CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

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1 RRISIH D SOIZIO bbiamo visto che la trave uò essere definita come un solido generato da una figura iana S (detta seione retta o seione ortogonale) che si muove nello saio mantenendosi semre ortogonale alla traiettoria descritta dal suo baricentro G, che è detta asse della trave, ed in generale non è una retta. ffinché la trave così generata si ossa classificare come monodimensionale è necessario che la lunghea dell asse della trave sia molto maggiore delle dimensioni delle seioni. In tale caso tutte le rorietà geometriche della generica seione ossono essere attribuite al corrisondente unto della linea d asse. In questo modo er analiare il comortamento della trave ci si uò riferire alla sola linea d asse. a trave è caratteriata dal fatto che la linea d asse ha una forma ben definita che uò essere rettilinea o curva. a trave si dice iana se il suo asse aartiene ad un iano. bbiamo inoltre visto che iù elementi strutturali ossono essere connessi fino a formare una struttura iù comlessa. elle successive alicaioni continueremo ad occuarci di sistemi iani di travi er lo studio dei quali utilieremo un modello meccanico rigido. Per illustrare ulteriormente il concetto di schema strutturale, che sia raresentativo della struttura reale, faremo ricorso a semlici esemi. a rima figura mostra un ortale in cemento armato costituito da due elementi collegati al suolo mediante due cerniere e tra loro da una cerniera interna. Il modello geometrico viene definito da una linea che materialia la linea d asse, mentre i vincoli esterni sono raresentati con il loro modello di cerniera. ella seguente figura viene mostrato un altro esemio in cui l elemento ortante la sovrastruttura viene schematiato mediante il sistema di travi rigide che è sufficientemente raresentativo della realtà ai fini del calcolo delle raioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitaione. Se ai recedenti modelli si aggiunge lo schema raresentativo delle aioni esterne che gravano sulla struttura, si uò giungere a determinare le reaioni vincolari sia interne che esterne. ulla è stato erò ancora detto su quello che accade in una seione intermedia della struttura. In altre arole, in molte circostane sorge il roblema di individuare l assetto statico di orioni di trave e quindi di definire le aioni mutue che arti della trave si scambiano tra loro. 1

2 Dato un sistema di travi sollecitato da aioni esterne, una volta determinate le reaioni vincolari, si deve rocedere alla determinaione dell interaione che si scambiano due seioni contigue di una generica trave aartenente al sistema. In altre arole, una volta verificato che l equilibrio della trave, sorge il roblema di individuare l assetto statico di orioni di trave e quindi di definire le aioni mutue che arti della trave si scambiano tra di loro. quindi imortante determinare l aione meccanica, suosta esclusivamente di contatto, che due arti di un coro rigido seionate da un assegnato iano si scambiano. ome vedremo tali interaioni ossono semre essere ricondotte ad un vettore fora ed un vettore momento agenti su ciascuna seione che equivalgono alle aioni interne che si scambiano gli elementi infinitesimi della suerficie delle due facce a contatto. F i asse della trave S R S asse della trave R S S Il roblema uò essere formulato nel seguente modo: data una trave vincolata, in equilibrio sotto l aione delle fore esterne e delle reaioni vincolari suoste note, si vogliono determinare le interaioni che si scambiano due seioni infinitamente vicine della trave stessa. ali interaioni ossono essere determinate, in accordo al rinciio di aione e reaione, da consideraioni di equilibrio, una volta che la trave è stata divisa in due arti mediante un taglio lungo la seione considerata. onsideriamo quindi una trave iana, suosta iniialmente in equilibrio, ed in una generica seione s si suone di oerare un taglio che divide la trave in due orioni, I e II. a seione doo aver oerato il taglio resenta due facce, S I e S II. In accordo al rinciio di aione e reaioni, nella situaione integra, le due orioni si trasmettono delle fore mutue uguali e contrarie. Una volta effettuato il taglio, rimuovendo la arte II, er conservare l equilibrio della orione I, è necessario alicare nella seione S I l aione che la arte II esercitava sulla I rima del distacco. ella seione S I le aioni che la orione II trasmette alla orione I ossono essere ricondotte ad un risultante R S di tutte le fore agenti su II alicato sul baricentro G S della seione S I e ad un momento risultante S, ari al momento risultante delle stesse fore risetto a G S. Per cui R S e S raresentano risettivamente la fora ed il momento equilibranti di tutte le fore agenti sulla orione I di trave. Inoltre, le fore (in senso generaliato) R S e S ossono essere anche considerate come risultanti delle fore (in generale fore e coie) agenti sulla orione II. F II i F I i I asse della trave S I G S S R S S R S G S S II II S R S asse della trave R S S

