Preparazione al compito di geometria (Semiretta, Retta, Angoli)

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1 Preparazione al compito di geometria (Semiretta, Retta, Angoli) Semiretta Per definire una semiretta, prendiamo una retta ed un punto P su di essa: Tale punto dividerà la retta in due parti; ciascuna di queste due parti prendee il nome di semiretta. Possiamo quindi affermare che: si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Una definizione equivalente accettata soprattutto alla scuola media è la seguente: una semiretta è retta avente un inizio ma non una fine; Il punto O della figura precedentee prende il nome di: punto d'origine della semiretta. Segmento Come si definisce un segmento Prendiamo un foglio di carta e su di esso riportiamo due punti A e B. Uniamo poi questi due punti con l'aiuto di un righello Otterremo così una linea dritta (in arancione) delimitata tra due punti (in blu) ). Essa è proprio quella che in Geometria si dice segmento. Ora che abbiamo capito cos'è e come si disegna un segmento, vediamone la definizione rigorosa: un segmento è una parte di retta delimitata da due suoi punti, detti estremi del segmento. Presa ad esempio la retta r (in blu) su di essa fissiamo due punti C e D. La retta si dividerà, in questo modo in tre parti. La parte compresa tra i punti C e D (in arancio) sarà il segmento di estremi C e D. Un segmento si indica affiancando le due lettere maiuscole che formano i suoi estremi con sopra una linea. Così, ad esempio, scriveremo per indicare il segmento della figura precedente. Pag. 1 di 7

2 Proprietà dei segmenti Segmenti sovrapposti: due segmenti si dicono sovrapposti se comune e tutti i punti di quello minore stanno su quello maggiore. hanno un estremo in Segmenti coincidenti: se due segmenti hanno entrambi gli estremi in comune si dicono coincidenti. Segmenti congruenti: due segmenti si dicono congruenti se, una volta sovrapposti, sono coincidenti. Segmenti esterni: sono segmenti che non hanno punti in comune. Segmenti incidenti: se due segmenti hanno in comune un punto che non è un estremo per entrambi allora essi si dicono incidenti ed il punto comune si dice punto di intersezione tra i due segmenti. Segmenti consecutivi: due segmenti si dicono consecutivi se hanno un solo estremo in comune. Se i segmenti dovessero avere in comune un punto che non sia però l'estremo allora essi non sono consecutivi; quindi ad esempio i seguenti segmenti non sono consecutivi Pag. 2 di 7

3 Segmenti adiacenti: due segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti. Possiamo anche dire : Se due segmenti sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta allora essi si diranno adiacenti Per capire bene come devono essere disposti prendiamo due segmenti. Affinché essi siano due segmenti adiacenti devono avere un estremo in comune (cioè devono essere segmenti consecutivi) e devono giacere sulla stessa retta, come mostrato nella seguente figura Puoi notare che non conta la disposizione o l'inclinazione che diamo. La cosa importante è che gli estremi dei segmenti siano allineati e due di essi coincidano. Punto medio di un segmento Definizione: si chiama punto due segmenti uguali. medio del segmento AB il punto che divide il segmento in Dato un segmento costruire un punto che lo divida a metà (in due segmenti uguali) ) Asse di un segmento Si definisce asse di un segmento la retta ad esso perpendicolare e passante per il suo punto medio. Prendiamo quindi un segmento AB e troviamone il punto medio M. La retta che passa per il punto medio M del segmento e che forma un angolo retto con esso è l'asse del segmento AB: Per come si costruisce, l'asse di un segmento è asse di simmetria per esso. Inoltre l'asse di un segmento può essere definito come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi A e B del segmento stesso. Pag. 3 di 7

4 Per intenderci: 1) qualsiasi punto P si prende sull'asse esso avrà la stessa distanza dagli estremi A e B, cioè AP e PB sono due segmenti congruenti e 2) se un punto ha la stessa distanza dagli estremi di un segmento, esso, necessariamente, apparterrà al suo asse. Costruiamo l asse di un segmento Con il compasso Con squadra e righello Angoli Che cos'è un angolo? Nel piano, consideriamo due semirette che hanno la stessa origine O. Esse suddividono il piano in due regioni distinte, dette regione angolare piana o semplicemente "angolo". Chiamiamo angoli ciascuna delle parti in cui un piano è diviso da due semirette che hanno la stessa origine. Chiameremo lati dell'angolo le due semirette e vertice la loro origine comune. Nell'immagine, abbiamo colorato i due angoli con il colore rosa e con il colore azzurro. E' necessario fare una piccola precisazione: dalla definizione e dal disegno comprendiamo che una coppia di semirette con l'origine in comune permettono di costruire due angoli e non solo uno: come facciamo a distinguerli? Ci facciamo furbi! Utilizziamo degli archetti che congiungono i lati dell'angolo che vogliamo evidenziare. A seconda che ci interessi un angolo oppure l'altro, basterà indicare l'angolo con un archetto o con una coppia di archetti. Potremo così indicare solo uno dei due angoli oppure entrambi, come abbiamo fatto in figura. Pag. 4 di 7

