Elementi di linear discriminant analysis per la classificazione e il posizionamento nelle ricerche di marketing

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1 Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone e l poszonamento nelle rcerche d maretng Mauro Ennas

2 Lnear Dscrmnant Analyss ADL_fnale_confronto_Ecel.sav OUPU_ADL_fnale_3grupp_fnale.spv Allegat Smulazon SPSS Fogl d calcolo Ecel 00a_PW_PARMA_ENNAS_ADL_fnale_due_grupp_EXEL_le.ls 00b_PW_PARMA_ENNAS_ADL_fnale_due_grupp_SPSS_le.ls 00c_PW_PARMA_ENNAS_ADL_fnale_tre_grupp_SPSS_le.ls 00d_PW_PARMA_ENNAS_ANOVA_dat_adl.ls 00 Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng.

3 Lnear Dscrmnant Analyss Indce degl argoment Indce delle fgure 3 Indce delle tabelle. 4 Indce synta e scrpt 4 Anals dscrmnante lneare 7 Separazone tra grupp.. 8 Esempo numerco: calcolo della percentuale d varanza spegata 0 Errore d classfcazone. Esempo numerco: calcolo delle matrc d covaranza. 3 Esempo con Ecel: calcolo delle funzon dscrmnant.. 5 Esempo con R: predzone dell appartenenza ad un gruppo. 0 Anals dscrmnante lneare con SPSS. Lmt dell anals dscrmnante lneare 9 Glossaro 3 Bblografa.. 37 Indce de nom.. 40 Indce delle fgure Fgura 7 Le varabl ndpendent X c X,X rappresentano le caratterstche X c e X c per ognuno degl n5 event osservat e classfcat; ZZ,Z sono le varabl standardzzate corrspondent e Ff,f valor delle due funzon dscrmnant lnear rcavare tramte l metodo bayesano della mnmzzazone della probabltà d errore abella Ecel nel caso d due grupp... 5 Fgura 8 Matrc d covaranza nel caso con due grupp: la matrce della covaranza ne grupp pooled wthn group, PWG è stata rcavata come combnazone lneare de coeffcent delle matrc W e W con pes le probabltà a pror frequenze relatve d appartenere al gruppo.. 6 Fgura 9 I punt nel pano X X rappresentano le osservazon o con n nel caso con due grupp; l punto n evdenza è l nuovo punto classfcato nel gruppo medante ADL. 6 Fgura 0 Nel pano delle funzon dscrmnant lnear f f punt trasformat a partre dalle varabl standardzzate Z, Z delle varabl ndpendent X,X nel caso d due grupp s dspongono su una retta: l caso n esame equvale al caso, monodmensonale, d appartenenza o meno al gruppo, ruotando la retta s può rappresentare su un solo asse senza perdta d nformazone. 6 Fgura Le funzon dscrmnant lnear Ff,f, f3 nel caso d tre grupp abella Ecel, K3.. 7 Fgura 3 - Rappresentazone degl oggett standardzzat Z, Z ne pano trasformato delle prme due funzon canonche f f nel caso con tre grupp: s evdenza una consstenza della rappresentazone n tre grupp dstngubl; sono assent punt solat rlevant che avrebbero potuto ntrodurre error d classfcazone.. 8 Fgura 4 Rappresentazone degl oggett standardzzat Z Z ne pano trasformato delle funzon dscrmnant lnear: f f3 nel caso con tre grupp 9 Fgura 5 Rappresentazone degl oggett standardzzat Z Z ne pano trasformato delle funzon dscrmnant lnear: f f3 nel caso con tre grupp 9 Fgura 6 - Dagramm delle funzon dscrmnant nel caso d 3 grupp calcolat con R.. Fgura 7 - Mappa del terrtoro... 7 Fgura 8 - Rappresentazone de tre grupp SPSS... 8 Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 3

4 Lnear Dscrmnant Analyss Indce delle tabelle abella 0- Statstche d gruppo. 3 abella - est d uguaglanza delle mede d gruppo.. 3 abella - est d Bo.. 3 abella 3 - Autovalor. 3 abella 4 - Lambda d Wls 4 abella 5 - Matrce d struttura 4 abella 6 - oeffcent standardzzat delle funzon dscrmnant canonche. 4 abella 7 - Matrce d covaranza nter-gruppo.. 5 abella 8 - Matrc d covaranza 5 abella 9 - oeffcent delle funzon dscrmnant canonche 5 abella 30 - Probabltà a pror... 6 abella 3 - oeffcent della funzone d classfcazone 6 abella 3 - Grad d lbertà 6 abella 33 - F rato. 6 abella 34 - Devanze calcolate ANOVA. 6 abella 35 - Rsultat della classfcazone.. 8 Indce synta e scrpt Synta 3 - SPSS Anals Dscrmnante Lneare Scrpt - Scrpt R per l'anals ADL e la classfcazone predttva d un nuovo elemento [8].. 0 Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 4

5 Lnear Dscrmnant Analyss Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 5

6 Lnear Dscrmnant Analyss Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 6

7 Lnear Dscrmnant Analyss Anals dscrmnante lneare L'obettvo dell'anals dscrmnante è quello d classfcare oggett nformatv, ossa profl d persone, d clent, d prodott e quant'altro sa descrvble tramte una sere d valor assegnat agl attrbut dell'oggetto n esame. La classfcazone dfferenzerà gl oggett analzzat n pù grupp rspetto a loro attrbut, che potranno essere demografc, economc, pes e puntegg d svarata natura qualtatva e/o quanttatva. I grupp ne qual saranno classfcat gl oggett sono not a pror e non sono ordnat. Il processo d classfcazone s propone d costrure aggregat omogene a partre da una molteplctà d oggett con un numero lmtato d attrbut "sgnfcatv n qualche senso". Un prerequsto dell'anals dscrmnante è la selezone degl attrbut caratterstche sgnfcatve degl oggett; tale tematca non sarà dscussa nel presente captolo e rentra nelle metodche dell'anals fattorale. Nel seguto verrà dscusso come ndvduare crter regole e semplc modell che c permettano d comprendere come separare al meglo grupp d oggett analzzat. I modell o crter ntrodott nel seguto saranno d due tp: massmzzazone delle omogenetà all'nterno d ogn gruppo ntra-gruppo e massmzzazone delle dfferenze tra grupp nter-gruppo n modo da separare quanto pù possble le class d oggett sottopost all'anals anals canonca; mnmzzazone dell'errore totale d classfcazone E, otal Error of lassfcaton per rendere l numero d oggett classfcat n modo errato quanto pù pccolo possble. ò che s vuole determnare è una funzone lneare y a + a + + a a q q, ndcando con a [a, a, aq] un vettore d coeffcent da determnare per o dscrmnare gl oggett nformatv rappresentat da profl [,,q] delle caratterstche sgnfcatve c [,,n] degl oggett n esame, con q caratterstche, [, q] e [, n] dove n è l numero totale d oggett osservat. ale funzone è determnata a meno d una costante, oppure consderando un termne agguntvo 0 0 a, per. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 7 0

