Corso di. Teoria dei Sistemi. Alberto Bemporad. Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Siena

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1 Corso di Teoria dei Sistemi Alberto Bemporad Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Siena Corso di Diploma in Ingegneria Informatica Anno accademico /

2 Scopo del Corso La scienza consiste in gran parte nel descrivere mediante un modello matematico alcuni aspetti della realtà, catturandone i meccanismi di funzionamento fondamentali. La teoria dei sistemi è lo studio delle proprietà dei modelli matematici associati a sistemi dinamici, cioè a quei processi reali che evolvono nel tempo. Il corso fornirà: Gli strumenti matematici necessari per studiare le proprietà dei sistemi dinamici Esempi di come ottenere modelli matematici per diversi tipi di processi fisici Tecniche al calcolatore per l analisi, la simulazione e il controllo di sistemi dinamici (Matlab)

3 . Sistemi e Modelli

4 Sistemi e Modelli Sistemi ed Esperimenti Un sistema dinamico è un oggetto o insieme di oggetti che evolvono nel tempo di cui vogliamo studiare le proprietà Esempio: il sistema solare, un impianto per la produzione della carta, un condensatore collegato ad una resistenza elettrica Proprietà a cui siamo interessati. Ad esempio: Quando avverrà la prossima eclisse? Come devo manovrare le valvole dell impianto per produrre carta di buona qualità? Cosa succede se collego il condensatore alla resistenza? Prima possibilità: fare esperimenti! -

5 Sistemi e Modelli Perché non fare esperimenti: Troppo costoso Troppo pericoloso (es: centrale nucleare) Impossibile (il sistema ancora non e stato costruito) Soluzione:. Fare un modello matematico del sistema, cioè descrivere i fenomeni essenziali che avvengono nel sistema mediante le leggi della fisica, biologia, economia, ecc.. Analizzare le equazioni del modello matematico e simulare il sistema risolvendo (manualmente o al computer) tali equazioni. Risultato: La simulazione ha costo quasi nullo, ma l utilità della simulazione dipende da quando il modello matematico è vicino al sistema fisico Fare un buon modello èunarte! -

6 Sistemi e Modelli Esempio: Serbatoio Variabili: altezza serbatoio h m flusso d ingresso u m 3 /s flusso d uscita q m 3 /s velocità d uscita v m/s Parametri: sezione serbatoio A m sezione apertura a m accelerazione di gravità g m/s h u q Leggi della fisica: v(t) = gh(t) q(t) = av(t) d [Ah(t) ]=u(t) q(t) dt Legge di Torricelli Flusso di uscita Bilancio di massa Modello matematico del serbatoio: d dt h(t) = a g A q(t) = a g h(t) h(t)+ A u(t) -3

7 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m, a =.5 m, h() = m, u(t) m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) 5 Tempo (s) 5 Tempo (s) -4

8 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m, a =.5 m, h() = m, u(t) m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) 5 Tempo (s) 5 Tempo (s) -5

9 Sistemi e Modelli Simulazione per A =m, a =.5 m, h() = m, u(t) =.5sin(t/5) + m 3 /s Altezza h(t) (m) Flussi di ingresso e uscita (m 3 /s) 3 Tempo (s) 3 Tempo (s) -6

10 Sistemi e Modelli Modelli in forma state-space (spazio di stato) ẋ(t) = f(x(t),u(t))) ẋ dx dt y(t) = g(x(t),u(t)) u(t) è l ingresso del sistema (variabili esogene) y(t) è l uscita del sistema (variabili di interesse o misure) x(t) è lo stato del sistema x(t ) = tutta l informazione necessaria al tempo t per poter predire l evoluzione futura dell uscita y(t) del sistema, t t, per un dato ingresso u(t), t t. il concetto di stato è fondamentale per poter simulare i sistemi dinamici. Esempio: modello matematico del serbatoio d dt h(t) = a g A q(t) = a g h(t) h(t)+ A u(t) h(t)=stato, q(t)=uscita, u(t)=ingresso. (In generale, x, u, y sono vettori, x R n, u R m, y R p ). -7

11 . Sistemi Lineari a Tempo Continuo

12 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Considera l equazione differenziale del primo ordine ẋ(t) = ax(t) ẋ dx dt x() = x Esiste una e una sola soluzione: x(t) =e at x x(t) a< t a= a> Esempi fisici: R S C v (t) c m v(t) v c (t)+rc v c (t) = v c (t) =v c ()e t RC βv(t) =m v(t) v(t) =v()e β m t -

13 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Considera l equazione differenziale del primo ordine con ingresso ẋ(t) = ax(t)+bu(t) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(t) = e at x }{{} + risposta libera t e a(t τ) bu(τ)dτ } {{ } risposta forzata x l (t) = e at x effetto delle condizioni iniziali x f (t) = t ea(t τ) bu(τ)dτ effetto dell ingresso Esempi fisici: u(t) S R C v (t) c m v(t) u(t) u(t) RC v c (t) v c (t) = x = V c,a= RC, b = RC βv(t)+u(t) =m v(t) x = v, a = β m,b= m -

14 . Richiami di Algebra Lineare a a... a n a a... a n A = a n a n... a nn I = Equazione caratteristica di A: det(si A) = Polinomio caratteristico di A: P (s) =det(si A) Autovettori di A: vettori v i tali che matrice quadrata di ordine n matrice identità di ordine n Av i = λ i v i, i =,,...,n Autovalori di A: Len soluzioni a λ,...,λ n dell equazione caratteristica di A det(λ i I A) =, i =,,...,n Diagonalizzazione di A: A = T ΛT, T =[v v... v n ], Λ= λ... λ λ n a N.B.: In generale le soluzioni sono numeri complessi -3

15 . Richiami di Algebra Lineare Esempio : A = 6 6 s det(si A) = s = s 3 +6s +s+6 6 s +6 Autovalori: λ =, λ =, λ 3 = 3 Esempio : det(si A) = A = s s = s 3s +7 Autovalori: λ = 3 + j 59, λ = 3 j 59 Nota: j unità immaginaria a + jb = a + b ρe jθ = ρ(cos θ + j sin θ) -4

16 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Sistema di equazioni differenziali di ordine n con ingresso ẋ (t) = a x (t) a n x n (t) +b u(t) ẋ (t) = a x (t) a n x n (t) +b u(t)... ẋ n (t) = a n x (t) a nn x n (t) +b n u(t) x ()= x,... x n ()= x n Forma matriciale equivalente ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) x()= x La soluzione esiste ed è unica: x(t) = e At x }{{ } + risposta libera t e A(t τ) Bu(τ)dτ } {{ } risposta forzata La matrice esponenziale è definita come e At I + At + A t An t n n! +... Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= λ... λ λ n e At = T e λ t... e λ t e λ nt Il modo di evolvere del sistema dipende dagli autovalori di A T -5

17 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio fisico: Circuito RLC S R L u(t) i`(t) C v (t) c u(t) Ri l L di l(t) dt v c (t) = Equilibrio tensione i l (t) =C dv c(t) dt Equilibrio corrente Equivale al sistema di equazioni differenziali di ordine : di l (t) dt dv c (t) dt In forma matriciale: = R L i l(t) L v c(t)+ L u(t) = C i l(t) d i l(t) = R L L i l(t) + L u(t) dt v c (t) C v c (t) }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ(t) A x(t) B -6

18 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio fisico: Massa-Molla-Smorzatore k u(t) m s(t), v(t) ṡ(t) =v(t) m v(t) =u βv(t) ks(t) Definizione di velocità Legge di Newton Equivale al sistema di equazioni differenziali di ordine : ds(t) dt dv(t) dt = v(t) In forma matriciale: = β m v(t) k m s(t)+ m u(t) d s(t) = s(t) dt v(t) k m + u(t) β m v(t) m }{{}}{{}}{{}}{{} ẋ(t) A x(t) B -7

