SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO

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1 Goniometria e trigonometria Misurare gli angoli nel sistema circolare L unità di misura del sistema circolare è il radiante def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un arco che rettificato è uguale al raggio della circonferenza stessa A 1 radiante l arco AB é lungo come il raggio V B Poiché all angolo giro corrisponde l intera circonferenza ( 2πr) la misura di un angolo giro nel sistema circolare è 2π rad Per passare dal sistema circolare al sistema sessagesimale basta fare la proporzione π : 180 = x rad : x Tutti gli angoli che differiscono per multipli dell angolo giro si dicono equivalenti. Esercizio. Dati i seguenti angoli individuare quelli equivalenti: α=120 β = -600 γ= 480 δ=300 Poiché α=120 β = γ= δ= si ha che α, β, γ sono equivalenti. Nel sistema circolare la misura dell angolo coincide con quella dell arco corrispondente, quindi si può parlare di angolo che misura 0.5π rad o di arco che misura 0.5π rad SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di centro O(0,0) e raggio unitario, di equazione x 2 +y 2 =1 y Per definizione : P(cosα, senα) T(1, tang α ) La prima relazione fondamentale è T cos 2 α + sen 2 α = 1 O α P 1 x la seconda relazione fondamentale è sen tg cos Sapendo in quale quadrante cade il secondo lato dell angolo e il valore di una delle sue funzioni angolari è possibile calcolare le altre due Si ricordi che cotang x =1/ tang x cosec x= 1/senx sec x=1/cosx 1

2 Esercizio Sia x un angolo, si sa che 90 <x<180 e sen x = 1/4 determinare, se è possibile, i valori di cos x ed tang x. Svolgimento: poiché il secondo lato dell angolo appartiene al secondo quadrante, il coseno sarà negativo e la tangente sarà negativa. Cos x = - -(1/4) 2 = - / 4 ed tang x = (1/4) / (- / 4) = - / 15 Esercizio Sia x un angolo, si sa che 0<x<180 e sen x = 2/3 determinare, se è possibile, i valori di cos x ed tang x. Svolgimento: tali valori non si possono determinare in modo univoco poiché ci sono due angoli che verificano le condizioni richieste. Esercizio Quanto misura in radianti l angolo interno di un pentagono regolare? La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n-2)angoli piatti. Poiché il pentagono è regolare tutti gli angoli sono uguali e ciascuno di essi misura 3 radianti 5 Quanto misura in radianti l angolo esterno di un ettagono regolare? Misura 2π / 7 radianti Esercizi da svolgere 1)Dopo aver disegnato gli archi che corrispondono a cos x = 3 / 2, trovare dell arco del quarto quadrante, le altre funzioni trigonometriche 2) Sapendo che x è un angolo acuto e che sen x = 3/5 calcolare le altre funzioni goniometriche 3)Ragionando sulla circonferenza goniometrica determinare cos (x+π)= sen (π/2 - x)=... sen(x+π)=.. sen(2π-x)=.. 4)Semplificare le espressioni: tg(x+π)sen(π-x)cos(π+x)+tg(π-x)cos 2 (-x)= sen 4 x-sen 2 x-cos 4 x+cos 2 x= 5) verificare le identità tang x+ cotang x = 1/(sen x cos x) tg 2 x-sen 2 x = tg 2 x sen 2 x 6)Determinare per quali valori del parametro k hanno significato le seguenti relazioni. Calcolare poi le restanti funzioni dell angolo 2

3 Esercizio Le equazioni goniometriche elementari 2 senx = 1 1. Si ricava sen x : sen x= 1/2 2. In le soluzioni sono: 3. In R le soluzioni sono: Esercizio 1. Si ricava cos x 2. Le soluzioni in sono: 3. Le soluzioni in R sono: Esercizio Risolvere tg x - 3 =0 Si ricava tg x e si ottiene: tg x= 3 La soluzione in [0; ] e' : x = π/3 Le soluzioni in R sono : Le equazioni goniometriche in una sola funzione angolare Esempio 2sen 2 x senx -1 = 0 ( si risolve come una equazione di secondo grado) 3

4 senx = 4 4 quindi sen x = 1 U sen x = -1/2 le soluzioni, in [0,2 ] sono x= /2 U x= 7 /6 U x= 11 /6; le soluzioni in R sono x= /2 +2k U x= 7 /6+2k U x= 11 /6+2k Le equazioni lineari in seno e coseno sen x-cos x +1=0 pongo sen x = Y cos x = X Y X X Y 1 rappresento retta e circonferenza goniometrica In [0,2 ], le soluzioni sono x=0 U x =3 /2 In R le soluzioni sono x=0+2k U x =3 /2+2k 4

5 Le curve goniometriche E opportuno memorizzare i grafici della sinusoide, della cosinusoide e della tangentoide, in modo da poter risolvere agevolmente le disequazioni goniometriche. Inoltre, da tali grafici si possono ricavare quelli di altre funzioni coem indicato qui di seguito. La funzione y = senx ha C.E. (-,+ ) ha codominio [-1,1] ed ha periodo T=2 La funzione y = cosx ha C.E. (-,+ ) ha codominio [-1,1] ed ha periodo T=2 La funzione y = tang x ha C.E. { x R t.c. x /2 + k } ha condominio. (-,+ ) ha periodo T = Se y=f(x) ha periodo T, la funzione y = f( x) ha periodo T/ y = sen(3x) ha periodo T=2 /3 ( 120 ) y= tang ( x/2) ha periodo T= 2 5