8 Lnear Dscrmnant Analyss c c c c q o o o o n n n q q q. nq I coeffcent del vettore a r caratterzzeranno lnearmente l comportamento della funzone dscrmnante y dpendente da profl attraverso la relazone r r y X a. ale funzone dscrmnante lneare dovrà essere conforme con uno de crter ndcat. In partcolare, con l'approcco fnalzzato alla mnmzzazone dell'errore totale d classfcazone s farà rfermento alle probabltà condzonate d appartenenza ad un gruppo, mentre con l'approcco d massmzzazone della varanza totale tra grupp e mnmzzazone della varanza totale ne grupp, s farà rfermento all'anals canonca ed n partcolare a crter d ottmzzazone d una funzone, ndcatore dell'effcenza della separazone tra grupp. Separazone tra grupp Sa X una matrce d K blocch, formata da q varabl quanttatve provenent da n osservazon dstnte n K grupp d n profl cascuno, [, K] : X X X, X K con K blocch X d dmensone n q. ò equvale a dre che gl element d ogn blocco X sono vettor d dmensone q e numerostà n par al numero d profl degl oggett nformatv che appartengono al gruppo - esmo, con [, K] e tal che la somma degl element d cascun gruppo sa par alla totaltà degl osservat K n n ossa, ndcando con n numero totale d osservazon che sono profl nformatv degl oggett n esame. on rfermento all'equazone. dstnguamo le combnazon lnear rspetto al gruppo d appartenenza, ndcando con y la combnazone lneare -esma del gruppo -esmo con, n ] e [, K]. Indcheremo con y e y rspettvamente la meda del gruppo -esmo e la meda complessva della varable dpendente y. Scrveremo: y y n y n K n n y. [.3.4 Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 8

9 Lnear Dscrmnant Analyss Utlzzando l crtero della massma separazone tra grupp, l'obettvo dell'anals dscrmnante è quello d determnare le component del vettore a r che ha massma capactà dscrmnante tra grupp. A questo scopo rcordamo che dalla teora dell'anals della varanza, la scomposzone della devanza ossa degl scart quadratc d una varable può sntetzzars come segue: devanza totale devanza entro grupp + devanza fra grupp D y n K n y y yh y + h K n y y.5 ò sgnfca che la devanza totale della varable y è composta da due component, la prma delle qual rappresenta la devanza all'nterno dello stesso gruppo Wthn, Wy, la seconda la devanza tra grupp Between, By. Scopo dell'anals dscrmnante è massmzzare la varanza tra grupp Ŝ, e qund la devanza e mnmzzare la varanza all'nterno dello stesso gruppo Ŝ W. Defnamo η y l rapporto della varanza tra grupp con la varanza ne grupp: S η y S By Wy S S B y Wy K K K n n h n K n h che può anche essere scrtta n termn delle devanze y K y h n K y y h By e y y y y W y n K K S B B y y n K η y.9 S Wy K W y Massmzzare la separazone tra grupp sgnfca massmzzare η y. Passando dal caso unvarato a quello multvarato, la varable dpendente y sarà legata da una relazone lneare con le varabl ndpendent e la devanza totale D, devanze e codevanze total e le sue part W, devanze e codevanze de grupp; B, devanze e codevanze tra grupp dventeranno trasformazon lnear rappresentate da matrc smmetrche q q. D n K n h h + h K n Nel caso n cu la matrce X sa composta da varabl standardzzate d meda nulla e varanza untara, s dmostra che D X X e K B n, con un vettore d q element, contenente le mede d gruppo delle q varabl present nella matrce de dat. La scomposzone nel caso multvarato è esprmble n forma matrcale come: D W + B.0 e n temn d varanza, analogamente S S + S. W B B Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 9

10 Lnear Dscrmnant Analyss Posto che y a X s rcava che D y a D a, W y a W a e B y a grupp sgnfca trovare a r [a, a, aq] che massmzza l'espressone: a B a n K a S a E B a a W a K a S a B B a. Nel caso multvarato, separare con Ŝ B e Ŝ W, rspettvamente, matrc d covaranza tra e all'nterno de grupp. La massmzzazone dell'equazone. deve avvenre sotto la condzone a a, senza la quale la soluzone perde la caratterstca d unctà, scalando l vettore senza modfcare l rapporto. Dfferenzando. rspetto ad a r, r r ossa calcolando E a a 0 ottenamo: S a S a B λ W 0.3 con λ a S a a S a. B W L'equazone.3 può veders come la rcerca del massmo d f a r Ŝ B a r vncolato a g a r Ŝ W a r 0 e può scrvers come r r SW S B λ I a 0.4 cò sgnfca che λ è autovalore d SW Ŝ B e a r l'autovettore corrspondente nel caso n cu Ŝ W ammetta nversa. Le component del vettore a r sono coeffcent della prma funzone dscrmnante lneare d Fsher, detta anche prma varable canonca. on q profl degl oggett osservat e le q component del vettore a r è possble calcolare la prma funzone dscrmnante. Le varabl canonche sono par al numero d autovalor non null della matrce SW Ŝ B ed è par al mnq, K - ; una volta che gl autovalor sono stat ordnat n modulo, la seconda varable canonca è quella che s rcava n corrspondenza del secondo autovalore e del corrspondente autovettore, e così va sno all'ultmo. Il contrbuto delle varabl canonche alla dscrmnazone fnale è va va decrescente col modulo dell'autovalore corrspondente. Esempo numerco: calcolo della percentuale d varanza spegata Supponamo d avere le matrc ŜW e Ŝ B, sano: S Wz S Bz Wz S Γ S Wz S Bz a c b d Il determnante d Γ vale det Γ ad - bc , mentre la tracca somma degl element della dagonale è par a: tracca Γ a+d Gl autovalor della matrce Γ s calcolano a partre dal determnante della matrce ndcata nell equazone.4 cu corrspondono le radc del polnomo d secondo grado p λ a λ d λ b c λ a + d λ + a d b c λ tracca Γ λ + det Γ 0 ossa Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 0

