La dinamica dei fluidi

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1 a dinamica dei fluidi 1 Intoduzione: tii di moto e linee di flusso ibo di testo: a 15.8 Equazione di continuità ibo di testo: a Equazione di enoulli ibo di testo: a 15.1 Viscosità e moto di un fluido ideale I fluidi, e come sono definiti, non doebbeo esentae esistenza al moto di scoimento; nei fluidi eali si ossea inece una foma di attito inteno fa stati adiacenti di fluido che si oone allo scoimento dell uno sull alto che chiameemo iscosità. Nei liquidi la iscosità è incialmente douta alle foze di coesione fa le molecole, mente nei gas è oocata essenzialmente dagli uti fa le molecole. Un fluido eale è etanto caatteizzato da un coefficiente di iscosità definito oeatiamente come segue. Consideiamo due laste igide iane, una fissa e l alta tenuta in moimento con elocità costante, al cui inteno si toa uno stato di fluido eale di sessoe l fig. 1. e molecole di fluido a contatto con la lasta in moto tendeanno a muoesi con la stessa elocità, mente quelle a contatto con la lasta fema tendeanno a estae feme: ciò detemina una distibuzione di elocità all inteno del fluido ossia un gadiente di elocità d/dy. y l = aea di contatto F al Fig. 1 x Si ossea seimentalmente che e aee = cost bisogna agie con F al = cost e quindi, e la seconda legge della dinamica, dee esseci una foza, douta alla iscosità, F, tale che: Fal F Fal F Fal F. 1

2 Seme seimentalmente si toa, detta l aea della sueficie di contatto fa fluido e la lasta mobile, che:.1 F Fal. Il coefficiente di iscosità è e definizione la costante di oozionalità nella.1: F. F. Unita di misua: N m N s Kg Pa s nel sistema MKS. m m / s m m s iene usato anche il Poise, P = 1-1 Kg/ms Più in geneale, oiché non seme il gadiente di elocità è lineae la. si scie:.3 d F doe si assume che sia indiendente da. dy Il aloe di diende dal fluido e, dato un fluido, diende fotemente dalla temeatua. lcuni aloi tiici sono dati in tabella: Fluido T C Kg/ms cqua cqua cqua Gliceina Olio motoe lcool Si noti che i coefficienti di iscosità, sono molto minoi dei coefficienti di attito dinamico fa solidi. Pe questo, se due suefici igide deono scoee una sull alta, si inteone fa esse uno stato di fluido lubificazione e idue l attito totale.

3 5 Il flusso laminae dei fluidi eali a iscosità intoduce imotanti diffeenze nel moto di un fluido eale isetto a quello di un fluido ideale. Consideando il flusso di un fluido ideale fig. a e di un fluido eale fig. b in tubo cilindico oizzontale di sezione costante, si ha: fluido ideale costante nella sezione = Fig a fluido eale aiabile nella sezione > Fig b Notiamo che a causa della iscosità: a è necessaia una diffeenza di essione = fa le estemità del tubo e aee un flusso di fluido. b lo scoimento del fluido uò essee descitto come il moto di tanti stati sottili e aalleli alle aeti del tubo che si muoono aallelamente ta loo con elocità cescenti mente ci aicina al cento del condotto fig. 3 detto moto laminae. 1 3 flusso Fig. 3 1 < < 3 < Se = cost, le elocità di ogni singolo stato estano costanti oeo la distibuzione delle elocità non cambia nel temo e si ha un moto laminae stazionaio. Oiamente la coisondente otata non uò essee iù calcolata semlicemente come e in aticolae isulta <. Se la elocità di flusso è alta e/o la diffeenza di essione molto eleata, il moto non è iù laminae ma tubolento con una otata T <. a otata diminuisce eché le foze di attito sono molto maggioi in esenza di tubolenze. Un esame iù dettagliato di quanto succede è fuoi gli scoi di queste lezioni. 3

4 6 Calcolo della otata e un flusso laminae stazionaio in un tubo cilindico Consideiamo un tubo cilindo di aggio lungo, in cui scoe un fluido eale in moto laminae stazionaio fig.. a elocità in esso ha una distibuzione con =, = max. Soffemiamoci su una ozione di fluido in gigio in fig. contenuta in un cilindo di aggio <. Essendo il moto stazionaio, segue che e ogni dee essee: = cost F. est e foze agenti se tale ozione sono: a la foza douta alla essione sulla base : F = b la foza douta alla essione sulla base : F = F est c la foza di iscosità sulla aete lateale S: F est F F F V d F V S con S=. d a ecedente, essendo tutte le foze aallele all asse del cilindo, diiene: F F F V = F f = max f F d Poiché diminuisce mente aumenta,,e quindi FV, è imlicitamente negatia, d etanto sciiamo: d d π d d d d.

5 5 uesta esessione fonisce la aiazione di elocità d quando il aggio aumenta di d, il segno meno mette in eidenza che la elocità diminuisce mente il aggio aumenta. Integando fa e toiamo la coisondente diffeenza di elocità: d d e icodando che =, segue: 6.1. a 6.1 mosta che la distibuzione delle elocità ha un andamento aabolico con, con massimo in =. In una coona cicolae di aggio e +d, di aea d=d, la elocità uò essee consideata costante e ai a e ossiamo calcolae etanto la elatia otata d come elocità e aea d = d 6. 8 a 6., detta legge di Poiseuille, ci emette di calcolae la otata e un flusso laminae in un tubo cilindico; come ea oio asettasi essa è diettamente oozionale alla diffeenza di essione e unità di lunghezza, /, e +d a otata totale si ottiene sommando tutti i contibuti d al aiae di da ad d d d d d d d 3

6 inesamente oozionale alla iscosità. Il fatto inatteso è la diendenza dalla quata otenza del aggio e quindi ne consegue che è fotemente influenzata da una iccola aiazione di. equazione 6., alicata al fluido sangue, è fondamentale nella fisiologia degli essei ienti. Essa è usata e esemio e temostatasi egolando il flusso di sangue sulla sueficie del coo aiando imecettibilmente la sezione dei caillai. Inolte essa siega l ineitabile l aumento di essione ateiosa con l'aanzae dell età, la quale genealmente comota una iccola iduzione della sezione delle ateie. 6