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1 Presentazione Questa guida è una raccolta di schede di matematica. Le schede sono realizzate in forma compatta per facilitare la consultazione. Lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Ciascuna scheda è realizzata in modo che ogni parola e dettaglio presentato è fondamentale per la comprensione dell argomento. Si raccomanda pertanto una lettura attenta che non trascuri nessun rigo e nessuna parola. Le schede possono essere utilizzate nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore e per l esame universitario di analisi matematica. Il materiale è tuttora oggetto di una continua sperimentazione e di un conseguente aggiornamento ed integrazione dei contenuti. Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente personale, sono disponibili in rete all indirizzo sotto la voce Formulario. Prof. Giampiero Gallina Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l utilizzo della calcolatrice scientifica Versione 4.0 stampata nel mese di Ottobre dell anno 2013 Tutti i diritti sono riservati La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza un esplicito consenso scritto degli autori.

2 simboli insiemi Alfabeto Greco minuscole maiuscole come si legge α Α alfa β Β beta γ Γ gamma δ delta ε Ε epsilon ζ Ζ zeta η Η eta ϑ Θ teta ι Ι iota κ Κ cappa λ Λ lambda µ Μ mi ν Ν ni ξ Ξ csi ο Ο omicron π Π pi ρ Ρ ro σ Σ sigma τ Τ tau υ Υ ipsilon ϕ Φ fi χ Χ chi ψ Ψ psi ω Ω omega v di 1

3 simboli insiemi Simbologia e Convenzioni simbolo significato simbolo significato uguale diverso minore minore o uguale circa uguale, approssimato valore assoluto di o modulo di maggiore maggiore o uguale insieme vuoto insieme dei numeri naturali escluso lo zero insieme dei numeri interi insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali insieme dei numeri complessi per ogni esiste (almeno un) esiste ed è unico non esiste appartiene non appartiene intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo perpendicolare identico, coincidente congruente vero falso o media aritmetica scarto quadratico medio più infinito meno infinito insieme dei numeri immaginari insieme dei numeri naturali compreso lo zero insieme dei numeri naturali pari insieme dei numeri naturali dispari insieme dei numeri algebrici insieme dei numeri trascendenti tale che tale che incluso strettamente incluso unione intersezione intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente equivalente simile lunghezza del segmento AB rotazione di centro O e angolo α e implica (se allora) doppia implicazione (se e solo se) fattoriale di n probabilità dell evento E somma: probabilità di E 2 condizionata a E 1 v di 1

4 simboli insiemi operazione Terminologia nome addizione addendo addendo somma o totale sottrazione minuendo sottraendo differenza moltiplicazione fattore fattore prodotto divisione dividendo resto divisore quoziente o quoto frazione numeratore denominatore linea di frazione potenza base esponente radicale indice della radice esponente del radicando radicando logaritmo base argomento funzione variabile dipendente variabile indipendente funzione v di 1

5 aritmetica Criteri di divisibilità divisibilità per 2 un numero è divisibile per 2 quando l ultima cifra è pari cioè quando termina per 0, 2, 4, 6, è divisibile per 2 perché l ultima cifra è è divisibile per 2 perché l ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l ultima cifra (5) non è pari divisibilità per 3 un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di è divisibile per 3 perché che è multiplo di è divisibile per 3 perché =36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di non è divisibile per 3 perché 2+7+1=10 che non è un multiplo di 3 divisibilità per 5 un numero è divisibile per 5 quando l ultima cifra è 0 o è divisibile per 5 perché l ultima cifra è è divisibile per 5 perché l ultima cifra è non è divisibile per 5 perché l ultima cifra è 6 divisibilità per 7 63 è divisibile per 7 perché un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l ultima cifra e il doppio di quest ultima è 0 o un multiplo di è divisibile per 7 perché che è multiplo di non è divisibile per 7 perché che non è multiplo di 7 divisibilità per 11 un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di è divisibile per 11 perché e e non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11 divisibilità per 13 un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l ultima cifra e il quadruplo di quest ultima è un multiplo di è divisibile per 13 perché 1467 non è divisibile per 13 perché e che è multiplo di (7 4)= =174 e 17 + (4 4) = =33 che non è multiplo di 13 divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l ultima cifra e il quintuplo di quest ultima è 0 o un multiplo di è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e che è diverso da 0 o da un multiplo di 17 v di 1

