Esercitazioni di Analisi e Simulazione dei Processi Chimici

Transcript

1 Esercitazioni di Analisi e Simulazione dei Processi Chimici Metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ordinarie Antonio Brasiello abrasiel@unina.it Tel

2 Introduzione In questa lezione considereremo il problema dell integrazione numerica di un sistema di ODEs del primo ordine. In cui f è una funzione non lineare di y e t. t y f y, t y y 0 0 2

3 Introduzione Analizzeremo metodi per la risoluzione di sistemi di ODEs del primo ordine o equivalentemente di equazioni di ordine m. È possibile dimostrare infatti che un equazione differenziale di ordine m può essere riscritta come un sistema di m equazioni differenziali del primo ordine. Es. Pendolo semplice M l M g sin Posto y g y sin si ha: l y 3

4 Introduzione: alcune definizioni Algoritmo one step: algoritmo che per calcolare il valore di y n+1 utilizza solo i valori di y e y calcolati a t n. Algoritmo multi step: algoritmo che per calcolare il valore di y n+1 utilizza i valori di y e y calcolati a t n ed istanti precedenti (es. t n-1 ). y y h f y t n1 n n, n y 1 y 12 h f y, t n n n n Algoritmo esplicito: algoritmo che non richiede il calcolo del campo vettoriale f in corrispondenza di y n+1 e t n+1. Algoritmo implicito: algoritmo che richiede il calcolo del campo vettoriale f in corrispondenza di y n+1 e t n+1. Vedi sopra y y h f y, t n1 n n1 n1 4

5 ..ancora definizioni Un sistema si dice autonomo se le equazioni differenziali non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente t (tempo). y f y y È sempre possibile trasformare un sistema non autonomo in uno autonomo mediante l aggiunta di una variabile dipendente y e di un equazione differenziale: y m1 m1 0 t 0 y 0 1 t0 y t y 5

6 Condizionamento del problema Un sistema di equazioni è ben condizionato se una piccola perturbazione della funzione e/o della condizione iniziale genera una soluzione che si discosta poco da quella teorica del precedente problema ES. y 9y 10e y(0) 1 t t 9t y e c e c 0 Affinchè un equazione sia bene condizionata è necessario che f y <0 6

7 Metodo di Eulero I metodi numerici permettono di ottenere la soluzione approssimata del sistema in corrispondenza di alcuni valori della variabile indipendente t0 t1 t2 t n,,,...,,... Consideriamo la seguente equazione differenziale ordinaria: dc dt C A A (0) 0.1 k C 1 1 kc 2 A A 2 k k Dobbiamo cercare una funzione che passi per (t 0, y 0 ) e che in ogni punto (t, y(t)) abbia pendenza pari a f(t, y(t)). 7

8 Metodo di Eulero Calcoliamo la retta nel punto (t 0, y 0 ) che abbia pendenza pari a y (t 0, y 0 )., y y f y t t t Essa approssima la soluzione nell intorno di (t 0, y 0 ) ed è possibile utilizzarla per predire il valore di y(t 1 ). y y h f y, t La pendenza della y in t 1 è nota quindi la procedura può essere iterata. 8

9 Metodo di Eulero La forma generale dell algoritmo di Eulero è la seguente: In cui h è il passo di integrazione. y y h f y t n 1 n n, n Il metodo di Eulero presentato è un metodo esplicito e one step. ESERCIZIO Scrivere un m-file che risolva l equazione del reattore batch riportata in precedenza con l algoritmo di Eulero esplicito. Trovare per tentativi il massimo passo di integrazione utilizzabile 9

10 Metodo di Eulero: esercizio Definire il passo d integrazione e le condizioni iniziali. Costruire la function campo vettoriale. Ciclo while con controllo del numero massimo di passi d integrazione. I punti (t,y) calcolati saranno salvati in due vettori (ad es. tvett e yvett) Visualizzare il diagramma. 10

11 Metodo di Eulero: esercizio % Metodo di Eulero esplicito clc clear all % Definizione del passo di integrazione h=4; tmax=200; nmax=floor(tmax/h); n=1; %Condizioni iniziali told=0; yold=0.1; ynew(1)=yold; tnew(1)=told; while n < nmax ynew(n+1)=yold+h*campvett(yold); tnew(n+1)=told+h; told=tnew(n+1); yold=ynew(n+1); n=n+1; end plot(tnew,ynew,'b') zoom on grid on function f=campvett(y) k1=1; k2=10; f=-k1*y/((1+k2*y)^2); 11