3 nalogamente le aioni -R S e - S che la orione I esercita sulla orione II ossono essere considerate sia come equilibranti delle fore agenti sulla orione II, sia come risultanti delle fore agenti sulla orione I. I vettori R S e S hanno nello saio tre comonenti ciascuno che ossono essere riferite ad una terna cartesiana ortogonale O(x,,). Se invece le comonenti dei vettori R S e S sono riferite ad un articolare sistema cartesiano locale, tali comonenti sono definite caratteristiche della sollecitaione. a terna locale ha gli assi orientati come indicato in figura, facendo cioè riferimento alla seione S I : x I G S S I S R S G S II S S II x R S in cui: l asse assante er G S ha direione ortogonale al iano della seione e quindi è tangente in G S alla linea d asse della trave e verso uscente dalla orione di trave; l asse x ha direione ortogonale al iano contenente gli assi e, quindi tangente al iano della seione, e verso ositivo quando un osservatore imersonificato nell asse e con i iedi sul iano x, vede l asse x sovraorsi all asse comiendo una rotaione antioraria secondo l angolo iù iccolo; l asse ha direione ortogonale al iano contenente gli assi x e, quindi tangente al iano della seione, e verso ositivo quando un osservatore imersonificato nell asse x e con i iedi sul iano, vede l asse sovraorsi all asse comiendo una rotaione antioraria secondo l angolo iù iccolo Una volta fissati i versi ositivi degli assi locali relativi alla faccia S I, quelli relativi alla faccia S II si scelgono oosti in modo tale che scomonendo R S e S risetto agli assi locali relativi a S I, o scomonendo gli oosti di R S e S risetto agli assi locali relativi alla faccia S II, i segni delle comonenti corrisondenti non variano. Scomonendo R S secondo agli assi locali x,, relativi a S I, si ottengono le seguenti comonenti: G S x R S x in cui: è la comonente secondo l asse e si definisce sforo normale; è la comonente secondo l asse e si definisce sforo di taglio secondo ; x è la comonente secondo l asse x e si definisce sforo di taglio secondo x; Scomonendo invece il vettore momento S secondo i medesimi assi si ottengono le seguenti comonenti: è la comonente secondo l asse e si definisce momento torcente; è la comonente secondo l asse e si definisce momento flettente secondo ; x è la comonente secondo l asse x e si definisce momento flettente secondo x; e medesime caratteristiche della sollecitaione ossono essere ottenute comonendo gli oosti di R S e S secondo gli assi locali relativi a S II. 3

4 G S S x x Si noti che le caratteristiche della sollecitaione sono relative all aione che globalmente viene trasmessa attraverso l intera seione trasversale, e quindi non dicono nulla sull entità delle aioni locali nei vari unti della seione. In un sistema iano, ad esemio nel iano, le caratteristiche della sollecitaione della trave si riducono a tre:,, x che si definiscono semlicemente sforo normale, sforo di taglio, e momento flettente. In articolare, definito il riferimento locale relativo a S I tale che l asse sia tangente alla linea d asse e l asse ad esso ortogonale, lo sforo normale e lo sforo di taglio raresentano le comonenti della risultante di tutte le fore a destra della seione S I (cioè la risultante di tutte le fore agenti sulla orione II) secondo l asse e l asse risettivamente. Il momento flettente raresenta invece la comonente secondo l asse x del momento risultante risetto a G S di tutte le fore agenti sulla orione II. nalogamente se si fa riferimento alla orione S I. F I F II R F I S I R R S = S S = S R S S II F II ell iotesi di sostamenti infinitesimi è ossibile calcolare le caratteristiche della sollecitaione in una trave attraverso le sole condiioni di equilibrio sulla configuraione indeformata. Ricaitolando, er determinare le caratteristiche di sollecitaione si rocede nel seguente modo: Si considera una generica seione normale della trave. Si riduce al olo G S (baricentro della seione) il sistema delle fore attive e reattive che agiscono sulla arte che recede la seione trasortando ogni fora nel unto G S e aggiungendo la corrisondente coia di trasorto. a sollecitaione nella seione è quindi definita dalla fora risultante R S e dal momento risultante S, risetto al olo G, delle fore attive e delle reaioni vincolari che recedono la seione. Si osserva che R S e S raresentano l aione che la arte di coro che recede la seione trasmette alla arte di coro che segue la seione Sostando la seione lungo l asse del coro, la sollecitaione varia. Questo come conseguena dello sostamento del olo di riduione G S e della resena di nuove fore nella arte del coro che recede la seione considerata. 4

