Esercizi svolti di Calcolo Numerico. C. Fassino

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1 Esercizi svolti di Calcolo Numerico. C. Fassino

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3 Gli esercizi presentati illustrano alcune nozioni di base di Analisi Numerica e sono quindi principalmente rivolti a tutti gli studenti che, pur non frequentando il corso di Laurea in Matematica, devono comunque sostenere un esame di Calcolo Numerico. Ogni capitolo è dedicato a un singolo argomento e contiene una rassegna di esercizi svolti e una breve raccolta di esercizi proposti, assegnati come prove d esame nell ambito del corso di Calcolo Numerico per Chimica e Chimica Industriale, e di cui si fornisce il solo risultato in appendice. La soluzione proposta degli esercizi svolti è piuttosto schematica e deve servire soprattutto da traccia: per utilizzare il testo in modo proficuo è necessario, dopo aver compreso la parte teorica, svolgere i singoli esercizi in modo autonomo. Solo a questo punto, confrontando l intero procedimento e non solo il risultato, lo studente potrà avere un riscontro sull effettiva comprensione delle nozioni utilizzate. Ricordo che, al fine di una buona assimilazione della materia, non è necessario svolgere centinaia di esercizi, ma piuttosto comprendere a fondo quelli svolti. Infine, vorrei scusarmi per gli eventuali (anzi, inevitabili!) errori di stampa/calcolo presenti nel testo e chiedo la collaborazione di tutti gli studenti per ottenerne una versione finale corretta. Buon lavoro!! Genova, Ottobre 2002 Claudia Fassino 3

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5 Chapter 1 Aritmetica binaria e floating point. 1.1 Esercizio: rappresentazione numeri in base 2. Trasformare in base 10 i seguenti numeri espressi in base 2: 101, 10111, 1010, Scrivere inoltre la tabella dei primi 10 numeri interi in base = = = = = = = = 14 Base 10 Base 2 Base 10 Base

6 1.2 Esercizio: calcolo somma in base 2. Calcolare le seguenti somme di numeri binari = = = = = = Esercizio: notazione floating point, aritmetica finita. Trasformare in base 10 i seguenti numeri frazionari espressi in aritmetica floating point con base β = 2 e numero di cifre t = 3: , , , Calcolare inoltre le seguenti somme in aritmetica floating point (finita), utilizzando il troncamento: Somma esatta: = 10 (1/2 + 1/8)4 = 5/ = 10 (1/2)4 = = 10 (1/2 + 1/4)4 = = 10 (1/2 + 1/4 + 1/8)2 = 7/ = = 10 9/2. 6

7 Somma floating point: Somma esatta: = normalizz tronc. fl. p = = 10 19/4. Somma floating point: Allineamento della mantissa del secondo addendo: = Troncamento floating point del secondo addendo: = normalizz tronc. fl. p. 1.4 Esercizio: controesempio per la proprietà associativa. Provare che non vale la proprietà associativa per la somma floating point dei numeri a = , b = , c = Si deve provare che (a + b) + c a + (b + c); si utilizzi, ad esempio, l aritmetica floating point con t = 3 cifre e l approssimazione tramite troncamento. Nelle somme seguenti non vengono evidenziati l allineamento delle mantisse, la normalizzazione e il troncamento. (a + b) + c : (b + c) + a :

8 1.5 Esercizi proposti Esercizio 1.1 Trasformare in base 10 i seguenti numeri espressi in base 2: 1101, 11011, , Esercizio 1.2 Calcolare le seguenti somme di numeri binari: , Esercizio 1.3 Calcolare le seguenti somme in aritmetica floating point con t = 4, utilizzando il troncamento: ,

9 Chapter 2 Precisione di macchina e propagazione dell errore. 2.1 Esercizio: proprietà precisione di macchina. Verificare le seguenti proprietà della precisione di macchina u = β 1 t, utilizzando l aritmetica floating point con troncamento, β = 2 e numero di cifre t = 4: fl(1 + u) > 1; fl(1 + u/2) = 1. Nel caso considerato si ha che u =.0010 e 1 = Somma floating point: fl( ). Allineamento della mantissa del secondo addendo:.0010 = > 1 Somma floating point: fl( ). Allineamento della mantissa del secondo addendo:.0001 = Troncamento float. point del secondo addendo: = = 1 9

10 2.2 Esercizio: errori di rappresentazione dei dati. Rappresentare come numeri di macchina i seguenti numeri reali utilizzando l aritmetica floating point con β = 2 e numero di cifre t = 3. Utilizzare il troncamento per.1011 e , e l arrotondamento per e Verificare inoltre, per ciascuno dei numeri precedenti, che fl(x) x x u, dove u è la precisione di macchina. Troncamento: u = β 1 t = 1/4. x =.1011 = 10 11/16 fl(x) =.101 = 10 5/8 fl(x) x x = 1/11 1/4. x = = 10 25/8 fl(x) = = 10 3 fl(x) x x = 1/25 1/4. Arrotondamento: u =.5β 1 t = 1/8. x = = 10 21/32 fl(x) =.101 = 10 5/8 fl(x) x x = 1/21 1/8. x = = 10 13/2 fl(x) = = 10 7 fl(x) x x = 1/13 1/ Esercizio: errore inerente. Stimare l errore inerente introdotto dal calcolo della funzione f(x) = (x 2) 2 e dire se il problema è ben condizionato. In caso contrario, dire quali valori di x, se perturbati, possono introdurre elevati errori inerenti. 10

11 Sia x il valore di x soggetto ad una perturbazione, e sia ɛ x = x x x. L errore inerente, dovuto alla perturbazione di x, può essere valutato usando due diverse strategie. 1) Stima diretta. Si calcola il valore f(x ) f(x) f(x). f(x ) f(x) = f(x + xɛ x ) f(x) = (x + xɛ x 2) 2 (x 2) 2 = (x 2) 2 + (xɛ x ) 2 + 2(xɛ x )(x 2) (x 2) 2. = 2xɛx (x 2) f(x ) f(x) f(x). = 2x x 2 ɛ x. 2) Stima teorica (più frequentemente utilizzata). Si stima l errore inerente mediante la formula ɛ in. = f (x)x f(x) ɛ x, cioè ɛ in. = 2(x 2) (x 2) 2 xɛ x = 2x x 2 ɛ x. Ovviamente le 2 stime coincidono. L errore inerente può essere elevato se la funzione viene valutata in valori vicini a 2. Oss. Esprimendo la funzione in altra forma l errore inerente rimane inalterato. Ad esempio, poiché f(x) = (x 2 + 4) 4x si ottiene ɛ in. = f (x)x f(x) ɛ x = 2x 4 (x 2) 2 xɛ x = 2x x 2 ɛ x. 2.4 Esercizio: errore algoritmico. Stimare l errore algoritmico introdotto dal calcolo della funzione f(x) = (x 2) 2 utilizzando i due algoritmi seguenti: (x 2) 2 ; (x 2 + 4) 4x. 11

