Meccanica dei sistemi

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1 Meccanca de sstem 7 Nel captolo precedente abbamo studato la cnematca e la dnamca d un punto materale. Questo captolo fornsce le bas per lo studo d sstem fsc pù complcat, o meglo, d sstem fsc per qual la schematzzazone d punto materale rsulta nadeguata. La generalzzazone pù naturale è quella d studare sstem fsc compost da pù punt materal S := { (P 1,m 1 ),..., (P N,m N ) }, n generale nteragent tra d loro. Analogamente al caso del sngolo punto materale è necessaro studare sa l aspetto cnematco, legato alla descrzone geometrca del moto e al calcolo d quanttà cnematche d nteresse, che l aspetto dnamco, legato alla determnazone del moto del sstema a partre da un certo numero d dat che s assumono essere not. Rguardo a entrambe quest aspett è possble adottare due approcc, legat anche alla natura del problema che s vuole affrontare. 1. supponamo che s sa nteressat a conoscere l moto d ogn sngolo punto materale (P,m ) del sstema. In questo caso, non c sono molte alternatve a dover rsolvere l sstema d 3N equazon dfferenzal ordnare del secondo ordne 1 = F 1 m 1. N. = F N m N con le relatve 6N condzon nzal all stante nzale t 0 1 (t 0 ), 1 (t 0 ),..., N (t 0 ), N (t 0 ) (7.1) Il sstema (7.1) può naturalmente essere sosttuto con un suo equvalente (utlzzando le operazon consentte), ma non s può eludere l fatto che alla fne s dovranno trovare le N funzon vettoral ncognte 1 (t),... N (t). È opportuno notare che le dffcoltà analtche presentate da un sstema d equazon come (7.1) sono gà nsormontabl nel caso N = 3, pur con sstem fsc molto semplc. Non bsogna nfatt fars ngannare dalla forma, apparentemente semplce, n cu l sstema (7.1) è stato scrtto. Il membro d destra d cascuna equazone è nfatt, n lnea d prncpo, una funzone del tempo, delle poszon e delle veloctà d tutte le partcelle del sstema. Per essere precs dovremmo qund scrvere: 1 = 1 m F1 1 (t, 1, 1,..., N, N ).. (7.) N = 1 m FN N (t, 1, 1,..., N, N ) Questo naturalmente non vuol dre che l problema non possa essere affrontato, ma dventa necessaro utlzzare tecnche d anals numerca e d anals qualtatva delle equazon dfferenzal. 77

2 78 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI. può nvece succedere che s sa nteressat al comportamento d nseme del sstema S (o d suo sottonsem). In questo caso c s concentra solo sull evoluzone d alcune quanttà che ne descrvono l comportamento globale. Per dretta generalzzazone del caso del punto materale è naturale consderare le seguent quanttà: a) centro d massa (o barcentro) del sstema b) quanttà d moto c) momento angolare del sstema d) energa cnetca del sstema Le equazon che ne governano l evoluzone sono dette equazon cardnal della dnamca de sstem. C proponamo d dervarle e studarne alcune conseguenze nelle sezon successve. È altresì opportuno notare che, per alcun sstem fsc compost da un numero molto elevato d punt materal è ragonevole ntrodurre de vncol tal per cu la descrzone del moto è comunque esaurta da un numero fnto d parametr (dett grad d lbertà). Vedremo un esempo d cò quando tratteremo l corpo rgdo. 7.1 Sstem d vettor applcat Defnzone 7.1. Consderamo un sstema d N vettor applcat ne punt P 1,..., P N rspettvamente. w 1,..., w N 1. s chama rsultante del sstema d vettor, l vettore lbero: W := w. se O E 3, s chama momento rsultante rspetto al polo O del sstema d vettor, l vettore lbero: M O := (P O) w Proposzone 7.. Sano O e O punt n E 3, s ha la seguente legge d varazone del polo: M O = M O +(O O ) W (7.3) Dmostrazone. M O := (P O) w = (P O + O O) w