5 Scomonendo R S e S nel sistema di riferimento locale si ottengono le caratteristiche della sollecitaione,,. Si costruiscono a questo unto i diagrammi delle caratteristiche della sollecitaione che sono la raresentaione grafica dell andamento di queste caratteristiche al variare della osiione della seione lungo l asse della trave. In relaione alla figura recedente, si rendono in consideraione tutte le fore, reaioni comrese, che agiscono sul tronco di sinistra risetto alla seione S e si effettua: ai fini del calcolo dello sforo normale, la somma delle loro comonenti secondo la tangente in S all asse della trave (asse er la trave iana); ai fini del taglio, la somma delle comonenti secondo la normale in S all asse della trave (asse ); e ai fini del momento flettente la somma dei momenti risetto al baricentro G S di S. e caratteristiche si ossono ricavare rendendo tutte le fore, reaioni comrese, che agiscono sul tronco a sinistra di S ed effettuando la loro somma secondo le tre direioni. e corrisondenti comonenti vettoriali raresentano l aione che la orione a sinistra di S esercita su quella a destra e cioè l aione che la orione che sta dalla arte negativa degli assi di riferimento locale esercita su quella che sta dalla arte ositiva. Pertanto sforo normale, taglio e momento flettente sono da ritenersi ositivi se le comonenti in arola hanno verso oosto agli assi della terna locale. S G x o sforo normale è ositivo se di traione (se genera traione nel concio elementare), negativo se di comressione. Il taglio è ositivo se tende a far ruotare la arte su cui agisce in senso orario (se tende a far ruotare il concio elementare in senso orario). Il momento flettente è ositivo se di verso oosto a x (cioè se il verso di rotaione è orario). Il momento flettente è ositivo se roduce traione nelle fibre che si trovano dalla arte ositiva dell asse. Si uò anche indicare che il momento flettente è ositivo se equivale ad una coia che tende le fibre inferiori e comrime quelle sueriori del concio elementare (er travi ad asse non oriontale la arte inferiore della trave, detta anche intradosso, viene di solito indicata con un tratteggio). Prendendo in consideraione le fore che agiscono sul tronco a destra si considerano ositive le caratteristiche della sollecitaione se le comonenti sono ooste a quelle sora indicate. In un coro rigido è ossibile determinare solo le caratteristiche globali del sistema di fore di contatto, non la loro distribuione untuale. Determinate le sollecitaioni, esistono infatti infinite distribuioni di fore equilibrate equivalenti: il roblema è erciò staticamente indeterminato. e caratteristiche della sollecitaione sono le grandee duali delle distorsioni, così come le reaioni vincolari sono le grandee duali dei cedimenti vincolari. e sollecitaioni sono determinabili in modo univoco, solo se la trave è monoconnessa. Infatti, se la trave è luriconnessa, eslicitando il vincolo di continuità non si divide il coro in due arti, cosicché il numero delle equaioni di equilibrio non aumenta. a trave luriconnessa è quindi staticamente indeterminata er vincoli interni. 5

