DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte.

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1 DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola

2 Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE E UNA LEGGE che associa ad ogni valore di x uno ed un solo valore di y. Le funzioni empiriche sono ricavabili sperimentalmente. Nelle funzioni matematiche il legame fra x ( variabile indipendente) e y ( var dipendente) è un calcolo matematico e si indica: y=f(x) forma esplicita oppure F(x,y)=0 forma implicita Il GRAFICO di una funzione è la rappresentazione sugli assi cartesiani delle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione Si chiama DOMINIO l insieme dei valori di x che rendono calcolabile la y ( graficamente proietto verso l asse x ) Si chiama CODOMINIO l insieme delle immagini y ( graficamente proietto verso l asse y )

3 DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE Funzioni algebriche (operazioni algebriche fra polinomi) RAZIONALI (la variabile x non compare sotto radice): - Intere (x non compare nel Denominatore) Dominio: x R - Fratte (x compare nel Denominatore) Dominio: Denominatore 0 IRRAZIONALI (x sotto radice) - Intere : Dominio se la radice ha indice pari : Radicando 0 Dominio se la radice ha indice dispari : x R - Fratte : Denominatore 0 e Radicando 0 (se indice pari) Funzioni trascendenti (non algebriche) y=a x esponenziale Dominio: x R y= log a x logaritmica Dominio: x > 0 ARGOMENTO > 0 funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente y= senx, y= cosx Dominio : x R y= tgx Dominio: x π/2+k π

4 Dominio: funzioni razionali intere Esempi: y = 3x! 4 y = 2 5 x x y = x 2!1 10 Si chiamano: - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore Le funzioni razionali intere hanno tutte Dominio: x R cioè D:(- + (qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI) NB: In generale il risultato del Dominio D si può esprimere in due modi: scrivendo i valori della x, esempio: x<4 V x 10 mediante intervalli numerici, esempio : (- 4)U[10,+ Ricordo che V significa oppure, U significa UNIONE.

5 Dominio: funzioni razionali fratte y = x! 4 x! 5 y = x! 4 x 2! 9 a) b) c) y = x 4 + 4x!1 10! x - RAZIONALI perchè la x non compare sotto radice - FRATTE poiché la x si trova nel Denominatore Poiche la DIVISIONE per 0 è OPERAZIONE IMPOSSIBILE escludo le x che rendono il Denominatore uguale a zero. Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO a) x! 5 " 0 # x " 5 b) x 2! 9 " 0; x 2 " 9 # x " ±3; Dominio D:(- 5)U(5.+ D:(- -3)U(-3,+3)U(+3.+ c) 10! x " 0;+x! 10 " 0 # x " +10; D:(- 10)U(10,+

6 Dominio: funzioni irrazionali y = 3x! 4 y = x 2 + 5x + 4 y = x 2! 4 a) b) c) - IRRAZIONALI perché la x non compare sotto radice - INTERE poiché la x non si trova nel Denominatore Due casi: La radice con indice Dispari esiste sempre : dominio x R La radice con indice PARI esiste solo se il radicando è positivo o zero! Devo risolvere la Condizione: RADICANDO 0 a) b) c) 3x! 4 " 0 # 3x " 4 # x " 4 3 x 2 + 5x + 4! 0;" # > 0 " x $ %4 & x! %1 x 2! 4 " 0;# $ > 0 # x %!2 & x " +2 D: [4/3, + D: (- -4] U [-1,+ D: (- -2] U [+2,+

7 Dominio: funzione logaritmica y = log(5x! 10) y = log(x 2! 5x) y = log(x 2! 16) a) b) c) un logaritmo esiste solo se l argomento è positivo. Pertanto devo risolvere la Condizione: ARGOMENTO >0 a) b) c) 5x! 10 > 0 " 5x > 10 " x > 2 x 2! 5x > 0;" # > 0 " x < 0 $ x > 5 x 2! 16 > 0;" # > 0 " x <!4 $ x > +4 D: (2, + D: (- 0) U (5,+ D: (- -4)U (+4,+

8 y = 4! x x 2 + x y = x! 2 x! 6 Esercizio 1 Dominio di funzioni y = x x 2! 2x y = x 2 + 3x y = x2 + 6!2x + 6 y = log(8! 2x) y = 5x + 20 y = log(x 2! 9) y = x 2! 25 y = x 2 + x! 3 3 y = 5x! 10 y =!x 2 + 4