12 e dire se sono stabili. Notazione. Si indicano con f l(e(x)) il valore calcolato dal computer dell espressione e(x) e con u la precisione di macchina. Primo algoritmo: (x 2) 2. fl(x 2) = (x 2)(1 + ɛ 1 ) ɛ 1 < u ( fl (x 2) 2) = fl(x 2) 2 (1 + ɛ 2 ) = (x 2) 2 (1 + ɛ 1 ) 2 (1 + ɛ 2 ) ɛ 2 < u. Trascurando gli errori di ordine superiore al primo, si ottiene ( fl (x 2) 2). = (x 2) 2 (1 + 2ɛ 1 + ɛ 2 ). L errore algoritmico introdotto, a meno di errori di ordine superiore al primo, è quindi dato da fl ( (x 2) 2) (x 2) 2 (x 2) 2. = 2ɛ1 + ɛ 2, ed in valore assoluto si ottiene fl ( (x 2) 2) (x 2) 2 (x 2) 2. = 2ɛ 1 + ɛ 2 < 3u. Dalle stime precedenti si può concludere che l algoritmo analizzato è stabile. Secondo algoritmo: (x 2 + 4) 4x. fl(x 2 ) = x 2 (1 + ɛ 1 ) ɛ 1 < u fl(4x) = 4x(1 + ɛ 2 ) ɛ 2 < u ( ) ( ) fl x = fl(x 2 ) + 4 (1 + ɛ 3 ) = (x 2 (1 + ɛ 1 ) + 4)(1 + ɛ 3 ) ɛ 3 < u. Trascurando gli errori di ordine superiore al primo, si ottiene ( fl x 2.= + 4) x x 2 ɛ 1 + (x 2 + 4)ɛ 3. Infine si ha che ( ) fl (x 2.= ( ) + 4) 4x x x 2 ɛ 1 + (x 2 + 4)ɛ 3 4x(1 + ɛ 2 ) (1 + ɛ 4 ). = x x + x 2 ɛ 1 4xɛ 2 + (x 2 + 4)ɛ 3 + (x x)ɛ 4. L errore algoritmico introdotto, a meno di errori di ordine superiore al primo, è quindi dato da fl ( (x 2 + 4) 4x ) (x x) (x 2 + 4) 4x. = x 2 (x 2 + 4) 4x ɛ 1 4x (x 2 + 4) 4x ɛ 2 + (x2 + 4) (x 2 + 4) 4x ɛ 3 + ɛ 4 12

13 ed in valore assoluto si ottiene fl ( (x 2) 2) (x 2) 2 (x 2) 2 x 2 < (x 2 + 4) 4x u + 4x (x 2 + 4) 4x u + (x2 + 4) (x 2 + 4) 4x u + u. Dalle stime precedenti si può concludere che l algoritmo analizzato non è stabile e si possono avere elevati errori algoritmici nel caso di valori in input vicini a 2. Si noti che l algoritmo è stabile se x < 0. Infatti, in tal caso, si ha che 4x = 4x e quindi fl ( (x 2) 2) (x 2) 2 (x 2) 2 x 2 < (x 2 + 4) 4x u + (x2 4x + 4) (x 2 + 4) 4x u + u < 3u. 2.5 Esercizio: errore totale. Stimare l errore totale introdotto dal calcolo della funzione f(x) = (x 2) 2, a partire da dati perturbati, utilizzando i due algoritmi seguenti: (x 2) 2 ; (x 2 + 4) 4x. Dalle stime presentate negli esercizi 2.3 e 2.4, risulta che, a meno di termini di ordine superiore al primo, l errore totale può essere stimato come segue. Primo algoritmo. fl ( (x 2) 2) (x 2) 2 (x 2) 2. = ɛ in + ɛ alg < 2x x 2 ɛ x + 3u. Come già sottolineato negli esercizi precedenti, il problema risulta mal condizionato per valori di x vicini a 2, ma l algoritmo risulta stabile. 13

14 Secondo algoritmo. fl ( x x ) (x 2) 2 (x 2) 2. = ɛ in + ɛ alg < 2x x 2 ɛ x + 2x x (x 2 + 4) 4x u + u. Come già sottolineato negli esercizi precedenti, il problema risulta mal condizionato e l algoritmo risulta instabile per valori di x vicini a Esercizi proposti Esercizio 2.1 Verificare la seguente proprietà della precisione di macchina u scegliendo la base β = 2 e il numero di cifre t = 4: fl(2 + u) = 2. Esercizio 2.2 Rappresentare come numeri di macchina i seguenti numeri reali utilizzando l aritmetica floating point con β = 2 e numero di cifre t = 4. Utilizzare sia il troncamento sia l arrotondamento per.1011, , e Esercizio 2.3 Quanto vale la precisione di macchina di un calcolatore che usa l arrotondamento su 10 cifre in base 2? E di un calcolatore che usa il troncamento su 12 cifre in base 2? Esercizio 2.4 Se u è la precisione di macchina e a e b sono numeri di macchina quali delle seguenti relazioni sono vere? fl(a + b) = aɛ a + bɛ b dove ɛ a < u e ɛ b < u fl(a + b) = (a + b)(1 + ɛ) dove ɛ < u fl(a + b) (a + b) a + b < u fl(a b) = (a b)(1 + ɛ) dove ɛ < u fl(a b) = (a b)(1 ɛ) dove ɛ < u 14

15 fl(a b) (a b) a b < u a b è un operazione instabile (a + δ a ) + (b + δ b ) è un operazione stabile (a + δ a ) (b + δ b ) è un operazione stabile a + b è un operazione instabile (a + δ a ) + (b + δ b ) è un operazione instabile (a + δ a )(b + δ b ) è un operazione instabile Esercizio 2.5 Sia x il valore del numero x perturbato da un errore relativo e x. Quali delle seguenti relazioni sono vere? e x = x x e x = (x x)/x x = x(1 + e x ) x = x e x x = x(1 e x ) e x = x/(x x) e x < u x x = xe x Inoltre, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere: Un problema è ben condizionato quando l errore sul risultato, causato dall errore sui dati, è piccolo. Un problema è ben condizionato quando l errore dovuto all aritmetica finita è piccolo. Un algoritmo è stabile quando l errore sul risultato, causato dall errore sui dati, è piccolo. Un algoritmo è stabile quando l errore sul risultato, causato dall aritmetica finita, è piccolo. Un problema è stabile quando l errore sui dati è piccolo. Se una variazione dei dati del 2 % provoca una variazione dei risultati del 40 %, il problema è ben condizionato. Se un problema è ben condizionato piccole variazioni dei dati provocano piccole variazioni sui risultati. L errore algoritmico è causato da perturbazioni sui dati. 15

