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1 F. Trigonometri F. Risoluzione dei tringoli rettngoli Risolvere un tringolo rettngolo signifi trovre tutti i suoi lti e tutti i suoi ngoli. Un ngolo lo si onose già ed è l ngolo retto. Le inognite sono i tre lti e i due ngoli uti. E neessrio onosere due di questi inque oggetti (tr ui lmeno un lto per trovre tutto il resto. I lti e gli ngoli sono legti dlle seguenti relzioni:. Un teto è ugule ll ipotenus per il seno dell ngolo opposto.. Un teto è ugule ll ipotenus per il oseno dell ngolo diente. 3. Un teto è ugule ll ltro teto per l tngente dell ngolo opposto.. Un teto è ugule ll ltro teto per l otngente dell ngolo diente. A seond del prolem si deve segliere l regol opportun tr quelle sopr elente Per ngolo opposto e diente, rifrendosi ll figur F., si intende è opposto d α ed diente β è opposto d β ed diente α A α β B C Figur F. Angoli e lti in un tringolo rettngolo. Con le notzioni dell figur F. si possono srivere le relzioni,, 3 e ome formule.. Un teto è ugule ll ipotenus per il seno dell ngolo opposto. sen(α sen(β. Un teto è ugule ll ipotenus per il oseno dell ngolo diente. os(β os(α 3. Un teto è ugule ll ltro teto per l tngente dell ngolo opposto. (α (β. Un teto è ugule ll ltro teto per l otngente dell ngolo diente. o(β o(α Per l risoluzione dei prossimi eserizi si onsidererà sempre l figur F., on teti e, ipotenus, opposto d α e diente β, opposto β e diente d α. Ci sono vri modi di risolvere gli eserizi. Esempio F.: Risolvere il tringolo rettngolo on e α30. Per differenz si trov β Usndo l prim regol si h sen(α, ossi sen(30, d ui. sen 30 ( Usndo l seond regol si h os(α, ossi os(30, d ui ( 3 Esempio F.: Risolvere il tringolo rettngolo on e α. Per differenz si trov β90 -, quindi il tringolo è isosele. os Usndo l prim regol si h sen(α, ossi sen(, d ui ( sen Teori F-

2 Anhe perhè il tringolo è isosele. Esempio F.3: Risolvere il tringolo rettngolo on 3 e. Dll terz regol si h (α, ossi 3 (α, d ui Per differenz β Si trov on l prim formul sen(α, ossi sen(30, d ui Anhe on il teorem di Pior si ottiene ( α e quindi α30.. sen 30 ( Esempio F.: Risolvere il tringolo rettngolo on,. Dll prim regol si h sen(α, ossi sen(α, d ui senα 0.8. Il vlore non è nell tell, quindi si us l loltrie e si h ( Per differenz si h β90-3,3 3,87. α sen 0.8 3,3. Con il teorem di Pior si trov 9 3. F. Risoluzione dei tringoli qulunque In un tringolo qulunque non vle il teorem di Pior. Tenendo presente omunque l figur F., in ui è opposto d α, è opposto β e opposto γ, vlgono le seguenti formule: A γ α β B Teorem dei seni: senα senβ ; senβ senγ ; senγ senα Teorem dei oseni (o di Crnot - osα - osβ - osγ C In quest sede si srivono nhe ltre formule reltive i tringoli he, hissà, potreero prim o poi essere utili Con p si indi il semiperimetro del tringolo. Teorem delle tngenti (o di Nepero Figur F. Angoli e lti in un tringolo qulunque. Teori F-