11 Lnear Dscrmnant Analyss λ, b ± b 4 a c a tracca Γ ± tracca Γ 4 det Γ. Gl autovalor corrspondent alle soluzon saranno λ e λ S not che λ λ + λ tracca ed noltre λ λ λ det. La varanza spegata da cascuno degl Γ Γ autovalor è espressa come: λ δ, [, ] traccaγ per cu avremo che δ e δ che corrsponde rspettvamente a crca l 75% d varanza spegata dal prmo autovalore e crca l 5% dal secondo. Analogamente può calcolars l Λ d Wls complessvo ΛWls λ Il valore del Λ d Wls è l prodotto delle varanze non spegate delle varabl ndpendent, rappresenta quanttatvamente l rapporto tra la varanza errore e la varanza totale e per l esempo n esame è trascurable. Errore d classfcazone Utlzzando l crtero d mnmzzazone dell'errore totale d classfcazone E, s cercherà d determnare la probabltà d errore nella classfcazone d un oggetto. Il crtero d classfcazone che verrà utlzzato sarà quello d assegnare l'oggetto al gruppo con maggore probabltà [5][8] condzonata d appartenere al gruppo. In pratca, se avessmo grupp, la condzone d Bayes affnché l'oggetto appartenga al gruppo, con, sarebbe espressa attraverso la dsuguaglanza P > P. ò che s vuole ottenere è la probabltà condzonata P che un oggetto appartenga al gruppo. La probabltà che s vuole determnare dscende dalla "conoscenza" dell'oggetto ndagato e da una sere d osservazon che gudano la dscrmnazone tra cò che rtenamo appartenente ad un gruppo puttosto che non appartenerv affatto. Il crtero che utlzzeremo per esemplfcare questo comportamento sarà quello d consderare un nuovo oggetto da classfcare una volta ndvduata una sere d oggett classfcat secondo l nostro crtero o metodo d appartenenza a grupp predetermnat. Per semplctà è utle una descrzone tramte due attrbut X e X d oggett e, e s consdererà un unco gruppo, o meglo l'appartenenza o meno a questo gruppo. Il eorema d Bayes è d auto n questo, nfatt la relazone che lega due probabltà condzonate è la seguente: P P P P P La probabltà P è la probabltà a pror d appartenere al gruppo,, nota a pror rspetto alla msura dovuta all'applcazone del metodo d dscrmnazone. S assume che la probabltà a pror sa uguale per ogn elemento d un nseme d campon n cascuno de grupp. L'applcazone del eorema d Bayes rsulta poco pratco nel caso multvarato perché necesstà d un grande numero d campon not da qual estrarre le frequenze relatve d appartenenza a grupp. Per semplfcare l'approcco s stablsce che la probabltà d appartenenza a grupp sa quella teorca d una Dstrbuzone Normale Multvarata DNM, ossa: P π K e.5.6 Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng.

12 Lnear Dscrmnant Analyss Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. Nella quale è l vettore delle mede e è la matrce d covaranza del gruppo e l suo determnante, K è l numero d grupp utlzzat nella classfcazone. Applcando l eorema d Bayes avremo che l'oggetto apparterrà al gruppo se: P P P P >, ossa quando è verfcata la seguente dsuguaglanza, ottenuta sosttuendo la funzone d dstrbuzone della probabltà a pror: K K e e π π > che equvale a scrvere e e > a partre dalla quale, applcando l logartmo naturale ad ambo membr e moltplcando per -, ottenamo la seguente dsuguaglanza ln ln ln ln P P + > + Quest'ultma espressone può essere rscrtta nel modo seguente d d ln ln < che rappresenta una funzone dscrmnante quadratca. Indcando con ln d + e, consderando le matrc d covaranza ugual per due oggett e, s semplfca ulterormente la relazone che, posto, assumerà la forma P P ln ln + < +, avendo posto +, e sottolneando che M d rappresenta la cosddetta dstanza d Mahalanobs. Infne, moltplcando ambo membr della.0 per, ottenamo l'espressone P P ln ln + > +. Ponendo P f ln + abbamo trovato la nostra funzone dscrmnante lneare. In base a tale rsultato s assegna l'oggetto al gruppo se f > f,. Per l'anals dscrmnante lneare, medante mnmzzazone dell'errore d classfcazone, s è assunto che la funzone d dstrbuzone delle varabl n goco sa una Dstrbuzone Normale Multvarata e che le varabl abbano la stessa matrce d covaranza. Nel caso n cu grupp fossero tre sarebbe necessaro che f > f e f > f3 per appartenere al gruppo, f > f e f > f3 per appartenere al gruppo ed nfne f3 > f e f3 > f per appartenere al gruppo

13 Lnear Dscrmnant Analyss Esempo numerco: calcolo delle matrc d covaranza S consderno due caratterstche msurabl automatcamente d un prodotto ndustrale d nuova produzone e s ndch l rsultato d un test d controllo della qualtà n una lsta contenente le sere d campon analzzat nella fase d test dell'mpanto d produzone. All'arrvo d un nuovo campone voglamo verfcare se è conforme alle caratterstche degl altr campon che hanno superato l test. S ndca l rsultato del test n termn d non superato e superato. A questo scopo s costrusce la matrce de dat, che nel caso specfco sarà costtuta da una matrce X formata da due blocch X [X, X], l prmo X d sette element n 7 e l secondo X d tredc element n 3, per un totale d n n n + n 0 element osservat; s ndch con y r la collezone de rsultat del test. I blocch corrspondono al numero d grupp d dscrmnazone che nel caso n esame è due K : Le due colonne della matrce X rappresentano vettor delle caratterstche c e c, mentre le vent rghe rappresentano vent vettor bdmensonal delle osservazon o, che per 7 che non ha superato l test, y7 vale 7 o [7, 7,] [5,500 5,008] e analogamente per 0 che ha superato l test, y0 vale 0 o [0, 0,] [3,03 4,04]. I due blocch d msure relatv a due grupp d dscrmnazone X e X. Per l prmo gruppo assocato alla matrce X d dmensone 7 calcolamo la meda colonna per colonna, n ] : [ n n, n n 6.77,4.645 Analogamente per l secondo gruppo assocato alla matrce X d dmensone 3 s calcola la meda colonna per colonna, n ]: [ E stato scelto un esempo nel caso ndustrale per enfatzzare le caratterstche metrche de dat d nput. Nelle rcerche d maretng verranno utlzzat de puntegg score assegnat a rsposte a questonar da parte de clent: tal scale sono per potes quanttatve. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 3