16 L errore algoritmico è causato dall uso dell aritmetica finita. Un algoritmo è stabile quando l errore sui dati è piccolo. Esercizio 2.6 Stimare l errore inerente introdotto dal calcolo delle seguenti funzioni, a partire da dati perturbati: f(x) = x x g(x) = x Dire se sono problemi ben condizionati e, in caso contrario, dire quali sono i valori di x che, se perturbati, possono introdurre elevati errori inerenti. Esercizio 2.7 Data la funzione f(x, y) = 2y+5xy, valutare l errore inerente provocato dalle perturbazioni relative ɛ x e ɛ y degli argomenti x e y e dire per quali valori di x e y il problema è mal condizionato. Esercizio 2.8 Data la funzione f(x) = x 2 2x+1, valutare l errore inerente provocato dalla perturbazione relativa ɛ x dell argomento x e dire per quali valori di x il problema è mal condizionato (giustificare la risposta). Esercizio 2.9 Data una funzione tale che f(x) = (5 x) 2 + x, calcolare l errore inerente introdotto da una perturbazione relativa ɛ x sul dato x. Esercizio 2.10 Sia f una funzione tale che f(x, y) = x 2 y + xy 2, stimare l errore inerente relativo introdotto se x e y vengono perturbati, rispettivamente, dagli errori relativi ε x e ε y. Stimare, inoltre, il valore assoluto dell errore inerente relativo, sapendo che ε x < u e ε y < u, u precisione di macchina, e dire per quali scelte degli argomenti x e y il problema è mal condizionato. Esercizio 2.11 Stimare l errore algoritmico introdotto dalle due seguenti funzioni, equivalenti matematicamente, viste come 2 differenti algoritmi: f(x, y) = x 2 y 2 ; g(x, y) = (x + y)(x y). Dire se gli algoritmi sono stabili e, in caso contrario, dire per quali valori di x e y si possono ottenere elevati errori algoritmici. 16

17 Esercizio 2.12 Data la funzione f(x) = x 2 3x + 1, valutare l errore algoritmico introdotto e dire per quali valori di x l algoritmo risulta instabile (giustificare la risposta). Esercizio 2.13 Data una funzione tale che f(x) = x 2 + 6x + 9: Calcolare l errore algoritmico introdotto dal calcolo di x 2 + 6x + 9 Calcolare l errore algoritmico introdotto dal calcolo di (x + 3) 2 Quale algoritmo è stabile? E perché? Esercizio 2.14 Data una funzione tale che f(x) = x 2 7x, calcolare l errore algoritmico introdotto da tale calcolo. Esercizio 2.15 Data la funzione f(x, y) = sin(x) sin(y) valutarne il condizionamento e la stabilità, supponendo che fl(sin(z)) = (1+ɛ) sin(z), ɛ < u. Giustificare le risposte. Esercizio 2.16 Calcolare l errore totale introdotto dal calcolo x 3 + x 2, a partire da x valore di x perturbato. Se x è un numero positivo l errore totale può essere elevato? Esercizio 2.17 Calcolare l errore totale introdotto dal calcolo x 2 x, a partire da x valore di x perturbato. Se x è un numero negativo l errore totale può essere elevato? Esercizio 2.18 Studiare l errore inerente introdotto dalle seguenti funzioni, in caso di input perturbato da un errore relativo ɛ x : f(x) = x 2 2x + 1, g(x) = 5x Dire, inoltre, quale funzione è meglio condizionata se si 5x vuole calcolare 0.04 = f(1.2) = g(1.2); stimare, trascurando gli errori di ordine superiore a 1, l errore algoritmico per calcolare f(x) con la formula (algoritmo) (x 1) 2. Esercizio 2.19 Studiare l errore inerente introdotto dal calcolo della funzione f(x) = x 2 2x, in caso di input perturbato da un errore relativo ɛ x, individuando i casi mal condizionati. Valutare inoltre, trascurando gli errori di ordine superiore a 1, l errore algoritmico per calcolare f(x) con le formule (algoritmi) x 2 2x e x(x 2). Quale dei due algoritmi risulta più stabile? 17

18 Esercizio 2.20 Studiare l errore inerente introdotto dal calcolo della funzione f(x) = x 3 4x 2, in caso di input perturbato da un errore relativo ɛ x, individuando i casi mal condizionati. Valutare inoltre, trascurando gli errori di ordine superiore a 1, l errore algoritmico per calcolare f(x) con le formule (algoritmi) x 3 4x 2 e x 2 (x 4). Quale dei due algoritmi risulta più stabile? 18

19 Chapter 3 Vettori, matrici, sistemi lineari. 3.1 Esercizio: norme vettoriali. Calcolare le norme 1, 2 e dei seguenti vettori: x = (1 4 8) y = ( ) z = ( ) t = ( ) Norma 1: se v è un vettore n-dimensionale, v 1 = n i=1 v i. x 1 = 13 y 1 = 33 z 1 = t 1 = Norma 2: se v è un vettore n-dimensionale, v 2 = ni=1 v i 2. x 2 = 9 y 2 = 531 z 2 = 65/8 t 2 = 65/8 Norma : se v è un vettore n-dimensionale, v = max i=1,n v i. x = 8 y = 21 z =.875 t =

20 3.2 Esercizio: norme matriciali. Calcolare le norme 1, e di Frobenius delle seguenti matrici: ( ) ( ) A = B = C = D = Norma 1: se M è una matrice n n, M 1 = max j ni=1 M ij. A 1 = 6 B 1 = 71 C 1 = 7 D 1 = 30 Norma : se M è una matrice n n, M = max i nj=1 M ij. A = 5 B = 83 C = 10 D = 30 Norma di Frobenius: se M è una matrice n n, M F = ni,j=1 M ij 2. A F = 27 B F = C F = 79 D F = Esercizio: numero di condizionamento. Discutere, al variare del parametro α > 0, il numero di condizionamento, in norma, della matrice ( ) 1 + α 1 A =. 1 1 La matrice inversa di A è data da A 1 = 1 ( 1 1 α 1 1 α ), 20

21 da cui si ottiene che µ (A) = A A 1 = (2 + α) 2 + α α = α α. Poiché tale funzione tende a + per α che tende a 0 e per α che tende a + e in α = 2 assume il valore minimo pari a 8, si può concludere che il condizionamento ottimo si ha per α = 2 e che la matrice A è ben condizionata se α assume valori non troppo vicini a 0 e non troppo elevati. Ad esempio: per α = 0.1 si ha µ (A) = 44.1 e per α = 10 si ha µ (A) = 14.4 (matrice ben condizionata); per α = si ha µ (A) = e per α = 1000 si ha µ (A) = (matrice mal condizionata). 3.4 Esercizio: errore inerente sistemi lineari. Siano dati la matrice A, la matrice di perturbazione δa e il vettore b ( ) ( ) ( ) A = δa = b = Calcolare le soluzioni dei sistemi Ax = b e (A + δa) x = b; inoltre, calcolare direttamente e valutare con la stima teorica l errore inerente causato dalla perturbazione δa. Dall esercizio 3.3, si ha che, ponendo α =.01, la matrice A 1 è data da ( ) A = 100, da cui si ottiene che µ (A) = = , cioè la matrice A è mal condizionata. La soluzione del sistema Ax = b è data da x = A 1 b = (300, 301) t. Sia ( ) C = (A + δa) = ;