6 aritmetica Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4 un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre 316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4 divisibilità per 7 un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l ultima cifra e il doppio di quest ultima è 0 o un multiplo di è divisibile per 7 perché che è multiplo di non è divisibile per 7 perché che non è multiplo di 7 divisibilità per 9 un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di è divisibile per 9 perché che è multiplo di non è divisibile per 9 perché che non è multiplo di 9 divisibilità per 13 un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l ultima cifra e il quadruplo di quest ultima è un multiplo di è divisibile per 13 perché e che è multiplo di non è divisibile per 13 perché 146 +(7 4)= =174 e 17 + (4 4) = =33 che non è multiplo di 13 divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l ultima cifra e il quintuplo di quest ultima è 0 o un multiplo di è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17 che è divisibilità per 19 un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l ultima cifra e il doppio di quest ultima è un multiplo di è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2 0)=15 che è diverso da un multiplo di 19 divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di è divisibile per 23 perché è multiplo di non è divisibile per 23 perché non è multiplo di 23 divisibilità per 25 un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46 v di 1

7 aritmetica Calcolo percentuale - Pendenza Calcolo percentuale Per introdurre il concetto di percentuale è utile cominciare con un esempio. Consideriamo un abito dal costo di 300 euro. 300 euro rappresenta il valore iniziale cioè 100% del valore della grandezza, mentre ad esempio 150 euro è la metà del valore cioè il 50%. Ma quale sarà, per esempio, il 12% del costo dell abito? Per risolvere questo problema basta scrivere e risolvere la seguente proporzione: il valore Iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale (percentuale) sta al 12%, cioè da cui = 36 euro Generalizzando l esempio, se indichiamo con V i il valore della grandezza totale (300 euro), con V f il valore finale (la percentuale 36 euro), con t il tasso percentuale, o semplicemente, il tasso (12%), possiamo scrivere che: il valore iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale sta al tasso Questa proporzione è impiegata per risolvere i problemi di calcolo percentuale, vediamo alcuni esempi calcolo del Valor iniziale V i 420 alunni ( ) rappresentano il 35% ( ) di tutti gli alunni di una scuola. Quanti alunni ( )compongono la scuola? alunni calcolo del Valore finale V f (percentuale) in una classe di 25 alunni quanti alunni rappresentano il 20% ( )? alunni calcolo del tasso percentuale o tasso t una borsa di 80 euro ( ) è stata venduta con uno sconto di 20 euro ( ), che tasso percentuale ( ) è stato applicato? Pendenza la pendenza percentuale è definita come il rapporto tra il dislivello verticale e lo spazio orizzontale moltiplicato 100 Δx esempio Calcoliamo la pendenza percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m Δh Nei cartelli stradali il valore indicato rappresenta il dislivello vertcale ( h) subito in 100 metri orizzontali. Ad esempio 10 % indica che in 100 metri orizzontali c e un dislivello di 10 metri in verticale v di 1

8 algebra Proprietà delle Potenze definizione si definisce potenza n-sima di base e di esponente, il prodotto della base moltiplicata n volte per se stessa cioè: con base numero reale e con esponente numero naturale n volte generalizzazione la definizione di potenza n-sima si può generalizzare a quella di potenza nel caso in cui l esponente sia un numero razionale oppure un numero reale, in entrambi i casi: se l esponente allora la base deve essere un numero reale se l esponente allora la base deve essere un numero reale proprietà potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all esponente che può essere pari o dispari v di 1