3 α β β γ γ α ; ; α β β γ γ α Formule di Briggs (si dnno solo quelle reltive d α, le ltre si rivno ( p ( p sen α ; α ( p ( p p ( p Teorem delle proiezioni osγ osβ osα osγ osβ osα Are del tringolo ( p p os α ; S p p p p (Formul di Erone S senγ senα senβ senβsenγ senαsenγ senβsenα S senα senβ senγ Per ompletezz eo ltre formule reltive figure geometrihe: TRIANGOLI RETTANGOLI Chimndo x e y le proiezioni dei teti sull ipotenus e h l ltezz reltiv ll ipotenus si h: I teorem di Eulide: x, y II teorem di Eulide: h x y Teorem di Pior: e infine vle nhe: h PARALLELOGRAMMA L re di un prllelogrmm è il prodotto dei suoi lti per il seno dell ngolo ompreso. QUADRILATERO - L re di un qudriltero è l metà del prodotto delle digonli per il seno dell ngolo ompreso tr esse - Chimndo,, e d i lti di un qudriltero insriviile in un ironferenz e p il semiperimetro l re è ( p ( p ( p ( p d S (FORMULA DI BRAHMAGUPTA - Chimndo,, e d i lti di un qudriltero insriviile in un ironferenz, e x e y le digonli si h: xyd CIRCONFERENZE p p p p Il rggio dell ironferenz insritt in un tringolo è r S p p Il rggio dell ironferenz irosritt d un tringolo è r S p p p p Teorem dell ord: In un ironferenz l lunghezz di un ord è BCr senα, dove r è il rggio e αbac è un qulunque ngolo he insiste sull ord on vertie A sull ironferenz. RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALUNQUE - ESEMPI: Risolvere un tringolo vuol dire trovre tutti i lti e tutti gli ngoli. Serve vere, ome dti, tre oggetti su, di ui uno deve essere un lto. Negli eserizi su quest prte si utilizzernno solo il teorem dei seni e quello dei oseni. IMPORTANTE: Se si onose un ngolo e il lto opposto si us il teorem dei seni, ltrimenti si us il teorem dei oseni. Non sempre st usre l tell, qulhe volt è neessri l loltrie. Si mostrernno esempi: Teori F-3

4 Nel primo srnno dti due lti e un ngolo non ompreso tr essi Nel seondo srnno dti due ngoli e un lto Nel terzo srnno dti due lti e l ngolo ompreso tr essi Nel qurto srnno dti tre lti Esempio F.: Risolvere il tringolo qulunque onosendo,, β. Poihé si onose il lto,, e l ngolo opposto, β, si può usre il teorem dei seni, e si h: sen α 3 3 senα senβ senα sen ( senα α 0, α 0 Ci sono quindi due possiilità. Si esmin l prim on α 0. Per differenz si h: γ Di nuovo on il teorem dei seni si h: senα senγ sen( 0 sen( 7 3 ( ( Si esmin l seond on α 0. Per differenz si h: γ Di nuovo on il teorem dei seni si h: senα senγ sen( 0 sen( 3 ( Quindi i sono due soluzioni possiili α 0, β, γ 7,,, ( 3 α 0, β, γ,,, ( 3 ( Esempio F.: Risolvere il tringolo qulunque onosendone gli ngoli α0, β e il lto 0. In questo so si onosono due ngoli, e per differenz trovimo il terzo: γ Or si onose un lto,, e il suo ngolo opposto, γ, e quindi si può usre il teorem dei seni senβ senγ sen ( sen( 30 e onsiderndo he il seno di 0 è ugule l seno di 7 si h, di nuovo on il teorem dei seni senα senγ sen 0 sen 30 0 ( ( ( Esempio F.7: Risolvere il tringolo qulunque onosendo i lti, e l ngolo γ0. In questo so non si onose un lto e il suo ngolo opposto per ui si deve usre il teorem dei oseni. ( ( os γ os 0 3 ( ( 8, ± 8 ± 7 Un lto non può essere negtivo, quindi 7 Adesso si h un lto, e il suo ngolo opposto, γ. Con il teorem dei seni si h: Teori F-

5 3 7 7 senα senα senγ senα sen ( 0 senα Nessun ngolo he si trov nell tell h questo vlore del seno, quindi si deve usre l loltrie. senα e quindi α sen - ( ,. Per differenz si trov β , 0,89. Esempio F.8: Risolvere il tringolo di ui sino noti i tre lti,, 3. Non onosendo nenhe un ngolo si deve utilizzre per forz il teorem dei oseni. os α 3 3 os α ( ( os α 7 3 os α os α 0 α 90 Un volt trovto un ngolo si può utilizzre indifferentemente il teorem dei seni o dei oseni. In quest ultimo eserizio, per mire, utilizzimo il teorem dei oseni. Il teorem dei seni omunque funzioneree. ( ( os γ 3 os γ os γ os γ 3 08 os γ 7 γ 0 E per differenz si trov β Tutti questi teoremi possono essere utilizzti in si onreti per determinre misure di ngoli e distnze nel mondo rele. Nell sezione dedit gli eserizi se ne presenternno numerosi si. Teori F-

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