9 y = 4! x x 2 + x y = x! 2 x! 6 Esercizio 1 Dominio: soluzioni D: x R,x, x 1 (- ; -1) (-1;0) (1; ) D: x R e x 6 (- ; 6) (6 ; + ) y = x x 2! 2x D: x R e x 0 (- ; 0) (0 ; + ) y = x 2 + 3x D: x -3 v x 0 (- ; -3] [0 ; + ) y = x2 + 6!2x + 6 y = log(8! 2x) D: x R e x 3 (- ; 3) (3; + ) D: x < 4 ( - ; 4 ) y = log(x 2! 9) y = x 2! 25 D: x<-3 v x>3 (- ; -3) (3 ; + ) D: x -5 v x 5 (- ; -5] [5 ; + ) y = 5x + 20 D: x -4 [-4 ; + ) y = x 2 + x! 3 D: x R (- ; + ) 3 y = 5x! 10 D: x R (- ; + ) y =!x D: -2 x 2 [-2 ; 2]

10 2 esercizi Dominio Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni: y = 6x y = x 2! x y = log(2! x) x 2! 1 a) b) c) d) y = 17! x e) y = x 3 + 5x 3! x! 5 x 4! 1 f) y = x 3! 9x d) y = x! 4 x 3! x y = x 3 + 3x 2 + 2x e) f) y = log(x 3 + 3x 2 )

11 y = 6x y = x 2! x y = log(2! x) x 2! 1 a) b) c) Soluzioni: Soluzioni 2a-b-c Dominio: a) Pongo il denominatore diverso da 0 e ottengo x 2! 1 " 0 # x 2 " 1 # x " ±1 D: (- -1) U (-1,+1) U(+1,+ b) Pongo il radicando 0 x 2! x " 0 x 2! x = 0 " xi(x! 1) = 0 " x = 0, x = 1! > 0 " concordanza : x # 0 $ x % 1 E trovo risolvo l equazione associata: D: (- 0] U [+1,+ c) Pongo l argomento del logaritmo maggiore di zero 2! x >"!x + 2 > 0 cambio segni e verso x! 2 < 0 " x < 2 D: (- +2)

12 d) d) e) f) y = 17! x e) y = x 3 + 5x 3! x! 5 x 4! 1 f) y = x 3! 9x x 4! 4 " 0; x 4! 4 " 0; (x 2! 2) " (x 2 + 2) # 0; x 3 + 5x 2! x! 5 " 0 (x + 5)! (x 2 "1) # 0 x + 5! 0 " x! #5 Soluzioni 2d-e-f Dominio Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le Soluzioni: x 2!1" 0 # x $!1% x " +1 Pongo i due fattori diversi da 0 ( fai i passaggi ) si ottiene: x 3! 9x " 0 # x $ (x 2! 9) " 0 con il grafo dei segni ( svolgilo tu ) si ottiene: con il grafo dei segni, (..svolgilo tu )si Pongo i due fattori 0 Pongo i due fattori 0 D : x! " 2 # x! 2 D :!5 " x "!1 # x $ 1 x! 0 x 2! 9 " 0 # x $!3% x " 3 ottiene il risultato : D :!3 " x " 0 # x $ 3

13 d) e) d) y = x! 4 x 3! x Soluzioni: x 3! x " 0; Soluzioni 2g-h-i Dominio: y = D : x! ±1" x! 0 # x(x 2! 1) " 0 (fai tu i passaggi ) si ottiene: x 3 + 3x 2 + 2! 0 " x(x 2 + 3x + 2)! 0 x! 0 x 2 + 3x + 2! 0 " x # $2 % x! $1 x 3 + 3x 2 + 2x e) f) Pongo i due fattori diversi da 0 Pongo i due fattori 0 con il grafo dei segni (svolgilo tu ) si ottiene: y = log(x 3 + 3x 2 ) D :!2 " x "!1# x $ 0 f) x 3 + 3x 2! 0 " x 2 # (x + 3)! 0 x 2! 0 " #x $R % { 0} x + 3! 0 " x! 3 Pongo i due fattori 0 con il grafo dei segni, (svolgilo tu )si ottiene: D : x! 3

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