9 algebra Prodotti notevoli somma per differenza quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine quadrato di un binomio quadrato del primo termine il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine più il quadrato del secondo termine cubo di un binomio cubo del primo termine il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine il cubo del secondo termine quadrato di un trinomio quadrato dei tre termini il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine il doppio prodotto del primo termine per il terzo termine il doppio prodotto del secondo termine per il terzo termine cubo di un trinomio ricorda che lo sviluppo ha 10 termini particolari prodotti notevoli oppure cubo del primo più il cubo del secondo cubo del primo meno il cubo del secondo potenza n-sima di un binomio consideriamo il seguente esempio con n = 5, da esso possiamo dedurre le regole per lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio valide per ogni n lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio completo e omogeneo cioè formato da (n+1) monomi, tutti dello stesso grado e ordinati secondo le potenze decrescenti di e secondo le potenze crescenti di I coefficienti numerici dei monomi si ricavano dal triangolo di Tartaglia noto anche come triangolo di Pascal. potenza ad esponente 0 potenza ad esponente 1 potenza ad esponente 2 potenza ad esponente 3 potenza ad esponente 4 potenza ad esponente per costruire il triangolo di Tartaglia basta ricordare che: al vertice in alto della figura c è il numero 1 ogni riga inizia con 1 e termina con 1 ogni numero è la somma di quello che gli sta sopra più il precedente. Ad esempio 10 = 6+4 v di 1

10 algebra Scomposizioni raccoglimento totale sono presenti un numero qualsiasi di termini raccoglimento parziale sono presenti un numero pari di termini differenza di due quadrati sono presenti solo 2 termini al quadrato differenza di cubi sono presenti solo 2 termini al cubo somma di cubi sono presenti solo 2 termini al cubo quadrato di binomio sono presenti solo 3 termini trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: sommati danno cioè: e moltiplicati danno cioè: trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno i due numeri sono e trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: sommati danno : e moltiplicati danno : effettuare un raccoglimento parziale trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno i due numeri sono e sostituire con effettuare il raccoglimento parziale cubo di binomio sono presenti 4 termini quadrato di un trinomio sono presenti 6 termini cubo di un trinomio sono presenti 10 termini v di 1

11 algebra Radicali definizione di radice aritmetica si definisce radice aritmetica n-sima di, e si indica con, quel numero tale che: con numeri reali e con numero intero in simboli: nomenclatura si chiama radicale n è l indice della radice m è l esponente del radicando è il radicando proprietà non ha significato esempi operazioni con i radicali operazione nome esempio semplificazione riduzione allo stesso indice e prodotto di radicali rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice somma algebrica di radicali simili v di 3

12 algebra Radicali razionalizzazione del denominatore di una frazione che cosa è: se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale. La razionalizzazione è una operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un numero razionale. come si fa: per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore ed il denominatore della frazione per uno stesso fattore detto fattore razionalizzante. Tale fattore va scelto in modo opportuno a seconda di come è formato il denominatore. Si distinguono quattro casi riportati di seguito, in essi il fattore razionalizzante è evidenziato in colore. caso: al denominatore una sola radice quadrata cosa fare esempi osserva che: e che: caso: al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare esempi osserva che: e che: caso: al denominatore un polinomio con una o più radici quadrate cosa fare esempi osserva che il prodotto notevole si può applicare anche ai seguenti casi 2 caso: al denominatore un binomio con una o due radici cubiche cosa fare esempio ricorda i prodotti notevoli: v di 3

13 algebra Radicali radicale doppio che cosa è: un radicale doppio è formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla somma di un monomio e di un altra radice quadrata, cioè: come si risolve: se è un quadrato perfetto, si applica la formula del radicale doppio che consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radici singole. ricorda : un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale, ad esempio 4, 9, 16, 25 sono quadrati perfetti formula la formula si applica solo se è un quadrato perfetto esempio 16 è un quadrato perfetto e la formula si può applicare definizione di radice algebrica si definisce radice algebrica n-sima di, e si indica con, quel numero tale che: con numeri reali qualsiasi e con numero intero in simboli: l esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo caso n pari esempi caso n dispari osservazioni importanti v di 3

14 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare. La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali. Tutti gli angoli retti sono uguali V postulato Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di Niccolò Tartaglia, edizione del 1565 v di 13

15 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana Definizioni segmento Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti detti estremi segmenti consecutivi consecutivi adiacenti Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta punto medio di un segmento M Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico semiretta La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto origine della semiretta semipiano Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta detta origine del semipiano angolo L angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell angolo L origine comune delle due semirette si chiama vertice dell angolo v di 13

