La modellazione delle strutture

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1 La modellazione delle strutture 1

2 Programma Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti La modellazione della geometria La modellazione degli elementi strutturali I collegamenti ed i vincoli La modellazione dei g.d.l. ed i materiali La modellazione dei carichi L'analisi della struttura L'interpretazione dei risultati La validazione del calcolo 2

3 Componenti essenziali di un modello 1. Elemento lineare Tipo di elemento (bielle) Nodi di riferimento Materiale Geometria sezione Vincoli interni - collegamenti 4. Sistema di riferimento locale 2. Coordinate Nodi x, y, z 3. Carichi (concentrati, uniformi, termici, coazioni) 5. Sistema di riferimento assoluto 6. Gradi di libertà dei nodi 7. Vincoli esterni 3

4 Elementi finiti puntuali (vincoli esterni) Sono posizionati in un nodo di un elemento e definiscono i vincoli esterni Ortogonali Orientati 4

5 Elementi finiti lineari Elementi lineari (1d) Reticolare Trave Nervatura Link rigido Molla Collegamento tra elementi Comportamento Lineare Non lineare Lineare Non lineare Lineare Non lineare Indeformabile Lineare Non lineare Lineare Non lineare d e d u 5

6 Elementi finiti superficiali Elementi superficiali (2d) Disposizione carichi Membrana (tensione piana) Nel piano Membrana (deformazione piana) Nel piano Piastra Normali al piano Guscio Comunque disposti Comportamento elastico di un elemento di superficie Sollecitazioni e spostamenti sono secondo gli assi X e Y 6

7 Elementi finiti per fondazioni Puntuali ortogonali Lineari per travi (Winkler) Lineari per superfici Puntuali orientati Lineari tridimensionali (pali) Superfici su suolo elastico Tutti i vincoli possono essere lineari e non lineari

8 Collegamenti tra elementi finiti 1. Nodi con sconnessioni tra elementi Cerniera di bordo (elementi di superficie) 3. Piano rigido (analisi sismica) 4. Link rigido 5. Molle 6. Elementi gap (distacco tra elementi) 7. Collegamento nodo-nodo 8. Collegamento linea-linea 8

9 Modelli di calcolo Elementi lineari (1d) Elemento singolo Trave continua Reticolare piano Reticolare spaziale Griglia Telaio piano Telaio spaziale Modelli con piano rigido Disposizione carichi Nel piano Nel piano Nel piano (e nei nodi) Comunque disposti (e nei nodi) Normali al piano Nel piano Comunque disposti Comunque disposti 9

10 Gradi di libertàdei nodi z y 3 Spostamenti 3 Rotazioni x 10

11 Gradi di libertà dei nodi (GdL) Spostamenti nodi nello spazio: 6 gradi di libertà(dof) I carichi possono essere disposti in ogni direzione X Z Y X φ y φ Z φ x z Y 11

12 Gradi di libertà dei nodi (GdL) Telai piani (XY XZ YZ) 3 GdL liberi -Carichi nel piano Spostamento secondo asse 1 Spostamento secondo asse 2 Rotazione attorno asse 3 12

13 Gradi di libertà dei nodi (GdL) 1. Definiscono il comportamento degli elementi finiti 2. Definiscono il comportamento dell intera struttura 3. Possono simulare i vincoli esterni 4. I GdL costituiscono le variabili del sistema risolutivo della struttura z x y 13

14 1. Gradi di libertà per definire il comportamento degli elementi finiti 14

15 Gradi di libertà strutture reticolari Piano X Y Piano X Z Piano Y Z Z Z Z Y Y Y X X X spostamenti 15

16 Gradi di libertà strutture reticolari 3d Spazio Z Y spostamenti X Vedi modello: Reticolare spaziale.axe 16

17 Gradi di libertà strutture membranali Piano X Y Piano X Z Piano Y Z Z Z Z Y Y Y X sollecitazioni X X spostamenti 17

18 Gradi di libertà strutture a telaio piano Piano X Y Piano X Z Piano Y Z Z Z Z Y Y Y X X X Vedi modello: Telaio spaziale 3 aste.axs 18

19 Gradi di libertà strutture a graticcio Piano X Y Piano X Z Piano Y Z Z Z Z Y Y Y X X X spostamenti rotazioni 19

20 Gradi di libertà strutture a telaio spaziale z y x Vedi modello: Telaio spaziale 3 aste.axs 20

21 Gradi di libertà strutture a piastra Piano X Y Piano X Z Piano Y Z Z Z Z Y Y Y X X X 21

22 Gradi di libertà strutture a guscio Sistema locale z y x I gradi di libertàper i gusci sono solo 5: manca la rotazione attorno a Z: problema del «drilling DOF» 22

