Alberi di copertura minimi

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Florindo Carella
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1 Albr d coprtur mnm

2 Sommro Albr d coprtur mnm pr grf pst Algortmo d Kruskl Algortmo d Prm

3 Albro d coprtur mnmo Un problm d notvol mportnz consst nl dtrmnr com ntrconnttr fr d loro dvrs lmnt mnmzzndo crt vncol sull connsson Un smpo clssco è qullo dll progttzon d crcut lttronc dov s vuol mnmzzr l qunttà d flo lttrco pr collgr fr loro morstt d dvrs componnt

connsson Un smpo clssco è qullo dll progttzon d crcut lttronc dov

4 Albro d coprtur mnmo Il problm può ssr modllto con un grfo non orntto connsso n cu l ntrconnsson sono rch pst (u,v) dov l pso spcfc l costo pr connttr u con v L soluzon dl problm consst nll dtrmnzon d un sottogrfo cclco T E ch conntt tutt vrtc n modo d mnmzzr l pso totl w(t)=σ (u,v) T w(u,v) Dto ch T è cclco collg tutt vrtc dv ssr un lbro Tl lbro è chmto lbro d coprtur mnmo o mnmum spnnng tr MST

dtrmnzon d un sottogrfo cclco T E ch conntt tutt vrtc n modo d mnmzzr l pso totl w(t)=σ (u,v) T

5 Esmpo

6 Unctà L lbro d coprtur mnmo non è unco Ad smpo s possono dr du lbro d coprtur mnm pr l grfo n sm

7 Algortmo gnrco Vrrnno llustrt du lgortm d tpo grdy o golos: Algortmo d Kruskl Algortmo d Prm L pprocco grdy consst nllo scglr fr pù ltrntv qull pù convnnt sul momnto Not: n gnrl non è dtto ch n ogn tpo d problm qusto port d un soluzon globlmnt ottm. Pr l soluzon dl problm dll lbro d coprtur mnm un soluzon grdy concd con un soluzon globlmnt ottm

gnrl non è dtto ch n ogn tpo d problm qusto port d un soluzon globlmnt ottm.

8 Arco scuro L d è d ccrscr un sottonsm A d rch d un lbro d coprtur ggungndo un rco ll volt Ad ogn psso s dtrmn un rco ch può ssr ggunto d A mntnndo l proprtà pr A d ssr un sottonsm d rch d un lbro d coprtur Un rco d qusto tpo è dtto rco scuro

ch può ssr ggunto d A mntnndo l proprtà pr A d ssr un

9 Psudocodc Gnrc-MST(G,w) A whl A non form un lbro d coprtur 3 do trov un rco scuro (u,v) A A {(u,v)} 5 rturn A

10 Algortm concrt Pr potr mplmntr l lgortmo gnrco bbmo bsogno d dtrmnr gl rch scur Pr crttrzzr gl rch scur dobbmo ntrodurr lcun dfnzon: un tglo (S,V-S) d un grfo non orntto G=(V,E) è un prtzon d V un rco ttrvrs l tglo s uno d suo strm è n S l ltro è n V-S un tglo rsptt un nsm d rch A s nssun rco d A ttrvrs l tglo un rco lggro è un rco con pso mnmo

G=(V,E) è un prtzon d V un rco ttrvrs l tglo s uno d suo strm è n S l ltro è n V-S un

11 Vsulzzzon d conctt Arco lggro ch ttrvrs l tglo Tglo Insm A: rch n grgo l tglo rsptt A

12 Arch scur L rgol pr rconoscr gl rch scur è dt dl sgunt: Torm: S G=(V,E) un grfo non orntto connsso con un funzon pso w vlor rl dfnt su E. S A un sottonsm d E contnuto n un qulch lbro d coprtur mnmo pr G. S (S,V-S) un qulunqu tglo ch rsptt A. S (u,v) un rco lggro ch ttrvrs l tglo. Allor l rco (u,v) è scuro pr A

S A un sottonsm d E contnuto n un qulch lbro d coprtur mnmo pr G.

13 Vsulzzzon rco non scuro prché tglo non rsptt Arco scuro Arco non scuro

14 Vsulzzzon rco non scuro prché non lggro Arco non scuro Arco scuro

15 Arch scur Dmostrzon: s T l lbro d coprtur mnmo ch contn A l rco (u,v) o pprtn T, qund è scuro pr A oppur non pprtn T: n qusto cso frmo vdr ch sosttundo un rco (x,y)n T con l nuovo rco (u,v) ottnmo un T ch è smpr un lbro d coprtur mnmo, nftt: dv ssrc un ltro rco (x,y) d T ch ttrvrs l tglo prché T è un nsm connsso su tutt vrtc (un qulss tglo non rsptt T) qund dv ssrc un prcorso fr u v ch sono d prt oppost dl tglo noltr (x,y) non è n A prché l tglo rsptt A s costrusco T com T-(x,y)+(u,v) ho crto un nsm connsso con costo complssvo d T ch copr tutt vrtc ch h costo mnmo qund dv ssr un lbro d coprtur mnmo n prtc (u,v) dv ssr un rco con costo quvlnt (x,y)

vrtc (un qulss tglo non rsptt T) qund dv ssrc un prcorso fr u v ch sono d prt oppost dl tglo noltr (x,y) non è n A prché l tglo rsptt A s costrusco T com