3 7.. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI 79 = M O +(O O) w = M O +(O O) W 7. Equazon cardnal della dnamca de sstem Quanttà cnematche rlevant C lmtamo a dare le defnzon rlevant per gl svlupp successv, rmandando la gustfcazone e l nterpretazone delle quanttà ntrodotte a dopo. Defnzone 7.3. Sa S = { (P 1,m 1 ),..., (P N,m N ) } un sstema d N punt materal, e sa O E S chama centro d massa o barcentro del sstema l punto G E 3 tale che: G O := N m (P O) N m = 1 M m (P O) (7.4). s chama quanttà d moto totale del sstema l rsultante delle quanttà d moto: (s veda anche la defnzone 5.1) P := p = m v (7.5) 3. s chama momento angolare totale del sstema rspetto al polo O l momento rsultante rspetto al polo O delle quanttà d moto: L O := lo, = 4. s chama energa cnetca totale del sstema: T := T = (P O) m v (7.6) 1 m v C soffermamo brevemente a dedurre alcun semplc rsultat per le quanttà cnematche appena ntrodotte. Proposzone 7.4. Con le notazon della precedente defnzone, s ha: P = M v G dove v G := dg(t).

4 80 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI Dmostrazone. S ha, dalla defnzone (7.5): P := m v dp (t) = m [ = d N ] m (P O) [ N ] m (P O) = M d M = M v G Proposzone 7.5. Se O e O sono punt n E 3 s ha la seguente equazone che lega moment angolar del sstema rspetto a due pol: L O = L O +(O O) M v G Dmostrazone. È un mmedata conseguenza dell equazone (7.3) e della proposzone 7.4. Calcolamo nfne la forma assunta dall energa cnetca d un sstema d punt materal n un sstema d rfermento prvlegato. A tal fne ntroducamo la seguente defnzone. Defnzone 7.6. Sa I un sstema d rfermento nerzale e sa S = { (P 1,m 1 ),..., (P N,m N ) } un sstema d N punt materal. Indchamo con G la poszone del barcentro d S. Dcamo che un sstema d rfermento I è barcentrale rspetto a I e S se I è n moto traslatoro rspetto a I con veloctà d trascnamento v G. Teorema 7.7 (d K ong). Per ogn sstema materale S sussste la relazone T = 1 M v G + T (7.7) dove T è l energa cnetca n un generco rfermento I e T è l energa cnetca n un rfermento barcentrale rspetto a I e S. Dmostrazone. In base alla defnzone del sstema d rfermento I e alla formula (4.14) d addzone delle veloctà abbamo: v (a) = v G + v (r) Qund: v (a) = v G + v (r) + v G v (r) Infne: 1 m v = 1 m v G + v (r) + v G v (r)

5 7.. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI 81 ( = 1 M v G 1 N ) + m v (r) + v G m v (r) }{{} T = 1 M v G + T + v G v (r) G Osservazone 7.8. A parole: l energa cnetca n un generco rfermento I dffersce dall espressone che s otterrebbe pensando l ntera massa d S concentrata nel barcentro per un termne par all energa cnetca d S relatva a un rfermento I soldale al barcentro e non ruotante rspetto a I. Equazon cardnal Prma equazone cardnale Sa S = { (P 1,m 1 ),..., (P N,m N ) } un sstema d N punt materal, e sa I un sstema d rfermento nerzale. Consderamo l equazone d Newton per l -esma partcella: m a = F =1,..., N (7.8) dove F è l rsultante delle forze agent sull -esmo punto materale. Tale rsultante può essere decomposto n due contrbut F = F et + F nt dove 1. F nt è l rsultante delle forze nterne agent sul punto, coè è la somma delle forze eserctate da rmanent punt d S sul punto -esmo. In dettaglo, usando l prncpo d ndpendenza delle azon 4, possamo scrvere: F nt = f j (7.9). F et è l rsultante delle forze esterne agent sul punto -esmo, coè la somma delle forze eserctate sul punto -esmo, da sstem fsc non appartenent a S. j=1 j Sommamo ora membro a membro le equazon (7.8). Ottenamo m a = Analzzamo separatamente var addend: 1. l membro d snstra può essere scrtto come m a = d F et + m v F nt = Ved defnzone 7.3 = d P