19 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Equazioni differenziali di ordine n dy (n) (t) dt dy (n ) (t) +a n + +a ẏ(t)+a y(t) = dt Ponendo x (t) y(t), x (t) ẏ(t),..., x n (t) y n (t), equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = x 3 (t).... ẋ n (t) = a x (t)+... a n x n (t) x() = [y() ẏ()... y n ()] Esempio: x (t) = y(t) x (t) = ẏ(t) ÿ(t)+ẏ(t)+5y(t) = ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = 5x (t) x (t) x() = [y() ẏ()] -8

20 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Equazioni differenziali di ordine n con ingresso dy (n) (t) dt + a n dy (n ) (t) dt b n du (n ) (t) dt + + a ẏ(t)+a y(t) = + b n du (n ) (t) dt + + b u(t)+b u(t) Equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = x 3 (t).. ẋ n (t) = a x (t)+... a n x n (t)+u(t) y(t) = b x (t) b n x n Equivale alla forma matriciale ẋ(t) = y(t) = a a a... a [ ] n b b b... b n x(t) x(t)+. u(t) -9

21 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Esempio : ÿ(t) ẏ(t) +y(t) =u(t) d dt x(t) = y(t) = x(t)+ [ ] x(t) u(t) Esempio : d (3) y(t) dt +5ÿ(t)+3ẏ(t)+6y(t) =3u(t)+4 u(t) d dt x(t) = y(t) = 6 [ 3 ] x(t) x(t)+ u(t) -

22 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Sistema lineare tempo-continuo, tempo-invariante: { ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x() = x Dato lo stato iniziale x() e un segnale di ingresso u(t), t, è possibile predire tutta l evoluzione dello stato x(t) e dell uscita y(t) del sistema, per ogni t. Nota che lo stato x() sintetizza tutta la storia passata del sistema. La dimensione n dello stato x(t) R n è detta ordine del sistema. Il sistema si dice proprio se D =. In generale x(t) R n, u(t) R m, y(t) R p, A R n n, B R n m, C R p n, D R p m -

23 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Soluzione di regime stazionario Ipotesi: A ha tutti autovalori a parte reale < Quale sarà il valore asintotico dell uscita corrispondente ad un dato ingresso costante u(t) u r, t? Imponiamo ẋ r (t) = Ax r + Bu r = Esempio: d dt x(t) = y r = ( CA B + D) }{{} u r guadagno in continua y(t) = 4 x(t)+ u(t) [ ] x(t) Guadagno in continua: [ ] 4 = y(t) 3 u(t) 3 3 t 3 t Evoluzione dell uscita y(t) per diverse cond. iniz. e ingresso u(t) -

24 Sistemi Lineari a Tempo Continuo Definizione generale di equilibrio: Dato il sistema (tempo continuo, non lineare, tempo variante) ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) y(t) = g(t, x(t), u(t)) Lo stato costante x r e l ingresso costante u r sono un equilibrio del sistema se per x(t )=x r e u(t) u r, t t,sihax(t) x r, t t. Definizione equivalente: f(t, x(t), u(t)) =, t t x r è detto stato di equilibrio u r è detto ingresso di equilibrio -3

25 3. Sistemi Lineari a Tempo Discreto

26 Fig. (a)fig. (b) 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto 3.5 y(t), y(kt) 4 y(t), y(kt) tempo t tempo t Campionamento di un segnale continuo Segnale discreto Esprimono relazioni fra variabili campionate ad intervalli T : x(kt), u(kt), y(kt), k =,,..., Il segnale è x(kt) è mantenuto costante durante l intervallo di campionamento [kt,(k +)T ). Il segnale può rappresentare il campionamento di un segnale continuo nel tempo (Fig. a), oppure essere intrinsecamente discreto nel tempo (Fig. b). Fondamentali per il progetto di controllori digitali 3-

27 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Considera l equazione alle differenze del primo ordine x(k +) = ax(k) x() = x Esiste una e una sola soluzione: x(k) =a k x 3.5 a> x(k).5 a=.5 <a< k 3-

28 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Considera l equazione alle differenze del primo ordine con ingresso x(k +) = ax(k)+bu(k) x() = x La soluzione esiste ed è unica: x(k) = a k x }{{ } + risposta libera k i= a i bu(k i) } {{ } risposta forzata Esempio: accumulo di capitale in un deposito bancario ρ: tasso di interesse (fisso) praticato dalla banca x(k): capitale accumulato all inizio dell anno k u(k): capitale versato alla fine dell anno k x : capitale iniziale x(k +)= (+ρ)x(k)+u(k) x()= x Capitale accumulato (k$) Esempio numerico: x k$ u(k) 5k$ x(k) = 6(.) k 5 ρ % x(k) k (anni) 3-3

29 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Sistema di equazioni alle differenze di ordine n con ingresso x (k +)= a x (k) a n x n (k) +b u(k) x (k +)= a x (k) a n x n (k) +b u(k)... x n (k +)= a n x (k) a nn x n (k) +b n u(k) x ()= x,... x n ()= x n Forma matriciale equivalente x(k +)= x()= x La soluzione esiste ed è unica: x(k) = A k x }{{ } + risposta libera Ax(k)+Bu(k) k i= A i Bu(k i) } {{ } risposta forzata Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= λ... λ λ n A k = T λ k... λ k λ k n T Il modo di evolvere del sistema dipende dagli autovalori di A 3-4

30 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Esempio x (k +) = x (k) + x (k) x (k +) = x (k) +u(k) x () = x ()= [ x(k +) = x() = [ ] ] [ ] x(k) + u(k) Autovalori di A: λ =, λ = Soluzione: x(k) = = = [ ] k [ [ k k [ ( ) k ] }{{} risposta libera k ] + ] [ + i= k i= [ k ] + i= [ i ] i [ ] u(k i) ] [ i ] u(k i) } {{ } risposta forzata u(k i) Soluzione numerica per u(k) (risposta libera):.5 x (k),x (k) passo k 3-5

31 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Equazioni alle differenze di ordine n con ingresso a n y(k n)+a n y(k n +)+ + a y(k )+ y(k) = b n u(k n)+ + b u(k )+ b u(k) Equivale al sistema di n equazioni del primo ordine: x (k +)= x (k +)=. x n (k +)= x (k) x 3 (k). a n x (k)+... a x n (k)+u(k) y(k) = (b n b a n )x (k)+ +(b b a )x n (k)+b u(k) Equivale alla forma matriciale x(k +)= y(k) = x(k)+... a n a n a n... a [ ] (b n b a n )... (b b a ) x(k)+b u(k). u(t) 3-6

32 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Esempio: y(k )+ y(k) =u(k ) x(k +)= y(k) = x(k)+ [ ] x(k) u(k) Soluzione numerica per x()= [ ], u( )=, u( )=, u(k) perk (risposta forzata): y(k) passo k 3-7

33 A R n n, B R n m, C R p n, D R p m Sistemi Lineari a Tempo Discreto Sistema lineare tempo-discreto, tempo-invariante: { x(k +) = Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) x() = x Dato lo stato iniziale x() e un segnale di ingresso u(k), k =,,... è possibile predire tutta l evoluzione dello stato x(k) e dell uscita y(k) del sistema, per ogni k =,,... Nota che lo stato x() sintetizza tutta la storia passata del sistema. La dimensione n dello stato x(t) R n è detta ordine del sistema. Il sistema si dice proprio se D =. (cfr. sistemi lineari a tempo continuo) In generale x(k) R n, u(k) R m, y(k) R p,

34 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Soluzione di regime stazionario Ipotesi: A ha tutti autovalori in modulo < Quale sarà il valore asintotico dell uscita corrispondente ad un dato ingresso costante u(k) u r k =,,...? Imponiamo x r (k +)=x r (k) x r = Ax r + Bu r Esempio: y r =(C(I A) B + D) u r }{{} guadagno in continua x(k +)= y(k) = Guadagno in continua: [ ] x(k)+ u(k) [ ] x(k) = 3 y(k) u(k) k.5 5 k 3-9

