I principi di conservazione

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1 Capitolo 1 I principi i conservazione I principi i conservazione ella massa, ella quantità i moto e ell energia, sui quali si basa la meccanica ei fluii, possono ar luogo a iverse formulazioni matematiche, in generale fra loro equivalenti, ognuna elle quali può essere più o meno conveniente a secona el particolare problema. In questo capitolo verranno apprima presentate le iverse formulazioni per il caso i un fluio compressibile reale. Successivamente ne verrà iscussa la valiità nel caso el moello i fluio ieale, per il quale si eve rinunciare all ipotesi i continuità elle variabili, e verranno ricavate le relazioni che ebbono essere soisfatte attraverso una iscontinuità. 1.1 Formulazione integrale per un volume materiale Si consieri un volume materiale V, cioè un volume elimitato a una superficie S costituita sempre alle stesse particelle fluie. Il volume V è quini un volume che si eforma e varia posizione nel tempo V = Vt). Il principio i conservazione ella massa si può esprimere iceno che è nulla la variazione nel tempo ella massa contenuta in tale volume, ovvero ρv = 0 1.1) t V Analogamente, il principio i conservazione ella quantità i moto asserisce che la variazione nel tempo ella quantità i moto el fluio contenuto in V è uguale alla risultante elle forze i massa e i superficie: ρv V = ρfv + ts 1.) t V V S 1

2 Capitolo 1 E spesso conveniente scrivere l equazione vettoriale 1.) in termini elle sue componenti scalari in una generica base ρu i V = ρf i V + t i S i = 1,,3 1.3) t V V S Le componenti elle forze i superficie possono essere espresse in termini elle componenti el tensore egli sforzi t i = t ij n j 1.4) ove si è assunta la convenzione ell inice ripetuto e n j rappresentano le componenti el versore n normale all elemento i superficie, assunto positivo se orientato verso l esterno el volume V. Nell ipotesi i fluio newtoniano, per il quale esiste una relazione lineare fra le componenti el tensore ella velocità i eformazione e quelle el tensore egli sforzi, queste ultime possono essere espresse come: t ij = pδ ij + τ ij 1.5) con τ ij = µ ui + u ) j + λ u k δ ij 1.6) x j x i x k Meiante le 1.4) e 1.5), le 1.3) iventano: ρu i V + pn j δ ij S = ρf i V + τ ij n j S 1.7) t V S V S Il principio i conservazione ell energia asserisce che la variazione nel tempo ell energia totale somma ell energia interna e ell energia cinetica) el fluio contenuto in V è uguale alla somma el lavoro fatto alle forze i massa e i superficie e el flusso i calore che entra nel volume attraverso la superficie S, ovvero: e + 1 ) t u ju j ρv = ρf j u j V + t i u i S q j n j S 1.8) V V S S nella quale non si è tenuto conto i eventuali scambi i calore raiativi e e rappresenta l energia interna per unità i massa. Il segno negativo nell ultimo termine ella 1.8) è ovuto alla convenzione i assumere positivo, se iretto verso l esterno, il flusso i calore per conuzione

3 Capitolo 1 3 che, in base al postulato i Fourier, è ato a q j = k T x j 1.9) Introuceno l energia totale per unità i volume E = e + 1 ) u ju j ρ 1.10) e utilizzano le 1.4) e 1.5), la 1.8) risulta EV + pu j n j S = ρf j u j V + τ ij u i q j )n j S 1.11) t V S V S Introuceno il vettore elle variabili conservate U = e i vettori ρ ρu i E 1.1) 0 P j = pδ ij pu j G j = 0 τ ij τ ij u i + k T x j 0 Q = ρf i ρf j u j 1.13) che hanno N + componenti, esseno N il numero elle imensioni spaziali el problema, le 1.1), 1.7) e 1.11) possono essere espresse in forma compatta come UV + P j n j S = QV + G j n j S 1.14) t V S V S 1. Formulazione integrale per un volume fisso E spesso conveniente esprimere i principi i conservazione per un volume che non varia nel tempo, cioè un volume fisso nello spazio formulazione euleriana). Ciò può essere semplicemente realizzato esprimeno le erivate temporali egli integrali sul volume materiale Vt) meiante il teorema el trasporto i