22 dall esercizio 3.3 si ottiene che C 1 = ( e quindi la soluzione del sistema C x = b è data da x = C 1 b = (3000/14, 3014/14) t ( , ) t. È quindi possibile calcolare direttamente l errore inerente ) ; x x x ( , )t 301 = Si consideri, adesso, la valutazione della stima teorica, applicabile poiché A 1 δa < 1: Si noti che x x δa / A < µ (A) x 1 µ (A) δa / A = ( ) /( ) essendo la matrice mal condizionata, ad una perturbazione relativa di A dell ordine di corrisponde una perturbazione relativa del risultato dell ordine di ; la stima teorica dell errore inerente risulta essere eccessivamente elevata. 3.5 Esercizio: matrici triangolari. Dati la matrice T e il vettore b, T = , b = ,

23 calcolare il det T, risolvere, con il metodo di sostituzione all indietro, il sistema T x = b e calcolare T 1. Il determinante di una matrice triangolare è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale e quindi si ha che det T = 2 4 0, 5 = 4. Per risolvere il sistema, se x = (x 1, x 2, x 3 ) t, si ha che x 2 = 2 2 x 3 4 x 3 = = 6 x 1 = 1 2 x 2 7 x 3 2 = 3.5 = 17 Per calcolare le tre colonne di T 1, si risolvono, rispettivamente, i tre sistemi seguenti x 1 x 2 x 3 = = x 3 = 0 x 2 = 0 x 1 = y 1 y 2 y 3 = = y 3 = 0 y 2 = 0.25 y 1 = z 1 z 2 z 3 = = z 3 = 2 z 2 = 1 z 1 = 6 Dai sistemi precedenti si ottiene quindi che T 1 =

24 3.6 Esercizio: metodo di eliminazione di Gauss. Calcolare, con il metodo di Gauss, la soluzione del sistema Ax = b, dove A = b = Vengono elaborati contemporaneamente la matrice A e il vettore dei termini noti (A b) = (II 3I), (III + I) = (III 2II) = Risolvendo il sistema triangolare così ottenuto si ha x 3 = 10 3 x 2 = 4 50/3 = x 1 = /3 76/3 = Esercizio: Gauss con scambio di righe. Triangolarizzare, con il metodo di Gauss, la matrice A A =

25 La matrice A viene elaborata nel modo segente. A = (II + 2I), (III 4I) = (III II) =. Dopo lo scambio tra la terza e la seconda riga, dovuto al fatto di aver ottenuto il pivot nullo, la matrice così ottenuta risulta triangolare superiore. 3.8 Esercizio: inversa di una matrice. Calcolare, con il metodo di Gauss, l inversa della matrice A = Per calcolare l inversa della matrice si risolvono tre sistemi i cui termini noti sono costituiti dalle colonne della matrice identica. Si noti che non è necessario triangolarizzare tre volte la matrice, ma vengono elaborati contemporaneamente la matrice e le tre colonne dei termini noti. (A I) = (II 3/5I), (IIIinalterata) = /5 6/ / (III + 5/2II) = 25

26 /5 6/ / /2 5/2 1. Risolvendo i tre sistemi lineari così ottenuti si ottiene A 1 = Esercizio: metodo di Jacobi. Approssimare, con il metodo di Jacobi, la soluzione del sistema Ax = b, dove A = b = Il metodo di Jacobi converge per ogni scelta del vettore x 0 perché la matrice A è a diagonale dominante. La matrice di iterazione J è data da 1/ /3 1/12 J = 0 1/ = 3/8 0 1/2, 0 0 1/ /3 0 0 e il vettore q è dato da q = D 1 b = Sia x 0 = (1 0 1) t. Si ottiene che x 1 = 1/12 + 3/2 1/8 + 5/4 1/3 8/3 = 3/2 5/4 8/3 19/12 9/8 7/

27 x 3 = x 2 = 41/72 + 3/2 55/96 + 5/4 19/36 8/3 349/ /2 169/ /4 149/216 8/3 = = 149/72 65/96 77/ / / / Le iterazioni precedenti sembrano approssimare, come soluzione del sistema, il vettore 2 x = 1 ; 2 per ottenere una valutazione della precisione di tale scelta si può calcolare il residuo Ax b. Poiché, in questo caso, si ottiene un residuo nullo, il vettore x è la soluzione del sistema Esercizio: confronto metodi di Gauss e di Jacobi. Sia data la matrice A A = ; triangolarizzare A utilizzando il metodo di Gauss e calcolare la matrice di iterazione di Jacobi J. La matrice A viene elaborata nel modo segente. A = (II 1/4I), (III + 1/4I) (IV 1/4I) = 27

28 /4 1/4 1/4 0 1/4 9/4 1/4 0 1/4 1/4 7/ /4 1/4 1/ /9 2/ /9 16/ /4 1/4 1/ /9 2/ /5 (III + 1/9II), (IV 1/9II) = (IV + 1/10III) =. La matrice di iterazione J del metodo di Jacobi è data da J = D 1 (B + C), cioè 1/ / J = 0 0 1/ = / /4 1/4 1/4 1/ / / Si noti che la matrice triangolare superiore ottenuta con il metodo di Gauss non presenta più gli zeri nella parte superiore, cioè non conserva la sparsità della matrice A, mentre la matrice di iterazione J conserva la stessa struttura di A Esercizi proposti Esercizio 3.1 Dati la matrice A e il vettore x, calcolare il vettore y = Ax A = 2 3 1, x =

29 Esercizio 3.2 Calcolare (se possibile) A B, dove A = A = A = A = A = A = ( A =, B = ) ( ( ( , B = ) ), B = ), B = , B =, B = , B = Esercizio 3.3 Calcolare le norme 1, 2 e dei seguenti vettori: x = (9 5 2) y = (8 8 17) z = ( ) t = ( ) Esercizio 3.4 Calcolare le norme 1, e di Frobenius delle seguenti matrici: A = C = ( ) ( ) B = D =

30 Esercizio 3.5 Calcolare il numero di condizionamento usando la norma 1 e la norma di Frobenius delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A = B = C = Esercizio 3.6 Data una matrice A, con det 0, dire quali delle seguenti affermazioni sono vere: K(A) = A 1 A 1 K(A) = A A 1 K(A) permette di valutare il condizionamento del sistema lineare da risolvere K(A) < 0.5. Se K(A) = 156 si ha che: il sistema Ax = b è ben condizionato e la matrice A è mal condizionata la matrice è mal condizionata la matrice è stabile Se la matrice A è perturbata con una matrice δa e se il vettore b è perturbato con un vettore δb tali che δa / A = e δb / b = 0.001, stimare la variazione relativa della soluzione (errore inerente). Esercizio 3.7 Siano A = 1 g1 g2 m1 m2 a1 a2 a3 a4 b = c = ( ) dove g1g2:m1m2:a1a2a3a4 è la vostra data di nascita. a Calcolare, se possibile, Ab e/o Ac. b Calcolare A e b 1. c Se una matrice B è perturbata con una matrice B e se un vettore d è perturbato con un vettore d tali che B d B = e d = 0.018, sapendo che K(B)=5.88, stimare la variazione relativa della soluzione (errore inerente) del sistema Bx = d. 30