35 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Esempio: Dinamica studenti in un corso di laurea Ipotesi: Durata del corso di laurea: 3 anni Percentuali di studenti promossi, ripetenti e abbandoni: costanti per ogni anno Non è possibile iscriversi direttamente al II e III anno Non sono ammessi studenti fuori corso Notazione: k Anno accademico x i (k) numero di studenti iscritti all i-esimo anno di corso nell anno k, i =,, 3 u(k) numero di matricole nell anno k y(k) numero di laureati nell anno k α i tasso di promossi nell anno di corso i-esimo, α i β i tasso di ripetenti nell anno di corso i-esimo, β i tasso di abbandoni nell anno di corso i-esimo: α i β i Sistema di equazioni alle differenze di ordine 3: x (k +)= β x (k)+u(k) x (k +)= α x (k)+β x (k) x 3 (k +)= α x (k)+β 3 x 3 (k) y(k) = α 3 x 3 (k) 3-

36 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto In forma matriciale: x(k +)= Esempio: y(k) = β α β α β 3 [ ] α 3 x(k) x(k)+ u(k) α =.6 β =. α =.8 β =.5 α 3 =.9 β 3 =.8 35 u(k) 5, k =,,... y(k) valore di regime: [.9 ] ([ passo k ] [ } {{ } guadagno in continua ]) [ ] =

37 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Definizione generale di equilibrio: Dato il sistema (tempo discreto, non lineare, tempo variante) x(k +) = f(k,x(k),u(k)) y(k) = g(k,x(k),u(k)) Lo stato costante x r e l ingresso costante u r sono un equilibrio del sistema se per x(t )=x r e u(t) u r, k k,sihax(k) x r, k k. Definizione equivalente: x(k) = f(k,x(k),u(k)), k k x r è detto stato di equilibrio u r è detto ingresso di equilibrio 3-

38 3. Campionamento di sistemi a t. continuo Campionamento esatto: Dato il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x()= x vogliamo esprimerne l evoluzione agli istanti di campionamento t =, T, T,..., kt,..., supponendo che l ingresso u(t)sia costante durante ogni intervallo di campionamento: u(t) ũ(k), kt t<(k +)T Siano x(k) x(kt) e ỹ(k) y(kt) i campioni dello stato e dell uscita, rispettivamente, all istante di campionamento k-esimo..5 y(t), y(kt) u(t), u(kt) tempo t 5 tempo t 3-3

39 3. Campionamento di sistemi a t. continuo Applichiamo la formula risolutiva x(t) =e A(t t ) x(t )+ t t e A(t t τ) Bu(τ)dτ per t =(k +)T, t = kt, x = x(kt), e ingresso u(τ) ũ(k), kt τ<(k +)T : ( T ) x((k +)T )=e AT x(kt)+ e A(T τ) dτ Bũ(k) ottenendo quindi ( T x(k +)=e AT x(k)+ ) e A(T τ) dτ Bũ(k) Il sistema tempo-discreto a segnali campionati x(k +) = Ã x(k)+ Bũ(k) ỹ(k) = C x(k)+ Dũ(k) è legato al sistema tempo continuo dalle relazioni ( ) Ã e AT T B ea(t τ) dτ B C C D D 3-4

40 3. Campionamento di sistemi a t. continuo.4 y(t), y(kt).4 y(t), y(kt) tempo t u(t), u(kt) tempo t tempo t u(t), u(kt) tempo t Nota: in generale, affinchè il sistema a tempo discreto (Ã, B, C, D) eilsistemaatempo continuo (A, B, C, D) coincidano agli istanti di campionamento t = kt occorre che l ingresso u(t) sia costante durante l intervallo di campionamento. Questo normalmente avviene nei sistemi di controllo digitale, dove il segnale di ingresso viene generato a frequenze regolari da un unità di calcolo (microcontrollore/pc/dsp) e mantenuto costante. In ogni caso, (Ã, B, C, D) è una approssimazione del modello tempo continuo (A, B, C, D). 3-5

41 3. Campionamento di sistemi a t. continuo Come scegliere il tempo di campionamento T per discretizzare un dato sistema? Buona scelta (per sistemi lineari): T tempo di salita per ingresso u(t) =,x() = y(t), y(kt) tempo t u(t), u(kt) tempo t Tempo di salita tempo necessario per passare dal % al 9% del valore di regime tempo di salita.9 9% % tempo t 3-6

42 3. Campionamento di sistemi a t. continuo Campionamento con metodo di Eulero: x((k+)t ) x(t) x((k+)t ) x(kt ) T x(kt ) kt T (k+)t _x(t) t (77-783) Idea: approssimare ẋ(t)con x((k+)t ) x(kt ) T Approssimazione per sistema lineare: x((k +)T )=(I + TA)x(kT)+TBu(kT) Il sistema tempo-discreto a segnali campionati x(k +)= à x(k)+ Bũ(k) ỹ(k) = C x(k)+ Dũ(k) è legato al sistema tempo continuo dalle relazioni à I + AT C C B TB D D Nota: e TA = I + TA+ + T n A n +... n! il metodo di Eulero approssima il metodo esatto. Coincidono per T. Il metodo di Eulero è applicabile anche a sistemi non lineari ẋ(t) =f(x(t),u(t)). 3-7

43 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto Esempio: Serbatoio Modello matematico del serbatoio (tempo continuo): d h(t) = a g dt A h(t)+ u(t) A q(t) = a g h(t) Modello matematico del serbatoio (tempo discreto): h(k +)= h(k) Ta g T h(k)+ ũ(k) A A q(k) = a g h(k) u 7 6 Altezza h(t) (m) h q Tempo (s) Minore il tempo di campionamento, migliore l approssimazione (ma maggiore il numero di calcoli) 3-8

44 3 Sistemi Lineari a Tempo Discreto 3-9

45 4. Linearità e Linearizzazione

46 4 Linearità e Linearizzazione Principio di sovrapposizione degli effetti Considera il sistema lineare tempo-discreto, tempo-invariante: x(k +)= Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) x()= x La soluzione esiste ed è unica: y(k, x,u)=ca k x + k i= CA i Bu(k i) Indichiamo con y(k, x,u)la risposta dell uscita y(k) per sottolineare l effetto dello stato iniziale x + ingresso u(), u(),..., u(k). Principio di sovrapposizione degli effetti : y(k, αx +βx,αu+βu )=αy(k, x,u)+βy(k, x,u ) l uscita complessiva è data dalla sovrapposizione delle uscite dovute agli effetti di (x,u)edi(x,u ). Vale anche per sistemi lineari tempo-continui Vale anche se il sistema è lineare tempo-variante Non vale se il sistema è nonlineare. 4-

47 4 Linearità e Linearizzazione Dimostrazione: y(k, αx + βx,αu+ βu )=CA k (αx + βx )+ k i= CAi B(αu(k i)+βu (k i)) = CA k αx + CA k βx + k i= CAi Bαu(k i)+ k i= CAi Bβu (k i)) = α(ca k x + k i= CAi Bu(k i))+ β(ca k x + k i= CAi Bu(k i)) = αy(k, x,u)+βy(k, x,u ) Caso particolare: somma degli effetti (α = β =) y(k, x + x,u+ u )=y(k, x,u)+y(k, x,u ) Caso particolare: moltiplicazione per costante (β =) y(k, αx,αu)=αy(k, x,u) Esempio: x = x =[ ], u(k), u (k) =k/ y(k) u(k) k 5 5 k 4-