4 4 Capitolo 1 Reynols φv = φv + φu j n j S 1.15) t V t V S nella quale V è il volume fisso nello spazio che coincie istantaneamente con V. A esempio, meiante la 1.15) il principio i conservazione ella massa 1.1) risulta: ρv + ρu j n j S = ) t V S La 1.16) esprime il fatto che la variazione nel tempo ella massa contenuta nel volume fisso V è uguale alla risultante ei flussi i massa entranti o uscenti attraverso la superficie S. Applicano la 1.15) alla 1.14) si ha nella quale UV + F j n j S = QV + G j n j S 1.17) t V S V S F j = Uu j + P j 1.18) Poiché Uu j rappresenta il flusso elle variabili conservate, i vettori F j vengono etti vettori i flusso generalizzati e analogamente i vettori G j vengono etti vettori i flusso viscosi. 1.3 Formulazione ifferenziale in forma i ivergenza Poiché il volume V che compare nell integrale el primo termine ella 1.17) non ipene al tempo, è possibile invertire le operazioni i erivazione e i integrazione. E poi possibile trasformare gli integrali i superficie che compaiono nella 1.17) in integrali i volume, utilizzano il teorema ella ivergenza i Gauss: La 1.17) iviene pertanto V S φ j n j S = V φ j x j V 1.19) U t + F j G ) j Q V = 0 1.0) x j x j che, oveno essere verificata per qualunque volume V, richiee l annullarsi ell integrano.

5 Capitolo 1 5 U t + F j x j = G j x j + Q 1.1) E questa la forma i ivergenza etta anche forma conservativa) elle equazioni i Navier Stokes. A titolo i esempio, si riportano in forma esplicita le 1.1) scritte in assenza i forze i massa per un caso biimensionale, inicano con u, v, le componenti ella velocità in una base cartesiana x,y: ρ t + x ρu) + ρv) = 0 1.) y t ρu) + x p + ρu ) + y ρuv) = t ρv) + x ρuv) + y p + ρv ) = t ρe + ρ u + v ρeu + ρu u + v x x + pu τ xx u + τ xy v + k T x ) ) ) τ xx x + τ xy y τ xy x + τ yy y 1.3) 1.4) + 1.5) + ) ρev + ρv u + v + pv = y + τ xy u + τ yy v + k T ) y y 1.4 Formulazione ifferenziale quasi-lineare Le equazioni ) possono essere notevolmente semplificate combinanole opportunamente fra loro e sviluppano le erivate che in esse compaiono. La 1.) può scriversi: ρ u t + u ρ x + v ρ y + ρ x + v ) = 0 1.6) y Sottraeno la 1.) moltiplicata per u alla 1.3), e la 1.) moltiplicata per v alla 1.4), si ha ) u ρ t + u u x + v u + p ) y x = µ u x + u ) u y + λ + µ) x + v x y ) v ρ t + u v x + v v + p y y 1.7) ) v = µ x + v ) u y + λ + µ) x y + v y

6 6 Capitolo 1 Infine, sottraeno alla 1.5) la 1.) moltiplicata per e, la 1.3) moltiplicata per u e la 1.4) moltiplicata per v, si ottiene: e ρ t + u e x + v e ) u + p y x + v ) ) T = k y x + T y + µφ 1.8) ove la funzione i issipazione φ è ata a φ = ) u ) v u + + x y y + v ) + λ u x µ x + v ) 1.9) y Le ) costituiscono la forma quasi-lineare elle equazioni i Navier Stokes etta anche forma non conservativa). Si ricora che un equazione è etta quasi-lineare quano i coefficienti elle erivate i orine massimo ipenono al più alle erivate i orine inferiore. Utilizzano la notazione vettoriale e introuceno la erivata materiale: Dφ Dt = φ t + u φ x + v φ y le equazioni quasi-lineari possono scriversi più sinteticamente come 1.30) Dρ + ρ V = ) Dt ρ DV Dt + p = µ V + λ + µ) V ) 1.3) ρ De Dt + p V = k T + µφ 1.33) E talvolta conveniente esprimere l equazione ell energia in termini ell entalpia, anziché ell energia interna. Eliminano V fra le 1.31) e 1.33) si ottiene ρ Dh Dt Dp Dt = k T + µφ 1.34) 1.5 Equazioni i conservazione per un fluio ieale Per un fluio ieale le iverse formulazioni ei principi i conservazione possono essere ottenute molto semplicemente, poneno a zero in assenza i forze i massa) i seconi membri elle equazioni 1.14) o 1.17) o 1.1) o infine 1.3) 1.33). Le equazioni cosí ottenute prenono il nome i equazioni i Eulero.

