Esercitazioni di Statistica

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1 Esercitazioi di Statistica Itervalli di cofideza Prof. Livia De Giovai Esercizio 1 La fabbrica A produce matite colorate. Ua prova su 100 matite scelte a caso ha idicato u peso medio di 1 grammi. Si suppoga che il peso di ua matita sia ua variabile casuale distribuita secodo la legge ormale, di parametri µ o ota e σ 4. a) Si propoga uo stimatore o distorto per µ e si dica quato vale la sua variaza. b) Si determii l itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) c) Si determii l itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) 0.95 i asseza di ipotesi che la variabile casuale peso di ua matita abbia distribuzioe ormale. Soluzioe a) Uo stimatore o distorto per µ è la media campioaria. La sua variaza tede a zero al tedere della umerosità campioaria all ifiito. La variaza 1

2 di questo stimatore è, ifatti, pari a: ( Var( X) Var X ) i Var (X i ) Nel caso specifico b) Poichè Var (X i) 1 σ Var( X) σ α 0.95 α 0.05 α/ 0.05 Φ(z α/ ) 1 α/ z α/ 1.96 X µ σ/ e dato che X N(µ, σ /), e N(0, 1), l itervallo di cofideza al livello (1 α) 95% è dato da: σ σ 95%IC [l 1, l [ x z α/ ; x + z α/ [ ; [11.608; Ciò sigifica che il peso medio delle matite colorate risulta compreso tra (11.608; 1.39) al livello di cofideza del 95%. c) Dato che la umerosità campioaria è grade ( 30), l itervallo di cofideza otteuto rimae valido ache i asseza di ipotesi di ormalità della variabile casuale peso di ua matita i base al Teorema del limite cetrale. Esercizio Ua fabbrica produce barrette di cioccolato. Il peso di ciascua barretta X è ua variabile casuale distribuita secodo la legge Normale di parametri µ o ota e σ 64. Si cosideri u campioe di 5 barrette, per cui si ottiee 5 x i 450. a) Si determii l itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) b) Si determii l ampiezza campioaria miima che assicura che la lughezza dell itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) 0.90 sia iferiore a 10.

3 Soluzioe a) Il primo passo da effettuare è determiare la stima della media campioaria, che è data da: x 1 5 x i 450/ Ora, quidi X N(µ, 64/5). Poiché E( X) µ; Var( X) σ /, 1 α 0.90 α 0.10 α/ 0.05 Φ(z α/ ) 1 α/ 0.95 z α/ 1.645, l itervallo di cofideza al livello (1 α) 90% è dato da: σ σ 90%IC [l 1, l [ x z α/ ; x + z α/ [ ; [95.368; Ciò sigifica che il peso medio delle barrette di cioccolato risulta compreso tra (95.368;100.63) al livello di cofideza del 90%. b) Se si vuole imporre che la lughezza dell itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) 0.90 sia iferiore a 10 si ha che per cui 7. z α/ σ < 10 z < < < ( ) 8 < > 6.93, 3

4 Esercizio 3 Si è iteressati a studiare la difettosità e il peso dei pezzi prodotti i u processo produttivo. U campioe di 60 pezzi è stato selezioato e per ciascuo si è rilevata la difettosità e il peso. E risultato che: 5 pezzi soo difettosi; Sia X i il peso dell i-esimo pezzo. Si è rilevato: e x i 840, x i a) Proporre uo stimatore o distorto per µ il valor medio di X, e valutare le proprietà della stima corrispodete. b) Proporre uo stimatore o distorto per σ (la variaza di X). c) Proporre u itervallo di cofideza al 99% per µ ell ipotesi che X sia distribuita come ua ormale. d) Proporre u itervallo di cofideza al 99% per µ i asseza di ipotesi di ormalità della variabile casuale X. e) Proporre u itervallo di cofideza al 95% per π, il valore medio della variabile casuale Y di Beroulli che assume il valore 1 se il pezzo è difettoso, 0 altrimeti. Soluzioe a) Uo stimatore o distorto per la media della popolazioe è la media campioaria X, la cui stima el campioe risulta: e la cui variaza risulta x x i 840/ Var[ X 1 σ, quidi la variaza dello stimatore tede a zero al crescere della umerosità campioaria. Soo assicurate le codizioi sufficieti per la covergeza i probabilità dello stimatore 4