31 Esercizio 3.8 Sia A una matrice con numero di condizionamento in norma 1 K 1 (A) = 13. Supponendo di perturbare la matrice A e il termine noto b del sistema lineare Ax = b, stimare la perturbazione relativa della soluzione x, sapendo che le perturbazioni relative di A e di b sono minori di Esercizio 3.9 Dati la matrice T e il vettore b, T = 2 4 0, b = , Calcolare il det T, risolvere il sistema T x = b e calcolare T 1. Esercizio 3.10 Calcolare, con il metodo di Gauss, la soluzione del sistema Ax = b, dove A = b = Esercizio 3.11 Calcolare, con il metodo di eliminazione di Gauss, l inversa della matrice A A = Esercizio 3.12 Calcolare, utilizzando l algoritmo di eliminazione di Gauss, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = 3 1 0, b = Esercizio 3.13 Date la matrice A e la sua inversa A 1, A = 1 0 1, A 1 = , calcolare la soluzione del sistema Ax = b, dato il vettore b = (4, 2, 5) t ; calcolare inoltre, con il metodo di Gauss, la soluzione del sistema A(x+δx) = b + δb, con δb = ( 1, 1, 1) t e il valore δx x. 31

32 Esercizio 3.14 Data la matrice A A = risolvere, con il metodo di Gauss, i tre sistemi lineari Ax (i) = e i, i = 1,..., 3, dove e i è la i-esima colonna della matrice identità e x (i) è la i-esima colonna della matrice A 1. Calcolare, inoltre, il numero di condizionamento della matrice A in norma 1. Esercizio 3.15 Siano A = b = ( 3, 1, 1) c = ( 3 11 Dire quali dei seguenti prodotti sono calcolabili: ba, Ac, A t b, cb. Calcolare, fra i precedenti prodotti, quelli possibili. Calcolare A, b 1 e c 2. Risolvere, con il metodo di Gauss, il sistema Ax = b t. Esercizio 3.16 Dati A = b = calcolare la soluzione del sistema Ax = b utilizzando il metodo di Gauss. La matrice A è invertibile? Perché? Esercizio 3.17 Dati A = b = calcolare la soluzione del sistema Ax = b utilizzando il metodo di Gauss. La matrice A è invertibile? Perché? )

33 Esercizio 3.18 Dati la matrice A e i vettori b 1 e b 2, A = 3 1 4, b 1 = (4, 2, 1) t e b 2 = (1, 1, 1) t, calcolare la soluzione dei sistemi Ax = b 1 e Ay = b 2 con il metodo di Gauss e calcolare la norma 1 del vettore (x y). Esercizio 3.19 Calcolare, con il metodo di Gauss, l inversa della matrice Esercizio 3.20 Calcolare, utilizzando il metodo di Gauss, l inversa della matrice A = Esercizio 3.21 Data la matrice: A = calcolarne l inversa con il metodo di Gauss e il numero di condizionamento in. La matrice è ben condizionata? Esercizio 3.22 Data la matrice: A = α 4,, con 2 α 4, calcolare K (A) e il valore di α che lo minimizza. Esercizio 3.23 Calcolare, al variare del parametro α [1, 4], il minimo numero di condizionamento della matrice A in norma 1 (usare il metodo di Gauss per calcolare l inversa della matrice A). A = 4 1 α

34 Esercizio 3.24 Calcolare, usando il metodo di Gauss, l inversa della matrice A, dove α [1, 3], A = 1 3 α 2 1 2α Trovare il valore di α affinché il numero di condizionamento di A in norma 1 sia minimo. Esercizio 3.25 Calcolare, usando il metodo di Gauss, l inversa della matrice A = e calcolare il numero di condizionamento di A in norma 1. Siano inoltre b = (1, 1, 1) t, δb 1 =.001 e δa 1 =.001; trovare una maggiorazione di δx 1 x 1, (senza calcolare esplicitamente x e δx), dove x e δx sono, rispettivamente, soluzione di Ax = b e (A + δa)(x + δx) = b + δb. Esercizio 3.26 Data la matrice A α, dipendente dal parametro α, 0 < α 2, A α = ( α trovare il valore di α affinché il condizionamento di A α sia minimo in norma 1. Per tale valore di α risolvere i sistemi, ) A α x = b e A α x = b con b = ( 3 1 ) b = ( ) Calcolare x x 1 x 1 e maggiorare tale quantità con la stima teorica. 34

35 Esercizio 3.27 Approssimare, utilizzando il metodo iterativo di Jacobi, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = , b = Calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = dire qual è la soluzione del sistema. 7/4 7/4 7/4 Esercizio 3.28 Approssimare, utilizzando il metodo iterativo di Jacobi, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = ,, b = Calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = (0.5, 2.3, 0.8) t, dire qual è la soluzione del sistema. Esercizio 3.29 Approssimare, utilizzando il metodo iterativo di Jacobi, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = , b = Calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = (1, 1, 1) t, dire qual è la soluzione del sistema. Dire, inoltre, perchè il metodo converge. Esercizio 3.30 Approssimare, con il metodo di Jacobi con vettore iniziale nullo, la soluzione del sistema Ax = b, dove A = b =

36 Esercizio 3.31 Scegliere tra le due seguenti matrici A = B = quella con norma 1 minore. Calcolare due iterate del metodo di Jacobi per approssimare la soluzione di un sistema lineare con la matrice prescelta come matrice dei coefficienti e termine noto b = (6, 2, 1) t. Scegliere come vettore iniziale x 0 = (0.5, 0.5, 1) t. Esercizio 3.32 Calcolare J 1, dove J è la matrice di Jacobi costruita a partire dalla matrice B dell esercizio precedente. Esercizio 3.33 Approssimare, utilizzando il metodo iterativo di Gauss Seidel, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = , b = Dire qual è la soluzione del sistema, calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = ( 1.5, 0.5, 0.5) t Esercizio 3.34 Approssimare, utilizzando il metodo iterativo di Gauss Seidel, la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A = , b = Calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = (1, 1, 1) t, dire qual è la soluzione del sistema Esercizio 3.35 Dati la matrice A e il vettore b, dove A = 2 1 a , b = ,

37 scegliere quale valore dare al parametro a tra i seguenti { 2,.5, 1.5} affinché il metodo di Jacobi applicato al sistema lineare Ax = b converga. (Giustificare la scelta basandosi sulla teoria svolta). Usando tale valore di a, calcolando solo 3 iterazioni e scegliendo, come vettore iniziale, x 0 = (4, 1, 5) T, dire qual è la soluzione del sistema. Esercizio 3.36 Dato il sistema Ax = b, dove: 3 1 α 2 A = b = trovare un valore di α affinché sia soddisfatta la condizione sufficiente per la convergenza del metodo di Jacobi e (contemporaneamente) la norma infinito della matrice J sia minima. Inoltre, scelto un valore di α fra quelli che soddisfano le condizioni precedenti, calcolare due passi del metodo di Jacobi a partire dal vettore iniziale x 0 = ( ) t. Esercizio 3.37 Dire se i seguenti vettori sono indipendenti: v 1 = 1 v 1 2 = 2 v 1 3 = Esercizio 3.38 Dire se i seguenti vettori sono indipendenti: v 1 = 3 v 0 2 = 1 v 1 3 = Esercizio 3.39 Dire se i seguenti vettori sono indipendenti: v 1 = 1 v 7 2 = 7 v 6 3 = Esercizio 3.40 Dire se i seguenti vettori sono indipendenti: v 1 = 0 v = 0.5 v =

38 38

39 Chapter 4 Minimi quadrati discreti. 4.1 Esercizio: dati ottenuti sperimentalmente. (Esercizio tratto da: Dalhquist-Bjork, Numerical Methods.) Usando i pesi molecolari dei sei ossidi di azoto seguenti, calcolare i pesi atomici di azoto e ossigeno con 4 cifre decimali: NO N 2 O NO 2 N 2 O 3 N 2 O 5 N 2 O Indicando con n il peso atomico dell azoto e con o il peso atomico dell ossigeno, dai dati precedenti si ricava il sistema sovradeterminato Ax = b tale che [ n o ] = Passando alle equazioni normali, considerando cioè il sistema quadrato A T Ax = A T b, si ottiene ( ) [ ] [ ] n =, o la cui soluzione fornisce i valori n = (valore vero ) e (valore vero ). Si noti che un numero minore di equazioni porta al 39.