14 Lnear Dscrmnant Analyss n n, n n 4.66,4.035 La meda totale r r r r sarà data da n + n / n [4,935 4,49]. Per l calcolo delle matrc d covaranza s consderano le varabl standardzzate Z e Z tal che Z X-/σ: tal varabl assumeranno meda nulla e varanza untara. Le matrc d covaranza ne due grupp sono 3 date da W Z Z n e sono La matrce d covaranza complessva è data da 7 3 con w, ,744 0, ,484 7, ,457 0, 949, s procede allo stesso modo per calcolare w w 0, 5. L'nversa della matrce W con detw 0 è Il vettore delle probabltà a pror basate sulle frequenze relatve per ogn gruppo [, K] sono par n 7 n 3 rspettvamente a P n 0, 35 e P n 0, 65 : 0 0 A questo punto abbamo tutt gl element per calcolare le funzon dscrmnant lnear [, ] f P ln +. ale calcolo porterà alla determnazone de valor come mostrato n Fgura, che c permette d assegnare al gruppo -esmo con [, ] l proflo se f > f,. 3 In pratca SPSS calcola la covaranza con la formula ~ ~ ~ W Z Z n, dove Z Z Z, con Z la meda del groppo, e non con la covaranza standardzzata che rchederebbe un ulterore dvsone per la devazone standard. haramente valor dfferent delle matrc d covaranza portano a rsultat dfferent della dscrmnazone lneare, come llustrato nel fle PW_PARMA_ENNAS_ADL_fnale_due_grupp_SPSS_le.ls, dove questo esempo numerco è stato rcalcolano utlzzando le stesse defnzon degl algortm d SPSS. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 4

15 Lnear Dscrmnant Analyss Esempo con Ecel: calcolo delle funzon dscrmnant I calcol esegut nel precedente paragrafo possono essere realzzat pratcamente con un foglo d calcolo come MS Ecel. La Fgura esemplfca la tabella de dat d'ngresso. Le matrc calcolate a partre da dat della tabella d nput, sono ndcate nella Fgura. Dsponendo dat d'ngresso nel pano γ delle caratterstche X c X c.3 e punt rappresentatv de profl degl oggett Fgura 4 nel pano trasformato delle funzon dscrmnant f f, notamo che l nuovo punto Pnuovo 5,500 4,680 vene classfcato nel gruppo test non superato con f Pnuovo 3,30 3,65. Nella Fgura abbamo rappresentato l rsultato del calcolo delle matrc d covaranza usando Ecel e le formule d calcolo utlzzate da SPSS. Le matrc calcolate sono quelle delle covaranza ne grupp W e W, la covaranza totale W e la covaranza tra grupp pooled wthn group, PWD. Quest ultma è data dalla somma pesata delle covaranza ne grupp, con pes le probabltà d appartenenza a grupp rappresentate dalle frequenze relatve Pn/n e Pn/n. a pror varabl varabl standardzzate funzon dscrmnant a posteror gruppo X X Z Z f f dscrmna 6,907 4,004,65-0,395-0,78 -,435 6,53 3,800,33-0,74-0,790 -,60 5,300 5,700 0,306,343-0,58 -,500 6,898 3,700,645-0,885-0,556 -,86 5,903 4,900 0,8,05-0,348 -,398 6,06 5,405,065,867 0,36 -,779 5,500 5,008 0,474,6-0,600 -,6 5,305 4,04 0,30-0,33 -,570-0,740 4,705 4,04-0,9-0,07 -,998-0,509 5,05 4,04 0,7-0,07 -,567-0,74 3,904 4,004-0,863-0,395 -,866-0,04 5,405 3,704 0,394-0,879 -,839-0,595 4,304 3,804-0,58-0,77 -,699-0,3 3,03 4,605 -,534 0,575-3,03 0,043 3,904 4,04-0,863-0,33 -,777-0,090 4,04 4,505-0,696 0,44 -,49-0,374 4,304 3,03-0,58 -,849-3,3 0,03 4,905 4,004-0,05-0,395 -,003-0,506 3,03 3,904 -,450-0,556-3,559 0,33 3,03 4,04 -,534-0,07-3,379 0,34 nuovo 5,500 4,680 0,474 0,696-0,89 -,06 meda 4,935 4,49 0,000 0,000 -,76-0,637 varanza,45 0,384,000,000,497 0,434 Dev. std.,94 0,60,000,000,4 0,659 Fgura Le varabl ndpendent X c X,X rappresentano le caratterstche X c e X c per ognuno degl n5 event osservat e classfcat; ZZ,Z sono le varabl standardzzate corrspondent e Ff,f valor delle due funzon dscrmnant lnear rcavare tramte l metodo bayesano della mnmzzazone della probabltà d errore abella Ecel nel caso d due grupp. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 5

16 Lnear Dscrmnant Analyss W,33 0,53 W 0,745 0,095 0,53,864 0,095 0,458 PWD 0,950 0,5 PWD,068-0,9 0,5 0,950-0,9,068 P, P n Frequenze Meda X Meda X Gruppo 7,000 0,350,04 0,640 Mg Gruppo 3,000 0,650-0,560-0,345 Mg n 0,000,000 0,000 0,000 Fgura Matrc d covaranza nel caso con due grupp: la matrce della covaranza ne grupp pooled wthn group, PWG è stata rcavata come combnazone lneare de coeffcent delle matrc W e W con pes le probabltà a pror frequenze relatve d appartenere al gruppo. Fgura 3 I punt nel pano X X rappresentano le osservazon o con n nel caso con due grupp; l punto n evdenza è l nuovo punto classfcato nel gruppo medante ADL. Fgura 4 Nel pano delle funzon dscrmnant lnear f f punt trasformat a partre dalle varabl standardzzate Z, Z delle varabl ndpendent X,X nel caso d due grupp s dspongono su una retta: l caso n esame equvale al caso, monodmensonale, d appartenenza o meno al gruppo, ruotando la retta s può rappresentare su un solo asse senza perdta d nformazone. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 6

17 Lnear Dscrmnant Analyss a pror varabl varabl standardzzate funzon dscrmnant a posteror gruppo X X Z Z f f f3 dscrmna 6,9 4,00,48 0,7-0,3 -,7-4,67 6,5 3,80,6 0, -0,77 -,94-4,37 5,30 5,70 0,,49 0,3-0,64-9,0 6,90 3,70,48 0,05-0,49 -,3-4,0 5,90 4,90 0,63 0,9-0,5 -,5-7,0 6, 5,4 0,89,7 0,75 -,35-8,0 5,50 5,0 0,8 0,99-0,45-0,94-7,4 5,3 4,0 0, 0,34 -,70 -,0-5,49 4,7 4,0-0,39 0,4 -, -0,56-5,93 5, 4,0 0,03 0,4 -,69-0,9-5,74 3,90 4,00 -,08 0,7-3,9-0,04-5,79 5,4 3,70 0,0 0,05 -,06 -,7-4,57 4,30 3,80-0,74 0, -3,0-0,37-5,0 3,0 4,6 -,76 0,70-3,44 0,67-7,4 3,90 4,0 -,08 0,34-3,7-0,0-6,0 4,0 4,5-0,9 0,63 -,50-0,07-6,8 4,30 3,0-0,74-0,38-3,9-0,53-3,65 4,9 4,00-0, 0,7 -,4-0,75-5,4 3,0 3,90 -,68 0,0-4,4 0,44-5,8 3,0 4,0 -,76 0,4-3,90 0,58-6,5 3 6,50,8,4 -,3-3,09 -,38 0, ,70,3 0,45 -,7-4,59 -,94 0, ,00 0,40 0,7 -,3-5,4 -,34, ,40 0,90,05 -,96-4,4 -,5, ,90,50 0,6 -,53-4,07 -,0 0,47 3 nuovo 5,50 4,68 0,8 0,75-0,83 -,0-6,68 meda 5,7 3,63 0,00 0,00 -,39 -,0-4,50 varanza,37,93,00,00,83 0,96 0,44 dev. std.,7,39,00,00,68 0,98 3,3 Fgura 5 Le funzon dscrmnant lnear Ff,f, f3 nel caso d tre grupp abella Ecel 4, K3. 4 L esempo è quello calcolato nel foglo PW_PARMA_ENNAS_ADL_fnale_tre_grupp_SPSS_le.ls, parte ntegrante d questo documento. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 7