6 8 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI. s defnsce l rsultante delle forze esterne agent sul sstema R et := F et 3. analzzamo nel dettaglo l secondo addendo del membro d destra. S ha,j=1 j f j = (rnomnamo gl ndc p, j q) = p,q=1 p q f pq = (usamo l prncpo (6)) = p,q=1 p q f qp = (rnomnamo gl ndc q, j p) =,j=1 j f j Qund F nt =0 Ottenamo così la prma equazone cardnale della dnamca de sstem M a G = R et (7.10) Seconda equazone cardnale della dnamca de sstem vettoral (s veda (5.3)): Consderamo le N equazon d l,o + v 0 p =(P O) F =1,..., 3N. (7.11) Sommandole, s ottene: d l,o + v 0 p = (P O) F operando la dstnzone tra forze nterne ed esterne vsta nel paragrafo precedente, possamo ulterormente scrvere d l,o + v 0 p = (P O) F et + (P O) F nt. Analzzamo separatamente var termn:

7 7.. EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI l prmo addendo del prmo membro è la dervata temporale del momento angolare del sstema, nfatt: d l,o = d l,o = d L O. l secondo addendo del prmo membro s scrve come v 0 p = v 0 P 3. l prmo addendo del secondo membro è, per defnzone, l momento totale delle forze esterne. S pone coè: N := M et O (P O) F et 4. l secondo addendo del secondo membro va analzzato con cura. Abbamo: (P O) F nt = (P O) f j,j=1 j N = (P P j ) f j +,j=1 j = (P j O) f j,j=1 j (P j O) f j,j=1 j per l prncpo d azone e reazone 6 = (P j O) f j,j=1 j rnomnando gl ndc j, j = (P O) f j,j=1 j e qund (P O) F nt =0. Ottenamo qund la seconda equazone cardnale della dnamca de sstem d L O + v O P = M et O (7.1)

8 84 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI Il teorema dell energa. Consderamo l energa cnetca del sstema d punt { (P,m ) }: La dervata d T s calcola faclmente ed è T = 1 m v. dt N = m a v = = = F v ( F et π (et) + F nt ) v + π (nt) = π (et) + π (nt). dove abbamo ndcato con π (et) (rsp. π (nt) ) è la potenza eserctata dalle sollectazon esterne (rsp. nterne) sul punto -esmo. Qund dt = π(et) + π (nt) Osservazone 7.9. S not che l contrbuto π (nt) della sollectazone nterna alla potenza non è nullo. Qund l teorema dell energa, nel caso d un sstema composto da pù d un punto materale, è, n generale, ndpendente dalle equazon cardnal e fornsce un equazone ndpendente n pù. 7.3 Equazon cardnal e legg d conservazone Possamo rassumere la dscussone delle precedent sezon nel seguente sstema d 7 equazon scalar, n generale ndpendent tra d loro, valde n un sstema d rfermento nerzale I: R et = M a G M O = d L O + v O M v G (7.13) π (et) + π (nt) = dt La prma e la seconda equazone sono le equazon cardnal delle dnamca de sstem. La terza equazone è l teorema dell energa. A partre da queste equazon s possono dedurre de prncp d conservazone, alcun de qual erano n realtà gà not essendo stat post come base della deduzone assomatca della meccanca (ved l prncpo ). La cosa va qund vsta come una verfca d consstenza nterna della teora svluppata. Proposzone Sa I un sstema d rfermento nerzale e sa S = { (P 1,m 1 ),..., (P N,m N ) } un sstema d N punt materal. 1. se l sstema è solato (coè R et =0), la quanttà d moto totale del sstema s conserva (coè d P =0);

