Il Tetraedro regolare
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- Ambra Ferri
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1 I Tetraedro regoare E i soido che ha per facce 4 triangoi equiateri, (F = 4) Ha 6 spigoi (S = 6) e 4 vertici (V = 4) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le proiezioni possibii sono:
2 I suoi assi di simmetria sono: Può essere pensato inscritto ad un cubo: E i duae di se stesso:
3 Dato o spigoo per cacoare i raggio dea sfera inscritta, i raggio dea sfera circoscritta, i voume e area dea sua superficie totae si procede come segue: D Se i ato de TETRAEDRO è DK = KC = O C HK = 6 A K H B HB = DH = = 6 Indicato con R I raggio dea sfera circoscritta ( DO = OB ) e con r i raggio dea sfera inscritta appicando i teorema di Pitagora a triangoo OHB si ottiene: R = 6 e OH = r = Per cacoare angoo tra e facce, basta cacoare angoo α = DKC. Si tratta di risovere i triangoo KCD de quae si conoscono i tre ati. 1 Si ottiene : α = ArcSin = ArcSin 70 1'4'',6 Sin60 ; Voume e area totae sono immediati: = = 1 AT V
4 Esaedro Regoare o Cubo E i soido che ha per facce 6 quadrati (F = 6) Ha 1 spigoi (S = 1) e 8 vertici (V = 8) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le proiezioni possibii sono: I suoi assi di simmetria sono:
5 I cubo e i Dodecaedro: I cubo e Icosaedro:
6 Come ricoprire i cubo: I cubo e esagono: Trasformato per inversione:
7 Esaedro regoare o Cubo di spigoo. L angoo diedro tra e facce è 90 I raggio dea sfera inscritta è I raggio dea sfera circoscritta è = 6 AT V =
8 Ottaedro Regoare E i soido che ha per facce 8 triangoi equiateri, (F = 8) Ha 1 spigoi (S = 1) e 6 vertici (V = 6) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le sue proiezioni sono:
9 I suoi assi di simmetria sono: L Ottaedro e Esagono I suo Duae è i Cubo
10 Ottaedro regoare di ato AB = OH = CH = CO = α = OHC I raggio dea sfera circoscritta corrisponde a CO. IL raggio dea sfera inscritta corrisponde a atezza de triangoo rettangoo COH reativa aa base CH. Pertanto: Poiché Sinα = 6 R = r = 6 6 'angoo tra e facce è 6 α = ArcSin ; 109 8'16'',9 Ora è facie cacoare area dea superficie totae e i voume: AT = V =
11 I Dodecaedro Regoare E i soido che ha per facce 1 pentagoni regoari, (F = 1) Ha 0 spigoi (S = 0) e 0 vertici (V = 0) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le proiezioni possibii sono:
12 I suoi assi di simmetria sono: Può essere pensato inscritto ad un cubo:
13 I rettangoi aurei e i Dodecaedro: I duae de Dodecaedro è Icosaedro
14 I Dodecaedro regoare è formato da 1 facce pentagonai, congiungendo vertici come in figura si ottiene una piramide che ha come base un triangoo equiatero. Consideriamo due punti su due ati contigui dea base A e B e da questi tracciamo due segmenti uguai e perpendicoari AC e BC a ato che va a vertice dea piramide come nea seguente figura: L angoo ACD è retto per costruzione, L angoo ADC misura 6 L angoo ADE misura 0 che angoo diedro tra e facce. Perciò AC = ADSin6 AE = ADSin0 ACB AE Sin0 Sin = = AC Sin6 Sin0 ACB = ArcSin Sin 6 Ora, consideriamo a piramide che ha per base una faccia de dodecaedro e per atezza i raggio dea sfera inscritta. Poiché angoo interno di un pentagono regoare misura 108, angoo OBA = 54. AB = OA = Tan54 Quindi area di base sarà 5 5 OA = 5 Tan54 = Tan54 4 Sin0 OD = OA Tan ArcSin = Sin 6 1 Sin0 Tan54 Tan ArcSin Sin6 che è i raggio dea sfera inscritta e DB è i raggio dea sfera circoscritta. Voume e area totae sono immediati.
15 Icosaedro Regoare E i soido che ha per facce 0 triangoi equiateri, (F = 0) Ha 0 spigoi (S = 0) e 1 vertici (V = 1) I suo sviuppo è i seguente: Chiuso diventa: Le sue proiezioni sono:
16 I suoi assi di simmetria sono: I suo duae è i dodecaedro regoare:
17 L Icosaedro Regoare è formato da 0 facce di ato. Si consideri a piramide che ha per base un pentagono regoare e per facce 5 triangoi equiateri come in figura. Si prendano su due ati consecutivi i punti A e C in modo che AB = BC, si traccino i segmenti AD e CD in modo che gi angoi ADB e CDB siano retti. Si sa che angoo ABD = 60 e che angoo ABE = 54, pertanto: AD = AB Sin60 AE = AB Sin54 da ciò si ricava AE Sin54 Sin ADE = = AD Sin60 Sin54 ADC = ArcSin 18 11''',86 Sin 60 ; Abbiamo così cacoato angoo tra due facce de icosaedro regoare. Un piano che passa per i centro O de icosaedro e tagia a metà gi spigoi genera un decagono di centro O con ati pari a /. In prospettiva si ha a seguente figura: EA = OE = Cotg18 EP = 1 OP è i raggio dea sfera inscritta: r. Perciò, con Pitagora si ricava r = OE EP = Cotg 18 ecc. 4 48
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