18 Lnear Dscrmnant Analyss W 0,300-0,7 W 0,484-0,048-0,7 0,336-0,048 0,073 W3 0,084 0,04 W,000-0,39 0,04 0,53-0,39,000 PWD 0,353-0,096 PWD 3,383,004-0,096 0,63,004 7,33 P, P n Frequenze Meda X Meda X Gruppo 7 0,80 0,86 0,78 Mg Gruppo 3 0,50-0,770 0,89 Mg Gruppo 3 5 0,00 0,795 -,77 Mg3 n 5,000 0,000 0,000 Fgura 6 - Matrc della covaranza ne grupp, covaranza totale e loro matrc nverse. Fgura 7 - Rappresentazone degl oggett standardzzat Z, Z ne pano trasformato delle prme due funzon canonche f f nel caso con tre grupp: s evdenza una consstenza della rappresentazone n tre grupp dstngubl; sono assent punt solat rlevant che avrebbero potuto ntrodurre error d classfcazone. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 8

19 Lnear Dscrmnant Analyss Fgura 8 Rappresentazone degl oggett standardzzat Z Z ne pano trasformato delle funzon dscrmnant lnear: f f3 nel caso con tre grupp. La frontera d decsone tra due dstrbuzon gaussane con dentca matrce d covaranza è lneare. Il metodo ADL bayesano assume questa evdenza sottostante al modello e calcola la frontera lneare come se cò fosse realmente vero, n realtà la frontera segue le lnee d denstà delle dstrbuzon gaussane adacent ma n prma approssmazone può essere pensata lneare. I lmt d questo approcco s evdenzano quando sono present punt solat rlevant e tal da spostare le mede de grupp: n tal caso l approcco ADL presenta una percentuale d error d dscrmnazone maggore d quella d altr metod non lnear come ad esempo la regressone logstca. I modell logstc seguono la funzone sgmode, non una funzone lneare e l effetto de punt solat vene smorzato. La regressone logstca rsulta pù robusta dell anals dscrmnante lneare. Le ret neural e le tecnche SVM Support Vector Machne [5][0][] sono metod parallel generalzzat d regressone logstca. Fgura 9 Rappresentazone degl oggett standardzzat Z Z ne pano trasformato delle funzon dscrmnant lnear: f f3 nel caso con tre grupp. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 9

20 Lnear Dscrmnant Analyss Esempo con R: predzone dell appartenenza ad un gruppo Nel seguto s consdererà un esempo d applcazone delle lbrere d dscrmnazone lneare utlzzate dal software d statstca d pubblco domno R. Non c s soffermerà su dettagl ma s valuterà la consstenza de rsultat fn qu ottenut, rpetendo l calcolo con le lbrere statstche del pacchetto MASS d R. ed n partcolare le funzon lda lnear dscrmnant analyss e la funzone predct. Il dataset utlzzato è lo stesso utlzzato nel calcolo con Ecel. S sono utlzzate le varabl standardzzate Z e Z e l vettore delle varabl dpendent Y. Nella predzone vene ntrodotto l valore Y63 errato perché la funzone lda non ammette l assenza del dato. Il modello predce correttamente l valore del nuovo punto assegnandolo al gruppo cos come avevamo ottenuto con Ecel. L algortmo è quello bayesano, la dscrmnazone è dello stesso tpo d quella analzzata nelle pagne precedent. Per maggor dettagl sul formato degl nput delle funzon s rmanda a [7] Z<-c , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0.84 Z<c , , , , , , , , , , ,0.0543,0.338, , , , , , , ,-.3784, , , , ,0.753 Y<-c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3,3,3,3,3,3 data <- data.framez,z,y namesdata<-c"z", "Z","Y" lbrarymass g<-lday ~ Z + Z, data data, VRUE results<-data.framey, Z, Z, g$class, g$posteror namesresultsc"y","z","z","g","f","f","f3" results[:lengthz,] plotresults g<-lday ~ Z + Z, data data v<-predctg,data v3<-data.framev plotv Scrpt - Scrpt R per l'anals ADL e la classfcazone predttva d un nuovo elemento [6]. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 0

21 Lnear Dscrmnant Analyss abella - Rsultat dell'anals predttva. Fgura 0 - Dagramm delle funzon dscrmnant nel caso d 3 grupp calcolat con R. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng.