16 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana angolo concavo e angolo convesso concavo convesso Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati angoli consecutivi e adiacenti consecutivi adiacenti Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte angoli opposti al vertice Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell uno sono i prolungamenti dei lati dell altro bisettrice di un angolo b La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l angolo in due parti congruenti 180 angolo piatto e angolo retto Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto 90 Un angolo piatto misura 180 Un angolo retto misura angolo giro e angolo nullo Un angolo giro è la parte concava dell angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo nullo è la parte convessa dell angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo giro misura 360 Un angolo nullo misura 0 ed è privo di punti interni v di 13

17 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana acuto ottuso angoli acuti e ottusi Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto complementari supplementari esplementari angoli complementari, supplementari, esplementari Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se sono coincidenti oppure se non hanno alcun punto in comune asse di un segmento M L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio poligonale o spezzata lato Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano vertice I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale v di 13

18 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana poligonale aperta/chiusa aperta chiusa Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto Una poligonale è chiusa se l ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata convesso concavo poligoni convessi e concavi Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura poligono regolare Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso interno esterno Un angolo interno di un poligono convesso è l angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono Un angolo esterno di un poligono convesso è l angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi v di 13

19 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana perimetro di un poligono Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti isoperimetrici triangolo c b Un triangolo è un poligono formato da tre lati a triangolo isoscele Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero scaleno equilatero Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso rettangolo acutangolo ottusangolo Nel triangolo rettangolo i lati che formano l angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo h L altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo v di 13

20 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane asse di un lato di un triangolo L asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro L ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l ortocentro coincide con il vertice dell angolo retto incentro L incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo baricentro Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo v di 13

21 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana circocentro Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell ipotenusa excentro L excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri P proiezione di un punto su una retta P La proiezione di un punto su una retta è il punto d intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa P distanza di un punto da una retta d La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta B proiezione di un segmento su una retta A B La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato A distanza tra rette parallele d La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall altra retta v di 13

22 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana angoli formati da due rette tagliate da una trasversale Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo Il rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti rombo Il rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti quadrato Il quadrato è un parallelogrammo con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare v di 13

23 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana Esempi di alcuni luoghi geometrici: l asse di un segmento la bisettrice di un angolo la circonferenza la parabola l ellisse l iperbole luogo geometrico Un luogo geometrico è l insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico C r P circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio cerchio Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro arco di circonferenza Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza v di 13

24 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda segmento circolare a due basi Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde corona circolare Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza retta esterna ad una circonferenza Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v di 13

25 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l altro tangente poligono inscritto in una circonferenza Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee a b c a = b b < c Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili u 3 u 5 u Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune v di 13

26 geometria piana Postulati e definizioni di geometria piana grandezze incommensurabili d Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune u a a = 5 u Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili misura di una grandezza La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze a a b b c c grandezze direttamente proporzionali Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell altra classe a a b b c c grandezze inversamente proporzionali Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell altra classe poligoni simili Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed la sua sezione aurea, la proporzione si scrive: che risolta in dà: circonferenza rettificata La circonferenza rettificata è l unico segmento che sia: minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v di 13

27 geometria piana Teoremi di geometria piana la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti α γ β teorema sugli angoli supplementari Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti α γ β teorema sugli angoli esplementari Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti teorema sugli angoli opposti al vertice Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza Se due triangoli hanno due lati e l angolo tra essi compreso congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v di 21

28 geometria piana Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele Vale anche l inverso: II teorema sul triangolo isoscele Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base Vale anche: In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è bisettrice dell angolo al vertice e altezza relativa alla base l altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell angolo al vertice I teorema sul triangolo equilatero Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero Vale anche l inverso: II teorema sul triangolo equilatero Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre altezze e con i tre assi II criterio di congruenza generalizzato Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v di 21

29 geometria piana Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche: Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno l ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno l ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente alla metà dell ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v di 21