48 4 Linearità e Linearizzazione Linearizzazione Considera il sistema nonlineare ẋ(t) = f(x(t),u(t)) y(t) = g(x(t),u(t)) Sia (x r,u r )un equilibrio: f(x r,u r )= Obiettivo: studiare il sistema per piccole variazioni u(t) u(t) u r e x() x() x r. L evoluzione di x(t) x(t) x r è data da x(t) =ẋ(t) ẋ r = f(x(t),u(t)) = f( x(t)+x r, u(t)+u r ) f x (x r,u r ) x(t)+ f }{{} u (x r,u r ) u(t) }{{} A B In maniera simile, y(t) g x (x r,u r ) }{{} C x(t)+ g u (x r,u r ) u(t) }{{} D dove y(t) y(t) g(x r,u r )è la deviazione dell uscita dall equilibrio. Le variazioni x(t), y(t),e u(t)sono quindi governate (in prima approssimazione)dal sistema linearizzato (A, B, C, D). Per sistemi nonlineari a tempo-discreto, vale un ragionamento analogo. 4-3

49 4 Linearità e Linearizzazione Esempio: Serbatoio Modello tempo continuo: d h(t) = a g dt A h()= h q(t) = a g h(t) h(t)+ A u(t) h u q Equilibrio per ingresso costante u(t) u r, t : ḣ r == a g hr + A A u r h r = ( ur g a Sistema linearizzato: ( ) A a g h A h + u = A hr a g Au (,u r ) r B a g u A h + u = A hr A (,u r C a g h = a g h u r D u ( a g h ) hr,ur ) hr,ur = h(t) = a g h(t)+ Au r A u(t) q(t) = a g h(t) u r h()= h h r Il sistema linearizzato permette di analizzare in maniera semplice (seppur approssimata)la dinamica di h, q per piccole variazioni della portata di ingresso u(t)dalla portata nominale u r e per piccole variazioni della cond. iniz. h()dall equilibrio h r. ) 4-4

50 4 Linearità e Linearizzazione 4-5

51 5. Stabilità

52 5 Stabilità Concetto intuitivo di stabilità: Considera il sistema nonlineare ẋ(t) = f(x(t),u r ) y(t) = g(x(t),u r ) Sia x r lo stato di equilibrio relativo a u r : f(x r,u r )= Il punto di equilibrio x r si dice stabile se per ogni condizione iniziale x vicino a x r la relativa traiettoria x(t, x,u r )rimane vicino a x r per ogni t. a Il punto di equilibrio x r si dice inoltre asintoticamente stabile se è stabile e x(t, x,u r ) x r per t Altrimenti, il punto di equilibrio x r si dice instabile x (t) x (t) x (t) (as.)stabile 3 3 x (t) instabile a Def. analitica: ɛ > δ >taleche x x r <δ x(t, x,u r ) x r <ɛ, t. 5-

53 5 Stabilità Stabilità dei sistemi lineari (tempo-continuo): Considera il sistema del primo ordine ẋ(t) = ax(t)+bu(t) y(t) = cx(t) Equilibrio per u(t) u r :=ax r + bu r x r = b a u r. Per u(t) u r, t, la quantità z(t) =x(t) x r soddisfa l equazione differenziale da cui: Pertanto: ż(t) =ax(t)+bu r = ax(t) ax r = az(t) z(t) =e at z x(t) =x r + e at (x x r ) x r è instabile se a> x r è stabile se a x r è asintoticamente stabile se a< a> x(t) x x r a< a= t 5-

54 5 Stabilità Stabilità dei sistemi lineari (tempo-discreto): Considera il sistema del primo ordine x(k +)= y(k) = cx(k) ax(k)+bu(k) Equilibrio per u(k) u r : x r = ax r + bu r x r = b u a r. Per u(k) u r, k =,,..., la quantità z(k) =x(k) x r soddisfa l equazione alle differenze z(k+)= ax(k)+bu r x r = ax(k)+( a)x r x r = az(k) da cui: Pertanto: z(k) =a k z x(k) =x r + a k (x x r ) x r è instabile se a > x r è stabile se a x r è asintoticamente stabile se a < x(k) x a> x r a= <a< k 5-3

55 5 Stabilità sistema tempo continuo tempo discreto stabile a a as. stabile a< a < instabile a> a > Definizione di stabilità dei sistemi lineari Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice stabile se la risposta libera è limitata per ogni valore di x(). Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice asintoticamente stabile se la risposta libera tende a per ogni valore di x(). Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice instabile se per almeno una condizione iniziale x() la risposta libera è illimitata. 5-4

56 5 Stabilità Relazione fra stabilità e autovalori di A (tempo continuo): ẋ(t) = Ax(t) x(t) =e At x x() = x Teorema. Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa. Teorema. Un sistema è instabile se esiste almeno un autovalore di A con parte reale positiva. Ricorda: la matrice esponenziale è definita come e At I + At + A t An t n n! +... Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= λ... λ λ n e At = T Per autovalori complessi λ = a + jb : e λ t... e λ t.... e λt = e at e jbt = e at e λ nt È quindi la parte reale degli autovalori che determina la stabilità del sistema. T 5-5

57 5 Stabilità Esempio ẋ(t) = 3 x()= [ x x ] x(t) Autovalori di A: {, } soluzione: x (t) = x (e t e t )+x ( e t + e t ) x (t) = x (e t e t )+x ( e t +e t ) Asintoticamente stabile.5.5 x (t) x (t) t t 5-6

58 5 Stabilità Esempio ẋ(t) = x()= [ x x ] x(t) Autovalori di A: {+j, j} soluzione: x (t) = x cos t x sin t x (t) = x sin t + x cos t Stabile x (t) x (t) t.5 5 t 5-7

59 5 Stabilità Esempio 3 ẋ(t) = x(t) x()= [ x x ] Autovalori di A: {, } soluzione: x (t) = x + x t x (t) = x Instabile x (t) x (t) t 5 t 5-8

60 5 Stabilità Esempio 4 ẋ(t) = x(t) x()= [ x x ] Autovalori di A: {, } soluzione: x (t) = x e t x (t) = x e t +(x x )e t Instabile x (t) x (t) t 5 t 5-9

61 5 Stabilità Relazione fra stabilità e autovalori di A (tempo discreto): x(k +) = Ax(k) x(k) =A k x x() = x Teorema. Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo minore di. Teorema. Un sistema è instabile se esiste almeno un autovalore di A con modulo maggiore di. Ricorda: se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= λ... λ λ n A k = T λ k... λ k λ k n T Per autovalori complessi λ = ρe jθ : λ k = ρ k e jkθ = ρ k e jkθ = ρ k È quindi il modulo degli autovalori che determina la stabilità del sistema. 5-

62 5 Stabilità Esempio x(k +)= x()= [ x x ] x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: x (k) =, k =,,... x (k) = ( ) k x + ( ) k x, k =,,... Asintoticamente stabile.5 x (k).5 x (k) k 5 k 5-

63 5 Stabilità Esempio x(k +)= x()= [ x x ] x(k) Autovalori di A: {+j, j} soluzione: x (k) = x cos kπ + x sin kπ x (k) = x sin kπ + x cos kπ, k =,,..., k =,,..., Stabile x (k) x (k) k 4 6 k 5-

64 5 Stabilità Esempio 3 x(k +)= x()= [ x x ] x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: x (k) = x + x k, k =,,... x (k) = x, k =,,... Instabile x (k) x (k) k k 5-3

65 5 Stabilità Esempio 4 x(k +)= x()= [ x x ] x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: x (k) = k x, k =,,... x (k) = k x, k =,,... Instabile x (k) x (k) k k 5-4

66 5 Stabilità Esempio: Pendolo y(t) angolo di deflessione u(t) mg forza peso hẏ(t) forza di attrito viscoso y(t) l m h Modello matematico: u(t)= mg ml ÿ(t) = lmg sin y(t) hẏ(t) Equazione in forma di stato: (x = y, x =ẏ) ẋ = x ẋ = g l sin x Hx, H h ml Equilibrio: x r g l sin x r Hx r = x r = x r = ±kπ, k =,,... u(t)= mg m h l l m h u(t)= mg x r =,x r =, ±π,... x r =,x r =, ±π, ±3π,