9 7.4. MODELLI CONTINUI 85. se la componente della sollectazone lungo una drezone n s annulla (coè R et n =0), la componente della quanttà d moto del sstema lungo n s conserva (coè d P n =0); 3. se l polo O E 3 è tale che v O M v G =0e M O =0, l momento angolare del sstema s conserva; 4. se l polo O E 3 è tale che v O M v G =0e esste una drezone n tale che M O n =0, l momento angolare lungo n del sstema s conserva. Dmostrazone. Sono tutte conseguenze mmedate del sstema (7.13). 7.4 Modell contnu La teora svluppata nelle sezon precedent può essere applcata a sstem compost da un numero qualunque d punt purchè fnto (questo perchè molte delle formule rcavate convolgono delle sommatore). Tuttava molt de sstem fsc d nteresse sono compost da un numero d punt così grande che rsulta mpossble darne una descrzone completa e arbtraro dscrmnare tra dvers punt materal che costtuscono l corpo. S pens, per esempo a sstem come 1. corp materal (per esempo: dsch, sbarre, lamne,..) la cu estensone non è trascurable rspetto al problema che s sta trattando. sstem flud come cors d acqua, nub,... Evdentemente, n cas come quest, è convenente sostture l modello partcellare trattato fnora con un modello contnuo. Anzchè dedurre nuovamente tutte le formule ottenute per sstem dscret nel caso contnuo, adottamo l punto d vsta secondo cu, eurstcamente, s può pensare l passaggo al contnuo come una sorta d passaggo al lmte n cu l numero d punt d cu s mmagna composto l corpo vene fatto tendere all nfnto. C s convnce comunque faclmente che, per trasporre una formula dal contesto partcellare a quello contnuo, è d solto suffcente operare la sosttuzone formale ( )m ( )ρ(p )dτ (7.14) e pensare tutte le quanttà che dpendono dall ndce d sommatora come dpendent dalla varable contnua d ntegrazone P. Inoltre, l elemento nfntesmo d massa B dm := ρ(p )dτ va d volta n volta nterpretato a seconda del partcolare modello contnuo che s sta consderando. In altre parole, la forma esplcta dell elemento d massa dm dpende dalla natura geometrca del corpo. Ad esempo: 1. sstema ad estensone volumca: n questo caso l corpo occupa un nseme aperto d E 3 e qund, fssato un sstema d ass cartesan (O, e 1, e, e 3 ): dm = ρ(,, z)dddz L ntegrale che compare nella (7.14) s scrve qund come: R 3 ( )ρ(,, z)dddz

10 86 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI. sstema ad estensone superfcale: n questo caso l corpo occupa una superfce n E 3. Fssato un sstema d ass cartesan (O, e 1, e, e 3 ) abbamo: con (u, v) Ω R e qund r(u, v) = { = (u, v) = (u, v) dm = ρ(u, v)dσ = ρ(u, v) r u r v dudv. L ntegrale che compare nella (7.14) s scrve qund come: Ω ( )ρ(u, v) r u r v dudv In partcolare per un sstema pano (posto nel pano z = 0) s ha dm = ρ(, )dd. 3. sstema ad estensone lneare: n questo caso l corpo è assmlable a un elemento d lnea. Qund d dm = ρ(s)ds = ρ(ξ) f γ dξ dξ In partcolare per un sstema rettlneo s ha (scelt opportunamente gl ass) dm = ρ()d Prncpal quanttà cnematche nel modello contnuo C lmtamo a fornre le espresson esplcte delle prncpal quanttà cnematche gà ntrodotte per modell dscret. 1. Quanttà d moto. Momento angolare 3. Energa cnetca P = B B v P ρ(p )dτ L O = (P O) v P ρ(p )dτ T = 1 B ρ(p ) v P dτ

11 7.5. BARICENTRI Barcentr In questa sezone approfondamo alcun aspett legat al calcolo de barcentr de sstem materal. A tal fne generalzzamo la defnzone d barcentro data dall equazone (7.4) al caso de sstem contnu. Defnzone Consderamo un sstema materale contnuo B e sa O E 3. barcentro d B, l punto G E 3 : (G O) := B (P O) ρ(p )dτ M S chama Barcentr d sstem materal con smmetre Pan d smmetra materale Defnzone 7.1. S chama pano d smmetra materale per un sstema B un pano π tale che 1. se P B allora anche l punto Q tale che Q P è un vettore ortogonale a π e bsecato da π, appartene a B.. ρ(p )=ρ(q) per ogn coppa d punt smmetrc P, Q n B. Proposzone Se π è un pano d smmetra materale per B allora l barcentro G d B gace su π. Dmostrazone. Non è restrttvo supporre che l pano d smmetra materale concda con l pano z = 0 d un opportuno sstema d ass cartesan. B è l unone d: dove: B = B (+) B ( ) B (+) := { (,, z) B z 0 } B ( ) := { (,, z) B z 0 } S not che B (+) B ( ) è un nseme d msura nulla. Inoltre (,, z) (,, z) manda bgettvamente B (+) n B ( ) e vceversa. Qund: z G = 1 zρ(,, z)dddz M B = 1 zρ(,, z)dddz + 1 zρ(,, z)dddz M B (+) M B ( ) operando la trasformazone (,, z) (,, z) = 1 zρ(,, z)dddz + 1 ( z)ρ(,, z)dddz M B (+) M B (+) =0