7 Capitolo 1 7 Tuttavia, mentre per un fluio reale le variabili sono sempre continue, quano si aotta il moello i fluio ieale le variabili possono anche essere iscontinue attraverso superfici o linee) all interno el ominio. Una soluzione iscontinua evientemente non può soisfare, almeno in senso classico, le equazioni ifferenziali 1.1) o 1.6) 1.8), in quanto le erivate non sono efinite in corrisponenza ella iscontinuità. Viceversa, i principi i conservazione e le loro formulazioni integrali seguitano a valere anche per una soluzione iscontinua. Infatti nello scrivere le 1.14) abbiamo ipotizzato solo l integrabilità elle variabili, mentre nel ricavare le 1.1) abbiamo utilizzato il teorema i Gauss, che presuppone anche la erivabilità. Pertanto una soluzione ovunque continua elle equazioni integrali è anche soluzione elle equazioni ifferenziali. Tali soluzioni sono ette soluzioni classiche. Invece una soluzione continua a tratti elle equazioni integrali non è soluzione elle equazioni ifferenziali, a meno i non estenere il concetto i soluzione, introuceno le soluzioni generalizzate o soluzioni eboli. Poiché per una soluzione iscontinua seguitano a valere le equazioni integrali, a queste è possibile ottenere le relazioni che legano tra loro le variabili attraverso la iscontinuità. Queste relazioni, che verranno ricavate nel prossimo paragrafo, sono ette relazioni i salto. Una soluzione continua a tratti che soisfi le relazioni i salto attraverso la iscontinuità è una soluzione ebole elle equazioni 1.1). L introuzione el concetto i soluzione ebole, che non richiee la continuità e ifferenziabilità ovunque e che comprene sia le soluzioni classiche che quelle con iscontinuità, consente i superare una limitazione connessa alle soluzioni classiche. Infatti è possibile imostrare che, per ate conizioni iniziali, la soluzione classica è unica, ma esiste solo per un tempo finito. Basti pensare al caso i un ona i compressione continua che, evolveno, opo un certo tempo à luogo a un ona urto e quini non esiste più come soluzione classica. Viceversa una soluzione ebole esiste per un tempo qualunque ma, per ate conizioni iniziali, può non essere unica: con gli stessi ati iniziali, si può cioè avere più una soluzione ebole. Naturalmente nella realtà fisica la soluzione è invece unica e pertanto una sola elle soluzioni eboli ha significato fisico, mentre le altre sono soluzioni spurie. Ciò ipene al fatto che le equazioni i Eulero rappresentano solo un moello semplificato ella realtà, nel quale in particolare si sono trascurati gli effetti ella viscosità. Nel porre µ = 0 bisogna quini assicurarsi che la soluzione ebole elle equazioni i Eulero sia il limite per µ 0 ella soluzione elle equazioni i Navier Stokes. Ma una soluzione ebole può anche essere pensata come il limite cui tene un altro set i equazioni, analogo a quello i Navier Stokes, ma aventi viscosità negativa e che non hanno quini corrisponenza con la realtà fisica. Per escluere queste soluzioni urti i espansione) bisogna quini in qualche moo aver memoria el fatto che gli effetti viscosi hanno carattere issipativo. Ciò può essere realizzato faceno

8 8 Capitolo 1 ricorso al secono principio ella termoinamica, che afferma che l entropia i un sistema isolato è non ecrescente. In particolare si ovrà imporre che l entropia elle particelle che attraversano una iscontinuità non iminuisca. Pertanto al fine i escluere le soluzioni spurie e iniviuare quini l unica soluzione fisicamente corretta, si ovranno integrare le equazioni i Eulero con la conizione ρsv ) t V esseno s l entropia per unità i massa. La 1.35) prene il nome i conizione i entropia. 1.6 Relazioni i salto Consieriamo nuovamente un volume materiale V all interno el quale sia presente una superficie i iscontinuità S 0 che si muova con velocità w relativamente al riferimento fisso Fig. 1.1). S 1 V 1 S 0 U - U + w V S Figura 1.1: In assenza i forze i massa e per un fluio ieale, i principi i conservazione 1.14) risultano UV + P j n j S = ) t V S cui va aggiunta la 1.35). Gli integrali i volume che compaiono nelle 1.35) 1.36) possono essere ecomposti nella somma egli integrali estesi ai volumi V 1 e V separati fra loro alla superficie S 0 : V UV = UV + V 1 UV V 1.37) Si osservi però che il volume V 1 e cosí pure V ) non è un volume materiale in quanto una parte ella superficie che lo elimita, S 1, si muove con la velocità el

