Esercitazione XII - Elettrostatica e magnetismo

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1 Esercitazione XII - Elettrostatica e magnetismo Esercizio 1 Una particella di massa m = 10g e carica negativa q = 1mC viene posta fra le armature di un condensatore a piatti piani e paralleli, ed è inoltre sottoposta a gravità terrestre. Le armature distano tra loro d = 1cm. Determinare: Come posizionare il condensatore anchè la particella possa rimanere in equilibrio. La dierenza di potenziale da applicare al condensatore anchè la particella resti sospesa in equilibrio. Il condensatore deve essere posto in modo da bilanciare la forza di gravità, quindi, poichè il campo elettrico in un condensatore piano è perpendicolare alle armature, queste devono essere poste parallelamente al suolo per avere un campo elettrico parallelo a quello gravitazionale. Visto che la carica è negativa è ora necessario porre il condensatore in modo che l'armatura negativa sia posta in basso in modo da imporre sulla carica una forza diretta verso l'alto, in contrasto con quella gravitazionale. In questa condizione il campo elettrico sarà quindi perpendicolare alle armature e diretto verso il basso in quanto esso va sempre dall'armatura positiva a quella negativa. Perchè la particella resti sospesa in equilibrio è necessario che la forza elettrica che subisce a causa della presenza del condensatore bilanci la forza peso che tende invece a trascinarla al suolo, in modo che la risultante delle forze risulti nulla P + F e = 0 P = F e, P = mg F e = q E dove la forza elettrica data dal prodotto della carica per il campo elettrico. Perciò mg = qe L'unica incognita, il campo elettrico E, si può calcolare in funzione della dierenza di potenziale V come E = V d Sostituendo il valore del campo elettrico nell'equazione di equilibrio si calcola inne che Esercizio 2 mg = q V d V = mgd q = 0.98V 1

2 Una particella di massa m = 10 7 kg e carica q = C viene immessa in direzione normale alle linee di forza di un campo magnetico uniforme di induzione B = 10 2 T, con velocità v = 10 m s Calcolare il raggio della traiettoria e il periodo T. Calcolare, inoltre, lo spazio percorso dopo π s Una particella carica con velocità non nulla immersa in un campo magnetico B è soggetta alla forza di Lorentz espressa dalla relazione: F L = q v B (1) siccome la velocità della particella è perpendicolare al campo si ricava che il modulo di F L è: F L = qvb (2) siccome F L è sempre perpendicolare allo spostamento della particella si ha che il lavoro della forza di Lorentz sulla particella è nullo (w = 0), la particella, quindi, descriverà all'interno del campo B un moto circolare uniforme con la seguente legge: m v2 r = qvb mv = r = qb = 10 7 kg 10 m s C 10 2 T = 5m (3) per il calcolo del periodo si ha: T = 2πr v = 2π5m 10 m s = πs (4) lo spazio percorso dopo πs coincide con la lunghezza della circonferenza descritta dalla particella all'interno del campo B Esercizio 3 S = v t = 2πr T t = 2π5m πs πs = 10πm (5) Un elettrone con velocità v = m s viene immesso in una regione di spazio dove sono presenti un campo elettrico e un campo magnetico ortogonali tra loro. Si assuma che la velocita' iniziale della perticella risulti ortogonale ai campi elettrico e magnetico. Se l'induzione magnetica è B = 10 1 T e l'elettrone attraversa la regione senza subire alcuna deessione, determinare l'intensità del campo elettrico. 2