30 geometria piana Teoremi di geometria piana teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell angolo esterno In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che: La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto II teorema dell angolo esterno In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l angolo maggiore Vale anche: Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all angolo maggiore si oppone il lato maggiore c b II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo In un triangolo ogni lato: è minore della somma degli altri due è maggiore della differenza degli altri due a Ad esempio: oppure oppure oppure oppure relazione tra gli elementi di due triangoli Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all angolo maggiore Vale anche l inverso: Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v di 21

31 geometria piana Teoremi di geometria piana teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti c d teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono a b a e In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati Ad esempio: b c d e oppure oppure relazione tra i perimetri di due poligoni Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari r s Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari v di 21

32 geometria piana Teoremi di geometria piana teorema sull esitenza ed unicità della retta perpendicolare P Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che: Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta P P d teorema sulla distanza di un punto da una retta La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta Osserva che: La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta teorema sull esistenza di rette parallele Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro Vale anche: Se due rette sono parallele allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti angoli corrispondenti congruenti angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari criterio di parallelismo Se due rette tagliate da una trasversale formano: angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o angoli corrispondenti congruenti o angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro r s t v di 21

33 geometria piana Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza teoremi sulle proiezioni teorema sulle proiezioni congruenti Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti teorema sulle proiezioni non congruenti Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore teorema generale sulle proiezioni La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio Se un trapezio è isoscele allora gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo In un parallelogrammo: i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti i lati opposti sono a due a due congruenti gli angoli opposti sono a due a due congruenti le diagonali si incontrano nel loro punto medio gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari v di 21

34 geometria piana Teoremi di geometria piana teorema inverso sul parallelogrammo Se un quadrilatero ha: i lati opposti a due a due congruenti o gli angoli opposti a due a due congruenti o le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo teorema sul rombo In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro bisettrici degli angoli interni Se in un parallelogrammo le diagonali sono perpendicolari tra loro o bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo Vale anche l inverso: primi teoremi sul fascio di rette parallele teorema sul fascio di rette parallele t t Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo M M Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo M M Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà v di 21

35 geometria piana Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull asse di una corda Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche: L asse di una corda passa per il centro della circonferenza teorema sui punti di una circonferenza Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche: Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati I teorema sulle corde e loro distanza dal centro Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro Vale anche l inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti II teorema sulle corde e loro distanza dal centro Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro Vale anche l inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti Vale anche l inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v di 21

36 geometria piana Teoremi di geometria piana teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna) Vale anche l inverso: Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio teorema sulla retta tangente ad una circonferenza Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto Vale anche l inverso: Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne r r C C Se due circonferenze hanno i punti dell una esterni all altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi Vale anche l inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell una esterni all altra (circonferenze esterne) II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell una esterni all altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi Vale anche l inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne) III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi Vale anche l inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti) IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell una interni all altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v di 21

37 geometria piana Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne Se due circonferenze hanno i punti dell una interna all altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l inverso: Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell una sono interni all altra (circonferenze interne) teorema sugli angoli alla circonferenza In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l inverso: Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti III teorema sugli angoli alla circonferenza Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che: Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo teorema delle tangenti ad una circonferenza Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti Vale anche: La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell angolo formato dalle due tangenti v di 21

38 geometria piana Teoremi di geometria piana luoghi geometrici asse di un segmento L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento M bisettrice di un angolo La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell angolo punti notevoli di un triangolo circocentro Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che: Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è equidistante dai vertici del triangolo incentro Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che: L incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo ed è equidistante dai lati del triangolo baricentro Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell altra G Osserva che: Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G ortocentro Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v di 21

39 geometria piana Teoremi di geometria piana triangolo equilatero In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che: In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso distanza del baricentro dai lati di un triangolo G In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell altezza relativa allo stesso lato teorema di Eulero C G O In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l ortocentro O sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero C G O La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l inverso: Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza corollario Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche: Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v di 21

40 geometria piana Teoremi di geometria piana d a a b c b c d teorema sui quadrilateri circoscritti Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati Vale anche l inverso: Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza corollario l b l Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza B B b Vale anche: l l Ogni quadrilatero equilatero cioè con i lati congruenti è circoscrittibile ad una circonferenza teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari a r Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolare teorema sui poligoni regolari Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell esagono regolare O Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso v di 21