23 Gradi di libertà strutture a guscio Drilling DOF Il collegamento tra elementi trave ed elementi guscio nel piano si realizza con elementi rigidi (link) inseriti nel guscio Vedi modello: Mensola parete w link.axs

24 2. Gradi di libertà per definire il comportamento della struttura 24

25 Gradi di libertà dei nodi (GdL) Assemblando gli elementi occorre conteggiare i gradi libertà dell intera struttura 4, 5, 6 7, 8, 9 4, 5, 6 1, 2, 3 4, 5, 6 10, 11, 12 13, 14, 15 1, 2, 3 1, 2, 3 16, 17, 18 19, 20, 21 25

26 3. Gradi di libertà per definire i vincoli esterni 26

27 Modalità di definizione dei vincoli 1. Introduzione di un vincolo fisico esterno (cerniera, incastro, ecc.) 2. Numerazione dei GdL (spostamenti) con esclusione dei nodi bloccati 4, 5, 6 1, 2, 3 7, 8, 9 10, 11, 12 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0 27

28 Gradi di libertà dei nodi (GdL) La riduzione dei GdL può essere uguale per tutti i nodi (comportamento globale es. telaio piano) e per singoli nodi (comportamento locale es. vincoli ad incastro) 7, 8, 9 4, 5, 6 4, 5, 6 10, 11, 12 13, 14, 15 1, 2, 3 7, 8, 9 10, 11, 12 1, 2, 3 16, 17, 18 19, 20, 21 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0 Numerazione incognite prima e dopo i vincoli 28

29 Riduzione dei gradi di libertà dei nodi Vantaggio: riducendo i GdL si riducono le incognite, la matrice di rigidezza globale è più piccola, minor tempo di calcolo per la soluzione del sistema (inversione K) Svantaggio: è difficoltoso calcolare le reazioni dei vincoli esterni, non è possibile verificare l equilibrio globale della struttura. Per questo si preferisce simulare i vincoli esterni con molle ad elevata rigidezza (10E6 oltre la rigidezza degli elementi) 29

30 Vincoli esterni, interni e multipli 30

31 Dualità vincoli esterni (piani) Da «Meccanica delle strutture» di Angelo Luongo e Achille Paolone 31

32 Dualità vincoli esterni 3d Cerniera sferica (3 GdL) libera tre rotazioni Cerniera cilindrica (5 GdL) libera una rotazione Glifo (5 GdL) libero uno spostamento Incastro (6 GdL) nessun tipo di spostamento Da «Meccanica delle strutture» di Angelo Luongo e Achille Paolone 32

33 Dualità vincoli interni (piani) Da «Meccanica delle strutture» di Angelo Luongo e Achille Paolone 33

34 Vincoli multipli interni ed esterni Cerniere Incastri Cerniere Incastri Le sconnessioni terminali definiscono i vincoli interni 34

35 4. Gradi di libertà come variabili del sistema 35

36 Gradi di libertà dei nodi (GdL) y 0 = + K x Il sistema esprime l equilibrio delle forze ai nodi prodotte dai carichi ed e la reazione della struttura (spostamenti elastici) y 0 = reazioni d incastro perfetto (prodotte dai carichi) K = matrice rigidezza completa (reazione elastica della struttura) x = spostamenti incogniti La matrice di rigidezza globale si ottiene assemblando le matrici di rigidezza degli elementi della struttura 36

37 Gradi di libertà dei nodi (GdL) Ad ogni grado di libertàcorrisponde un equazione. Riducendo i GdL si riduce il sistema

38 Numerazione dei gradi di libertà Numerazione non corretta Matrice sparsa Numerazione corretta Matrice compatta

39 Strutture labili, isostatiche, iperstatiche 39

40 Analisi cinematica strutture isostatiche Grado di Iperstaticità GI TR = Tratti Rigidi GLS = Gradi di Libertà interni e esterni Soppressi GI = 2*TR GLS (strutture reticolari 2d) GI = 3*TR GLS (strutture piane o reticolari 3d) GI = 6*TR GLS (strutture spaziali) Una struttura èisostatica se GI = 0 (cond. necessaria) Occorre anche che i vincoli siano ben disposti Se GI = 0 la struttura può non essere isostatica (B) a causa di vincoli maldisposti A GI = 3 3= 0 B 40