12 Stabilità dell algoritmo di Eulero Qual è il passo massimo d integrazione utilizzabile nell algoritmo di Eulero esplicito? y n 1 y n h f yn, tn y t y t y t t t n n n 2 y tn 1 yn 1 y tn yn hn f y tn, tn f yn, tn hn y 2 n * f t y t y y n n EG h f EG h 2 n1 1 n y n n y 2 n 12

13 Stabilità dell algoritmo di Eulero L algoritmo di Eulero esplicito risulterà stabile se: Ovvero se: 1 h f 1 h n n y 2 f y N.B. f y varia nel corso dell integrazione Proviamo a calcolare il passo massimo d integrazione iniziale per l esercizio precedente. 13

14 Metodo di Eulero implicito Daremo ora qualche accenno al metodo di Eulero implicito e ai metodi impliciti in generale. Il metodo di Eulero implicito si basa sulla relazione seguente: y y h f y, t n1 n n1 n1 Per ottenere un passo con il metodo di Eulero implicito è necessario risolvere un sistema di equazioni non lineari. I metodi impliciti possono però presentare dei vantaggi che li rendono più convenienti in alcuni casi. 14

15 Sistemi stiff I metodi impliciti sono decisamente preferibili rispetto a quelli espliciti nell integrazione di sistemi stiff. Ma cos è un sistema stiff? Risolviamo analiticamente il seguente sistema: y 10y y 0 y(0) 10 y(0) 20 y C e C e 9.9t 0.1t 1 2 AUTOVALORI

16 Sistemi stiff Supponendo di voler risolvere il problema con il metodo di Eulero esplicito possiamo calcolare il passo d integrazione massimo utilizzabile: h max 2 max Il passo massimo dipende dall autovalore relativo ad un termine della soluzione che diventa rapidamente trascurabile. 0.2 L algoritmo di Eulero implicito ha un fattore di amplificazione pari a 1 1 h e risulta stabile per qualunque valore di h. 16

17 Implementazione dei metodi numerici con MatLab MatLab possiede diverse funzione per l integrazione di sistemi di ODEs. La sintassi è la seguente: [T,Y] = ode23(odefun,tspan,y0) Variabili di output: Variabili di input. Vettore Tempo discretizzato Vettore valori che assume Y in corrispondenza di T Secondi membri del sistema di equazioni differenziali scritte in forma di function Intervallo temporale in cui si intende integrare numericamen te il sistema di ODE Vettore condizioni iniziali 17

18 Implementazione dei metodi numerici con MatLab I metodi implementati in MatLab sono i seguenti: ode45 Metodi di Runge-Kutta 4 e 5 espliciti ode23 Metodi di Runge-Kutta 2 e 3 espliciti (anche per problemi di moderatamente stiff) ode113 metodo predittore-correttore multistep di Adams- Moulton ( è più efficiente di ode45 nei casi in cui f è complicata) Se gli algoritmi qui presentati risultano lenti forse siamo di fronte a problemi stiff.. 18

19 Implementazione dei metodi numerici con MatLab..e pertanto sarà necessario utilizzare una delle seguenti funzioni: ode15s metodi multistep impliciti ode23s Metodi di Rosenbrock (Runge-Kutta impliciti) ode23t Formula del trapezio ode23tb Utilizza una combinazione del metodo del trapezio e altri metodi impliciti. Se si vogliono cambiare le opzioni di default si utilizza il comando odeset. 19

20 Esercizio Scrivere un m-file per l integrazione del seguente sistema di equazioni differenziali utilizzando ode45. Diagrammare la soluzione. d Da 1 exp dt d B Da 1 exp dt Da = 0.01 = 9.0 B=

21 Esercizio plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,2),'r') zoom on function fun=cstrfun(t,vet) x=vet(1); y=vet(2); Da=0.01; gamma=9.0; B=22.0; a(1)=-x+da*(1-x)*exp(y/(1+y/gamma)); a(2)=-y+b*da*(1-x)*exp(y/(1+y/gamma)); fun=a'; 21