16 Arch scur cos' bbmo ftto vdr ch (u,v) ' scuro pr un sottonsm d T', m no voglmo fr vdr ch (u,v) ' scuro pr A n T non n T', m... s T è un lbro d coprtur mnmo llor dto ch A è comprso n T ch (x,y) non r n A llor A è nch comprso n T nftt l unco cmbmnto d T n T è stto solo pr l rco (x,y) (u,v) ch non sono n A, gl ltr rch sono rmst nltrt d consgunz ggungr (u,v) d A mntn A un sottonsm dll lbro d coprtur (T qust volt) dunqu è un rco scuro pr A

.. s T è un lbro d coprtur mnmo llor dto ch A è comprso n T ch (x,y) non r n A llor A è nch comprso n T nftt

17 Arch scur Corollro: S G=(V,E) un grfo non orntto connsso con un funzon pso w vlor rl dfnt su E. S A un sottonsm d E contnuto n un lbro d coprtur mnmo pr G S C un componnt connss (un lbro) nll forst G A =(V,A) S (u,v) è un rco lggro ch conntt C qulch ltr componnt n G A llor (u,v) è scuro pr A Dmostrzon: l tglo (C,V-C) rsptt A: qund l rco lggro (u,v) è un rco scuro pr A pr l torm prcdnt

forst G A =(V,A) S (u,v) è un rco lggro ch conntt C qulch ltr componnt n G A llor (u,v) è scuro

18 Algortmo d Kruskl L d dll lgortmo d Kruskl è d ngrndr sottonsm dsgunt dll lbro d coprtur mnmo connttndol fr d loro fno d vr l lbro complssvo In prtcolr s ndvdu un rco scuro d ggungr ll forst scglndo un rco (u,v) d pso mnmo tr tutt gl rch ch connttono du dstnt lbr (componnt connss) dll forst L lgortmo è grdy prché d ogn psso s ggung ll forst un rco con l pso mnor possbl

ll forst scglndo un rco (u,v) d pso mnmo tr tutt gl rch ch connttono du dstnt lbr (componnt

19 Algortmo d Kruskl L d è ch, com rchsto dll lgortmo strtto: ogn componnt connss n A pprtn ll lbro d coprtur unndo componnt connss trmt rch lggr (pr l corollro) s stnno ggungndo rch scur d ogn fuson d componnt connss stmo spndndo A s può contnur fno qundo non s sono cqust tutt vrtc dl grfo

(pr l corollro) s stnno ggungndo rch scur d ogn fuson d componnt connss

20 Implmntzon L lgortmo prsntto è sml qullo usto pr clcolr l componnt connss S us un struttur dt pr nsm dsgunt Ogn nsm contn vrtc d un lbro dll forst corrnt S può dtrmnr s du vrtc pprtngono llo stsso lbro vrfcndo l'guglnz dgl lmnt rpprsntnt rsttut d Fnd-St S fondono du lbr trmt l Unon

dll forst corrnt S può dtrmnr s du vrtc pprtngono llo stsso lbro

21 Psudocodc Kruskl MST-Kruskl(G,w) A for ll v n V[G] 3 do Mk-St(v) ordn gl rch d E pr pso w non dcrscnt 5 for ll (u,v) n E n ordn d pso non dcrscnt do f Fnd-St(u) Fnd-St(v) thn A A {(u,v)} Unon(u,v) rturn A

22 Spgzon dllo psudocodc L ln -3 nzlzzno l nsm A con l nsm vuoto crno V lbr, uno pr ogn vrtc l ln ordn gl rch pr pso nll ln 5- l cclo for controll ch vrtc d ogn rco pprtngno d lbr dvrs n cso ffrmtvo l rco vn ggunto d A l ln fond du lbr n un unco nsm Not: s vrtc pprtnssro llo stsso lbro collghrmmo du vrtc d un lbro ottnndo un cclo, fcndo vnr mno l condzon d cclctà dl sottogrfo d rcoprmnto

23 Vsulzzzon

24 Vsulzzzon

25 Vsulzzzon

26 Vsulzzzon

27 Anls Il tmpo d scuzon pr l lgortmo d Kruskl dpnd dll rlzzzon dll struttur dt pr nsm dsgunt S s utlzz l rlzzzon con forst con l urstch dl rngo dll comprsson d cmmn: l nzlzzzon rchd O(V) l tmpo ncssro pr ordnr gl rch è O(E lg E) n totl s fnno O(E) oprzon sull forst d nsm dsgunt (O(E) fnd-st O(E) unon), ovvro complssvmnt un tmpo O(E) In totl l tmpo d scuzon dll lgortmo d Kruskl è O(V+E lg E + E)=O(E lg E)