6 aso articolare ma di notevole imortana, erché in esso rientrano molte delle alicaioni tecniche, è quello della trave ad asse rettilineo. In questo caso, rendendo ad esemio in esame travi rettilinee oriontali, si assumo come riferimenti ositivi quelli raresentati nella seguente figura: In articolare, mentre nei diagrammi delle comonenti e si secifica semre il segno ositivo o negativo, il diagramma del momento, indiendentemente dal segno, va semre disegnato dalla arte delle fibre tese. onsideriamo l esemio in figura costituito da una mensola soggetta all estremo ad una fora verticale F 1 ed una fora oriontale F. Per ogni seione S della trave esistono le aioni interne, che vengono dunque ad essere funioni dell ascissa. Doo aver calcolato le reaioni vincolari, si effettua un taglio in una generica seione individuata dall ascissa. Si searano le due arti di trave e si mettono in evidena le aioni interne. F 1 F Si mette in equilibrio una delle due arti, referibilmente quella che conduce a conti iù semlici. onviene scrivere equaioni di equilibrio alla traslaione lungo le direioni tangenti e erendicolari all asse della trave e alla rotaione attorno a G(). Si ottengono così tre equaioni disaccoiate: la rima fornisce direttamente (), la seconda (), la tera (). Parte di destra + F = F : ( ) = ( ) : ( ) F 1 = ( ) = F1 G() (+antiorario): ( ) F ( ) ( ) F ( ) Parte di sinistra F 1 G() () F 1 () 1 = = 1 : F + ( ) = ( ) = F : F 1 ( ) = ( ) = F1 G() (+antiorario): ( ) + F F ( ) F ( ) 1 1 = F () F 1 F F () () F 1 G() () = 1 F 1 F F 1 Doo aver ottenuto l andamento analitico delle aioni interne se ne tracciano i grafici. F () F 1 () F 1 () 6

7 onsideriamo ora l esemio di una trave aoggiata soggetta ad una distribuione uniforme di carico. onsideriamo ora il tratto di sinistra recedente la generica seione S: R + = = R x S S = R + + = = R R =/ onsideriamo ora il tratto di destra: x S R =/ + R = = R + S = R = = R / + / /8 Relaioni differeniali tra i carichi riartiti e le caratteristiche della sollecitaione in sistemi di travi iane rettilinee quaioni indefinite di equilibrio Per il tracciamento dei diagrammi sono molto utili le relaioni differeniali tra carico riartito e caratteristiche della sollecitaione. e caratteristiche, e variano generalmente da seione a seione, erciò risultano funione dell ascissa della seione considerata: = Ν() = Τ() = Μ() e equaioni indefinite di equilibrio esrimono il legame esistente, in ogni seione, fra i carichi esterni distribuiti e le caratteristiche di sollecitaione, e tra il momento flettente e lo sforo di taglio, affinché in ogni seione vengano soddisfatte le condiioni di equilibrio. Si cercherà quindi di stabilire delle relaioni, che saranno di tio differeniale, tra carichi e caratteristiche della sollecitaione. Si consideri un tratto di una generica trave soggetto ad un carico distribuito () erendicolare all asse della trave e ad un carico distribuito assiale n() secondo l asse della trave (er semlicità 7

8 non si considera il contributo di un sistema di coie distribuite, oco diffuso nelle alicaioni). Si immagini di isolare un tratto elementare (infinitesimo) della trave, definito da due seioni S 1 ed S disoste a distana infinitesima d (comreso tra la seione di ascissa e quella di ascissa +d.). Suonendo di trovarsi in condiioni di debole curvatura della trave, le due facce del tratto elementare ossono essere considerate arallele. d n() () S 1 S O asse della trave +d Diagramma () +d Diagramma () +d Diagramma () +d Una volta oerati i due tagli necessari er isolare l elemento di trave, er il rinciio di aione e reaione sul concio elementare agiranno le fore indicate nella figura seguente. n() () +d +d +d S 1 +d S d Il tratto elementare d è quindi soggetto ad un carico distribuito () ortogonale all asse della trave e ad un carico distribuito assiale n() secondo l asse della trave. 8