41 Analisi cinematica strutture labili Grado di labilità GI TR = Tratti Rigidi GLS = Gradi di Libertà interni e esterni Soppressi GI = 2*TR GLS (strutture reticolari) GI = 3*TR GLS (strutture piane) GI = 6*TR GLS (strutture spaziali) Se GI > 0 la struttura èlabile A GI = 3 2 = 1 B Condizioni necessaria (A) ma non sufficiente La struttura può non essere labile anche se GI > 0 (B) per casi di carico particolari 41

42 Analisi cinematica strutture labili Un sistema di travi rigide èlabile se può subire dei moti rigidi infinitesimi (spostamenti linearizzati) Spostamento reale Spostamento infinitesimo linearizzato La trave può subire spostamenti infinitesimi ma non finiti, in quanto è forzata a muoversi sull arco e il carrello la blocca

43 Analisi cinematica strutture iperstatiche Grado di Iperstaticità GI TR = Tratti Rigidi GLS = Gradi di Libertà interni e esterni Soppressi GI = 2*TR GLS (strutture reticolari 2d) GI = 3*TR GLS (telai piani o reticolari 3d) GI = 6*TR GLS (telai spaziali) Se GI < 0 la struttura èiperstatica GI = 3 4 = -1 Si potrebbe rimuovere un vincolo senza conseguenze A Condizione necessaria (A) ma non sufficiente 43

44 Analisi cinematica strutture iperstatiche La struttura può essere iperstatica senza essere GI <0 GI = 3*TR GLS GI = 9 8 = 1 GI = = 0 La struttura è labile La struttura èancora labile e internamente iperstatica

45 Esempi GdL 45

46 Materiali 46

47 La caratterizzazione dei materiali Leggi costitutive Relazione tra tensione e deformazione, nel caso più generale sono molto complesse In generale il materiale ha caratteristiche diverse in ogni direzione (X, Y, Z) es. muratura, fibre, ecc.

48 La caratterizzazione dei materiali Leggi costitutive: per gli elementi lineari la legge più semplice è la elastica lineare analisi lineare elastica-perfettamente plastica analisi non-lineare Materiale «Isotropo», stesse caratteristiche in tutte le direzioni E: modulo elastico ν: coef. di Poisson d e d u da cui si ricava:

49 La caratterizzazione dei materiali Leggi costitutive: per gli elementi di superficie il materiale può essere «Ortotropo», caratteristiche diverse nelle direzioni X e Y Valori di input: Ex: modulo elastico direzione X Ey: modulo elastico direzione Y ν: coef. di Poisson Ey Ex

50 La caratterizzazione dei materiali I parametri del materiale entrano nella definizione della matrice di rigidezza degli elementi: Correzione per tener conto della deformazione per taglio:

51 4.1 Costruzioni di calcestruzzo NTC08 Per strutture non armate Per strutture semplicemente armate Per strutture precompresse Richiesto controllo qualità E richiesta l autorizzazione del Servizio Tecnico Centrale

52 4.1.2 Verifiche agli stati limite Modulo elastico Resistenza media a compressione semplice (assiale) f cm = f ck + 8 (quando serve) N/mm 2 Modulo elastico E cm = 22000*(f cm /10) 0,3 N/mm Coefficiente di Poisson Variabile tra 0 (cls fessurato) e 0,2 (cls non fessurato).

53 4.1 Costruzioni di calcestruzzo NTC08 Esempio cls. classe 25/30

54 Strutture esistenti in calcestruzzo Elaborazione dei dati ricavati da prove su carote e SONREB

55 Strutture esistenti in calcestruzzo Tipologie di materiale rilevato Cls Cls Cls Cls

56 4.1 Costruzioni di calcestruzzo NTC08 B450C Valori nominali delle tensioni caratteristiche di snervamento e rottura: Tabella 11.3.Ia Snervamento f yk > f y nominale = 450 N/mm2 Rottura f tk > f t nominale = 540 N/mm2 Allungamento (A gt ) k : 7,5 % φcompresi tra 6 e 40 mm B450A Allungamento (A gt ) k : 2,5 % φcompresi tra 5 e 10 mm

57 Acciaio: legame tensione - deformazione non lineare Modulo elastico E s = N/mm 2 Deformazione al limite elastico: Per acciaio B450C ε yd = f E yd s f yk = 450 N/mm 2 f 450 yk f = = 391,3 N/mm 2 yd γ 1.15 s = e yd 391,3 = f yd = = 1,899 o / E oo s

58 Esempi materiali 58

59 FINE