28 Algortmo d Prm L lgortmo d Prm procd mntnndo n A un sngolo lbro (un sngol componnt connss) L lbro prt d un vrtc rbtrro r (l rdc) crsc fno qundo non rcopr tutt vrtc Ad ogn psso vn ggunto un rco lggro ch collg un vrtc n A con un vrtc n V-A Pr l corollro qust rch sono scur pr A qund qundo l lgortmo trmn, n A v è un lbro d coprtur mnmo Anch qusto lgortmo è grdy poché l lbro vn stso d ogn psso scglndo l rco d pso mnmo tr qull possbl

29 Algortmo d Prm In qusto cso A h un unc componnt connss ch è l ntro lbro d coprtur ch st crscndo Il tglo (A, V-A) rsptt A.. qund pr l corollro qulss rco lggro ch ttrvrs l tglo è un rco scuro

30 Algortmo d Prm Pr vr un lgortmo ffcnt s dv prstr ttnzon com rndr fcl l sclt d un nuovo rco d ggungr d A Qusto vn ftto mmorzzndo tutt vrtc ch non sono nll lbro n costruzon n un cod con prortà Q Pr ogn nodo l prortà è bst su un cmpo ky[v] ch contn l mnmo tr ps dgl rch ch collgno v d un qulunqu vrtc dll lbro n costruzon Pr ogn nodo s ntroduc un cmpo prnt p[x] ch srv pr potr rcostrur l lbro

31 Algortmo d Prm L nsm A è mntnuto mplctmnt com A={(v,p[v]) : v n V - {r} - Q} Qundo l lgortmo trmn Q è vuot l lbro d coprtur n A è dunqu: A={(v,p[v]) : v n V - {r}}

32 Psudocodc Prm MST-Prm(G,w,r) Q V[G] for ll u n Q 3 do ky[u] ky[r] 0 5 p[r] NIL whl Q do u Extrct-Mn(Q) for ll v n Adj[u] do f v n Q nd w(u,v)<ky[v] thn p[v] u ky[v] w(u,v)

33 Spgzon psudocodc L ln - nzlzzno l cod Q con tutt vrtc pongono l ttrbuto ky pr ogn vrtc d cczon dl vrtc r pr l qul ky[r]=0 n modo d strrr r com lmnto mnmo nll fs nzl durnt l'lgortmo A ' mplctmnt costtuto dgl rch (v,p[v]) con v nll nsm V-Q, co' l'lbro d coprtur n costruzon h vrtc n V-Q l ln dntfc un vrtc u ncdnt su d un rco lggro ch ttrvrs l tglo (V-Q,Q) s lmn u d Q lo s ggung vrtc dll lbro

34 Spgzon psudocodc L ln - ggornno cmp ky p d ogn vrtc v dcnt u ch non pprtn ncor ll lbro durnt l'scuzon dll'lgortmo l cmpo ky[v] rpprsnt smpr l costo mnmo tr ps dgl rch ch collgno v d un qulunqu vrtc dll lbro n costruzon qust proprt' è prsrvt prché s s trov un rco ch collg v con l lbro d costo nfror, s ggorn ky l nuovo vlor mnmo durnt l'scuzon dll'lgortmo s ggorn l vlor ky d nod dcnt l nodo sotto sm ch vrrà nsrto nll lbro d coprtur

35 Spgzon dllo psudocodc Al cclo succssvo s smnrà l cod Q s trovrà ch uno d v smnt prcdntmnt è dmnuto tnto d ssr l vrtc con chv pù pccol llor s ggungrà mplctmnt v ll lbro, fssndo l rlzon pdr-fglo mglor trovt s procdrà d spndr l frontr d vrtc dcnt v, stblndo nuov potnzl rlzon pdr-fglo

36 Vsulzzzon ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky=

37 Vsulzzzon ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky= ky=

38 Vsulzzzon

39 Anls L ffcnz dll lgortmo d Prm dpnd d com vn rlzzt l cod con prortà Q s Q vn rlzzt con uno hp bnro: s us Buld-Hp pr l nzlzzzon n tmpo O(V) l cclo ll ln vn sguto V volt d ogn oprzon Extrct-Mn è O(lg V) pr un totl d O(V lg V) l cclo ll ln vn sguto n tutto O(E) volt prch' l somm dll lunghzz d tutt l lst d dcnz ' E l controllo d pprtnnz ll ln può ssr sguto n O() usndo un mtodo d ndrzzmnto drtto l ssgnzon ll ln mplc un oprzon d Dcrs-Ky mplct sullo hp ch cost O(lg V) Il tmpo totl è prtnto un O(V+V lg V + E lg V) = O(E lg V) sntotcmnt gul qullo pr l lgortmo d Kruskl

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