9 Sulla faccia corrisondente alla seione S 1 agiscono: il taglio ed il momento (che suoniamo ositivi) e lo sforo normale (che suoniamo ositivo, cioè di traione). Questi valori sono equivalenti a tutte le fore esterne che recedono la seione S 1. Sulla faccia corrisondente alla seione S, infinitamente vicina alla seione S 1, agiscono le caratteristiche della sollecitaione +d, +d ed +d, dove d, d e d sono risettivamente le variaioni infinitesime delle caratteristiche, ed corrisondenti all incremento d dell ascissa. +d, +d ed +d sono equivalenti a tutte le fore esterne che seguono la seione S. e equaioni di equilibrio del tratto elementare forniscono le relaioni differeniali cercate: = F + n( ) d + ( + d) = (1) = F + ( ) d + ( + d ) = () d = + d ( ) d ( + d ) = (3) dove: n()d è il risultante del carico riartito assiale distribuito sulla lunghea infinitesima d. ssendo d infinitesimo, è ossibile considerare n() costante in tale tratto e ari al valore che assume all ascissa (seione S 1 ). ()d è il risultante del carico riartito erendicolare all asse distribuito sulla lunghea infinitesima d, anche in questo caso è lecito considerare () costante e ari al valore che assume all ascissa (seione S 1 ), il suo risultante sarà ertanto alicato a metà del tratto d e cioè a distana d/ dal unto. I momenti orari sono considerati ositivi e quelli antiorari negativi. Dalla (1) si ha: d + n( ) d + ( + d) = = n() d ovvero: ( ) ( ) ( ) ( + d) ( ) + + d + n d = + n( ) = d d al limite er d + n( ) = d Dalla () si ottiene: d + ( ) d + ( + d ) = = () d ovvero: ( ) ( ) ( ) ( + d) ( ) + + d + d = + ( ) = d d al limite er d + ( ) = d Dalla (3) risulta: d d + ( ) + ( + d ) = trascurando l infinitesimo di ordine sueriore d ( ), si ha d + + d = d = d ovvero: ( ) ( ) ( ) d d d ( ) d = + d d ( ) ( ) ( + d) + ( ) d = 9

10 d al limite er d = d Infine, sostituendo d d = nella esressione = () si ottiene anche che: d d d = ( ) d Riassumendo, le tre relaioni differeniali trovate stabiliscono che: la derivata dello sforo normale risetto alla variabile è uguale al carico riartito assiale: d = n() ; d la derivata dello sforo di taglio risetto alla variabile è uguale al carico riartito normale all asse della trave, cambiato di segno. Quindi, la derivata del diagramma del taglio (endena della curva) è uguale, ma con segno oosto, al valore del carico riartito () alla stessa d ascissa. = () ; d la derivata del momento flettente risetto alla variabile è uguale allo sforo di taglio. Perciò, la derivata del diagramma dei momenti flettenti (endena) è uguale al valore del taglio alla stessa ascissa d =. d Dalle tre recedenti esressioni differeniali si ricavano le caratteristiche della sollecitaione nella generica seione S di ascissa s : s s s = n( ) d + s ( ) d + 1 = s = d + le costanti, 1 e si determinano in base alle condiioni iniiali (raresentano le caratteristiche della sollecitaione all origine dell asse ). d ultima relaione trovata, = ( ), stabilisce infine che la derivata seconda del momento d flettente è ari alla comonente secondo del carico distribuito cambiata di segno. Osservaioni: 1) ei tratti scarichi (()=) il taglio è costante o nullo ed varia linearmente o è costante. Infatti con ()= risulta: = 1 = costante o nullo xs = + = + 1d 1 s Il momento flettente è costante soltanto se è nullo lo sforo di taglio ) ei tratti soggetti a carichi distribuiti (() ) ed variano con leggi continue: se ()=costante varia con legge lineare (rimo grado) varia con legge di secondo grado (arabolica) se () varia con legge lineare varia con legge di secondo grado varia con legge di tero grado s 1