6 Data la funzione y=f(x), la funzione y=kf(x) determina una dilatazione o contrazione di f(x) nella direzione dell asse y pari a k, se k<0 allora si ha un ribaltamento del grafico rispetto all asse x. Es. y= 2senx y= - (1/2) sen x Data la funzione y=f(x),il grafico di y= f(x) + h si ottiene traslando il grafico della f(x), verso l alto o verso il basso,a seconda che h sia positivo o negativo, di h volte l unitá di misura y= senx y = senx 1.5 Data la funzione y=f(x), il grafico di y= f(x + h) si ottiene traslando il grafico di f(x), verso sinistra o verso destra, a seconda che h sia positivo o negativo, di h volte l unitá di misura 6

7 y= sen (x+ /3 ) y= sen (x- /3 ) Data la funzione y=f(x), il grafico di y= f(x), si ottiene lasciando invariate le parti in cui f(x) sta sopra all asse x e si ribaltano nel semipiano delle x>0 le parti del grafico di y=f(x) negative y= sen x Data la funzione y=f(x), il grafico di y=f( x ), si ottiene lasciando invariato il grafico di f(x) nel sempiano delle x>0 e costruendo il simmetrico di tale grafico nel semipiano delle x<0. Si noti che y=f( x ) è una funzione pari y=sen x 7

8 Esercizi Rappresentare il grafico della funzione y=sen(x- ) per x [0,2 ] Rappresentare il grafico della funzione y=sen x per x [-2,2 ] Si debba risolvere la disequazione Le disequazioni goniometriche senx > ½ 1. si passa all equazione senx=1/2 che da come soluzione x= /6 +2k ed x= 5 /6+2k 2. di rappresentano sullo stesso grafico le funzioni y=senx ed y=1/2 3. si individuando gli intervalli dell asse x in cui senx >1/2 determinando cosí il risultato Risultato /6 +2k <x< 5 /6+2k 8

9 Le formule 9

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11 I triangoli rettangoli e i loro teoremi C γ b A c a β B Si noti che l angolo retto si indica con A e che i lati prendono il nome del vertice opposto 11

12 c = a cos β b = a sen β c = b tang γ b = a cos γ c = a sen γ b = c tang β oppure Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente al cateto Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto al cateto Un cateto è uguale all altro cateto per la tangente dell angolo opposto al cateto che devo trovare Triangoli rettangoli con angoli di 30 e 60 Triangoli rettangoli con angoli di 45 l 3 2 l/2 l 60 l l l l 2 Calcolo dell area di un triangolo qualunque La formula di calcolo dell area di un triangolo qualunque è ½ lato per lato per il seno dell angolo compreso Il triangolo può essere acutangolo o ottusangolo e la formula rimane la stessa A c A=1/2 a*c*senβ B β b a C Teorema del seno in un triangolo qualunque è costante il rapporto tra un lato e il seno dell angolo opposto sen sen sen a b c A α c B β b a γ C Teorema del coseno o di Carnot In un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è la somma dei quadrati degli altri due meno il doppio prodotto degli stessi moltiplicato per il coseno dell angolo tra essi compreso A c B β b a C b 2 = c 2 +a 2 - c*a*cosβ 12

13 Dalle prove di ingresso universitarie Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso di 5 lati? A. 360 B. 450 C. 540 D. 630 E. la risposta dipende dalla forma del pentagono 5- Le soluzioni dell equazione sen x = cos x sono: A. x = 2k k Z B. x = /4 + k k Z C. x = /4 + 2k k Z D. x = + 2k k Z 13

14 Le soluzioni di sen 2 x + cos 2 x >1, nell intervallo [0,2 ] sono: A. 0<x< /2 B. /4<x<3 /4 C. Qualunque valore di x D. Nessuna delle risposte precedenti è esatta 10- senx Sia x un angolo, l espressione è: tangx A. cos x B. 1 C. sen x D. cotang x 11- Sia Q un ottagono regolare,. Allora la somma delle tangenti degli angoli interni di Q: A. è uguale a 8 B. è uguale a -8 14

15 C. è uguale a 0 D. è uguale a + E. varia al variare del lato di Q 12- Il valore del coseno della somma degli angoli interni di un triangolo scaleno è pari a: A. -1 B. 0 C. -1/2 D Il coseno dell angolo di 110 é : A. positivo B. maggiore di -1/2 C. maggiore del seno dell angolo di 110 D. uguale al coseno dell angolo di 290 E. uguale al seno dell angolo di In un triangolo rettangolo un angolo misura 30 e l ipotenusa cm2. Quanto misura il perimetro? A. cm B. 4cm C cm D cm 15- Il periodo della funzione y = cos 2x è: 3 A. /3 B. C. + /3 D L uguaglianza (sen x ) 4 + cos x = (cos x ) 4 con x numero reale è verificata : A. per ogni x B. per nessun x C. solo per x=0 D. soltanto per x= /2 E. per infiniti x, ma non per ogni x 17- Per gli angoli A, compresi tra 90 e 180, dire quale delle seguenti affermazioni è esatta: A. sen A > 0, cos A > 0 B. sen A < 0, cos A > 0 C. sen A > 0, cos A <0 D. sen A < 0, cos A < 0 15

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