40 calcolo di valori meno accurati. Se, ad esempio si considera il sitema ( ) [ n o si ottengono n = e o = ] = [ ], 4.2 Esercizio: retta di regressione. Determinare la retta dei minimi quadrati per i dati: x y Si vuole trovare la retta y = α + βx i cui coefficienti α e β sono soluzione ai minimi quadrati del sistema sovradeterminato y i = α + βx i, i = 1,..., 5. Si ottiene allora [ α β ] = Passando alle equazioni normali si ottiene il sistema quadrato non singolare ( ) [ α β ] = [ la cui soluzione è data da α = 0.1 e β = 0.15; il grafico della retta di regressione e dei punti approssimati è riportato in figura ]. 40

41 Figure 4.1: Retta e parabola ai min. quad. 4.3 Esercizio: approssimazione parabolica. Determinare la parabola dei minimi quadrati per i dati (gli stessi dell esercizio precedente): x y Si vuole trovare la parabola y = α+βx+γx 2 i cui coefficienti α, β e γ sono soluzione ai minimi quadrati del sistema sovradeterminato y i = α+βx i +γx 2 i, i = 1,..., 5. Si ottiene allora α β γ = Passando alle equazioni normali si ottiene il sistema quadrato non singolare α β = γ la cui soluzione è data da α = 23/20, β = 129/140 e γ = 4895/27412; il grafico della parabola dei minimi quadrati e dei punti approssimati è riportato in figura

42 4.4 Esercizi proposti. Esercizio 4.1 A partire dai dati: si calcolino x y la retta dei minimi quadrati (retta di regressione); la parabola dei minimi quadrati; la cubica dei minimi quadrati (utilizzando ad esempio la funzione polyfit di MatLab); si confonti il grafico delle 3 curve precedenti discutendone il comportamento (utilizzando ad esempio la funzione plot di MatLab). Esercizio 4.2 Determinare la parabola dei minimi quadrati per i dati: x y È possibile trovare 4 valori ŷ tali che il polinomio che li interpola sui nodi x coincida con la parabola trovata? (Se sì calcolarli, se no giustificare la risposta). Esercizio 4.3 Dati i punti (1, 1), (2, 0.5), (3, 1), (4, α), calcolare per quali valori di α la retta di regressione individuata da tali punti ha coefficiente angolare positivo e interseca l asse y in un punto di ordinata positiva. Esercizio 4.4 Siano dato la matrice A e il vettore b, dove A = , b = Trovare la soluzione x ai minimi quadrati del problema Ax = b e calcolare Ax b

43 Esercizio 4.5 Dato il sistema sovradeterminato Ax = b, dove ( ) A t ( ) = b t = , calcolarne la soluzione ai minimi quadrati e calcolare la norma 2 del residuo. Esercizio 4.6 Sia dato il sistema sovradeterminato Ax = b, ( ) x1 A = x = b = Determinare α in modo tale che, risolvendo il sistema con i minimi quadrati, la norma del residuo Ax b 2 sia nulla. x 2 α 0 1 Esercizio 4.7 Dato il seguente sistema sovradeterminato Ax = b: 0 α ( ) x1 1 = 1 0 x trovare il valore di α [0, 1] affinché il condizionamento di A t A sia minimo in norma 1. Inoltre, per tale valore di α risolvere il problema ai minimi quadrati Ax = b. Esercizio 4.8 Dati una matrice A e il vettore b, A = 1 2 b = Dire se il residuo è sempre nullo dato da x dato da b Ax Risolvere le equazioni normali relative al precedente problema ai minimi quadrati Ax = b. Esercizio 4.9 Dati i punti P 0 = (1, 1), P 1 = (1.5, 2), P 2 = (2, 1), P 3 = (2.5, 3), P 4 = (3, 2.5), P 5 = (4, 4.5) trovare la retta di regressione. 43

44 44

45 Chapter 5 Interpolazione polinomiale. 5.1 Esercizio: utilizzo matrice di Vandermonde. Si consideri la funzione f tale che f(x) = sin(πx)+2 cos(πx) nell intervallo [0.5, 1.5]. Si calcolino, utilizzando la matrice di Vandermonde, i coefficienti del polinomio interpolatore di f sui nodi x 0 = 0.5, x 1 = 0.75 e x 2 = 1.5. Si calcoli, inoltre, il numero di condizionamento della matrice di Vandermonde. Per calcolare il polinomio interpolatore è necessario conoscere il valore della funzione nei nodi. In questo caso si ha che f(x 0 ) = 1, f(x 1 ) = 2/2 e f(x 2 ) = 1. Il polinomio interpolatore p 2 è di grado al più 2 ed è quindi della forma p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2. I coefficienti a 0, a 1 e a 2 sono la soluzione di un sistema di Vandermonde V a = b, dove V = , a = a 0 a 1 a 2, b = 1 2/2 1 Tale sistema può essere risolto con il metodo di eliminazione di Gauss; poiché si vuole però anche calcolare il numero di condizionamento di V, ed è quindi necessario calcolare V 1, la soluzione del sistema precedente può essere calcolata come a = V 1 b. Si ha che V 1 = /3 5/3 4 16/3 4/3 45,.