9 Capitolo 1 9 fluio, mentre l altra parte S 0 ha velocità w. Pertanto, applicano il teorema i trasporto al volume V 1 si ha: UV = UV + Uu j n j S + Uw j n j S 1.38) t V 1 t V 1 S 1 S 0 Proceeno analogamente per V e sostitueno nelle 1.37) e 1.36) si ha UV + P j + Uu j )n j S + U U + )w j n j S = ) t V 1 V S 1 S S 0 nella quale si è inicato con U e U + il valore assunto alle variabili conservate a estra e a sinistra ella iscontinuità rispettivamente, e si è tenuto conto el fatto che n j ) S + = n j ) 0 S. Inverteno le operazioni i erivazione e i 0 integrazione nel primo termine e ricorano la 1.18), la 1.39) si scrive V U t V + F j n j S + U U + )w j n j S = ) S 1 S S 0 Faceno ora il limite per S 1 S 0 e S S 0, il volume V tene a zero e quini il primo termine si annulla, il valore i F j su S 1 tene a F j e n j) S1 n j ) S, mentre il valore i F j su S tene a F + j e n j ) S n j ) 0 S +. La 1.40) 0 si riuce a S 0 [ ] F + j F j )n j U + U )w j n j S = ) Osservano che w j n j è la componente w n ella velocità ella iscontinuità in irezione normale alla iscontinuità stessa e introuceno la notazione la 1.41) fornisce [ψ] = ψ + ψ 1.4) [F j ]n j = w n [U] 1.43) che prenono il nome i relazioni i salto o relazioni i Rankine Hugoniot generalizzate.

10 10 Capitolo 1 Proceeno in maniera el tutto ientica, la 1.35) à luogo a [ρsu j n j ] w n [ρs] 1.44) Si osservi che nel caso particolare i una iscontinuità stazionaria si ha w = 0 e alla 1.43) eriva [F j ] = ) cioè, pur esseno iscontinue le variabili U, i loro flussi generalizzati sono continui attraverso la iscontinuità. Le relazioni i salto possono essere esplicitate introuceno in esse le 1.11) e 1.18) e utilizzano, anziché una base generica, le componenti ella velocità u t, tangenziale, e u n = u j n j normale alla iscontinuità. Si ottiene [ρu n ] = w n [ρ] [p + ρu n] = w n [ρu n ] [ρu n u t ] = w n [ρu t ] 1.46) [Eu n + pu n ] = w n [E] [ρsu n ] w n [ρs] che, introuceno la velocità el fluio relativa alla iscontinuità assumono le espressioni v n = u n w n 1.47) [ρv n ] = ) [p + ρv n u n ] = ) [ρv n u t ] = ) [Ev n + pu n ] = ) [ρsv n ] 0 1.5) E conveniente esprimere le 1.49) e 1.51) in cui compare u n in termini

11 Capitolo 1 11 ella sola v n. Teneno conto ella 1.48), la 1.49) può scriversi [p + ρv n u n ] w n [ρv n ] = 0 a cui [p + ρvn] = ) Analogamente per la 1.51) si ha [Ev n + pu n ] + w n + w t che, ricorano la efinizione 1.10), risulta: [ρv n ovvero [ρv n ] w n [p + ρu n v n ] w t [ρv n u t ] = 0 e + p ρ + v n + v t )] = ) [ρv n H] = ) ove H è l entalpia totale per unità i massa nel moto relativo alla iscontinuità H = h + v n + v t 1.56) La quantità ρv n che compare nella 1.48) è il flusso i massa che passa attraverso la iscontinuità e la 1.48) esprime il fatto che nella iscontinuità non si ha accumulo o perita) i massa e pertanto il flusso i massa entrante è uguale a quello uscente. 1.7 Discontinuità i contatto Un caso particolare i iscontinuità si ha nel caso in cui il flusso i massa attraverso la iscontinuità sia nullo. Tale iscontinuità prene il nome i iscontinuità i contatto. Poiché la ensità non può essere nulla, affinché sia nullo il flusso i massa ovrà essere ovvero v + n = v n = ) u + n = u n = w n 1.58)

