1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione

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1 1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse in un primo punto del piano per fissare l'origine del vettore; ± spostare il mouse e cliccare una seconda volta per definire la lunghezza, la direzione ed il verso del vettore. Per poter effettuare una traslazione bisogna adesso costruire una generica figura geometrica. Per fare questo si deve: ± selezionare il comando Poligono e costruire un triangolo CDE; ± scegliere lo strumento Trasla di un vettore; ± cliccare sul triangolo e successivamente sul vettore; ± visualizzare le proprietaá della figura per colorare i due triangoli. Per verificare la correttezza delle operazioni svolte puoi metterti in posizione Muovi e, dopo aver selezionato il vettore, trasportalo fino a sovrapporlo ad uno dei vertici del triangolo CDE. Che cosa noti? 2 La composizione di traslazioni GeoGebra non possiede (nella versione 3.2) uno strumento per sommare i vettori. Per verificare la composizione o il prodotto di due traslazioni (regola del parallelogrammo) bisogna riprendere la costruzione geometrica precedente e operare nel seguente modo: ± attivare un secondo vettore BG con lo strumento Vettore posizionando l'origine nel punto B; ± attivare lo strumento Trasla di un vettore e operare sul triangolo C 0 D 0 E 0 agendo sul secondo vettore; ± attivare un terzo vettore e posizionarlo tra i vertici A e G; ± muovendo i vertici A o B dei vettori cambia la posizione dei triangoli ma vengono mantenute le caratteristiche della traslazione. 3 La rotazione Per definire una rotazione eá necessario assegnare l'angolo, espresso in gradi, e il centro attorno al quale far ruotare la figura. Per compiere questi passaggi bisogna seguire la seguente procedura: ± costruire un triangolo ABC attivando lo strumento Poligono; ± selezionare lo strumento Nuovo Punto e fissare il centro D della rotazione;

2 2 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA ± selezionare lo strumento Ruota intorno ad un punto di un angolo; ± cliccare nell'ordine su un punto all'interno del triangolo e nel centro della rotazione; si apre una finestra su cui bisogna scrivere l'ampiezza dell'angolo e il senso della rotazione e poi cliccare su applica. Per visualizzare meglio il modo in cui GeoGebra ha effettuato la costruzione si deve procedere nel seguente modo: ± selezionare il comando Arco di circonferenza di dato centro per due punti e cliccare nell'ordine sul centro della rotazione e sui vertici corrispondenti. 4 La composizione di rotazioni Con GeoGebra eá possibile comporre due rotazioni sia nel caso siano concentriche (come abbiamo visto anche nell'approfondimento del capitolo 3) sia nel caso che i due centri siano diversi. Per costruire la figura in quest'ultimo caso si deve: ± costruire il triangolo ABC; ± scegliere il centro della prima rotazione D; ± selezionare lo strumento Ruota intorno a un punto di un angolo, cliccare sul triangolo ABC, sul punto D e impostare il primo angolo di rotazione, nel nostro caso 100 ; ± colorare i due triangoli; ± individuare un punto P (centro della seconda rotazione); ± attivare nuovamente lo strumento Ruota intorno ad un punto di un angolo e selezionare il triangolo A 0 B 0 C 0,il punto P e fissare l'angolo della seconda rotazione, nel nostro caso 50 ; ± colorare il triangolo A 00 B 00 C La simmetria assiale Per ottenere una simmetria assiale di un triangolo ABC rispetto ad una retta d si deve: ± costruire un triangolo ABC attivando lo strumento Poligono; ± con lo strumento Retta per due punti, disegnare una retta; ± selezionare lo strumento Simmetrico rispetto ad una retta; ± cliccare sul triangolo e sulla retta; ± a video compare il triangolo A 0 B 0 C 0 simmetrico di ABC rispetto alla retta. Per mettere meglio in evidenza le caratteristiche di questa trasformazione abbiamo costruito i segmenti che uniscono i vertici corrispondenti. Con lo strumento Relazione tra due oggetti, possiamo anche verificare che i segmenti AA 0, BB 0 e CC 0 sono perpendicolari all'asse di simmetria e sono divisi da quest'ultimo in parti congruenti.