46 Figure 5.1: Interpolazione su 3 punti e quindi a = V 1 b = /3 5/3 4 16/3 4/3 1 2/2 1 = Il polinomio interpolatore della funzione f sui tre nodi precedenti è: x x La figura 5.1 rappresenta il grafico di f(x) (linea tratteggiata) e di p 2 (x) (linea continua) nell intervallo [0.5, 1.5], evidenziandone il diverso comportamento. Per verificare che il polinomio ottenuto sia veramente il polinomio interpolatore è sufficiente verificare che p 3 (x i ) = f(x i ), i = 0, 1, 2, (semplice verifica lasciata al lettore). Per quanto riguarda il numero di condizionamento della matrice V, scelta ad esempio la norma 1, si ha che µ 1 (V ) = V 1 V 1 1 = Esercizio: forma di Lagrange. Si consideri la funzione f tale che f(x) = (x+2)2 (x 3) nell intervallo [ 1, 2]. Si trovi il polinomio interpolatore di f, nella forma di Lagrange, sui nodi x 0 = 46

47 1, x 1 = 0, x 2 = 0.5 e x 3 = 2. Si studi, inoltre, il grafico del resto dell interpolazione. Per calcolare il polinomio interpolatore è necessario conoscere il valore della funzione nei nodi. In questo caso si ha che f( 1) = 0.25, f(0) = 4/3, f(0.5) = 2.5 e f(2) = 16. Il polinomio interpolatore p 3 è di grado al più 3 e viene espresso nella forma di Lagrange nel modo seguente: dove 3 p 3 (x) = L i (x)f(x i ), i=0 L 0 = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) = 2 ( x 3 5 ) 9 2 x2 + x = x(x 0.5)(x 2) ( 1)( 1.5)( 3) L 1 = (x x 0 )(x x 2 )(x x 3 ) (x + 1)(x 0.5)(x 2) = (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (1)( 0.5)( 2) = x x2 3 2 x + 1 L 2 = (x x 0 )(x x 1 )(x x 3 ) (x + 1)(x)(x 2) = (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (1.5)(0.5)( 1.5) = 8 9 (x3 x 2 2x) (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) L 3 = (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 1 (x x2 1 ) 2 x. = (x + 1)(x)(x 0.5) (3)(2)(1.5) Si ottiene allora che il polinomio interpolatore è dato da (verificare per esercizio). p 3 (x) = 5 6 x3 5 4 x2 3 2 x 4 3, 47

48 Figure 5.2: polinomio interpolatore e resto. Il resto è dato da r 3 (x) = f(x) p 3 (x) = (x + 2)2 x x x x In figura 5.2 vengono riportati, in alto, il grafico della funzione (linea tratteggiata) e del polinomio interpolatore (linea continua) e, in basso, il grafico del resto dell interpolazione (che si annulla, ovviamente, nei nodi). 48

49 5.3 Esercizio: grado minore di n. Si consideri la funzione f tale che f(x) = x sin(πx) nell intervallo [ 0.5, 1.5]. Si trovi il polinomio interpolatore di f, nella forma di Lagrange, sui nodi x 0 = 0.5, x 1 = 0 e x 2 = 1.5. Il valore della funzione nei nodi è il seguente: f( 0.5) = 0.5, f(0) = 0 e f(1.5) = 1.5. Il polinomio interpolatore p 2 è di grado al più 2 e viene espresso nella forma di Lagrange nel modo seguente: p 2 (x) = L 0 (x) f(x 0 ) + L 2 (x) f(x 2 ), poiché f(x 1 ) = 0, e quindi non è necessario calcolare L 1 (x). Si ha che L 0 = (x x 1)(x x 2 ) x(x 1.5) = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) ( 0.5)( 2) = x2 3 2 x L 2 = (x x 0)(x x 1 ) x(x + 0.5) = = 1 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) (1.5)(2) 3 x x Si ottiene allora che il polinomio interpolatore è dato da p 2 (x) = x (semplice verifica), cioè è una retta e quindi di grado strettamente minore di 2; questo si verifica perché i valori della funzione f sui nodi sono allineati. 5.4 Esercizio: punti equidistanti. Si consideri la funzione f tale che f(x) = 100 (x 1) 2 /x nell intervallo [0.5, 2.5]. Si trovi il polinomio interpolatore di f, nella forma di Lagrange, su nodi equidistanti con passo h = 0.5 e si discuta il comportamento del resto e della sua stima teorica. Poiché si considerano nodi equidistanti è conveniente effettuare il cambiamento di variabile x = t e ottenere tutti i risultati in funzione di t [0, 4]; si ottiene quindi (t 1)2 f(t) = 50 t + 1, 49

50 che deve essere interpolata sui nodi t i = i, i = 0,..., 4. Il valore della funzione f(t) sui nodi è il seguente: f(0) = 50, f(1) = 0, f(2) = 50/3, f(3) = 50 e f(4) = 90. Il polinomio interpolatore p 4 è di grado al piú 4 e viene espresso nella forma di Lagrange nel modo seguente: 4 p 4 (t) = L i (t) f(t i ), i=0 e, poiché f(t 1 ) = 0 non è necessario calcolare L 1 (t). Si ha che L 0 = (t 1)(t 2)(t 3)(t 4) ( 1)( 2)( 3)( 4) = t4 10t t 2 50t + 24, 24 L 2 = L 3 = L 4 = t(t 1)(t 3)(t 4) 2(2 1)(2 3)(2 4) = t4 8t t 2 12t, 4 t(t 1)(t 2)(t 4) 3(3 1)(3 2)(3 4) = 7t t 2 8t t4, 6 t(t 1)(t 2)(t 3) 4(4 1)(4 2)(4 3) = t4 6t t 2 6t. 24 Si ottiene allora che il polinomio interpolatore è dato da (semplice verifica): p 4 (t) = 5 3 t t t t 50. Nel grafico in alto della figura 5.3 vengono riportati gli andamenti di f (linea tratteggiata) e del suo polinomio interpolatore (linea continua) in funzione di t; nel grafico in basso vengono confrontati gli andamenti del polinomio τ 4 (t) = t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) (linea tratteggiata) e del resto (linea continua). Per quanto riguarda la stima teorica del resto si ha che r 4 (t) = f (V ) (ξ) 5! τ 4(t), dove f (V ) = ξ 6, ξ [0.5, 2.5] 50

51 Figure 5.3: Interpolazione su punti equidistanti è la dervata quinta di f calcolata rispetto alla x. Poiché ξ non è noto, è possibile solo stimare il valore assoluto del resto: essendo 1 decrescente e ξ 6 positiva, si ha che 1 ξ 6 = 1 ξ 6 < 1 = 64 in [0.5, 2.5] (0.5) 6 e quindi r 4 (t) < τ 4 (t) = 200 τ 4 (t). 32 5! Se, ad esempio, si vuole stimare il resto in t = 0.5, si ha che r 4 (t) < =

52 5.5 Esercizi proposti Esercizio 5.1 Si consideri la funzione f tale che f(x) = cos 2 (πx) x 3 nell intervallo [ 1, 1]. Si calcolino, utilizzando la matrice di Vandermonde, i coefficienti del polinomio interpolatore di f sui nodi x 0 = 1, x 1 = 1/4 e x 2 = 1. Si calcoli, inoltre, il numero di condizionamento in norma 1 della matrice di Vandermonde. Esercizio 5.2 Sia f una funzione tale che f(0) = 0, f(1) = 2, f(2) = 5 e f(3) = 0. Calcolare il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e valutarlo nel punto 2. Esercizio 5.3 Data la funzione f, f(x) = cos(π x) + sin(π x), trovare il polinomio che interpola f sui nodi x 0 = 1,x 1 = 1.5 e x 2 = Calcolare esattamente il resto nel punto ˆx = In base a tale risultato qual è il polinomio interpolatore per f passante per i nodi ˆx e x 0, x 1 e x 2? Giustificare la risposta (non sono necessari calcoli ulteriori). Esercizio 5.4 Dati i nodi x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 4 e i valori: f(x 0 ) = f(x 3 ) = 3, f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 calcolare il polinomio che li interpola e commentare il grado del polinomio ottenuto. Esercizio 5.5 Sia a un parametro appartenente all intervallo [3, 9]. Calcolare il polinomio interpolatore p(x) della funzione f(x) = sin(πx)+a cos(πx) utilizzando i nodi x 0 = 1, x 1 = 0 e x 2 = 0.5. Scegliere, inoltre, il valore di a [3, 9] affinché il valore di p( 0.5) f( 0.5) (dipendente da a) sia minimo. Esercizio 5.6 Dati 5 nodi e i corrispondenti valori di una funzione, dire quale/i delle seguenti affermazioni è/sono vere: Il polinomio P (x) che li interpola ha sempre grado 4 Il polinomio P (x) che li interpola ha al più grado 4 Il polinomio P (x) che li interpola ha al più grado 5 il resto si annulla sui nodi 52