11 Si osservi che la funione del taglio cresce di un grado risetto al carico riartito, e che la funione del momento flettente cresce di un grado risetto al taglio. 3) elle seioni in cui lo sforo di taglio si annulla, il momento flettente risulta massimo (derivata rima nulla, derivata seconda negativa) o minimo (derivata rima nulla, derivata seconda ositiva). + 4) Se in un tratto della trave il taglio è nullo (=), il momento flettente è costante. 5) Se lo sforo di taglio è diverso da ero ( ), esiste semre il momento flettente (uò annullarsi in qualche seione ma non in un tratto finito). 6) a comonente trasversale (ortogonale all asse della trave) di un carico concentrato P roduce, una discontinuità nel diagramma dello sforo normale, una discontinuità nel diagramma del taglio, e un unto angoloso nel diagramma del momento flettente (figura a). In corrisondena di una coia concentrata il diagramma del momento resenta un salto ari alla coia, mentre rimane inalterato il taglio (figura b). P =P + = =tgα P + =tgα =tgβ α β α (a) (b) 7) Il diagramma di carico () fornisce er ogni unto dell asse della trave l inclinaione della tangente al diagramma di (). Il diagramma di () fornisce a sua volta l inclinaione della tangente al diagramma (). > ()> + = > endena negativa d/d< d/d> d/d= d/d< 11

12 8) In corrisondena del unto di nullo del diagramma di carico il diagramma della fora tagliante ha un unto di staionarietà è il momento flettente ha un unto di flesso (o una singolarità di ordine sueriore). 9) a fora tagliante è massima se il carico è crescente (d/d>), è minima se il carico è decrescente (d/d<). In corrisondena del unto in cui () interseca l asse il diagramma del momento flettente ha un unto di staionarietà, che è un unto di massimo se >, di minimo se è <, di flesso se è = e d/d. d 1) a relaione = ( ) indica la concavità del diagramma del momento flettente. d () () d d < d d > a endena in un unto del diagramma di taglio è quindi data, a meno del segno, dall intensità locale del carico riartito. a endena in un unto del diagramma dei momenti raresenta la fora di taglio in quel unto. a tangente al diagramma del momento in ogni seione viene data dal valore del taglio nella stessa seione. l taglio ositivo corrisonde un coefficiente angolare negativo (\), mentre al taglio negativo corrisonde un coefficiente angolare ositivo (/). Si vuole infine far rilevare che nel tracciare i diagrammi delle caratteristiche della sollecitaione bisogna semre verificare che le varie arti della struttura risultino in equilibrio. d esemio nei nodi (unti angolosi) dell asse della trave, è necessario verificarne l equilibrio. ell esemio in figura er il nodo sarà necessario verificare che F = e F =. 3 odo 1 odo odo 3 rave 1 rave rave 3 Inoltre, er quanto riguarda il momento flettente, se il nodo è tra due aste e non vi sono coie concentrate, esso assumerà lo stesso valore. In tale caso il diagramma del nodo si rosegue ribaltando il valore del momento valutato a sinistra o a destra del nodo, erendicolarmente all asse del tratto successivo restando attenione alla arte dove le fibre sono tese. Si dovrà verificare in questo caso che =. 1

13 el caso invece di nodi sottoosti a coia concentrata esterna, nel nodo si avrà una discontinuità di valore ari alla coia esterna. odo odo ei nodi ove concorrono iù di due aste, er l equilibrio del nodo, la somma algebrica dei momenti valutati in corrisondena del nodo stesso deve essere nulla. e relaioni differeniali, se associate ad oortune condiioni ai limiti imonibili in articolari seioni in cui le caratteristiche siano note a riori, si restano alla determinaione delle leggi di variaione delle caratteristiche stesse sena assare attraverso la reventiva valutaione delle reaioni vincolari. Rirendiamo in esame la trave aoggiata vista in recedena. d d Integrando due volte ambo i membri della = ( ) e tenendo conto della = ( ), si ha: d d d = = + 1 = d e condiioni imoste dai vincoli sono ()=()=, da cui si ottiene: = 1 = che forniscono quindi: = = ( ) onsideriamo ora il tratto di sinistra recedente la generica seione S: R + = = R x S S = R + + = = R R =/ onsideriamo ora il tratto di destra: S x R =/ + R = = R + S = R = = R 13