67 5 Stabilità Sistema linearizzato (x r =,x r =) ẋ(t) = x(t) g H l }{{} A Autovalori di A: det(λi A) =λ + Hλ + g ( ) = l λ, = H ± H 4 g l Parte reale < : as. stabile.5.5 y(t) t Sistema linearizzato (x r = π, x r =) ẋ(t) = x(t) g H l }{{} A Autovalori di A: det(λi A) =λ + Hλ g ( ) = l λ, = H ± H +4 g l Parte reale > e< : instabile 4 3 y(t) t 5-6

68 5 Stabilità 5-7

69 6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento

70 6. Trasformata di Laplace Definizione La trasformata di Laplace di f(t) èlafunzionedi variabile complessa s C, (s = σ + jω), F (s) = e st f(t)dt L[f].5 f(t).5 Esempi Funzione impulso (Delta di Dirac) a : { se t f(t) =δ(t) + se t = tale che t δ(t) = L[δ] =F (s) = s C Funzione gradino : se t< f(t) =I(t) se t L[I] = F (s) = s a La funzione δ(t)is può considerare come il limite della successione di funzioni f ɛ (t)per ɛ taliche f ɛ (t) = ɛ se t ɛ altrimenti 6-

71 6. Trasformata di Laplace Proprietà della trasformata di Laplace Linearità : L[k f (t)+k f (t) ]=k L[f (t)]+k L[f (t)] Esempio: f(t) =δ(t) I(t) L[f] = s. Traslazione nel tempo : L[f(t τ) ]=e sτ L[f(t)] Esempio: f(t) =3I(t ) L[f] = 3e s. s Traslazione nella frequenza : L[e at f(t) ]=F (s a), dove F (s) =L[f(t)] Esempio: f(t) =e at I(t) L[f] = s a Esempio: f(t)= cos(ωt)i(t) L[f] = (Nota: cos(ωt) = ejωt +e jωt ) Derivazione nel tempo a : L[ d dt f(t) ]=sl[f(t)] f(+ ) s s +ω Esempio: f(t) =sin(ωt)i(t) L[f] = Derivazione nella frequenza : ω s +ω. L[tf(t) ]= d ds L[f(t)] Esempio: f(t) =t I(t) L[f] = s. a f( + )= lim t + f(t).sef ècontinuain,f( + )=f() 6-

72 6. Trasformata di Laplace Teorema del valore iniziale : L[f(t) ]=F(s) f( + ) lim f(t) = lim sf (s) t + s Esempio: f(t) =I(t) t I(t) F (s) = s s f( + )==lim s sf (s) Teorema del valore finale : L[f(t) ]=F (s) f(+ ) lim f(t) =limsf (s) t + s Esempio: f(t) =I(t) e t I(t) F (s) = s s+ f(+ ) ==lim s sf (s) Pierre-Simon Laplace (749-87) 6-3

73 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Considera il sistema a tempo continuo ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x()= x Applichiamo la trasformata di Laplace a : sx(s) x = AX(s)+BU(s) Y (s) = CX(s)+DU(s) dove X(s) = L[x(t)], U(s) = L[u(t)], Y (s) = L[y(t)]. Esplicitando rispetto a x e U(s): X(s) = (si A) x +(si A) BU(s) Y (s) = C(sI A) x }{{} Y L (s) +(C(sI A) B + D)U(s) }{{} Y F (s) Y L (s)=trasformata di Laplace della risposta libera Y F (s)=trasformata di Laplace della risposta forzata Definizione: Lafunzione di trasferimento di un sistema lineare tempo continuo (A, B, C, D) è G(s) =C(sI A) B + D cioè il rapporto fra la trasf. di Laplace Y (s)dell uscita y(t)e la trasf. di Laplace U(s)dell ingresso per u(t) per condizione iniziale nulla x =. a x(t)è una funzione derivabile, e quindi continua x( + )= x()= x 6-4

74 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo u(t) y(t) U(s) Y (s) A; B; C; D G(s) x = Esempio: Il sistema lineare ẋ(t) = y(t) = x(t)+ [ ] x(t) ha per funzione di trasferimento G(s) = s + s +s + u(t) Nota: La funzione di trasferimento non dipende dall ingresso! È una proprietà del sistema lineare. 6-5

75 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Considera l eq. diff. con ingresso dy (n) (t) dt n b m du (m) (t) dt m + a n dy (n ) (t) dt n + + a ẏ(t)+a y(t) = + b m du (m ) (t) dt m + + b u(t)+b u(t) Ponendo condizioni iniziali y(), ẏ(),..., y (n ) () nulle, si ottiene immediatamente la funzione di trasferimento equivalente G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b s n + a n s n + + a s + a Esempio: ÿ(t)+ẏ(t)+y(t) = u(t) +u(t) G(s) = s + s +s + Nota: la stessa f.d.t. G(s)si ottiene dalla forma matriciale equivalente dell eq. differenziale: ẋ(t) = y(t) = [ G(s) = x(t)+ u(t) [ ] x(t) ] ( [ s ] [ ]) [ ] 6-6

76 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Alcune funzioni di trasferimento: Integratore ẋ(t) = u(t) y(t) = x(t) U(s) s Y (s) Doppio integratore ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = u(t) y(t) = x (t) U(s) s Y (s) Oscillatore ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = x (t)+u(t) y(t) = x (t) U(s) s + Y (s) 6-7

77 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Antitrasformata di Laplace Data la funzione di trasferimento G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b (s p )(s p )...(s p n ) (m <n) possiamo scomporla in fratti semplici (Hp: p i p j ) G(s) = α s p + + α n s p n dove α i è detto residuo di G(s)in p i C α i = lim s pi (s p i )G(s) (nota che se p i = p j, allora α i =ᾱ j ) L antitrasformata di Laplace di G(s) è la funzione g(t)tale che L[g(t) ]=G(s): g(t) =α e p t + + α n e p nt Nel caso di radici coincidenti (s p i ) k, nello sviluppo si hanno tutti i termini del tipo α i (s p i ) + + α ik (s p i ) k la cui antitrasformata è α i e p it + + α ik t k k! e p it 6-8

78 6. Funzioni di Trasferimento - T. Continuo Risposta all impulso Considera l ingresso impulsivo u(t) = δ(t) U(s) =. L uscita corrispondente y(t) è detta risposta all impulso. La trasformata di Laplace di y(t) è Y (s) =G(s) =G(s). Pertanto la risposta all impulso coincide con l antitrasformata g(t) della funzione di trasferimento G(s) Esempi Integratore u(t) = δ(t) y(t) = L [ s ]=I(t) U(s) s Y (s) Doppio integratore u(t) = δ(t) y(t) = L [ s ]=t I(t) U(s) s Y (s) Oscillatore u(t) = δ(t) U(s) s + Y (s) y(t) = L [ s + ]=sint I(t) 6-9

79 6.3 Poli e zeri u(t) G(s) y(t) Considera il sistema lineare descritto dalla funzione di trasferimento (m <n) G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b s n + a n s n + + a s + a = N(s) D(s) Si dicono poli del sistema le radici di D(s) Si dicono zeri del sistema le radici di N(s) A tempo discreto le definizioni sono analoghe Esempio: G(s) = s + s 3 +s +3s + = s + (s + )(s + s +) poli: {, + j 7, j 7 }, zeri: { }. 6-

80 6.3 Poli e zeri Considera il sistema lineare ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) x()= e la funzione di trasferimento corrispondente G(s) =C(sI A) B + D N(s) D(s) Il denominatore D(s) =det(si A). Quindi i poli di G(s)corrispondono agli autovalori di A. La stabilità del sistema si può quindi studiare sia tramite G(s)che tramite A Attenzione: alcuni autovalori di A possono non risultare poli di G(s). Esempio: [ ] [ ] [ ] A =, B =, C = det(si A) =(s )(s +) G(s) = [ ] [ s s+ ][ ] = s + Il polo s = non ha influenza sul comportamento ingresso-uscita del sistema, ma ha influenza sulla risposta libera: x (t) =e t x (il sistema è instabile). 6-