3 L'elettrone che entra nella regione dove è presente un campo elettrico e un campo magnetico è soggetto alla forza di Lorentz: F L = q E + q v B se non subisce deessioni signica che F L = 0 q E + q v B = 0 = E = v B (6) Considerando i moduli di tali vettori calcoliamo l'intensità del campo elettrico: E = v B = E = vb = m s 10 1 T = 10 5 m s N C m s = N C (7) Esercizio 4 Un elettrone dotato di velocità v x entra in una regione di campo elettrico uniforme concorde all'asse delle ordinate. Detto L = 1m il tratto orizzontale di presenza del campo elettrico, determinare lo spostamento lungo la verticale subita dall' elettrone al termine di L. dati: q e = C, m e = kg, v x = 10 7 m s, E = 103 N C Nel testo del problema si intuisce chiaramente l'utilizzo di un sistema di riferimento Oxy. L'elettrone si muove concordamente lungo x per cui possiamo ssare l'origine dell'asse x in corrispondenza al conne di inizio della presenza del campo elettrico. Tale campo elettrico, si intuisce facilmente dal testo, ha le linee di forza concordi all'asse y parallele tra loro per tutto il tratto L.È noto che le cariche positive, immerse in un campo elettrico, si muovono con verso concorde alle linee di campo mentre le cariche negative si muovono con verso discorde, Essendo l'elettrone carico negativamente deduciamo che esso subirà una deessione negativa durante la sua presenza all'interno del campo. L'elettrone ha una variazione di moto all'interno del campo dovuto alla forza di Coulomb. Infatti essendo il campo uniforme: utilizzando il 2 o principio della dinamica: F C = q e E (8) q e E = ma = a = qe m (9) Il modulo dell'accelerazione è dato dal rapporto di grandezze costanti per cui il moto dell'elettrone lungo y è uniformemente accelerato. Complessivamente 3

4 l'elettrone all'interno del campo compie un moto di tipo parabolico. Per cui avremo lungo y mentre lungo x y = 1 2 at2 + v 0y t + y 0 x = v x t + x 0 nel nostro caso si ha: v oy = 0 e x 0 = y 0 = 0 inoltre l'elettrone ha un'accelerazione rivolta verso il basso per cui scriveremo l'equazione del moto lungo y nel modo seguente: y = 1 2 a t2 ricavando la variabile t dall'equazione x = v x t si ha: t = x v x ricavare il tempo di percorrenza lungo x del tratto L come: e quindi possiamo t = L v x sostituendo tale espressione nell'equazione del moto lungo y otteniamo: y = 1 2 a t2 = 1 2 qe m L2 v 2 = 1 x C 10 3 N C kg 1m m 2 s 2 = 0.9m Esercizio 5 Si consideri uno scaldabagno di capienza 80 litri contenente una resistenza collegata ad una dierenza di potenziale V = 220V. Determinare la temperatura dell'acqua dopo 1h dall'accensione del sistema, sapendo che la resistenza elettrica dello scaldabagno è di R = 32.34Ω e la temperatura iniziale dell'acqua è di T i = 15 o C. È noto che un conduttore percorso da corrente dissipa energia sotto forma di calore. Dalla teoria si ha che tale dissipazione, nota anche come potenza dissipata per eetto joule, si esprime nel seguente modo: P = i 2 R. Il prodotto tra la potenza e il tempo fornisce l'energia dissipata per eetto joule, tale energia si trasferisce sotto forma di calore all'acqua aumentando la propria temperatura. Utilizzando la legge di Ohm si determina l'intensità di corrente: V = ir = i = V R quindi possiamo ottenere la potenza elettrica: = 220V = 6.81A P el = i 2 R = A Ω = 1500W ora se la moltiplichiamo per il tempo di 1h ricaviamo l'energia dissipata per effetto Joule che si trasferirià sottoforma di calore alla quantità d'acqua contenuta nello scaldabagno. P el t = 1500W s = J 4

5 Se tale è l'energia dissipata, dalle formule di calorimetria si ricava la variazione di temperatura subita dall'acqua in un'ora: da cui possiamo ricavare T f : Q = c H2O m H2O T = P el t T = P el t c H2O m H2O = W s J kg C 80kg = 16.12o C quindi T f : T = T f T i = = T f = o C + T i = o C 5

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