22 Lnear Dscrmnant Analyss Anals dscrmnante lneare con SPSS Nel seguto s descrverà l'anals dscrmnante lneare utlzzando l software statstco SPSS con le caratterstche ndcate n Synta. La varable GROUPS defnsce la varable dpendente y ossa la varable che specfca raggruppament predefnt delle varabl. Nel caso n esame, per forzare una rappresentazone bdmensonale, abbamo aggunto un gruppo rspetto all'esempo numerco ed equvalente all esempo condotto con Ecel nel caso con tre grupp. enamo conto del fatto che gl algortm utlzzat da SPSS fanno parte d un sstema ntegrato d anals statstca che utlzza svarat metod per testare e valdare rsultat, a dfferenza della nostra esemplfcazone che è basata esclusvamente sul semplce modello esposto, n defntva non è detto che tutt gl oggett post n prossmtà delle frontere de domn vengano classfcat allo stesso modo dell'esempo numerco con Ecel, anche se negl esemp espost n questo report s è rscontrata la concdenza de rsultat ottenut sugl stess dat che ndca la convergenza delle tecnche e de crter adottat. La varable VARIABLES ndca che stamo analzzando le varabl ndpendent standardzzate Z e Z. Il flag ALL della varable ANALYSIS defnsce una molteplctà d anals realzzate sugl stess dat d nput costtut da tre colonne Z, Z e y, tutte quelle selezonate da pannell d confgurazone dell applcazone ADL n SPSS. Synta - SPSS Anals Dscrmnante Lneare. Il parametro SIZE della varable d comando PRIORS ndca che le probabltà a pror de grupp verranno calcolare n base alla numerostà relatva del campone frequenze relatve anzché consderare grupp equprobabl EQUAL. La varable d comando SAISIS ndca la lsta delle statstche che concorrono al rsultato dell'anals dscrmnante. PLO specfca la tpologa d rappresentazone grafca realzzata: OMBINED ndca che grupp saranno rappresentat nseme, ASES ndca che le statstche verranno rportate n output, MAP specfca che tra gl output c sarà anche la mappa terrtorale Fgura. Infne la varable LASSIFY gestsce cas d classfcazone, l'opzone NONMISSING esplcta che verranno trattat solo cas che non presentano dat mancant e POOLED che per la classfcazone s utlzzerà la matrce d covaranza entro grupp pooled wthn sample, abella 0. V sono ulteror opzon che vengono utlzzate per classfcare sol cas non selezonat UNSELEED, oppure ndcano che verranno utlzzate le matrcd covaranza d ogn gruppo separato SEPARAE, o ancora che classfcheranno solo cas non classfcat UNLASSIFIED ed nfne che sosttuscono valor mancant delle varabl ndpendent con le meda MEANSUB. La tabella delle statstche d gruppo abella 3 presenta le statstche descrttve meda, devazone standard, numero d cas per tre grupp del campone totale, mentre la tabella de "est d uguaglanza delle mede d gruppo" abella 4 presenta rsultat comparatv de test che verfcano l'potes d uguaglanza delle mede tra grupp: n pratca tanto pù le mede sono dverse tanto pù grupp saranno dfferenzat. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng.

23 Lnear Dscrmnant Analyss Vald lstwse Y Meda Devazone std. Non pesat Pesat 3 otal Z,860857, ,000 Z,7843, ,000 Z -,769385, ,000 Z,8954, ,000 Z,795400, ,000 Z -,77600, ,000 Z,000040, ,000 Z -,000080, ,000 abella 3- Statstche d gruppo. Lambda d Wls F df df Sg. Z,33,0,000 Z,46 64,74,000 abella 4 - est d uguaglanza delle mede d gruppo. F M d Bo 3,573 Appross.,883 df 6,000 df 674,937 Sg.,080 est dell'potes nulla che le matrc d covaranza sano ugual nella popolazone. abella 5 - est d Bo. Funzone Autovalore % d varanza % cumulata orrelazone canonca 6,358 a 76,0 76,0,930,003 a 4,0 00,0,87 a. Per l'anals sono state usate le prme funzon dscrmnant canonche. abella 6 - Autovalor. Per verfcare qual varabl, tra le due n esame Z e Z, rappresentano mede sgnfcatve ne grupp, dobbamo rferrc alla colonna "Sg." cercando valor che rsultno nferor a Nel nostro caso entrambe le varabl soddsfano l requsto e qund possamo dedurre che le mede delle varabl n esame sono rappresentatve ne grupp con probabltà maggore del 95%. In abella 5 vene rappresentato l rsultato del est d Bo che ha come potes nulla l'uguaglanza delle mede de grupp e come rsultato "Sg 0.080" che rsulta maggore d 0.05 e qund non s può non accettare l'potes nulla e le matrc d varanzacovaranza rsultano avere un certo grado d omogenetà. Osservando la tabella n abella 6 Autovalor è possble capre qual è la percentuale d varanza spegata dalle due funzon dscrmnant, 76.0 e 4,0 ovvero le due funzon nseme spegano nteramente la varanza tra grupp. Sempre dalla abella 6 s può rlevare che la relazone che lega cascuna funzone dscrmnante con l gruppo d appartenenza degl oggett ndcata dalla colonna della "orrelazone canonca" sa 0.93 e 0.87, valor quest che essendo prossm all untà denotano un elevata correlazone col gruppo d appartenenza; cò evdenza ancora che le due funzon sono entrambe buone dscrmnant de grupp n Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 3

24 Lnear Dscrmnant Analyss esame. In abella 7 esamnando la colonna "Sg." è charo che entrambe le funzon dscrmnant sono sgnfcatve. est d funzon Lambda d Wls h-quadrato Df Sg. Da a,045 66,55 4,000,333 3,64,000 abella 7 - Lambda d Wls. L'esempo analzzato nel presente report è molto semplce e poché le due sole funzon dscrmnant spegano la totaltà della varanza ogn test cu sono sottoposte fornsce rsposte coerent con questo dato d fatto; n esemp pù compless con pù d due funzon dscrmnant avremo che solo alcune soltamente due o tre funzon dscrmnant danno nformazone sgnfcatva per l'anals. E possble ndvduare qual sono le varabl che contrbuscono maggormente alla defnzone d ogn funzone dscrmnante esamnando la "Matrce d struttura" nella tabelle n abella 8: s nterpreta la sola colonna relatva alla prma funzone dscrmnante canonca, utlzzando come sogla eurstca d sgnfcatvtà l valore 0.30: l'unca varable sgnfcatva rsulta Z, cò sgnfca che la funzone dscrmnante è n grado d garantre una effcace rappresentazone della varable Z. Funzone Z,939 * -,344 Z -,06,998 * orrelazon comun entro grupp tra varabl dscrmnant e funzon dscrmnant canonche standardzzate Varabl ordnate n base alla dmensone assoluta della correlazone entro la funzone. *. orrelazone assoluta pù grande tra cascuna varable e qualsas funzone dscrmnante abella 8 - Matrce d struttura. Funzone Z,375,05 Z,089,067 abella 9 - oeffcent standardzzat delle funzon dscrmnant canonche. I "oeffcent standardzzat delle funzon dscrmnant canonche" danno nformazon su qual varabl sono pù rdondant, per ogn funzone dscrmnante. In abella 9 possamo tentare, anche se non esste un crtero assoluto, a confrontare valor fssando una colonna prma funzone canonca: la prma colonna è quella pù sgnfcatva, valor pù bass hanno mnore nfluenza sugl altr n termn d correlazone d quell pù alt. Le matrc d covaranza calcolate entro grupp abella 0 e quelle su ogn gruppo separato e complessvamente su tutt gl oggett abella. Le prme abella 0 sono le cos dette matrc Pooled Wthn Group e rsultano dalla meda ponderata delle matrc d covaranza-correlazone d cascun gruppo. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 4

