[4] ; >yyffty ; >subplot222plotabsyyylim[ plotabsyyylim[ 25] ]; >yyfftshiftyy; >subplot223plotabsyyylim[ plotabsyyylim[ 25] ]; Valor Mdio Il valor dlla trasformata nll origin cioè nl punto uv è dato da: F y f y f y F Il valor dlla trasformata di Fourir di un immagin f nll origin è ugual alla mdia di valori di grigio contnuti nll immagin a mno di un fattor di proporzionalità F prnd anch il nom di componnt continua o componnt DC.

28 Fast Fourir Transform F u f p[ i2πu / ] lla sua forma classica implmntar la trasformata di Fourir richidrbb un numro di oprazioni proporzional a 2 moltiplicazioni complss - addizioni pr ciascuno dgli valori di u. Utilizzando opportun tcnich di dcomposizion è possibil abbassar la complssità a log 2 implmntando la cosiddtta Fast Fourir Trasform FFT.