12 88 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI Lamna rettangolare Osservazone Bsogna prestare attenzone a non commettere error grossolan. L asse determnato dalla dagonale d una lamna rettangolare omogenea non è un pano d smmetra materale. Pan dametral Il concetto d pano dametrale generalzza quello d pano d smmetra materale. Precsamente s pone: Defnzone Sa B un sstema materale contnuo. S chama pano dametrale conugato a una drezone d un pano π tale che 1. se P B allora anche l punto Q tale che Q B è un vettore parallelo a d e bsecato da π, appartene a B.. ρ(p )=ρ(q) per ogn coppa d punt smmetrc P, Q n B. Osservazone Un pano dametrale π conugato a una drezone ortogonale a π, è un pano d smmetra materale. Proposzone Se π è un pano dametrale per B allora l barcentro G d B gace su π. Dmostrazone. Consderamo l sstema d ass (non ortogonal) d, e 1, e n cu e 1, e gaccono su π. Con le coordnate cartesane ndotte da questa scelta d ass, la dmostrazone è dentca a quella della proposzone Esempo 7.18 (Barcentro d una lamna rettangolare omogenea). Consderamo la lamna rettangolare omogenea n fgura. b P J Q Gl ass HJ e PQ (che bsecano lat oppost del rettangolo) sono ass d smmetra materale. Qund l barcentro della lamna concde con l ntersezone de due ass: G = a, G = b H a Esempo 7.19 (Barcentro d una lamna ellssodale omogenea). Consderamo la lamna ellssodale omogenea n fgura.

13 7.5. BARICENTRI 89 Gl ass coordnat e sono ass d smmetra materale. Qund l barcentro della lamna concde con l orgne degl ass: G =0, G =0 Esempo 7.0 (Clndro crcolare retto). Consderamo l clndro crcolare retto n fgura z h In coordnate clndrche l clndro è descrtto dalle equazon: 0 θ < π 0 z h 0 r R Per le propretà de pan d smmetra materale R G = G =0,z G = h Esempo 7.1 (Cono crcolare retto). Consderamo l cono crcolare retto n fgura In coordnate clndrche l cono è descrtto dalle equazon: z 0 θ < π h 0 z h 0 r R R h z Per le propretà de pan d smmetra materale G = G =0 R Mentre z G = ρ M z G dddz = ρ M π 0 R R h z dθ rdr 0 h 0 zdz = h 4

14 90 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI Smmetre d rotazone Nel caso n cu l corpo B abba denstà unforme e sa d rotazone sono d utltà seguent teorem d Guldno. Teorema 7. (Prmo teorema d Guldno). L area della superfce S generata dalla rotazone d un arco d curva pana γ attorno ad un asse complanare che non la attravers concde col prodotto della lunghezza d γ per la lunghezza della crconferenza descrtta dal barcentro d γ nel corso della rotazone. Dmostrazone. Teorema 7.3 (Secondo teorema d Guldno). Il volume del domno D generato dalla rotazone d una regone pana bdmensonale Σ attorno ad un asse ad essa complanare e che non l attravers è data dal prodotto fra l area d Σ e la lunghezza della crconferenza percorsa dal barcentro d Σ nel corso della rotazone. Dmostrazone. Esempo 7.4 (Barcentro d una semcrconferenza). Consderamo una semcrconferenza d raggo R. Sceglamo gl ass coordnate n modo che l asse concda con l asse d smmetra materale. S ha R G =0. La coordndata G del barcentro s trova nvece usando l prmo teorema d Guldno: S sfera =πl semcrc G Qund 4πR =π(πr) G G =0, G = R π Esempo 7.5 (Barcentro del semcercho). Consderamo un semcercho d raggo R. Sceglamo gl ass coordnate n modo che l asse concda con l asse d smmetra materale. S ha G =0. R La coordndata G del barcentro s trova nvece usando l secondo teorema d Guldno: Qund G =0, G = 4R 3π V sfera =πa semcercho G 4 3 πr3 =π (πr ) G