81 6.4 Trasformata zeta Definizione La trasformata zeta di f(k) è la funzione di variabile complessa z C, (z = σ + jω), F (z) = f(k)z k Z[f] k= f(k) Esempi k Funzione impulso discreto : { f(k) =δ(k) se k se k = Funzione gradino discreto : { f(k) =I(k) se k< se k Z[δ] =F (z) Z[I] = F (z) = z z Funzione esponenziale discreto : f(k) =a k I(k) Z[f] =F (z) = z z a 6-

82 6.4 Trasformata zeta Proprietà della trasformata zeta Linearità : Z[k f (k)+k f (k) ]=k Z[f (k)]+k Z[f (k)] Esempio: f(k) =3δ(k) 5 k I(t) Z[f] =3 5z z Anticipo temporale : Z[f(k +)I(k) ]=zz[f] zf() Esempio: f(k) =a k+ I(k) Z[f] =z z z a z = az z a z è detto anche operatore di anticipo unitario Ritardo temporale : Z[f(k )] = z Z[f]. Esempio: f(k) =I(k ) Z[f] = z z(z ) z è detto anche operatore di ritardo unitario Derivazione nella frequenza : Z[kf(k) ]= z d dz Z[f] Esempio: f(k) =k I(k) Z[f] = z (z ) 6-3

83 6.4 Trasformata zeta Teorema del valore iniziale : Z[f(k) ]=F(z) f()= lim F (z) z Esempio: f(k) =I(k) k I(k) F (z) = z z Teorema del valore finale : z (z ) f()= lim z F (z) = Z[f(k) ]=F (z) f(+ ) lim t + Esempio: f(k) =I(k)+(.7) k I(t) F (z) = z + z z z+.7 f(+ ) =lim z (z )F (z) = f(t) =lim(z )F (z) z Witold Hurewicz (94-957) 6-4

84 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto Considera il sistema a tempo discreto x(k +)= Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) x()= x Applichiamo la trasformata zeta: zx(z) zx = AX(z)+BU(z) Y (z) = CX(z)+DU(z) dove X(z) =Z[x(k)], U(z) =Z[u(k)], Y (z) =Z[y(k)]. Esplicitando rispetto a x e U(z): X(z) = z(zi A) x +(zi A) BU(z) Y (z) = zc(zi A) x }{{} Y L (z) +(C(zI A) B + D)U(z) }{{} Y F (z) Y L (z)=trasformata zeta della risposta libera Y F (z)=trasformata zeta della risposta forzata Definizione: Lafunzione di trasferimento di un sistema lineare tempo discreto (A, B, C, D) è G(z) =C(zI A) B + D cioè il rapporto fra la trasf. zeta Y (z)dell uscita y(k)e la trasf. zeta U(z)dell ingresso per u(k) per condizione iniziale nulla x =. 6-5

85 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto u(k) y(k) U(z) Y (z) A; B; C; D G(z) x = Esempio: Il sistema lineare x(k +)= y(k) = ha per funzione di trasferimento G(z) =.5 x(k)+.5 [ ] x(k) z +.5 z.5 u(k) Nota: Anche per i sistemi tempo-discreto, la funzione di trasferimento non dipende dall ingresso, ma è una proprietà del sistema lineare. 6-6

86 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto Considera l equazione alle differenze con ingresso a n y(k n)+a n y(k n +)+ + a y(k )+ y(k) = b n u(k n)+ + b u(k ) Ponendo condizioni iniziali nulle, si ottiene la funzione di trasferimento equivalente G(z) = = b n z n + b n z n+ + + b z a n z n + a n z n+ + + a z + b z n + + b n z + b n z n + a z n + + a n z + a n Esempio: 3y(k )+ y(k )+ y(k) =u(k ) G(z) = z 3z +z + = z z +z +3 Nota: la stessa f.d.t. G(z)si ottiene dalla forma matriciale equivalente dell eq. alle differenze: x(k +)= y(k) = [ G(z) = x(k)+ u(k) 3 [ ] x(k) ] ( [ z ] [ 3 ]) [ ] 6-7

87 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto Alcune funzioni di trasferimento: Integratore x(k +) = x(k)+u(k) y(k) = x(k) U(z) z Y (z) Doppio integratore x (k +) = x (k)+x (k) x (k +) = x (k)+u(k) y(k) = x (k) U(z) z z + Y (z) Oscillatore x (k +) = x (k) x (k)+u(k) U(z) z + z z + Y (z) x (k +) = x (k) y(k) = x (k)+ x (k) Risposta all impulso y(k) k 6-8

88 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto Antitrasformata zeta Data la funzione di trasferimento G(z) = b mz m + b m z m + + b z + b (z p )(z p )...(z p n ) (m <n) Analogamente alla trasformata di Laplace, possiamo scomporla in fratti semplici (Hp: p i p j ) G(z) = ( α z + + α ) nz z z p z p n dove α i èilresiduo di G(z)in p i C α i = lim z p i (z p i )G(z) L antitrasformata zeta di G(z) è la funzione g(k)tale che Z[g(k) ]= G(z): ( ) g(k) = α p k + + α n p k n I(k) Esempio. G(z) = m n {}}{ z + z.5z +.5 =+ + z g(k) = δ(k)+ m<n {}}{.5z +.5 z.5z +.5 = ( 4z z.5z ) z.5 ( 4I(k ).5(.5) k ) I(k) 6-9

89 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto Risposta all impulso Considera l ingresso impulsivo u(k) = δ(k) U(z) =. L uscita corrispondente y(k) è detta risposta all impulso. La trasformata zeta di y(k) è Y (z) =G(z) =G(z). Pertanto la risposta all impulso coincide con l antitrasformata g(k) della funzione di trasferimento G(z) Esempi Integratore u(k) = δ(k) U(z) z Y (z) y(k) = Z [ z ]=I(k ) u(k) y(k) 5 k 5 k 6-

90 6.5 Funzioni di Trasferimento - T. Discreto 6-

91 7. Diagrammi a Blocchi

92 7 Diagrammi a Blocchi U(s) G(s) Y(s) U(z) G(z) Y(z) Sistema tempo continuo Sistema tempo discreto Esprimono le interconnessioni fra sistemi lineari (tempo-continuo o tempo discreto) Permettono di determinare in maniera diretta le funzioni di trasferimento da una qualsiasi grandezza ad un altra Esprimono relazioni ingresso-uscita (risposta forzata o regime permanente): gli effetti delle condizioni iniziali non sono considerati. Elementi fondamentali: Blocco G(s) Freccia U(s) V(s) + V(s) + U(s) Sommatore Punto di diramazione + U(s) V(s) V(s) V(s) 7-

93 7 Diagrammi a Blocchi Esempio V R e J T L Equazioni nel dominio del tempo: V Ri e L di = dt e = kω J dω dt T = ki = T βω Equazioni nel dominio di Laplace: (sl + R)I(s) =V (s) E(s) E(s) =kω(s) (Js + β) Ω=T T (s) =ki(s) Diagramma a blocchi: 7-

94 7 Diagrammi a Blocchi Y G (s) =U (s) G G G U (s) Y (s) U (s) Y (s) Cascata U(s) = U (s) =U (s) Parallelo U (s) U (s) G G Y (s) + Y (s) = Y + (s)+y (s) Y (s) U(s) G +G Y (s) U(s) + + U (s) G U (s) =Y (s) = Y (s) U(s) G G G Y (s) G Retroazione U(s) + + U (s) U (s) G Y (s) U(s) G + + Y (s) Spostamento sommatore a valle U (s) G U (s) G Spostamento sommatore a monte + + Y (s) U (s) U(s) + + G G Y (s) U (s) U(s) G Y (s) U(s) G Y (s) Spostamento punto di prelievo a valle G U(s) U(s) Y (s) U(s) Y (s) G G Spostamento punto di prelievo a monte G Y (s) 7-3