53 Calcolare il polinomio che interpola i punti P 0 = (1, 1),P 1 = (2, 1), P 2 = (3, 0). Esercizio 5.7 Dati i punti P 0 = (1, 1), P 1 = (2, 4), P 2 = (3, 5), dire quale/i delle seguenti affermazioni è/sono vere: Il polinomio P (x) che li interpola ha grado 2 Il polinomio P (x) che li interpola ha al più grado 2 Il polinomio P (x) che li interpola ha al più grado 3 Il polinomio P (x) che li interpola è tale che P (3) = 5 Il polinomio P (x) che li interpola è tale che P (5) = 3 Il valore assoluto del resto può essere maggiorato dalla formula R 2 (x) M f(x) P 2 (x) /3! dovem = max f (x) Il valore assoluto del resto può essere maggiorato dalla formula R 2 (x) M (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) /3! dovem = max [x 0,x 2 ] f (x) Esercizio 5.8 Sia f una funzione tale che f(x) = x 5 3x 4 + 2x Calcolare il polinomio interpolatore sui nodi x 0 = 0, x 1 = 2 e x 2 = 3 e valutare, mediante la stima teorica, il valore assoluto dell errore commesso in x = 1. Esercizio 5.9 Sia f una funzione tale che f(x) = 2 x + x 2 8. Calcolare il polinomio interpolatore p(x) sui nodi x 0 = 1, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3; calcolare, inoltre, il valore assoluto dell errore commesso approssimando il valore f(0) con p(0) e stimare tale valore assoluto con la valutazione teorica dell errore. (Si ricorda che la derivata di 2 x è 2 x log e (2)). Esercizio 5.10 Interpolare tra [0, 1.5] la funzione f(x) = e x ( x 2 + 6x 9) sui nodi x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 1.5. Scelto ˆx = 0.5 calcolare, in valore assoluto, l errore commesso approssimando f(ˆx) con il valore del polinomio interpolatore in ˆx. Valutare, inoltre, sempre in valore assoluto, la stima teorica dell errore. 53

54 Esercizio 5.11 Sia f una funzione tale che f(x) = x+2 x ; verificare che il polinomio q(x) = 1 15 x x x è interpolatore per f nei punti x 0 = 1, x 1 = 2.5, x 2 = 3, x 3 = 4. Valutare, mediante la stima teorica del resto, il valore assoluto dell errore commesso nel punto x = 0.5 approssimando f(0.5) con q(0.5). Esercizio 5.12 Interpolare la funzione f, f(x) = 3 sin 2 (x) cos(x) sin(x)+ 2, sui nodi x 0 = 0, x 1 = π/6 e x 2 = π/2. Valutare l errore commesso in x = π/3 utilizzando la stima teorica del valore assoluto del resto. Esercizio 5.13 Sia f tale che f(x) = log 2 (x + 1) + 3x nell intervallo [0, 3]. Si trovi il polinomio interpolatore di f, nella forma di Lagrange, sui nodi x 0 = 0, x 1 = 1 e x 2 = 3. Esercizio 5.14 Sia f tale che f(x) = 2e 8x nell intervallo [0, 0.5]. Si trovi il polinomio interpolatore di f, nella forma di Lagrange, su nodi equidistanti con passo h = 1/4 e si discuta il comportamento del resto e della sua stima teorica. Esercizio 5.15 Data la funzione f(x) = sin(πx)+cos(πx), calcolare il polinomio che la interpola sui nodi x 0 = 0.5, x 1 = 2/3, x 2 = 1.5 e valutare, con la stima teorica, il valore assoluto dell errore commessoin ˆx = 1. Esercizio 5.16 Sia f una funzione tale che f(x) = x 5 + 2x 4 2x 2 x + 3. Calcolare il polinomio interpolatore sui nodi x 0 = 1, x 1 = 1 e x 2 = 2 e valutare, mediante la stima teorica, il valore assoluto dell errore commesso in x = 1.5. Esercizio 5.17 Sia f una funzione tale che f(x) = 2x 4 + αx 3 x + 1 con α 0 e sia p il polinomio che la interpola sui nodi x 0 = 0, x 1 = 1 e x 2 = 2. Calcolare il valore del parametro α affinchè l errore f(x) p(x) sia minimo nel punto x = 0.5. Utilizzando tale valore di α valutare, mediante la stima teorica, l errore commesso in x = 1.5. Esercizio 5.18 Sia f una funzione tale che f(1) = 1.5 2, f(2) = 4 2, f(3) = 8.5 2, calcolare il polinomio interpolatore passante per tali punti. Inoltre, se f è definita nel modo seguente f(x) = cos ( π 4 x) + x 2 2 scrivere un espressione per il resto dell interpolazione. 54

55 Esercizio 5.19 Sia f una funzione tale che f(0) = 0, f(.5) = 2/3, f(1) = 1 e f(2) = 4/3. Calcolare il polinomio interpolatore nella forma di Lagrange e valutarlo nel punto 2. Stimare inoltre l errore commesso nel punto x = 3/2, sapendo che la derivata quarta della funzione è data da f (4) = 48/(1+x) 5. 55

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57 Chapter 6 Funzioni non lineari. 6.1 Esercizio: metodo di bisezione. Con il metodo di bisezione, se applicabile, approssimare lo zero della funzione non lineare f, f(x) = xe x + e, nell intervallo [ 2, 1]. La soluzione esatta dell equazione f(x) = 0 è α = 1; poiché f( 2) = 2e 2 + e < 0, f(1) = e 1 + e > 0 e la funzione f è continua, è possibile approssimare α con il metodo di bisezione. Siano a 0 = 2 e b 0 = 1; nel seguito vengono riportate in dettaglio la prime iterazioni. Prima iterazione. c 0 = a 0 + b 0 2 Ampiezza intervallo: b 0 a 0 = 3. Stima errore: b 0 a 0 2 = 1.5. Errore vero: c 0 α = 0.5. Poiché f(c 0 ) = 0.5e e > 0, si ha = 0.5 a 1 = a 0 = 2 b 1 = c 0 = 0.5. Seconda iterazione. c 1 = a 1 + b 1 2 Ampiezza intervallo: b 1 a 1 = 1.5. Stima errore: b 1 a 1 2 = Errore vero: c 1 α = =