14 Il valore dello sforo di taglio in una data ascissa raresenta il valore della tangente trigonometrica dell angolo che la tangente in quel unto al diagramma del momento flettente forma risetto alla fondamentale. In articolare se lo sforo di taglio è ositivo, l angolo che la tangente trigonometrica forma con la fondamentale di riferimento è, assumendo ositiva una rotaione oraria, minore di 9 ; se invece il taglio è negativo, l angolo risulta maggiore di 9. ei unti in cui il diagramma del taglio è nullo il momento ha ovviamente tangente geometrica arallela alla fondamentale. tgα + α<9 γ= β>9 Dal recedente diagramma si uò inoltre notare che nei tratti in cui il taglio è costante, la endena del diagramma del momento flettente è costante, mentre al crescere del taglio, nei tratti a taglio variabile linearmente, la endena della tangente al diagramma del momento aumenta (la endena della tangente al diagramma del momento diminuisce al diminuire del taglio). SPIO 1: ensola soggetta a carico uniformemente riartito Determinaione delle reaioni vincolari: R = R = = (verso antiorario) on riferimento alla figura si ha che in una generica seione di ascissa le esressioni delle caratteristiche di sollecitaione sono: Sforo normale. Poiché R = lo sforo normale è nullo. R = =( )/ s s R = =( )/ s aglio Per una generica seione s a distana s dall origine (unto ) lo sforo di taglio risulta uguale al risultante di tutte le fore esterne (attive e reattive) che recedono la seione esaminata. Si ricorda che lo sforo di taglio è ositivo quando fa ruotare in senso orario il concio elementare (a ciò corrisonde l asse illustrato in figura: tutte le fore che sono orientate nel verso ositivo dell asse roducono una rotaione oraria). = R s = s 14

15 Poiché il carico è uniformemente riartito, come atteso, il taglio è una funione di rimo grado in. Per s = (unto ) = (in il taglio è dato direttamente dalla reaione ortogonale alla linea d asse) Per s = (unto ) = Si noti che in, estremo libero, il taglio è ero in quanto non ci sono alicate direttamente fore in direione verticale. omento flettente Il momento flettente è definito come il momento risultante, risetto al baricentro della seione considerata, di tutte le fore esterne (attive e reattive) che agiscono sulla arte di trave che recede la seione, in questo caso occorre tenere conto della resena del momento di incastro. ssumiamo ositivi le coie che tendono le fibre inferiori (l asse ositivo del momento sarà quindi quello indicato in figura). Si ha quindi: s s = + R s s = + s ome si uò notare l equaione del momento è l equaione di una arabola di secondo grado. d D altra arte, ricordando la relaione =, essendo il taglio descritto da un equaione di rimo d grado, il momento sarà di un ordine sueriore. iò oteva anche essere ricavato ricordando d l esressione che lega direttamente momento flettente e carico riartito: = ( ). d Per s = (unto ) = (è negativo in quanto tende le fibre sueriori) Per s = (unto ) = Possiamo quindi disegnare i diagrammi, ricordando che il diagramma del momento flettente si disegna semre dalla arte delle fibre tese: = + =( )/ ssendo il taglio ositivo e decrescente, la endena della tangente alla curva del momento è semre negativa e decrescente. Quindi la concavità è rivolta verso l alto. SPIO : rave aoggiata con carico riartito lineare Si consideri una trave aoggiata agli estremi e soggetta ad un carico riartito crescente con legge lineare da ero al valore massimo. 15

16 on riferimento alla figura, la legge di variaione del carico () è: () = dove è il carico unitario massimo er = 1 Inoltre, il risultante del carico riartito che recede una seione di ascissa vale () = e dista /3 dalla seione considerata. e reaioni dei vincoli si ossono determinare mediante le equaioni di equilibrio e risultano (R =): R = R = 6 3 Si osservi che non essendoci fore (attive e/o reattive) agenti arallelamente all asse della trave, lo sforo normale è nullo. Per stati di sollecitaione iani, lo sforo di taglio in una seione generica s è uguale al risultante delle comonenti verticali di tutte le fore (attive e reattive) che recedono la seione. ()= / s R = /6 s Quindi nella seione s corrisondente all ascissa, si ha: = R = = 6 6 Si osserva che, essendo il carico distribuito linearmente, lo sforo di taglio varia con legge di secondo grado. Per stati di sollecitaione iani, il momento flettente nella seione generica è dato dal momento risultante risetto al baricentro della seione di tutte le fore (attive e reattive) che recedono la seione considerata. Quindi il momento flettente nella seione s a distana da risulta: = R = 3 = Il momento flettente è quindi descritto da una arabola del tero ordine. ascissa corrisondente al massimo momento flettente si ottiene dalla condiione = (la seione in cui lo sforo di taglio si annulla resenta il massimo, in valore assoluto, momento flettente): = = 6 = = = 3 essendo = 6 3, er = si ha:,max.64 e caratteristiche della sollecitaione si ossono anche ottenere mediante l integraione delle relaioni differeniali tra le caratteristiche della sollecitaione e i carichi riartiti, ovvero tramite le equaioni indefinite di equilibrio: 16