12 1 Capitolo 1 Nel caso in cui w n 0 la iscontinuità i contatto si muove con la velocità el fluio e è quini una superficie materiale. Nel caso in cui w n = 0 iscontinuità stazionaria), la iscontinuità è una linea i corrente, che viene anche etta linea i scorrimento. Dalla 1.53) iscene immeiatamente [p] = ) Pertanto attraverso una iscontinuità i contatto si mantengono continue sia la velocità normale che la pressione. Viceversa alle 1.48), 1.50), 1.5) e 1.55) si esume che la ensità, la velocità tangenziale, l entropia, l entalpia e i conseguenza la temperatura possono essere iscontinue con un salto i entità qualunque. Una iscontinuità i contatto è quini una superficie che separa ue fluii aventi iverse caratteristiche termoinamiche o iversa velocità tangenziale alla iscontinuità. Il primo caso corrispone, a esempio, all interfaccia fra ue zone i fluio aventi stessa pressione ma iversa temperatura, il secono al confine i un getto che fuoriesca in un ambiente in cui il fluio è in quiete. Nella realtà fisica i fenomeni iffusivi viscosità e conucibilità termica) fanno sí che una iscontinuità i contatto, se pur esiste a un istante iniziale, non si mantenga come tale ma ivenga uno strato, il cui spessore va sempre più aumentano, attraverso il quale si ha una variazione continua elle granezze termoinamiche o ella velocità strato i mescolamento). 1.8 Ona urto Nel caso i un ona urto per la quale v n 0, le relazioni i salto possono scriversi [ρv n ] = ) [p + ρv n ] = ) [u t ] = 0 1.6) [H] = ) [s] 0 se v n > ) Queste relazioni consentono i ottenere i valori elle granezze a valle ell urto, una volta che siano noti i valori a monte o viceversa).

13 Capitolo 1 13 Dal momento che le relazioni i salto sono state ottenute a partire a un moello i fluio non viscoso, potrebbe sorgere il ubbio che per un fluio reale le relazioni fra le granezze a monte e a valle ell urto siano iverse. Consieriamo, per semplicità, il caso i un urto stazionario w n = 0) in un flusso uniimensionale per il quale si ha solo la componente i velocità ux). L anamento i ux) sarà el tipo inicato in Fig. 1.. u u=u 1 δ u =0 x x u=u Figura 1.: Le equazioni i Navier Stokes per tale flusso possono essere immeiatamente ottenute alle ), annullano le erivate rispetto a t e a y e ricorano che si ottiene τ xx = λ + µ) u x x ρu) = 0 [ p + ρu λ + µ) u ] x x = 0 [ ρu e + p ) x ρ + u k T ] λ + µ)uu = 0 x x ovvero ρu = cost 1.65) p + ρu λ + µ) u = cost 1.66) x ρuh k T λ + µ)uu = cost 1.67) x x

14 14 Capitolo 1 Se consieriamo ue ascisse a monte e a valle sufficientemente istanti alla zona i transizione, in esse si avrà T x = 0, u x = 0 e le preceenti relazioni si riucono a ρ 1 u 1 = ρ u 1.68) p 1 + ρ 1 u 1 = p + ρ u 1.69) H 1 = H 1.70) che coinciono con le 1.60) 1.61) 1.63) nelle quali v n = u. La relazione 1.66), che è valia in tutto il campo, consente anche i ottenere una valutazione ell orine i granezza ello spessore ell urto. Questo è in teoria infinito in quanto la velocità tene asintoticamente ai valori u 1 e u. Tuttavia si può are ello spessore urto la efinizione convenzionale i Prantl: lo spessore ell urto δ è ato alla ifferenza fra le intersezioni con le rette u = u 1 e u = u ella retta tangente alla curva ella velocità nel punto in cui la erivata è massima, cioè nel punto i flesso Fig. 1.). Poiché all interno ell urto i termini viscosi non sono trascurabili, ovranno essere ello stesso orine i granezza ei termini convettivi. Dalla 1.66) si ha quini µ u x = 0[ρu ] 1.71) Valutano la erivata i u come u x = u u 1 δ e teneno conto che, esclueno il caso i un urto i intensità molto piccola, u u 1 è ell orine ella velocità meia all interno ell urto, alla 1.71) si ha [ µ δ = 0 ρu] 1.7) Poiché ρu è costante in base alla 1.65), possiamo valutarlo in qualunque punto all interno ell urto. In particolare, poiché, come si verà nel seguito, attraverso un urto si passa sempre a flusso supersonico a flusso subsonico, si potrà valutare ρu nel punto in cui M = 1 e quini u = a. Valutano anche µ nello stesso punto e ricorano che, alla teoria cinetica ei gas, si ha µ = 0[ρal]

15 Capitolo 1 15 in cui l è il libero cammino meio elle molecole, alla 1.7) si ottiene δ = 0[l] 1.73) In conizioni normali i pressione e temperatura p = 1 atm,t = 0 C) lo spessore ell ona urto è quini ell orine i 10 6 cm.