95 7 Diagrammi a Blocchi Esempio H w + G + _ G G z H G 4 H H G 3 w + G + _ G G 3 + z w + G G G _ + + z H H G 4 G 4 w G + _ G G 3 H -H + + G 3 G z w - (+G (H-HG 3)) G G z G 4 G 4 w G 3 (+G (H -H G )) G - 3 G + + z G 4 w G 4 +G 3 (+G (H -H G )) G - 3 G z 7-4

96 7 Diagrammi a Blocchi Teorema. Un sistema costituito da un numero qualunque di sottosistemi fra loro connessi in cascata e/o parallelo è asintoticamente stabile se e solo se sono asintoticamente stabili tutti i sottosistemi che lo compongono. Esempio U(s) G (s) = s + G (s) = +st Y (s) + Y (s) U(s) G 3 (s) = 3 s + s + Y (s) + Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se T>, α>, β>. 7-5

97 8. Risposte Tipiche nel Tempo

98 8 Risposte Tipiche nel Tempo Sistema del primo ordine u(t) U(s) k + s y(t) Y(s) (k,τ >) Risposta all impulso : u(t) =δ(t), U(s) =, Y (s) = k +τs, y(t) =k τ e t τ I(t) Risposta al gradino : u(t) =I(t), U(s) = s, Y (s) = k s( + τs), y(t) =k( e t τ )I(t) k y(t) Im[s] crescente decrescente x Re[s] tempo t 8-

99 8 Risposte Tipiche nel Tempo Sistema del secondo ordine (poli reali) u(t) U(s) k ( + s)( + s) y(t) Y(s) (k,τ,τ > ) Risposta al gradino : u(t) =I(t), U(s) = s, Y (s) = k s( + τ s)( + τ s) y(t) = k( + τ τ τ e t τ τ τ τ e t τ )I(t) k y(t) Im[s] x x Re[s] tempo t 8-

100 8 Risposte Tipiche nel Tempo Sistema del secondo ordine (poli complessi) u(t) U(s) k + ³! n s +! s n y(t) Y(s) (k,ω n >, <ζ<) Risposta al gradino : u(t) =I(t), U(s) = s, k Y (s) = s( + ζ ω n s + ω s ) n [ ( ( ) y(t) = k e ω nζt cos ω n ζ t + ζ ζ sin (ω n ζ t) )] I(t) k y(t) x a µ b! n Im[s] Re[s] x tempo t s = a + jb = ω n e j(θ+ π ), θ = arcsin ζ a = ω n ζ b = ω n ζ ω n = a + b ζ = a a +b 8-3

101 8 Risposte Tipiche nel Tempo Sistema tempo discreto nilpotente u(k) U(z) b n z n + b n z n + + b z + b z n y(k) Y (z) Risposta all impulso : u(k) =δ(k), U(z) =, Y (z) = b z n + b z n + + b n z + b n z n y(k) = Z [Y (z)] = Z [ b + b z + + b n z n] b k k n = k>n, k< 5 y(k) Im[z] 4 3 x Re[z] tempo k L effetto dell impulso svanisce dopo un numero finito n di passi. Idem per l effetto delle condizioni iniziali. 8-4

102 8 Risposte Tipiche nel Tempo 8-5

103 9. Risposta in Frequenza

104 9 Risposta in Frequenza u(t) U(s) G(s) y(t) Y(s) Ricorda: la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo continuo è il rapporto fra la trasf. di Laplace Y (s)dell uscita y(t)e la trasf. di Laplace U(s)dell ingresso per u(t)per condizione iniziale nulla x =. Definizione: Larisposta in frequenza di un sistema G(s) è la funzione complessa di variabile reale G(jω), ω R, ω. u(t) = ¹ U sin!t G(s) y(t) Teorema: SeG(s) è asintoticamente stabile (poli a parte reale negativa), allora in condizioni di regime permanente (o asintoticamente per t ) y(t) y rp (t) Ū G(jω) sin(ωt + G(jω)) La risposta in frequenza permette quindi di analizzare la risposta del sistema ad eccitazioni sinusoidali a diverse frequenze. 9-

105 9 Risposta in Frequenza Dimostrazione: L ingresso u(t) =sinωt I(t)ha per trasformata di Laplace ω U(s) = s + ω La trasformata di Laplace della risposta forzata è quindi ω Y f (s) =G(s) s + ω = G(s)ω (s jω)(s + jω) (la risposta libera y l (t)non è rilevante, visto che G(s) è asintoticamente stabile e quindi y l (t) pert ). Scomponendo in fratti semplici a : Y f (s) = ωg(jω) ωg( jω) n R i + jω(s jω) + jω(s + jω) }{{} Y rp (s)=risp. regime permanente s p i= i }{{} risp. forz. transitoria Poiché G(s) è asintoticamente stabile, l antitrasformata di tende a zero asintoticamente. Rimane quindi n i= R i s p i y rp (t) = L [ G(jω) j(s jω) + G( jω) j(s + jω) = j G(jω)ejωt + j G( jω)e jωt = j ( ) j G(jω)ejωt + G(jω)ejωt [ ] j = Re G(jω)ejωt [ ] = Im G(jω) e j G(jω)+jωt ) = G(jω) sin(ωt + G(jω)) ] a Nota: La risposta forzata Y f (s)ha due componenti: Y rp (s)=risposta di regime permanente, Y ft (s)=risposta forzata transitoria. 9-

106 9 Risposta in Frequenza Esempio u(t) = ¹ U sin!t G(s) = ( + :s) y(t) Calcolare la risposta in condizioni di regime permanente per ingresso u(t) = 5 sint. Il sistema è asintoticamente stabile, avendo G(s) poli reali negativi: G(s) = ( +.s), p = p = Posso quindi definire la risposta di regime permanente dove y rp (t) =5 G(jω) sin(t + G(jω)) G(jω)= Per ω = rad/s, e quindi ( +.jω) = +.jω.ω G(j) = +j = 5 j = 5j y rp (t) =5 5 sin(t π )=5 sin(t π ) 9-3

107 9 Risposta in Frequenza u(k) U(z) G(z) y(k) Y(z) Ricorda: la funzione di trasferimento di un sistema lineare tempo discreto è il rapporto fra la trasf. zeta Y (z)dell uscita y(k)e la trasf. zeta U(z)dell ingresso per u(k)per condizione iniziale nulla x =. Definizione: Larisposta in frequenza di un sistema G(z) è la funzione complessa di variabile reale G(e jθ ), θ [,π]. u(k) = ¹ U sin kµ G(z) y(k) Teorema: SeG(z) è asintoticamente stabile (poli in modulo < ), allora in condizioni di regime permanente (o asintoticamente per k ) y(k) y rp (k) Ū G(ejθ ) sin(kθ + G(e jθ )) La risposta in frequenza permette quindi di analizzare la risposta del sistema ad eccitazioni sinusoidali a diverse frequenze. 9-4

108 9 Risposta in Frequenza Esempio u(k) = ¹ U sin kµ G (z) = :5 z z(z :8) y(k) Calcolare la risposta in condizioni di regime permanente per ingresso u(k)= + sin π k. 6 Il sistema è asintoticamente stabile, avendo G(z)poli in modulo minore di G(z) =.5 z z(z.8), p =, = p =.8 Posso quindi definire la risposta di regime permanente y rp (k) = G(e j ) sin( k + G(e j )) + G(e j π 6 ) sin( π 6 k + G(ej π 6 )).5 e j π 6 = G() sgn(g()) + }{{} e j π 6 (e j π 6.8) G() sin( π 6 k + (.5 ej π 6 ) (e j π 6 (e j π 6.8))) sin( π k ) 6 = sin( π 6 k.639) 9-5