41 geometria piana Teoremi di geometria piana l equivalenza e la similitudine teoremi sull equivalenza teorema sull equivalenza di parallelogrammi Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull equivalenza di parallelogrammi Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti teorema sull equivalenza del triangolo e del parallelogrammo Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti teorema sull equivalenza di due triangoli Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti teorema sull equivalenza del triangolo e del trapezio Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti r b a a c r d b c d teorema sull equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza v di 21

42 geometria piana Teoremi di geometria piana c d teorema sull equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo r b a r a b e c d e Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l equivalenza) Q In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa R Q è equivalente ad R Vale anche l inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo Q II teorema di Euclide (enunciato secondo l equivalenza ) In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa R Q è equivalente ad R Vale anche l inverso: Se il quadrato costruito sull altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo teorema di Pitagora Q1 Q2 In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti Q Q è equivalente a Q 1+ Q 2 Vale anche l inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo v di 21

43 geometria piana Teoremi di geometria piana Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola teorema sul rapporto di grandezze commensurabili Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale teorema fondamentale sulla proporzionalità : = : a : b = c : d Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure teorema sulla quarta proporzionale : = : = Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Criterio generale di proporzionalità Se Se a a b b c c allora allora Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell altra alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi : 28 = 2 : 7 I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi Vale anche: I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze v di 21

44 geometria piana Teoremi di geometria piana teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio β b α a a : b = α : β Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro : 6 = 2 : : 4 = 6 : 8 9 : 16 = 36 : 64 teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione Vale anche l inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell uno sono i medi e i due lati consecutivi dell altro sono gli estremi di una stessa proporzione teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione teorema di Talete b a a a : b = a : b b Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull altra trasversale A C P B CP : PB = AC : AB teorema sulla bisettrice dell angolo interno di un triangolo La bisettrice dell angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati Vale anche l inverso: Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo teorema sulla bisettrice dell angolo esterno di un triangolo C P Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati A B AP : CP = AB : BC Vale anche l inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo v di 21

45 geometria piana Teoremi di geometria piana A C P P B AP : PC = BP : P C corollario del teorema di Talete Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali Vale anche l inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato A D B C teorema di Tolomeo Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti Vale anche l inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza C P P A B PP C è simile ad ABC teoremi sulla similitudine teorema fondamentale della similitudine Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale C C I criterio di similitudine Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili A B A B ABC è simile ad A B C Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili C II criterio di similitudine C A B A B ABC è simile ad A B C C Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine C A B A B ABC è simile ad A B C Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili v di 21

46 geometria piana Teoremi di geometria piana C I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità) A H AH : AC = AC : AB B In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa C II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità) A H AH : CH = CH : HB B In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa C C teorema delle altezze A H B A H B AB : A B = CH : C H C 2p C 2p A B A B 2p : 2p = AB : A B Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze teorema dei perimetri Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi In generale: Se due poligoni sono simili allora i perimetri stanno tra loro come di due lati omologhi C S C S A B A B S : S = (AB) 2 : (A B ) 2 teorema delle aree Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi I teorema dei poligoni regolari P P Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili P simile a P v di 21

47 geometria piana Teoremi di geometria piana C teorema della bisettrice A P B In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato A D P B teorema delle corde Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull altra corda sono estremi di una stessa proporzione C AP : PD = CP : PB Vale anche l inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza P B A C D PA : PD = PC : PB T B C PC : PT = PT : PB r P teorema delle secanti Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l intera secante e la sua parte esterna sono i medi e l altra secante intera e la sua parte sono gli estremi della proporzione Vale anche l inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza teorema della tangente e della secante Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna Vale anche l inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all altro segmento allora l altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti teorema sul lato del decagono regolare Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè teorema sul lato del pentagono regolare r r a Il lato del pentagono regolare è congruente all ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso v di 21