15 7.5. BARICENTRI 91 Barcentr d fgure composte La seguente proposzone fornsce una propretà del barcentro molto utle ne calcol. Proposzone 7.6. Sa B un sstema materale d massa M tale che B = B 1 B con B 1 B nseme d msura nulla (1) (ad esempo, B 1 B = ). Allora, se G ndca l barcentro d B: M 1 M (G O) = (G 1 O)+ (G O) M 1 + M M 1 + M dove M ndca la massa del sottosstema B e G l rspettvo barcentro. Dmostrazone. È mmedata. Corollaro 7.7. Sa B un sstema materale d massa M tale che: Allora, se G ndca l barcentro d B: B = B 1 \B. (G O) = M 1 M (G 1 O) M M (G O) dove M ndca la massa del sottosstema B e G l rspettvo barcentro. Nel seguto vedamo l calcolo d alcun barcentr d sstem avent denstà d massa unforme. Esempo 7.8 (Barcentro d un settore crcolare). Consderamo un settore crcolare S R d semapertura α e la cu denstà d massa unforme. Scelt gl ass coordnat n modo che l asse concda coll asse d smmetra del settore, s ha: α R G =0. Per la coordnata G s ha: 1 G := G dd S R dd S R s ha Scelte coordnate { = r sn θ = r cos θ dd = rdrdθ S R dd = S R dd = α α = αr α α dθ dθ R 0 R 0 r dr r cos θ dr (1) Per le applcazon che c nteressano, questo sgnfca: B 1 B dτ = 0.

16 9 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI = R3 3 α α cos θ dθ = R3 3 sn θ α α = R3 3 sn α Qund G =0, G = 4R 3 sn α α Esempo 7.9 (Barcentro lamna semcrcolare omogenea). Il barcentro d una lamna semcrcolare omogenea s ottene del calcolo dell esempo precedente ponendo α = π. S trova: G =0, G = 4 3π R Esempo 7.30 (Barcentro d un trangolo rettangolo). Calcolamo l barcentro d una lastra trangolare rettangolare omogenea. Vedremo n 7.5 un metodo pù rapdo per calcolarlo, conoscendo l volume del cono crcolare retto. Scelt gl ass coordnat n modo che concdano con catet del trangolo e dette a e b le loro lunghezze s ha: a b b a G = d d b 0 0 a = (b ba ) d = a 3 0 a G = = 1 a 0 a b b d 0 0 a d ( b b a ) d Qund: = b 3 G = a 3, G = b 3 Esempo 7.31 (Barcentro d un trangolo soscele). Calcolamo l barcentro d una lastra trangolare soscele e omogenea.

17 7.5. BARICENTRI 93 h Applcando la proposzone 7.6 e l precedente esempo, s trova subto che: G =0, G = h 3 Esempo 7.3 (Barcentro d un trapezo rettangolo). Un trapezo è l unone d un rettangolo e d un trangolo rettangolo. Possamo qund usare rsultat precedent e la proposzone 7.6. L area del trapezo è: e qund, la coordnata G del barcentro della lamna è data da: men- [ ( a G = (a + b) c ac + a + b a )] (b a)c 3 c a tre la coordnata G : Qund: b A tot = (b + a)c [ c G = (a + b) c ac + c 3 c(a + b)) = 3(a + b) G = a + b + ab 3(a + b) = a + b + ab 3(a + b), G = ] (b a)c c(a + b)) 3(a + b) Esempo 7.33 (Barcentro della corona crcolare). Consderamo una corona semcrcolare d ragg R 1 <R. R Sceglamo gl ass coordnate n modo che l asse concda con l asse d smmetra materale. S ha: G =0. R 1 Usando la proposzone 7.7 s ha: G = π(r R 1 ) [ πr 4R 3π πr 1 ] 4R 1 3π

18 94 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI 4 ( = R 3 3π(R R 1 ) R1 3 ) 4 ( = R 3π(R + R 1 ) + R1 ) + R R 1 Qund G =0, G = 4 R + R 1 + R R 1 3π R + R 1 Esempo 7.34 (Barcentro d un rettangolo bucato ). Consderamo la lamna omogenea n fgura, costtuta da una lamna rettangolare a cu è stato fatto un foro con centro n H e d raggo b. b La coordnata G del barcentro s trova mmedatamente, notando che l asse che congunge K con H è d smmetra materale: K a H 1 G = ab π ( b = 1a 3πab +b 3(8a πb) G = b La coordnata G del barcentro s trova utlzzando l corollaro 7.7 e rsultat degl esemp 7.8 e 7.9 : { [ a ) ab a 4 3π ] b π ( ) } b

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