5 b) Uo stimatore o distorto della variaza è la variaza campioaria S 1 (X i 1 X). La sua stima el campioe risulta S ( 60 (x i x) 1 1 ) x i x [ x i x 1 ( ) / c) Poiché o coosciamo la variaza della popolazioe, possiamo utilizzare per costruire l itervallo di cofideza la variaza campioaria S. I questo caso utilizziamo la statistica campioaria media campioaria studetizzata, che si distribuisce come ua t di studet: X µ S t 1 Dato che 1 α 0.99 α 0.01 α/ P (t 59 t 59,α/ ) 1 α/ P (t 59 t 59,α/ ) α/ t 59,α/.66, l itervallo di cofideza al livello (1 α) 0.99 è dato da: S S 99%IC [l 1, l [ x t 59,α/ ; x + t 59,α/ [ ; [1.96; Ciò sigifica che il valor medio del peso è compreso tra (1.96;15.04) al livello di cofideza del 99%. d) Dato che la umerosità campioaria è grade ( 30), l itervallo di cofideza otteuto rimae valido ache i asseza di ipotesi di ormalità i base al Teorema del limite cetrale. Dato che la media campioaria stadardizzata co la stima campioaria della variaza ha distribuzioe asitoticamete ormale (lo stimatore della variaza risulta cosistete), per costruire l itervallo di cofideza i tal caso si utilizza z α/ che vale.575. I tal caso l itervallo di cofideza risulta [13; 15. 5

6 e) La proporzioe campioaria di pezzi difettosi è data da ˆp 5/ Essedo la proporzioe campioaria uo stimatore o distorto della probabilità π, ed essedo la sua variaza data da σ /, per sufficietemete elevato, sfruttado il Teorema del limite cetrale, possiamo utilizzare l approssimazioe ormale (ˆp N(π; π(1 π)/)). Poiché o coosciamo π, dobbiamo usare ua stima della variaza dello stimatore, data da ˆσ ˆp(1 ˆp)/. Quidi si ha che: [ ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) 95%IC [l 1, l ˆp z α/ ; ˆp + z α/ [ ; [0.9; Ciò sigifica che π è compreso tra (0.9; 0.54) al livello di cofideza di circa il 95%. No abbiamo u livello di cofideza preciso perché utilizziamo u approssimazioe alla Normale. Esercizio 4 Il peso (i grammi) di ua barretta di cioccolato prodotta da u azieda si può assumere distribuito secodo la legge ormale co valore atteso µ o oto e variaza o ota. Si estrae dalla produzioe u campioe di barrette e si rileva che 9 x i 175.5, e 9 x i 4.5. a) Si propoga uo stimatore o distorto per µ. b) Si propoga uo stimatore o distorto per la variaza della popolazioe. c) Si scriva la forma aalitica e si determii il valore dell itervallo di cofideza per µ al livello (1 α) Soluzioe a) Uo stimatore o distorto per µ è la media campioaria la cui stima el campioe risulta X X i, x x i 175.5/

7 e la sua variaza (Var( X) σ /) coverge a zero al crescere dell ampiezza campioaria. b) Uo stimatore o distorto per la variaza della popolazioe σ è la variaza campioaria S : S (x i x) 1 (x i) ( x) (19.5) 8 800/8 100 c) U itervallo di cofideza per µ, i cui la variaza è o ota, può essere costruito a partire dalla media campioaria studetizzata, che, poiché la variaza o è ota, si distribuisce come ua t di studet: Dato che X µ S/ t 1 1 α 0.99 α 0.01 α/ P (t 8 t 8,α/ ) 1 α/ P (t 8 t 8,α/ ) α/ t 8,α/ 3.355, l itervallo di cofideza al livello (1 α) 0.99% è dato da: S S 99%IC [ x t 1;α/ ; x + t 1;α/ S S [ x t 8;0.005 ; x + t 8;0.005 [ ; [8.317; Ciò sigifica che il peso medio di ua barretta risulta compreso tra (7.65; 31.35) al livello di cofideza del 99%. 7

8 Esercizio 5 Se si dimiuisce il livello di cofideza 1 α, l ampiezza di u itervallo di cofideza aumeta, dimiuisce o resta ivariata? Soluzioe Dimiuisce. Ad esempio, el caso di u itervallo di cofideza per la media co variaza ota, { } σ σ IC x z 1 α/, x + z 1 α/ Al dimiuire del livello di cofideza (1 α), la quatità z 1 α/ dimiuisce, restrigedo l itervallo di cofideza. 1 α α 1 α/ z 1 α/ Esercizio 6 I u campioe casuale di 30 lamie d acciaio lo spessore X delle lamie (i mm) preseta ua variaza 30 (x i x) 5. Ipotizzado che X abbia distribuzioe Normale, determiare u itervallo di cofideza al 90% per la variaza σ. Soluzioe U itervallo di cofideza per σ al livello (1 α) 0.9 è dato da: [ ( 1)S ( 1)S 90%IC ; χ 0.05;9 χ 0.95;9 [ ; (17.036; 40.94)