109 9. Diagrammi di Bode ¹U sin!t ¹ UjG(j!)j sin(!t + \G(j!)) G(j!) Il diagramma di Bode esprime modulo G(jω) e fase G(jω) di G(jω) in funzione di ω. Serve ad analizzare la risposta del sistema a diverse frequenze ω. Fase (deg) Modulo (db) Diagramma di Bode di G(s) a -3 Frequenza (rad/s) Il modulo G(jω) è espresso in decibel (db) : G(jω) db = log G(jω) La pulsazione ω è visualizzata in scala logaritmica (si disegnano cioè i grafici (log ω, G(jω) db ) e (log ω, G(jω))) a G(s) = (+.s)(+.s+.s ) 9-6

110 9. Diagrammi di Bode Sistema in forma di Bode: G(s) = K s h Π i ( + sτ i ) Π j ( + st j ), τ i,t j C K=guadagno di Bode ; h=tipo del sistema=numeri di poli in ; T j =costante di tempo (se reale > ). Spesso la funzione di trasferimento è data in forma poli/zeri G(s) = K s h Π i (s z i ) Π j (s p j ), z i,p j C Vale quindi z i = τ i, p j = T i, K = K Π iτ i Π j T j, K = K Π i( z i ) Π j ( p j ) 9-7

111 9. Diagrammi di Bode Diagramma di Bode del modulo: K Π i ( + jωτ i ) G(jω) db = log (jω) h Π j ( + jωt j ) Per le proprietà dei logaritmi a : G(jω) db = log K h log ω + log +jωτ i log +jωt j i j Si hanno quindi 4 casi diversi:. log K. log ω 3. log +jωt, T R 4. log +jωt + log +jωt, T C, cioè log +jζ ω ω ω n ωn dove ωn = T, ζ = Re[T ] T a log αβ =logα+log β, log α β =logα log β, logαβ = β log α 9-8

112 9. Diagrammi di Bode Caso : log K jg(j!)j db 4 log jkj! - Caso : log ω ( log ω ) jg(j!)j db 4! - 9-9

113 9. Diagrammi di Bode Caso 3: log +jωt jg(j!)j db T db/ decade! Nota: G(jω) perω T, G(jω) ωt per ω T. Caso 4: log +jζ ω ω n 4 jg(j!)j db ω ω n 4 db/ decade 6 - ³=! n ³ ³ crescente! Nota: G(jω) perω ω n, G(jω) ω ω n per ω ω n. 9-

114 9. Diagrammi di Bode Esempio G(s) = ( + s) s ( + s) 5-4 db/ decade jg(j!)j db - db/ decade 5-6 db/ decade! -5.. Per ω.: G(jω) ω Per ω =.: log ω = log 5 = Per. <ω<: effetto dello zero in s =., aggiungi db/decade. Per ω>: effetto del doppio polo in s =, togli db/decade. 9-

115 9. Diagrammi di Bode Diagramma di Bode della fase: G(jω)= ( ) K Π i ( + jωτ i ) (jω) h Π j ( + jωt j ) Per le proprietà dell esponenziale a : G(jω) = K (jω) h + i ( + jωτ i ) j ( + jωt j ) Si hanno ancora 4 casi diversi:. K = per K> π per K<. (jω) h = hπ 3. ( + jωt), T R 4. ( + jωt)+ ( + jωt ), T C, cioè ) (+jζ ωωn ω ω n a (ρe jθ ) = θ, (αβ) = (ρ α e jθ α ρ β e jθ β ) = (ρ α ρ β e j(θ α+θ β ) )=θ α + θ β = α + β, ( α β )= α β 9-

116 9. Diagrammi di Bode Caso : K ¼= \ G(j!) -¼= K>! -¼ K< Caso : (jω) h ¼= \ G(j!) h=! -¼= h= -¼ h= 9-3

117 9. Diagrammi di Bode Caso 3: ( + jωt) = atan(ωt) ¼= \ G(j!) ¼=4 -¼=4 -¼= T T> T<! Nota: G(jω) perω T, G(jω) π per ω T, T>. Caso 4: ¼ ( +jζ ω ω n \ G(j!) ) ω ωn ³ ¼= ³ crescente! n! Nota: G(jω) perω ω n.perζ, G(jω) = π ) per ω = ω n, G(jω) ( ω = π per ω ω n. ω n 9-4

118 9. Diagrammi di Bode Segue esempio: G(s) = ( + s) s ( + s) -¼= jg(j!)j db -3¼=4 -¼! -5¼=4-3¼=.. Per ω.: G(jω) π Per. <ω<: effetto dello zero in s =., aggiungi π. Per ω>: effetto del doppio polo in s =, togli π. 9-5

119 9. Diagrammi di Bode Esempio: G(s) = ( + s) s ( s)( +.s) Fase (deg) Modulo (db) Frequenza (rad/s) Per ω.: G(jω) ω (pendenza -4 db/decade), G(jω) π Per ω =.: log ω =6db Per. <ω<: effetto del polo instabile in s =., togli db/decade al modulo, aggiungi π alla fase. Per <ω<: effetto dello zero s =, aggiungi db/decade al modulo, aggiungi π alla fase. Per ω>: effetto del polo in s =, togli db/decade al modulo, togli π alla fase. 9-6

120 9. Diagrammi di Bode Riassumendo: L effetto di poli/zeri (semplici) nel diagramma asintotico è il seguente: Modulo Fase polo stabile (T >) db/dec π polo instabile (T <) db/dec π zero stabile (T >) + db/dec π zero instabile (T <) + db/dec π 9-7

121 A. Elementi di Modellistica

122 A. Sistemi Meccanici - Traslazione m s(t), v(t) F F = m dv dt = s md dt massa m m s (t), v (t) s (t), v (t) F = (v v )= F attrito viscoso k m m F = k(s s )= F elasticitµa s (t), v (t) s (t), v (t) s i, v i : posizione e velocità del corpo #i rispetto ad un sistema di riferimento fisso (inerziale) F i : forza agente sul corpo #i P = Fv: potenza meccanica -

123 A. Sistemi Meccanici - Rotazione µ (t),!(t) J T T = J d! dt = J d µ dt inerzia µ (t),! J J (t) µ (t),! (t) T = (!! )= T attrito viscoso µ (t),! J k J (t) µ (t),! (t) T = k(µ µ )= T elasticitµa θ i, ω i : posizione e velocità angolari del corpo #i rispetto ad un sistema di riferimento fisso T i : coppia agente sul corpo #i P = Tω: potenza meccanica -

124 A.3 Sistemi Elettrici i(t) v(t) C i = C dv dt capacitµ a i(t) R v = Ri resistenza i(t) v(t) v(t) v(t) L T(t)!(t) v = L di dt i(t) k v = k! T = ki induttanza motore DC. con controllo in tensione di armatura v, i: tensione ai capi del componente, corrente attraverso il componente P = vi: potenza elettrica ω, T : velocità angolare e coppia prodotta -3

125 A.3 Sistemi Elettrici Strumenti di analisi: Leggi di Kirchhoff v 3 v i 3 i i v 4 v equilibrio delle tensioni alla maglia equilibrio delle correnti al nodo v + v + v 3 + v 4 = i + i + i 3 = -4

126 A.4 Sistemi Termici θ Q P M c s R Temperatura Calore Potenza termica o flusso di calore Massa Calore specifico Resistenza termica fra due corpi Relazioni: P = dq dt P = C dθ dt P = θ θ R flusso di calore Analogo elettrico: variazione di temperatura flusso di calore fra due corpi Per ogni capacità termica C = c s M, associa un condensatore C collegato a massa (=temperatura di riferimento, e.g. o K) Per ogni coppia (i, j)di corpi che si scambiano calore, associa una resistenza elettrica R ij Per ogni generatore di calore, associa un generatore di corrente. Tensione=temperatura, corrente=flusso di calore Nota: non ci sono induttanze termiche ( no oscillazioni!) -5

127 A.4 Sistemi Termici Esempio: Termometro liquido (µ =cost.) R vetro R mercurio µ µ θ θ θ R R Temperatura liquido da misurare Temperatura vetro Temperatura mercurio Resistenza termica fra liquido e vetro Resistenza termica fra vetro e mercurio Equivalente elettrico: R R P P + C C µ µ µ -6