3 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA 3 6 La composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli In questa esercitazione vogliamo verificare il teorema secondo cui il prodotto di due simmetrie assiali con assi paralleli eá una traslazione di vettore perpendicolare ai due assi e avente lunghezza doppia rispetto alla loro distanza. Iniziamo applicando le due simmetrie assiali ad un generico triangolo. Dopo aver disegnato un triangolo ABC e due rette r ed s parallele, applichiamo al triangolo la simmetria di asse r ottenendo il triangolo A 0 B 0 C 0 ; quindi applichiamo a questo triangolo la simmetria rispetto alla retta s ottenendo il triangolo A 00 B 00 C 00. Per dimostrare il teorema si deve: ± attivare il comando Vettore tra due punti e tracciare i vettori BB 00, AA 00 e CC 00 ; ± verificare che i tre vettori sono congruenti mediante lo strumento Relazioni tra due oggetti; ± misurare la lunghezza dei vettori e la distanza tra i due assi e verificare che la prima distanza eá doppia della seconda. 7 La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti In questa esercitazione vogliamo verificare il teorema secondo cui il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi incidenti eá una rotazione con centro nell'intersezione delle due rette ed angolo pari al doppio dell'angolo formato dalle stesse rette. Anche in questo caso, dopo aver disegnato un triangolo ABC e due rette r ed s incidenti, applichiamo al triangolo la simmetria di asse r ottenendo il triangolo A 0 B 0 C 0 e applichiamo a quest'ultimo triangolo la simmetria rispetto alla retta s ottenendo il triangolo A 00 B 00 C 00. Per dimostrare il teorema si deve: ± individuare l'intersezione delle due rette r ed s mediante lo strumento Intersezione di due oggetti; ± indicare con la lettera O tale punto che rappresenta il centro della rotazione; ± determinare l'ampiezza dell'angolo formato dalle due rette mediante lo strumento Angolo; ± mediante il comando Segmento tra due punti unire due vertici corrispondenti, per esempio C e C 00 con il centro O; ± misurare l'angolo COC d 00. Dalla figura puoi anche notare che la notazione utilizzata per la misura degli angoli eá quella decimale e non quella sessagesimale. 8 La simmetria centrale nel piano cartesiano Per determinare una simmetria centrale nel piano cartesiano si deve: ± attivare i comandi Assi e Griglia dal menu Visualizza; ± attivare il comando Vista Algebra dallo stesso menu per visualizzare le coordinate cartesiane dei punti; ± tracciare il triangolo ABC; ± fissare il punto O centro della simmetria; ± attivare il comando Simmetrico rispetto a un punto e cliccare nell'ordine sul triangolo ABC e sul punto O.