25 Lnear Dscrmnant Analyss ovaranza orrelazone Z Z Z,36 -,096 Z -,096,59 Z,000 -,400 Z -,400,000 a. La matrce d covaranza ha grad d lbertà. abella 0 - Matrce d covaranza nter-gruppo. Le varabl consderate sono due Z, Z e rappresentano le varabl standardzzate a partre da X e X, grupp sono tre, ndcat rspettvamente,, 3. Nella tabella n fgura abella 9 sono present coeffcent non standardzzat delle funzon dscrmnant, che possono essere utlzzat per calcolare eventual puntegg score d nuov oggett non nclus nel campone n anals. La abella 3 ndca le probabltà a pror utlzzate nella fase d classfcazone esste un'opzone d equprobabltà può scelta tra le possbl opzon n SPSS. La abella 4 rporta coeffcent delle funzon d classfcazone che vengono utlzzat per classfcare nuov soggett per qual non s dspone dell'nformazone d appartenenza al gruppo. I nuov oggett vengono assegnat al gruppo che presenta l valore pù elevato n una delle funzon d classfcazone. La mappa del terrtoro Fgura rappresenta grafcamente confn delle zone d appartenenza de tre grupp ndvduat attraverso centrod * de grupp, consderando le prme due funzon dscrmnant; ed nfne la Fgura ndca grafcamente gl oggett de grupp, grupp e la collocazone del nuovo oggetto rclassfcato. 3 otal Y Z Z Z,300 -,7 Z -,7,337 Z,484 -,048 Z -,048,073 Z,084,04 Z,04,53 Z,000 -,39 Z -,39,000 a. La matrce d covaranza globale ha 4 grad d lbertà. abella - Matrc d covaranza. Funzone Z,375,05 Z,089,067 abella - oeffcent delle funzon dscrmnant canonche. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 5

26 Lnear Dscrmnant Analyss as usat nell'anals Y A pror Non pesat Pesat,80 7 7,000,50 3 3,000 3,00 5 5,000 otal, ,000 abella 3 - Probabltà a pror. Y 3 Z 4,85 -,96 -,899 Z 7,5,63 -,656 ostante -5,7 -,500 -,577 Funzon dscrmnant lnear d Fsher abella 4 - oeffcent della funzone d classfcazone. Numerostà de grupp K3 Numerostà delle osservazon Nn+n+n35 Grad d lbertà otal dfn-4 Grad d lbertà Modello dfmk- Grad d lbertà Resdu dfr df- dfmn-k4- abella 5 - Grad d lbertà. Rapport X X SS MS Modello,0 9,8 df SS MS F R Re sdu 0,50 0,3 dfr MS MS Modello, 64,9 Re sdu abella 6 - F rato. Devanze X X Z Z SS SS SS SS M R pop n gruppo gruppo pop gruppo N σ X SS R σ n + σ n + σ 3 n3 SS SS M + SS R abella 7 - Devanze calcolate ANOVA. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 6

27 Lnear Dscrmnant Analyss Fgura - Mappa del terrtoro. I rsultat della classfcazone medante ADL rsultano n accordo con l ndcazone a pror. Se avessmo utlzzato un set che assocava casualmente punt a grupp avremo avuto una notevole dscrepanza nella classfcazone a posteror. Se aggungamo degl element come abbamo fatto nell esempo numerco, l valore vene classfcato e dat relatv a vettor delle caratterstche vengono res parte de dat classfcat nelle elaborazon statstche successve. Possamo notare come v sa concdenza nella classfcazone e nella rappresentazone de dat oltre che ne valor delle matrc d covaranza ne grupp e tra grupp. Inoltre possamo osservare che la mappa del terrtoro altro non è se non l rsultato d una anals de 3 cluster d dat che emergono dalla classfcazone, n altr termn lo spazo bdmensonale d rappresentazone può essere suddvso n zone cu apparterranno punt classfcat. al zone tre come grupp vareranno n forma al varare del numero e della consstenza de dat rappresentat. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 7

28 Lnear Dscrmnant Analyss Fgura - Rappresentazone de tre grupp SPSS. abella 8 - Rsultat della classfcazone. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 8

29 Lnear Dscrmnant Analyss Lmt dell anals dscrmnante lneare Il rsultato dell anals è fortemente legato alla qualtà de dat d ngresso, cò mplca l rscho d rsultat che soffrono l ncompletezza delle valutazon nzal. Inoltre la metodologa tende a dare maggore rlevo agl attrbut che hanno maggore potere dscrmnante tra dat osservat persone, prodott, servz e azende, mentre può succedere che attrbut sgnfcatv da un punto d vsta concettuale, ma scarsamente dfferenzat, sano trascurat anche se decsv. Infne, c è da sottolneare l elevata sensbltà del metodo alla presenza d nuov element o alla sottrazone d element present; nfatt effettuando pù anals con dataset dfferent per un seppur pccolo al lmte un elemento numero d element, s rleva l cambamento dello spazo d decsone: cò sgnfca che la scelta degl attrbut assume un mportanza rlevante rspetto alla qualtà de rsultat. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 9

30 Lnear Dscrmnant Analyss Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 30

31 Lnear Dscrmnant Analyss Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 3

32 Lnear Dscrmnant Analyss Glossaro Anals dscrmnante lneare E un metodo d anals statstca multvarata che permette d attrbure degl ndvdu a uno d pù grupp. Per gungere ad un crtero ottmale s utlzzano funzon dscrmnant, le qual rcevono come valor varabl che s rtene abbano un'mportanza per la bontà dell'attrbuzone. Anals de fattor E una tecnca d statstca multvarata che s propone d ndvduare le dmenson fondamental d un fenomeno descrtto da un nseme d n varabl quanttatve. Anals statstca multvarata on statstca multvarata s'ntende quella parte della statstca n cu l'oggetto dell'anals è per sua natura formato da almeno due component, l che è spesso l caso nell'ambto d scenze qual la medcna, pscologa, socologa, ecologa e bologa. Fanno parte della statstca multvarata metod qual: anals della correlazone canonca e anals delle component prncpal anals fattorale anals delle corrspondenze anals de cluster anals dscrmnante anals d regressone multdmensonale ollneartà o multcollneartà, E la condzone nella quale una delle varabl ndpendent è funzone lneare da altre varabl ndpendent. Nell ambto della regressone lneare esstono test dagnostc che permettono d rlevare questa condzone VIF, decomposzone della varanza con fattor nflattv e fattor d tolleranza per le sngole varabl. omunaltà La varanza totale d una certa varable può essere rappresentata come costtuta da due component, una costtuta da quella parte d varanza caratterstca della varable consderata e non condvsa con altre varabl ed una seconda parte costtuta da quella parte d varanza n comune common varance con la varanza d altre varabl. In genere è presente anche una terza parte che appartene alla varanza della varable, ma non n modo affdable, che è detta errore o varanza casuale random varance. La porzone d varanza comune è detta nvece comunaltà communalty [7]. orrelazone Per correlazone s ntende una relazone tra due varabl casual tale che a cascun valore della prma varable corrsponda con una certa regolartà un valore della seconda. Non s tratta necessaramente d un rapporto d causa ed effetto ma semplcemente della tendenza d una varable a varare n funzone d un'altra. alvolta le varazon d una varable dpendono dalle varazon dell'altra relazone tra la statura de padr e quella de fglo ad esempo, talvolta sono comun relazon tra la statura e l peso d un ndvduo; talvolta sono recprocamente dpendent relazone tra prezzo e domanda d una merce: l prezzo nflusce sulla domanda e la domanda nflusce sul prezzo. Il grado d correlazone fra due varabl vene espresso medante cosddett ndc d correlazone. Quest assumono valor compres tra meno uno quando le varabl consderate sono nversamente correlate e l'untà quando v sa correlazone assoluta coè quando alla varazone d una varable corrsponde una varazone rgdamente dpendente dall'altra, ovvamente un ndce d correlazone par a zero ndca un'assenza d correlazone e qund le varabl sono ndpendent l'una dall'altra. I coeffcent d correlazone sono dervat dagl ndc d correlazone tenendo present le grandezze degl scostament dalla meda. In partcolare, l coeffcente d correlazone d Pearson è calcolato come rapporto tra la covaranza delle due varabl ed l prodotto delle loro devazon standard [7]. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 3