5 Angoli concavi e angoli convessi Il prossimo passo da fare è quello di effettuare una prima classificazione degli angoli. Possiamo distinguerli in angoli concavi e in angoli convessi. Un angolo si dice - convesso quando al suo interno non contiene il prolungamento dei suoi lati. - concavo quando contiene il prolungamento dei suoi lati. Guardiamo un momento l'immagine: ci accorgiamo subito che il prolungamento dei lati vive nella regione di piano di colore rosa, di conseguenza essa rappresenta un angolo concavo, la parte azzurra invece indica un angolo convesso! Angolo piatto, angolo giro e angolo nullo E' ora di fare un piccolo passo avanti, introduciamo quelli che si chiamano solitamente angoli fondamentali: angolo piatto, angolo giro e angolo nullo! Chiameremo - angolo piatto, l'angolo i cui lati sono semirette opposte (ampiezza 180 ); - angolo giro, l'angolo i cui lati sono semirette coincidenti e comprende tutti i punti del piano (ampiezza 360 ); - angolo nullo, l'angolo i cui lati sono semirette coincidenti e non ha al suo interno alcun punto del piano (ampiezza 0 ). Classificazione di coppie di angoli C'è un'ulteriore classificazione che vale la pena di menzionare. Nulla di difficile, questa volta però riguarda le coppie di angoli (e non i singoli angoli) e tornerà molto utile nel seguito, soprattutto per indicare certi tipi di coppie di angoli nelle applicazioni e nei problemi. - Angoli consecutivi: se hanno il vertice e un lato e in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto al lato comune; Attenzione! Richiamo l'attenzione sul fatto che i due lati non in comune devono stare da parti opposte rispetto al lato comune. Per chiarire ancor meglio il tutto esaminiamo le seguenti tre coppie di angoli: Partiamo dalla figura 1): i due angoli (quello rosso e quello blu) hanno in comune il vertice O ed il lato b. Gli altri due lati (il lato a ed il lato c) stanno da parti opposte rispetto al lato comune b. Pertanto sono consecutivi. Pag. 5 di 7

6 Prendiamo ora in esame la figura 2): i due angoli non hanno il vertice in comune. Questo basta per concludere che non sono consecutivi. Passiamo ora alla coppia più delicata, quella della figura 3). A prima vista potrebbero sembrare consecutivi, ma non lo sono. Perché? Aguzziamo la vista! L'angolo blu è formato dal vertice O e dai lati a e c. L'angolo in rosso è invece formato dal vertice O e dai lati a e b. I due angoli hanno quindi lo stesso vertice ed il lato a in comune, ma gli altri due lati (b e c) non stanno da parti opposte rispetto al lato comune e quindi non sono consecutivi. - Angoli adiacenti: se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta (o, sono semirette opposte); Questa è la definizione. Come possiamo esprimerla a parole più semplici? Basta ricordare cosa si intende per angoli consecutivi e quindi dire che: Due angoli sono adiacenti se hanno un lato ed un vertice in comune e gli altri due lati giacciono sulla stessa retta, da parti opposte rispetto al lato comune. Invece di un solo esempio grafico voglio riportarne tre in modo da farti capire bene come si possono riconoscere due angoli adiacenti e come non cadere in stupidi errori: La figura 1) rappresenta due angoli adiacenti. L'angolo blu e l'angolo rosso hanno infatti il vertice O ed il lato b in comune (sono cioè consecutivi) e gli altri due lati (il lato a ed il lato c) stanno sulla stessa retta da parti opposte rispetto al lato comune. Per quanto riguarda gli angoli nella figura 2) possiamo concludere immediatamente che essi non sono adiacenti per il semplice fatto che non hanno nulla in comune. La figura 3) rappresenta sì due angoli consecutivi, ma non sono adiacenti in quanto i lati non in comune (a e c) non stanno sulla stessa retta. - Angoli opposti al vertice: se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro (gli angoli opposti al vertice sono uguali); - Angoli esplementari: se sono distinti e hanno i lati in comune (la loro somma è 360 ). Bisettrice di un angolo La bisettrice di un angolo si definisce come la semiretta, con origine nel vertice dell'angolo, che lo divide in due parti uguali: Ciascun angolo (concavo o convesso) ammette un'unica bisettrice. Possiamo inoltre definire la bisettrice di un angolo come il luogo geometrico dei punti del piano aventi la stessa distanza dai due lati dell'angolo. Pag. 6 di 7

7 Per intenderci: 1- se prendiamo un punto P sulla bisettrice e PA e PB sono le distanze di P dai due lati dell'angolo allora PA e PB sono due segmenti congruenti; 2- se un punto P (interno all'angolo considerato) è tale che la sua distanza dai due lati è uguale (ovvero PA=PB) allora il punto P appartiene necessariamente alla bisettrice dell'angolo. Costruiamo la bisettrice di un angolo Con il compasso Con squadra e righello Bibliografia: Pag. 7 di 7