4 4 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA Esercizi 1 Crea un esagono regolare e traslalo orizzontalmente verso destra di 6 cm. Verifica che ogni punto dista dal suo traslato di 6 cm. 2 Crea un triangolo e traslalo prima di un vettore orizzontale verso sinistra lungo 3 cm e poi di uno verticale verso il basso lungo 8 cm. 3 Questo esercizio non si puoá svolgere con GeoGebra. 4 Questo esercizio non si puoá svolgere con GeoGebra. 5 Ruota di 100 un triangolo rispetto ad un punto esterno al triangolo. 6 Disegna un triangolo ABC e ruotalo di 70 rispetto al vertice A. 7 Ruota un triangolo di 30 rispetto ad un punto interno al triangolo. Che cosa noti? 8 Ruota un rombo di 45 e poi di 45 rispetto un qualsiasi punto del piano. Cosa succede? 9 Costruisci un trapezio isoscele ed individua il suo asse di simmetria. 10 Verifica che un triangolo equilatero possiede tre assi di simmetria. 11 Disegna un triangolo ed una retta che lo seca in due parti. Opera sul triangolo una simmetria assiale rispetto alla retta. 12 Verifica che la bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele eá anche asse di simmetria del triangolo. 13 Calcola il numero di assi di simmetria di un esagono regolare e rappresentali. 14 Verifica che il centro di simmetria di un parallelogrammo eá il punto d'incontro fra le diagonali. 15 Verifica che due figure che si corrispondono in una simmetria centrale hanno i lati corrispondenti paralleli. 16 Verifica che se operi due traslazioni utilizzando due vettori di uguale lunghezza, aventi la stessa direzione ma verso opposto, ottieni la stessa figura. 17 Disegna nel piano un triangolo isoscele con un angolo alla base di 54. A questo applica una rotazione di 72 attorno al suo vertice opposto alla base. Ripeti la procedura per altre tre volte. Quale figura ottieni? 18 Sono dati un quadrilatero, un punto O e un punto P distinto da O. Ruota il quadrilatero di 45 rispetto ad O e poi di 30 rispetto a P. 19 Costruisci un triangolo equilatero e ruotalo rispetto al suo circocentro di un angolo di 100. Di quale angolo devi ruotarlo rispetto al suo circocentro affincheâ le due figure si sovrappongano? 20 Sono dati un triangolo rettangolo ABC ed un punto O. Ruota il triangolo prima di 50 rispetto ad O e poi di 60 sempre rispetto ad O nello stesso verso della prima rotazione. Prova a ruotare il triangolo iniziale ABC di 110 rispetto ad O. Cosa osservi? 21 Verifica che la composizione di due rotazioni con lo stesso centro e lo stesso verso equivale ad una rotazione con lo stesso centro ed angolo di ampiezza pari alla somma degli angoli che definiscono le due rotazioni. 22 Verifica che la composizione di due simmetrie centrali equivale ad una traslazione avente la lunghezza del vettore doppia rispetto alla distanza fra i due centri di simmetria ad essa parallela. 23 Disegna un trapezio isoscele con gli angoli alla base di 60. Detto M il punto medio della base maggiore, trova il trapezio simmetrico rispetto al punto M. Quale figura geometrica ottieni? 24 Verifica che il prodotto di due simmetrie assiali con assi perpendicolari coincide con una simmetria centrale con centro nell'intersezione dei due assi. 25 Disegna un quadrilatero e due rette r ed s fra loro parallele. Opera sul quadrilatero la simmetria assiale di asse r,

5 Q Artuso - Bezzi, Atlas SpA 5 quindi sulla figura ottenuta opera una seconda simmetria assiale di asse s. Verifica che la figura ottenuta corrisponde a quella iniziale in una traslazione di vettore uguale al doppio della distanza fra le due rette. 26 Dopo aver rappresentato nel piano cartesiano il triangolo di coordinate A 2; 3, B 2; 1 e C 4; 1 traccia il vettore ~v avente gli estremi nei punti 4; 0 e 8; 2. Determina quindi la traslazione del triangolo ABC rispetto al vettore ~v. 27 Dopo aver rappresentato nel piano cartesiano il rettangolo di coordinate A 1; 1, B 5; 1, C 5; 4 e D 1; 4 traccia il punto M di coordinate 5; 5, determina la rotazione di 150 del quadrilatero rispetto al centro M e le coordinate del rettangolo A 0 B 0 C 0 D 0 ottenuto. 28 Dopo aver rappresentato nel piano cartesiano il trapezio isoscele di coordinate A 2; 2, B 5; 2, C 6; 4 e D 1; 4 e la retta r passante per i punti di coordinate H 8; 2 e K 6; 6, determina la simmetria assiale del trapezio ABCD rispetto all'asse r e le coordinate del trapezio isoscele A 0 B 0 C 0 D 0 ottenuto. 29 Dopo aver rappresentato nel piano cartesiano il rombo di coordinate A 2; 6, B 4; 3, C 6; 6 e D 4; 9 e il punto M 8; 7, determina la simmetria centrale del rombo rispetto al punto M e le coordinate del rombo A 0 B 0 C 0 D 0 ottenuto.