48 geometria piana Triangoli rettangoli particolari triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 C i = ipotenusa cm = cateto minore cm = cateto maggiore c m c M A i B triangolo rettangolo con angoli di 45 (isoscele) c C c i = ipotenusa c = cateto A i B triangolo rettangolo con angoli di 18 e 72 C i = ipotenusa cm = cateto minore cm = cateto maggiore c m c M A i B TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 applicazioni TRIANGOLO ISOSCELE PARTICOLARE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18 e 72 l h l l 18 h l l l = lato h = altezza l = lato h = altezza v di 1

49 geometria piana Sezione aurea di un segmento - Rettangolo Aureo definizione di sezione aurea di un segmento la sezione aurea ( ) di un segmento di lunghezza ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè: per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta trovare il valore di dalla proporzione. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni essa si trasforma in una equazione nell incognita si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli: si risolve l equazione di II grado in : il numero vale circa 0, Il suo inverso,, si chiama numero aureo, vale circa 1, e viene indicato con la lettera dall'iniziale dello scultore greco Fidia che avrebbe usato il numero aureo per creare la struttura del Partenone di Atene esempio Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza precedentemente basta applicare la formula dimostrata definizione di rettangolo aureo un rettangolo si dice aureo se il lato minore ( ) è la sezione aurea del lato maggiore ( ) cioè se il lato minore è medio proporzionale tra il lato maggiore ( ) e la differenza tra i due lati ( ), cioè: le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione corrispondono, salvo tolleranze di fabbricazione, al rettangolo aureo costruzione di un rettangolo aureo Siano e i lati minore e maggiore del rettangolo aureo che si vuole costruire. Allora: si disegna un quadrato di lato si trova il punto medio M della base del quadrato si prolunga la base del quadrato si traccia un arco dicirconferenza di centro M e raggio MN il punto di intersezione tra l arco di circonferenza e il prolungamento del lato del quadrato individua il secondo estremo del lato maggiore b del rettangolo. v di 1

50 geometria solida Volumi e superfici delle principali figure solide cubo parallelepipedo rettangolo prisma retto piramide retta a base regolare piramide retta tronco di piramide cilindro cilindro equilatero ( ) cono cono equilatero ( ) tronco di cono sfera v di 2

51 geometria solida Volumi e superfici delle principali figure solide segmento sferico ad 1 base segmento sferico a 2 basi spicchio sferico α 1 0 teorema di Guldino 2 0 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro) il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie l r S r solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo cinque: tetraedro 4 triangoli equilateri esaedro (cubo) 6 quadrati ottaedro 8 triangoli equilateri dodecaedro 12 pentagoni regolari icosaedro 20 triangoli equilateri Il volume dei solidi platonici si calcola moltiplicando il cubo dello spigolo per un numero caratteristico del solido: formula di Eulero Indicato con: poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l unione delle facce faccia = figura piana che compone il poliedro spigolo = segmento di incontro delle facce vertice = punto di incontro degli spigoli per tutti i poliedri vale la formula di Eulero: faccia spigolo vertice v di 2

52 geometria analitica Geometria analitica in sintesi punti distanza tra due punti coordinate del punto medio coordinate del baricentro tra due punti di un triangolo di vertici retta e forma implicita forma esplicita forma segmentaria equazione della retta m è il coefficiente angolare q è l intersezione con l asse delle y p è l intersezione con l asse delle x q p 1 m coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m condizioni di parallelismo tra due rette r ed s // oppure condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s punto di intersezione tra due rette r ed s r s P(x 0,y 0 ) retta in forma implicita retta in forma esplicita distanza di un punto da una retta r d P(x 0,y 0 ) r equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s r b 2 s b 1 tangente dell angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare m r ed m s rette particolari y x y x y n x y n x y x y x asse x asse y parallela asse x parallela asse y bisettrice I e III q. bisettrice II e IV q. v di 7

53 geometria analitica Geometria analitica in sintesi parabola F P d La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice: d F P parabola con asse di simmetria parallelo all asse y parabola con asse di simmetria parallelo all asse x equazione completa coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell asse equazione della direttrice equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto detta formula di sdoppiamento con area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico area del segmento parabolico parabole particolari b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c c c c a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 se a = 0 la parabola degenera in una retta c v di 7