17 s s s = n( ) d + s ( ) d + 1 = s = d + s el caso della trave aoggiata con carico riartito triangolare, essendo ()=, si ha: s s s = + = + = + = s s d d dove è il valore dello sforo di taglio er = (aoggio ) che corrisonde alla reaione R. s s 3 + = s = + = s d d s 6 6 dove è il valore del momento flettente er = (aoggio ) che è nullo ( =). P /6 + P /3.577 = / 3 max =.64 SRIZIO 1 Valutare i diagrammi,, er il sistema di travi in figura soggetto ad un carico uniformemente riartito. D Struttura Schema di calcolo 17

18 Procediamo innanitutto al calcolo delle reaioni vincolari: D R R x R ΣF x = R x = Σ = R 4 = R = ΣF = 4 + R + = R = Rieilogo reaioni D R = R x = R = R = Sforo ormale. o sforo normale è resente solo nella trave ed è =. Per determinare tale valore si oera un taglio in corrisondena di una seione s artendo indifferentemente dal unto o dal unto, considerando un ascissa coincidente con l asse della trave. Se artiamo da, dobbiamo innanitutto ridurre tutto il sistema di fore che recede la seione al unto. Si trasorteranno cioè tutte le fore che recedono la seione nel unto. ome noto al trasorto di una fora segue in generale la nascita di un momento di trasorto che verrà considerato nel diagramma del momento flettente. In questo caso interessa determinare le comonenti delle fore nella direione dell asta. D R = s 4 s R = s = = (di comressione) Si uò constatare che si ottiene lo stesso risultato artendo iù convenientemente dal unto. 18

19 D Per quanto riguarda lo sforo di taglio, è conveniente artire dal unto er il coro, dal unto er il tratto, dal unto D er il tratto D e dal unto er il tratto. = = = = + = = D = D = = = = cost. = 4 = = D Si noti che nel unto il diagramma resenta una discontinuità ari al valore della reaione vincolare. Per quanto riguarda il momento flettente si arte dagli stessi unti considerati er il taglio. = = = = + = = D = D = = = = = = = 4 = = / D quilibrio nodo 19

20 Ricaitolando, si osserva che se la struttura include tratti ad asse inclinato gli sfori normali e di taglio devono essere valutati risetto agli assi locali di ogni singolo tratto. Si osservi che il vettore momento (momento flettente) risulta semre ortogonale al iano di riferimento e erciò non cambia al variare dell orientamento degli assi locali. Per la valutaione delle caratteristiche della sollecitaione si rocede analiando ciascun tratto. ll iniio di ogni tratto dovrà tenersi conto della sollecitaione resente nel unto i origine degli assi locali, cioè sarà considerata la riduione risetto a tale unto di tutte le fore attive e reattive che agiscono sulla arte recedente della struttura. onsideriamo ora la seguente trave aoggiata, in cui una arte del carico riartito grava su un tratto inclinato di trave (in questo caso di 45 ). R = R c = Una volta ricavata le reaioni vincolari, er rocedere con il calcolo delle caratteristiche della sollecitaione è necessario scomorre il carico riartito nelle comonenti trasversale ed assiale al tratto. Infatti il carico è definito con riferimento alla roieione oriontale mentre la linea d asse del tratto è inclinata risetto all oriontale. ale carico, definito er unità di lunghea oriontale, uò essere ricondotto all ascissa arallela all asse della trave e decomosto in una comonente q ortogonale all asse della trave ed una comonente n arallela all asse, entrambe riferite all unità di lunghea inclinata (1/cosα). α senα cosα q = cos α n = senαcosα comonente trasversale comonente assiale α q /cosα 1 1/cosα n q = q() = cosα = cos α 1 cosα n = n() = senα = senα cosα 1 cosα

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