33 Lnear Dscrmnant Analyss ovaranza/varanza E un ndce che msura la "contemporanetà" della varazone n termn lnear d due varabl casual. Essa può assumere sa valor postv che negatv. Nel caso d valor postv ndca che al crescere d una caratterstca statstcamente cresce anche l'altra, nel caso d valor negatv accade l contraro. Nella statstca nferenzale, quando due varabl sono tra d loro ndpendent, allora la loro covaranza è nulla l'nverso non è necessaramente verfcato. S utlzza spesso la notazone: cov, y σ σ y n y y essendo e y rspettvamente la meda artmetca d e y. In caso d ponderazone, σ y f y È un operatore smmetrco, coè cov, y cov y, La covaranza può essere scomposta n due termn, dventando n σ y y n ovvero la meda de prodott meno l prodotto delle mede. Quando y, allora la covaranza s trasforma n varanza: σ cov, var σ. Devazone standard Standard Devaton Indce d dspersone della popolazone o del campone. Detto anche Scarto Quadratco Medo. Dstanza d Mahalanobs E una msura d dstanza ntrodotta da P.. Mahalanobs nel 936. Essa è basata sulle correlazon tra varabl attraverso le qual dfferent pattern possono essere dentfcat ed analzzat. S tratta d un modo per determnare la smlartà d uno spazo camponaro ncognto rspetto ad uno noto. Dffersce dalla dstanza eucldea n quanto tene conto delle correlazon all'nterno dell'nseme de dat. Formalmente la dstanza d Mahalanobs d un vettore multvarato rspetto ad un gruppo d valor d valor medo e matrce d covaranza S è defnta come: y y y F-rato E l rapporto tra la msura della varanza spegata dal modello e la varanza spegata da fattor asstematc. S calcola dvdendo la somma de quadrat degl scart dalla meda degl element dell ntera popolazone con la somma de quadrat degl scart dalle mede d gruppo d tutt gl element gruppo per gruppo. Grad d lbertà degree of freedom Date N varabl ndpendent e calcolata una funzone costante delle N varabl è possble, mantenendo costante la relazone che le lega, rcavare ogn varable n funzone delle N- restant. Sottoponendo la funzone f v,, vn K, al vncolo K, g v,, v, v,, v può essere determnata conoscendo le altre N- varabl restant. Incertezza standard v + N Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 33

34 Lnear Dscrmnant Analyss Incertezza del rsultato d una msurazone espressa. Nelle statstche quanttatve essa è uguale alla Devazone Standard Standard Devaton. Incertezza standard composta L ncertezza tpo del rsultato d una msurazone s ha quando l rsultato è ottenuto medante valor d un certo numero d grandezze; essa è uguale alla radce quadrata postva d una somma d termn, che sono le varanze o le covaranze d quelle grandezze, pensate secondo la varazone del rsultato della msurazone al varare d esse. Intervallo d confdenza Intervallo d valor costruto con una procedura statstca che garantsce che, su 00 ntervall realzzat con tale procedura, l 95% d quest conterrà l valore medo ncognto del campone. Lambda d Wls Rappresenta l prodotto della varanza non spegata da cascuna varable. In pratca corrsponde al rapporto tra la varanza de resdu varanza errore e la varanza totale che fornsce un ndcazone d quanta varanza non è stata spegata. Il Λ d Wls assoca una sgnfcatvtà statstca a rsultat dell anals quanto pù rsulta pccolo ossa quanto maggore è la varanza spegata dall anals stessa [7]. Lvello d msurazone delle varabl Se le varabl assumono valor o categore ordnate con metrca sgnfcatva l loro lvello d msurazone è la scala valor d reddto n euro, età n ann, altezza n cm. ; se la msura è ottenuta ordnando le categore secondo una qualche forma ntrnseca d ordnamento o classfca ran dcamo che l lvello d msura è ordnale grado d nteresse per un prodotto, grado d soddsfazone per un servzo; se le categore sono prve d ordnamento ma rappresentano l appartenenza ad un gruppo o etchetta, allora l lvello d msura è nomnale ad esempo appartenenza a grupp o relgon. Logt E una funzone, che s applca a valor compres nell'ntervallo 0,, tpcamente valor rappresentant probabltà. Vene defnto come p logt p ln ln p ln p, p dove p è la probabltà attesa nel verfcars dell evento consderato e -p è la probabltà dell evento complementare; l rapporto è detto odds. Ha come funzone nversa log t e p log t + e La funzone logt s applca ad esempo nella regressone logstca e nella varable casuale logstca []. Mappa/Mappatura delle percezon Perceptual mappng E una tecnca grafca utlzzata nel maretng per tentare d vsualzzare la percezone che hanno potenzal clent d un determnato prodotto n relazone ad altr prodott d rfermento. Maretng E un ramo dell economa che s occupa dello studo descrttvo del mercato e dell'anals dell'nterazone del mercato, degl utlzzator con l'mpresa. Il termne prende orgne dall'nglese maret, cu vene aggunta la desnenza del gerundo per ndcare la partecpazone attva, coè l'azone sul mercato stesso. Maretng sgnfca letteralmente "pazzare sul mercato" e comprende qund tutte le azon azendal rferbl al mercato destnate al pazzamento d prodott, consderando come fnaltà l maggore proftto e come causaltà la possbltà d avere prodott capac d realzzare tale operazone [3]. Mauro Ennas Element d lnear dscrmnant analyss per la classfcazone ed l poszonamento nelle rcerche d maretng. 34

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